精品解析：上海市杨浦区复旦大学附属中学2025-2026学年高三上学期综合练习（3）数学试题

复旦大学附属中学2025-2026学年第一学期 高三年级（上）数学综合练习（3） 班级___________学号___________姓名___________ 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1. 设全集，若集合，则________. 【答案】 【解析】 【分析】根据补集的定义求解即可. 【详解】因为，集合， 所以. 故答案为：. 2. 不等式的解集为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用一元二次不等式的解法可得答案. 【详解】由，得：， 解得：. 故答案为： 3. 已知某抛物线的准线方程为y＝1，则该抛物线的标准方程为________ . 【答案】 【解析】 【分析】设