专题07 圆的性质与定理（期中真题汇编，广西专用）九年级数学上学期人教版

专题07 圆的性质与定理 5大高频考点概览 考点01 垂径定理 考点02 圆心角、圆周角定理 考点03 点、线与圆的位置关系 考点04 圆的内接多边形的性质 考点05 圆的切线长定理及证明 地 城 考点01 垂径定理 1．(24-25九上·广西河池凤山县·期中)往直径为的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示．若水面宽，则水的最大深度为（   ） A． B． C． D． 2．(24-25九上·广西南宁四校联考·期中)如图，线段是的直径，于点E，若，，则的长是（　　） A．8 B．7 C．6 D．5 3．(24-25九上·广西柳州柳北区·期中)如图所示，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于点E，则下列结论中不成立的是（） A．∠COE=∠DOE B．CE=DE C．OE=BE D． 4．(24-25九上·广西柳州铁五中学·期中)如图，已知A,B均为圆O上一点，若，则的度数为(   ) A． B． C． D． 5．(24-25九上·广西南宁高新初级中学·期中)如图，是的外接圆，连接，若，则的度数等于（    ） A． B． C． D． 6．(24-25九上·广西南宁高新技术产业开发区民大中学·期中)如图，点A，B是上两点，连接，交于点C，垂足为点D，优弧⊥一点E，连接，已知，则的大小为（        ） A． B． C． D． 7．(24-25九上·广西柳州柳北区·期中)如图，与相切于点C， ，的直径为，，求长． 8．(24-25九上·广西钦州第一中学·期中)如图，一拱形公路桥，圆弧形桥拱的水面跨度AB＝80 m，桥拱到水面的最大高度为20 m.(1)求桥拱的半径． (2)现有一艘宽60 m，顶部截面为长方形且高出水面9 m的轮船要经过这座拱桥，这艘轮船能顺利通过吗？请说明理由． 地 城 考点02 圆心角、圆周角定理 1．(24-25九上·广西钦州第一中学·期中)如图，点A、B、C在上，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．(24-25九上·广西钦州外国语学校·期中)如图，已知的直径为，的度数为，点是的中点，在直径上找一点，使的值最小，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 3．(24-25九上·广西钦州外国语学校·期中)如图，是的圆周角，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．(24-25九上·广西南宁四校联考·期中)如图，在中，，则等于（    ） A． B． C． D． 5．(24-25九上·广西南宁翠竹实验中学·期中)如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC＝2，∠BAC＝30°，则劣弧的长等于( ) A． B． C． D． 6．(24-25九上·广西南宁西乡塘区第三十五中学·期中)如图，若是的直径，是的弦，，则（   ） A． B． C． D． 7．(24-25九上·广西河池凤山县·期中)如图，是的直径，，则等于 ． 8．(24-25九上·广西南宁高新技术产业开发区民大中学·期中)如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝4，点D是AC边上一动点，连接BD，以AD为直径的圆交BD于点E，则线段CE长度的最小值为 ． 9．(24-25九上·广西钦州外国语学校·期中)如图，是的一条弦，半径于点，点在上． (1)若，求的度数； (2)若，，求的半径． 地 城 考点03 点、线与圆的位置关系 1．(24-25九上·广西钦州第一中学·期中)的半径为3，点到圆心的距离为4，点与的位置关系是（   ） A．点在外 B．点在内 C．点在上 D．不能确定 2．(24-25九上·广西柳州铁五中学·期中)已知的半径为5cm，点P到圆心的距离为4cm，则点P和圆的位置关系（  ） A．点在圆内 B．点在圆外 C．点在圆上 D．无法判断 3．(24-25九上·广西南宁西乡塘区第三十五中学·期中)若半径为6，圆心到直线的距离为，且，则直线与的位置关系是（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 4．(24-25九上·广西钦州外国语学校·期中)已知的半径为3，圆心O到直线L的距离为4，则直线L与的位置关系是（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 5．(24-25九上·广西南宁广西大学附属中学·期中)已知的半径为，点到圆心的距离为，则点在 （填内、上、外）． 6．(24-25九上·广西柳州柳北区·期中)已知的半径为3，点P在外，则点P到圆心O的距离d的取值范围是 ． 7．(24-25九上·广西南宁第四十七中学·期中)如图，点在半圆上，半径，，点在弧上移动，连接，作，垂足为，连接，点在移动的过程中，的最小值是 ． 地 城 考点04 圆的内接多边形的性质 1．(24-25九上·广西河池凤山县·期中)如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 2．(24-25九上·广西钦州外国语学校·期中)如图，正六边形内接于，，则的长为（    ） A．2 B． C．1 D． 3．(24-25九上·广西南宁翠竹实验中学·期中)如图，是的直径，点C，D，E在上，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 4．(24-25九上·广西南宁新民中学·期中)如图，正五边形内接于，点是劣弧上一点(点不与点重合)，则（   ） A． B． C． D． 5．(24-25九上·广西钦州第一中学·期中)如图，四边形内接于，E为延长线上一点，若，则 ． 6．(24-25九上·广西钦州外国语学校·期中)如图，四边形是圆内接四边形，，则的度数为 度． 7．(24-25九上·广西柳州柳北区·期中)如图，四边形内接于，点在的延长线上．若，则 度． 8．(24-25九上·广西南宁西乡塘区第三十五中学·期中)婆罗摩芨多是公元7世纪古印度伟大的数学家，他在三角形、四边形、零和负数的运算规则，二次方程等方面均有建树，他也研究过对角线互相垂直的圆内接四边形，我们把这类对角线互相垂直的圆内接四边形称为“婆氏四边形”． (1)若平行四边形是“婆氏四边形”，则四边形是____________．（填序号） ①矩形；②菱形；③正方形 (2)如图1，中，，以为弦的交于，交于，连接、、．其中，交于，，，若四边形是“婆氏四边形”，求的长． (3)如图2，四边形为的内接四边形，连接，，，，，，已知． ①求证：四边形是“婆氏四边形”； ②当时，请直接写出半径的最小值． 地 城 考点05 考点05 圆的切线长定理及证明 1．(24-25九上·广西南宁第四十七中学·期中)如图，是的切线，D、E为切点，与相切于点F，分别交于点B、C．若的周长为16，则切线长为（    ） A．6 B．7 C．8 D．无法确定 2．(24-25九上·广西柳州柳北区·期中)如图所示，的内切圆分别与，，相切于点D，E，F，且，，，则的周长为（    ） A．36 B．38 C．40 D．42 3．(24-25九上·广西南宁高新初级中学·期中)如图，的内切圆与，，分别相切于点，，，且，，，则的长为（ ） A．3cm B．4cm C．5cm D．9cm 3．(24-25九上·广西钦州外国语学校·期中)如图，是 的内切圆，切点分别为 ，，，且，， ，半径是 ． 4．(24-25九上·广西钦州钦州共美学校·期中)如图，为外一点，分别切于点，切于点，分别交于点，若，则的周长为 ． 5．(24-25九上·广西河池凤山县·期中)如图，以四边形ABCD的对角线BD为直径作圆，圆心为O，过点A作的延长线于点E，已知DA平分． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径和AD的长． 6．(24-25九上·广西钦州第一中学·期中)如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D在AB的延长线上，且∠BCD＝∠A． (1)求证：CD是⊙O的切线； (2)若⊙O的半径为3，CD＝4，求BD的长． 7．(24-25九上·广西钦州外国语学校·期中)如图，AC是⊙O的直径，OD与⊙O相交于点B，∠DAB＝∠ACB． （1）求证：AD是⊙O的切线． （2）若∠ADB＝30°，DB＝2，求直径AC的长度． 8．(24-25九上·广西钦州钦州共美学校·期中)如图，内接于，是的直径，点在上，点是的中点，，垂足为点D，的延长线交的延长线于点F． (1)求证：是的切线； (2)若，，求线段的长． 9．(24-25九上·广西南宁四校联考·期中)如图，是的外接圆，AB是的直径，于点E，P是AB延长线上一点，且． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 10．(24-25九上·广西南宁第四十七中学·期中)综合探究：如图，是四边形的外接圆，直径为10，过点作，交的延长线于点，平分． (1)若为的直径，求证；与相切； (2)若为的直径，，求的度数； 11．(24-25九上·广西南宁广西大学附属中学·期中)如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD于点E，DA平分∠BDE． （1）求证：AE是⊙O的切线； （2）如果AB=4，AE=2，求⊙O的半径． 12．(24-25九上·广西柳州柳北区·期中)如图，以等边三角形ABC的BC边为直径画圆，交AC于点D，于点F，连接OF，且． （1）求证：DF是的切线； （2）求线段OF的长度． 13．(24-25九上·广西南宁高新初级中学·期中)如图，平分，与相切于点A，延长交于点C，过点O作，垂足为B．    (1)求证：是的切线； (2)若的半径为4，，求的长． 14．(24-25九上·广西南宁高新技术产业开发区民大中学·期中)如图，在中，，以为直径的与边相交于点，与边相交于点，，垂足为点，连接． (1)求证：与相切； (2)若，，求的长． 15．(24-25九上·广西南宁翠竹实验中学·期中)如图，直线经过上的点，并且，，交直线于，，连接，． (1)求证：直线是的切线； (2)试猜想，，三者之间的等量关系，并加以证明； (3)若，的半径为3，求的长． 16．(24-25九上·广西南宁西乡塘区第三十五中学·期中)已知是等边三角形，以为直径的半圆与边相交于点，，垂足为点． (1)证明；是的切线； (2)若，求的直径． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 圆的性质与定理 3大高频考点概览 考点01 垂径定理 考点02 圆心角、圆周角定理 考点03 点、线与圆的位置关系 考点04 圆的内接多边形的性质 考点05 圆的切线长定理及证明 地 城 考点01 垂径定理 1．(24-25九上·广西河池凤山县·期中)往直径为的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示．若水面宽，则水的最大深度为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理； 连接，作交于点C，交于点D，根据垂径定理可得，再利用勾股定理求出，进而可得答案． 【详解】解：如图，连接，作交于点C，交于点D， ∵， ∴， 由题意得：， ∴在中，， ∴， 故选：A． 2．(24-25九上·广西南宁四校联考·期中)如图，线段是的直径，于点E，若，，则的长是（　　） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，根据垂径定理求出的长是解此题的关键．连接，根据垂径定理求出，再根据勾股定理求出，最后根据线段的和差求解即可． 【详解】解：如图，连接， 线段是的直径，于点E， ， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 3．(24-25九上·广西柳州柳北区·期中)如图所示，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于点E，则下列结论中不成立的是（） A．∠COE=∠DOE B．CE=DE C．OE=BE D． 【答案】C 【分析】根据垂径定理可得：，DE=CE，进而得到∠COE=∠DOE，无法得到OE=BE． 【详解】∵AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于点E， ∴，DE=CE，， ∴B，D选项正确； ∵， ∴， ∴∠COE=∠DOE， ∴A选项正确； 只有当∠COE=60°时，才有OE=BE． ∴C选项不成立； 故选：C． 【点睛】本题考查了垂径定理和圆心角、弧之间的关系．解题的关键是熟练掌握垂径定理．垂径定理：垂直弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧． 4．(24-25九上·广西柳州铁五中学·期中)如图，已知A,B均为圆O上一点，若，则的度数为(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆周角定理即可得到答案． 【详解】解：A,B均为圆O上一点，， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了圆周角定理，熟知“圆周角等于它所对弧上的圆心角的一半”是解题的关键． 5．(24-25九上·广西南宁高新初级中学·期中)如图，是的外接圆，连接，若，则的度数等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是圆周角定理，直接根据圆周角定理即可得出结论． 【详解】 解：是的外接圆，， ． 故选：C． 6．(24-25九上·广西南宁高新技术产业开发区民大中学·期中)如图，点A，B是上两点，连接，交于点C，垂足为点D，优弧⊥一点E，连接，已知，则的大小为（        ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查垂径定理及圆周角定理，根据垂径定理可得，由圆周角定理可得即可求解． 【详解】∵交于点C， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 7．(24-25九上·广西柳州柳北区·期中)如图，与相切于点C， ，的直径为，，求长． 【答案】 【分析】本题考查了圆的切线性质，等腰三角形的性质，勾股定理知识．连接，根据切线的性质得，由于，则根据等腰三角形的性质可得的长，然后在中利用勾股定理计算出的值即可． 【详解】解：连接， ∵切于C， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵的直径为， ∴， 在中，，， ∴． 8．(24-25九上·广西钦州第一中学·期中)如图，一拱形公路桥，圆弧形桥拱的水面跨度AB＝80 m，桥拱到水面的最大高度为20 m.(1)求桥拱的半径． (2)现有一艘宽60 m，顶部截面为长方形且高出水面9 m的轮船要经过这座拱桥，这艘轮船能顺利通过吗？请说明理由． 【答案】(1) 桥拱的半径为50 m；（2）这艘轮船能顺利通过，理由见解析. 【详解】试题分析： (1)找到圆的圆心E，过点E作EF⊥AB于点F，延长EF交于点C，连接AE，在Rt△AEF中用勾股定理求AE的长； (2)连接EM，设EC与MN的交点为D，在Rt△DME中，用勾股定理求出DE，再求DF的长，比较DF与9的大小，即可求解. 试题解析： (1)如图，点E是桥拱所在圆的圆心．过点E作EF⊥AB于点F， 延长EF交于点C，连接AE，则CF＝20 m．由垂径定理知，F是AB的中点， ∴AF＝FB＝AB＝40 m.设半径是r m，由勾股定理，得AE2＝AF2＋EF2＝AF2＋(CE－CF)2，即r2＝402＋(r－20)2.解得r＝50.∴桥拱的半径为50 m. (2)这艘轮船能顺利通过．理由如下： 当宽60 m的轮船刚好可通过拱桥时，如图，MN为轮船顶部的位置． 连接EM，设EC与MN的交点为D， 则DE⊥MN，∴DM＝30 m，∴DE＝＝＝40(m)． ∵EF＝EC－CF＝50－20＝30(m)，∴DF＝DE－EF＝40－30＝10(m)． ∵10 m>9 m，∴这艘轮船能顺利通过． 地 城 考点02 圆心角、圆周角定理 1．(24-25九上·广西钦州第一中学·期中)如图，点A、B、C在上，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题关键． 【详解】解：∵， ∴由圆周角定理得：， 故选：D． 2．(24-25九上·广西钦州外国语学校·期中)如图，已知的直径为，的度数为，点是的中点，在直径上找一点，使的值最小，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了最短路径问题，弧、弦、圆心角的关系，勾股定理等．作点关于的对称点，则点在上；连接、、，与的交于点，此时的值最小，根据题意可得，，求得，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：作点关于的对称点，则点在上；连接、、，与的交于点，如图： 则，，即此时的值最小， ∵，点是的中点， ∴， ∵点关于的对称点是点， ∴， ∴， ∵， 在中，， 即的值最小为． 故选：A． 3．(24-25九上·广西钦州外国语学校·期中)如图，是的圆周角，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：D． 4．(24-25九上·广西南宁四校联考·期中)如图，在中，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了圆周角定理.同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，据此进行解答即可. 【详解】解：∵， ∴ 故选：C 5．(24-25九上·广西南宁翠竹实验中学·期中)如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC＝2，∠BAC＝30°，则劣弧的长等于( ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接OB、OC，利用圆周角定理求得∠BOC=60°，然后利用弧长公式l=来计算劣弧的长． 【详解】如图，连接OB、OC， ∵∠BAC=30°， ∴∠BOC=2∠BAC=60°， 又OB=OC， ∴△OBC是等边三角形， ∴BC=OB=OC=2， ∴劣弧的长为：． 故选A． 【点睛】本题考查了圆周角定理，弧长的计算以及等边三角形的判定与性质．根据圆周角定理得到∠BOC=60°是解题的关键所在． 6．(24-25九上·广西南宁西乡塘区第三十五中学·期中)如图，若是的直径，是的弦，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了圆周角定理．根据圆周角定理，即可求解． 【详解】解：∵， ∴． 故选：D． 7．(24-25九上·广西河池凤山县·期中)如图，是的直径，，则等于 ． 【答案】/52度 【分析】本题考查了圆周角定理； 根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍可得答案． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 8．(24-25九上·广西南宁高新技术产业开发区民大中学·期中)如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝4，点D是AC边上一动点，连接BD，以AD为直径的圆交BD于点E，则线段CE长度的最小值为 ． 【答案】﹣2 【分析】连结AE，如图1，先根据等腰直角三角形的性质得到AB=AC=4，再根据圆周角定理，由AD为直径得到∠AED=90°，接着由∠AEB=90°得到点E在以AB为直径的 O上，于是当点O、E、C共线时，CE最小，如图2，在Rt△AOC中利用勾股定理计算出OC=2，从而得到CE的最小值为2﹣2. 【详解】连结AE，如图1， ∵∠BAC=90°,AB=AC,BC=， ∴AB=AC=4， ∵AD为直径， ∴∠AED=90°， ∴∠AEB=90°， ∴点E在以AB为直径的O上， ∵O的半径为2， ∴当点O、E. C共线时,CE最小,如图2 在Rt△AOC中，∵OA=2，AC=4， ∴OC=， ∴CE=OC−OE=2﹣2， 即线段CE长度的最小值为2﹣2. 故答案为:2﹣2. 【点睛】此题考查等腰直角三角形的性质，圆周角定理，勾股定理，解题关键在于结合实际运用圆的相关性质. 9．(24-25九上·广西钦州外国语学校·期中)如图，是的一条弦，半径于点，点在上． (1)若，求的度数； (2)若，，求的半径． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，勾股定理等． （1）根据垂径定理可求出的度数，结合圆周角定理和同弧所对的圆周角相等即可求解； （2）根据垂径定理可求出，设的半径为，根据勾股定理列出方程，解方程求出的值即可． 【详解】（1）解：∵是的一条弦，半径于点， ∴垂直平分， ∴， 又∵， ∴, ∵， ∴． （2）解：设的半径为， ∵， ∴， ∵是的一条弦，半径于点， ∴垂直平分， ∴， 在中，， 即， 解得：， 故的半径为． 地 城 考点03 点、线与圆的位置关系 1．(24-25九上·广西钦州第一中学·期中)的半径为3，点到圆心的距离为4，点与的位置关系是（   ） A．点在外 B．点在内 C．点在上 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，根据点到圆心的距离与圆的半径的关系进行判定即可求解． 【详解】解：设点到圆心的距离， ∵， ∴点在外， 故选：A ． 2．(24-25九上·广西柳州铁五中学·期中)已知的半径为5cm，点P到圆心的距离为4cm，则点P和圆的位置关系（  ） A．点在圆内 B．点在圆外 C．点在圆上 D．无法判断 【答案】A 【分析】直接根据点与圆的位置关系进行解答即可． 【详解】解：∵⊙O的半径为5cm，点P与圆心O的距离为4cm，5cm＞4cm， ∴点P在圆内． 故选：A． 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，当点到圆心的距离小于半径的长时，点在圆内；当点到圆心的距离等于半径的长时，点在圆上；当点到圆心的距离大于半径的长时，点在圆外． 3．(24-25九上·广西南宁西乡塘区第三十五中学·期中)若半径为6，圆心到直线的距离为，且，则直线与的位置关系是（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查直线由圆位置关系．设的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．①直线l和相交⇔，②直线l和相切⇔，③直线l和相离⇔．据此即可判断． 【详解】解：∵的半径为6，圆心到直线l的距离为6， ∴， ∴直线与圆相切， 故选：B． 4．(24-25九上·广西钦州外国语学校·期中)已知的半径为3，圆心O到直线L的距离为4，则直线L与的位置关系是（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆与直线的位置关系：圆心到直线距离为d，半径为r，当时，直线与圆相离；当时，直线与圆相切；当时，直线与圆相交．将圆心到直线距离与半径比较，即可解答． 【详解】解：∵的半径为3，圆心O到直线的距离为4，， ∴直线L与的位置关系是相离， 故选：C． 5．(24-25九上·广西南宁广西大学附属中学·期中)已知的半径为，点到圆心的距离为，则点在 （填内、上、外）． 【答案】内 【分析】根据的半径为，点到圆心的距离为，即可判定． 【详解】解：的半径，点到圆心的距离为， 点在内， 故答案为：内． 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，熟练掌握和运用点与圆的位置关系的判定方法是解决本题的关键． 6．(24-25九上·广西柳州柳北区·期中)已知的半径为3，点P在外，则点P到圆心O的距离d的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查点与圆的位置关系，根据点到圆心的距离大于圆的半径时，点在圆外，即可得出结果． 【详解】解：∵的半径为3，点P在外， ∴； 故答案为：． 7．(24-25九上·广西南宁第四十七中学·期中)如图，点在半圆上，半径，，点在弧上移动，连接，作，垂足为，连接，点在移动的过程中，的最小值是 ． 【答案】 【分析】先确定点H的运动轨迹，再根据点与圆的位置关系可得取最小值时，点H的位置，然后利用圆周角定理、线段的和差即可得． 【详解】如图，设AD的中点为点E，则 由题意得，点H的运动轨迹在以点E为圆心，EA为半径的圆上 由点与圆的位置关系得：连接BE，与圆E交于点H，则此时取得最小值， 连接BD AB为半圆O的直径 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理、点与圆的位置关系、勾股定理等知识点，依据题意，确定点H的运动轨迹，从而得出BH取最小值时，点H的位置是解题关键． 地 城 考点04 圆的内接多边形的性质 1．(24-25九上·广西河池凤山县·期中)如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形的对角互补是解题关键．根据圆内接四边形的对角互补求解即可得． 【详解】解：∵四边形是的内接四边形，， ∴， 故选：A． 2．(24-25九上·广西钦州外国语学校·期中)如图，正六边形内接于，，则的长为（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】本题考查了正六边形的性质，等边三角形的判定和性质，由正六边形的性质得到，得到为等边三角形，进而得到，判断出为等边三角形是解题的关键． 【详解】解： ∵是正六边形， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， 故选：C． 3．(24-25九上·广西南宁翠竹实验中学·期中)如图，是的直径，点C，D，E在上，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定理的推论、圆的内接四边形对角互补等知识，解题关键是牢记相关概念并灵活运用．连接，先利用直径所对的圆周角是直角求出，然后求出，再利用圆的内接四边形的对角互补即可求解． 【详解】解：连接， ∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 4．(24-25九上·广西南宁新民中学·期中)如图，正五边形内接于，点是劣弧上一点(点不与点重合)，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正多边形和圆、圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键； 根据正多边形的边数求出圆心角的度数．求出的度数，再根据圆周角定理即可解决问题． 【详解】解：连接，， 为正五边形， ， ； 故选：B 5．(24-25九上·广西钦州第一中学·期中)如图，四边形内接于，E为延长线上一点，若，则 ． 【答案】/110度 【分析】本题考查了圆的内接多边形的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．由四边形内接于⊙，可得，又由，即可求得． 【详解】解：∵四边形内接于⊙， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：． 6．(24-25九上·广西钦州外国语学校·期中)如图，四边形是圆内接四边形，，则的度数为 度． 【答案】 【分析】本题考查了圆的内接四边形的性质，根据圆的内接四边形的对角互补，结合已知即可求解． 【详解】解：∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， 故答案为：． 7．(24-25九上·广西柳州柳北区·期中)如图，四边形内接于，点在的延长线上．若，则 度． 【答案】140 【分析】首先根据圆内接四边形的性质得，再根据圆心角与圆周角的关系即可得出的度数． 【详解】解：∵四边形内接于，， ∴， 又∵， ∴， ∴°． 故答案为：140． 【点睛】此题主要考查了圆内接四边形的性质，圆心角与圆周角之间的关系，熟练掌握圆内接四边形的对角互补，理解圆心角与圆周角之间的关系是解答此题的关键． 8．(24-25九上·广西南宁西乡塘区第三十五中学·期中)婆罗摩芨多是公元7世纪古印度伟大的数学家，他在三角形、四边形、零和负数的运算规则，二次方程等方面均有建树，他也研究过对角线互相垂直的圆内接四边形，我们把这类对角线互相垂直的圆内接四边形称为“婆氏四边形”． (1)若平行四边形是“婆氏四边形”，则四边形是____________．（填序号） ①矩形；②菱形；③正方形 (2)如图1，中，，以为弦的交于，交于，连接、、．其中，交于，，，若四边形是“婆氏四边形”，求的长． (3)如图2，四边形为的内接四边形，连接，，，，，，已知． ①求证：四边形是“婆氏四边形”； ②当时，请直接写出半径的最小值． 【答案】(1)③ (2)； (3)①见解析；②半径的最小值为． 【来源】广西南宁市西乡塘区第三十五中学2024-2025学年九年级上学期数学期中考试试题 【分析】（1）根本圆内接四边形对角互补和平行四边形对角相等可得，从而可证明四边形为矩形，再根据对角线互相垂直的矩形是正方形即可判断； （2）根据垂径定理和圆周角定理可得，，设，则，，在中解直角三角形即可； （3）①根据圆周角定理即可得出，从而可得，继而证明结论； ②作，垂足分别为M，N，证明，设，则，，，在中，根据勾股定理和二次函数的性质即可得出半径的最小值． 【详解】（1）解：如图， ∵平行四边形为的内接四边形， ∴，， ∴， ∴平行四边形为矩形， ∵四边形是“婆氏四边形”， ∴， ∴矩形为正方形， 故答案为：③； （2）解：∵，，， ∴，为直径， ∴， ∵四边形是“婆氏四边形”， ∴， ∴，， 设，则，， 在中，根据勾股定理， ，即， 解得，即； （3）解：①设相交于点E如图所示 ∵，，， ∴， ∴， 即， 又∵四边形是的内接四边形， ∴四边形是“婆氏四边形”； ②如图，作，垂足分别为M，N， ∴，，， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， 设，则，，， 在中， ， 当时，取得最小值，即半径的最小值为． 【点睛】本题考查圆周角定理、垂径定理、圆内接四边形的性质、勾股定理、正方形的判定定理、二次函数的性质等．（1）中能正确证明出四边形的一个角是是解题关键；（2）中能正确表示出的三个边是解题关键；（3）中①正确利用圆周角定理是解题关键；②正确作出辅助线构造全等三角形是解题关键． 地 城 考点05 考点05 圆的切线长定理及证明 1．(24-25九上·广西南宁第四十七中学·期中)如图，是的切线，D、E为切点，与相切于点F，分别交于点B、C．若的周长为16，则切线长为（    ） A．6 B．7 C．8 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题主要考查了切线长定理，对于定理的认识，在图形中找到切线长定理的基本图形是解决本题的关键．利用切线长定理，可以得到：，再根据的周长为16，即可求解． 【详解】解：∵是的切线，． ∴， 同理，， 三角形的周长． ， 故选：C． 23．(24-25九上·广西柳州柳北区·期中)如图所示，的内切圆分别与，，相切于点D，E，F，且，，，则的周长为（    ） A．36 B．38 C．40 D．42 【答案】A 【来源】广西壮族自治区柳州市柳北区2024-2025学年九年级上学期期中数学试题 【分析】本题主要考查三角形的内切圆与内心及切线长定理，灵活运用切线长定理是解题的关键．由切线长定理可知，，，再根据线段的和差即可求得答案． 【详解】解：∵的内切圆分别与，，AC相切于点D，E，F， ∴，，， ∵，，， ∴，，， ∴，，， ∴的周长． 故选：A． 2．(24-25九上·广西南宁高新初级中学·期中)如图，的内切圆与，，分别相切于点，，，且，，，则的长为（ ） A．3cm B．4cm C．5cm D．9cm 【答案】B 【分析】设AF=acm，根据切线长定理得出AF=AE，CE=CD，BF=BD，求出BD=BF=（9-a）cm，CD=CE=（13-a）cm，根据CD+BD=BC，代入求出a即可． 【详解】设AF=acm， ∵△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F， ∴AF=AE，CE=CD，BF=BD， ∵AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm， ∴BD=BF=（9-a）cm，CD=CE=（13-a）cm， ∵BD+CD=BC=14cm， ∴（9-a）+（13-a）=14， 解得：a=4， 即AF=4cm． 故选B． 【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心和切线长定理，关键是推出AF=AE，CE=CD，BF=BD，用了方程思想． 3．(24-25九上·广西钦州外国语学校·期中)如图，是 的内切圆，切点分别为 ，，，且，， ，半径是 ． 【答案】 【分析】先根据勾股定理求出，由切线长定理得，，，设，则，，然后根据，求解即可． 【详解】解：在中，，，， ， 是 的内切圆，切点分别为 ，，， ，，， 如图，连接，， ，，， ， 四边形是正方形， 设， 则，， ， ， ，则⊙O的半径为． 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形的内切圆与内心，勾股定理，正方形的判定与性质，切线长定理等知识，解题的关键是熟练掌握切线长定理． 4．(24-25九上·广西钦州钦州共美学校·期中)如图，为外一点，分别切于点，切于点，分别交于点，若，则的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，关键是把的周长转化为已知切线相关的线段计算． 根据切线长定理得到，，，再根据三角形的周长公式计算即可． 【详解】解：∵分别切于点，切于点，， ∴，，， ∴的周长， ， ， ， ． 故答案为：． 5．(24-25九上·广西河池凤山县·期中)如图，以四边形ABCD的对角线BD为直径作圆，圆心为O，过点A作的延长线于点E，已知DA平分． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径和AD的长． 【答案】(1)见解析 (2)5， 【分析】（1）连接OA，根据已知条件证明即可解决问题； （2）取CD中点F，连接OF，根据垂径定理可得，所以四边形AEFO是矩形，利用勾股定理即可求出结果． 【详解】（1）证明：如下图，连接OA， ∵， ∴． ∵DA平分， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵OA是半径， ∴是切线； （2）解：如上图，取CD中点F，连接OF， ∴于点F， ∴四边形AEFO是矩形． ∵， ∴． 在Rt△OFD中，， ∴， 在Rt△AED中， ，， ∴， ∴的长是． 【点睛】本题考查了切线的判定与性质，垂径定理，圆周角定理，勾股定理，解决本题的关键是掌握切线的判定与性质． 6．(24-25九上·广西钦州第一中学·期中)如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D在AB的延长线上，且∠BCD＝∠A． (1)求证：CD是⊙O的切线； (2)若⊙O的半径为3，CD＝4，求BD的长． 【答案】（1）证明见解析（2）2 【分析】（1）连接OC，由AB是⊙O的直径可得出∠ACB=90°，即∠ACO+∠OCB=90°，由等腰三角形的性质结合∠BCD=∠A，即可得出∠OCD=90°，即CD是⊙O的切线； （2）在Rt△OCD中，由勾股定理可求出OD的值，进而可得出BD的长． 【详解】解：（1）如图，连接OC． ∵AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点， ∴∠ACB=90°，即∠ACO+∠OCB=90°． ∵OA=OC，∠BCD=∠A， ∴∠ACO=∠A=∠BCD， ∴∠BCD+∠OCB=90°，即∠OCD=90°， ∴CD是⊙O的切线． （2）在Rt△OCD中，∠OCD=90°，OC=3，CD=4， ∴OD==5， ∴BD=OD﹣OB=5﹣3=2． 7．(24-25九上·广西钦州外国语学校·期中)如图，AC是⊙O的直径，OD与⊙O相交于点B，∠DAB＝∠ACB． （1）求证：AD是⊙O的切线． （2）若∠ADB＝30°，DB＝2，求直径AC的长度． 【答案】（1）见解析；（2）AC＝4． 【分析】（1）根据和证明 ，再根据经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线来判定； （2）根据（1）中的结论和∠ADB＝30°来说明在中，直角边OA等于斜边 OD的一半，又因为OA=OB，所以OA=OB=DB=2，所以 AC=2OA=4． 【详解】（1）证明：∵AC是⊙O的直径， ∴， ∴， 又∵， ∴，即， ∵OA是⊙O的半径， ∴AD是⊙O的切线； （2）解：由（1）可知， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】 这道题考查的是切线的判定和30°所对直角边是斜边一半的概念．对圆相关概念、性质，以及特殊直角三角形性质熟练掌握是解题的关键． 8．(24-25九上·广西钦州钦州共美学校·期中)如图，内接于，是的直径，点在上，点是的中点，，垂足为点D，的延长线交的延长线于点F． (1)求证：是的切线； (2)若，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题主要考查了圆与三角形综合．熟练掌握圆周角定理及推论，圆切线的判定．含的直角三角形性质，是解决问题的关键． （1）连接，由，，推出，得到，由，得到，即得； （2）由直径性质可得，推出，根据含的直角三角形性质得到，根据，得到． 【详解】（1）证明：∵连接，则， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是的切线； （2）解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 9．(24-25九上·广西南宁四校联考·期中)如图，是的外接圆，AB是的直径，于点E，P是AB延长线上一点，且． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见详解 (2)5 【分析】（1）连接．根据圆周角定理和同角的余角相等可得．然后由切线的判定方法可得结论； （2）的半径为，，由垂径定理知再结合勾股定理进行列式，即可作答． 【详解】（1）证明：连接． ∵， ∴． ∵于点E， ∴． ∴． ∴ ∵， ∴． ∴． ∵是半径， ∴是的切线． （2）解：设的半径为， 因为， 所以， 因为， 所以， 在中，， 即， ， 所以的半径为． 【点睛】本题考查了切线的判定与圆周角定理、垂径定理、勾股定理等知识内容，难度适中，正确掌握切线的判定内容以及垂径定理运用是解题的关键． 10．(24-25九上·广西南宁第四十七中学·期中)综合探究：如图，是四边形的外接圆，直径为10，过点作，交的延长线于点，平分． (1)若为的直径，求证；与相切； (2)若为的直径，，求的度数； 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了切线的判定，同弧所对的圆周角相等，等边对等角，平行线的性质与判定等等： （1）连接，由得，根据平分，即得，而，即可得，故与相切； （2）先判断出，得出，进而求出，即可求出答案． 【详解】（1）证明：如图，连接 ∵， ∴． ∴． ∵平分， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴，即． ∴． ∵为的半径， ∴与相切． （2）解：∵为的直径， ∴． ∵， ∴． ∴． 由（1）知， ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 11．(24-25九上·广西南宁广西大学附属中学·期中)如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD于点E，DA平分∠BDE． （1）求证：AE是⊙O的切线； （2）如果AB=4，AE=2，求⊙O的半径． 【答案】（1）见解析；（2）⊙O半径为 【来源】广西南宁市广西大学附属中学2024-2025学年九年级上学期数学期中考试试题 【分析】（1）连接OA，利用已知首先得出OA∥DE，进而证明OA⊥AE就能得到AE是⊙O的切线； （2）通过证明△BAD∽△AED，再利用对应边成比例关系从而求出⊙O半径的长． 【详解】解：（1）连接OA， ∵OA=OD， ∴∠1=∠2． ∵DA平分∠BDE， ∴∠2=∠3． ∴∠1=∠3．∴OA∥DE． ∴∠OAE=∠4， ∵AE⊥CD，∴∠4=90°． ∴∠OAE=90°，即OA⊥AE． 又∵点A在⊙O上， ∴AE是⊙O的切线． （2）∵BD是⊙O的直径， ∴∠BAD=90°． ∵∠5=90°，∴∠BAD=∠5． 又∵∠2=∠3，∴△BAD∽△AED． ∴， ∵BA=4，AE=2，∴BD=2AD． 在Rt△BAD中，根据勾股定理， 得BD=． ∴⊙O半径为． 12．(24-25九上·广西柳州柳北区·期中)如图，以等边三角形ABC的BC边为直径画圆，交AC于点D，于点F，连接OF，且． （1）求证：DF是的切线； （2）求线段OF的长度． 【答案】（1）见解析；（2）． 【分析】（1）连接OD，先说明是等边三角形得到，说明，进而得到即可证明； （2）根据三角形中位线的判定与性质、直角三角形的性质得到，最后运用勾股定理解答即可． 【详解】（1）证明：连接OD ∵是等边三角形 ∴ ∵ ∴是等边三角形 ∴ ∴OD//AB ∵ ∴ ∴ ∴DF是的切线； （2）∵OD//AB， ∴OD为的中位线 ∴ ∵， ∴ ∴ 由勾股定理，得： ∴在中，． 【点睛】本题主要考查了圆的切线的证明、三角形中位线的判定与性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键． 13．(24-25九上·广西南宁高新初级中学·期中)如图，平分，与相切于点A，延长交于点C，过点O作，垂足为B．    (1)求证：是的切线； (2)若的半径为4，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）首先根据切线的性质得到，然后根据角平分线的性质定理得到即可证明； （2）首先根据勾股定理得到，然后求得，最后利用，代入求解即可． 【详解】（1）∵与相切于点A， ∴， ∵平分，， ∴， ∴是的切线； （2）∵的半径为4， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 【点睛】此题考查了圆切线的性质和判定，勾股定理，三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 14．(24-25九上·广西南宁高新技术产业开发区民大中学·期中)如图，在中，，以为直径的与边相交于点，与边相交于点，，垂足为点，连接． (1)求证：与相切； (2)若，，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查圆的综合题型，切线的判定，垂径定理，勾股定理，等腰三角形性质． （1）由，可得即可求解； （2）过作于，根据垂径定理，先求出，可得四边形是矩形，再求出，得出是的中点即可求解． 【详解】（1）证明：如图所示， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴， 又∵为半径， ∴是的切线； （2）如图所示，过作于， ∵是的弦，，且， ∴，， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴，则， ∵， 在中，， ∴， ∵， ∴在中，， ∵，点是直径的中点， ∴点是的中点， ∴． 15．(24-25九上·广西南宁翠竹实验中学·期中)如图，直线经过上的点，并且，，交直线于，，连接，． (1)求证：直线是的切线； (2)试猜想，，三者之间的等量关系，并加以证明； (3)若，的半径为3，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2)，详见解析 (3) 【分析】(1)连接,根据等腰三角形的性质易得，进而即可得到证明； (2)由圆周角定理的推论和等角的余角相等得,又有,可得，故可得； (3)设,则,由(2)得,代入数据即可求出答案． 【详解】（1）证明：如图，连接, , , 是的切线； （2）解：，理由如下， 是直径， , ， ， ， ， , ， ； （3）解：, ， 设,则, , ， , ， ． 【点睛】本题主要考查了切线的判定，等腰三角形的性质，圆周角定理的推论，相似三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握其性质并能灵活运用是解决此题的关键． 16．(24-25九上·广西南宁西乡塘区第三十五中学·期中)已知是等边三角形，以为直径的半圆与边相交于点，，垂足为点． (1)证明；是的切线； (2)若，求的直径． 【答案】(1)见解析 (2)的直径为4． 【分析】本题考查了切线的判定，圆周角定理，等边三角形的性质，直角三角形的性质，正确添加辅助线是解决本题的关键． （1）连接，，根据圆周角定理，由为直径得到，然后根据等腰三角形的性质得，推出是的中位线，得到，，据此得到是的切线； （2）先由直角三角形的性质求出，得到，据此求解即可． 【详解】（1）证明：连接，，如图， 为直径， ， ， ， ， ∵， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∵点在上， ∴是的切线； （2）解：如图， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 由（1）得， ∵是等边三角形， ∴， ∴的直径为4． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $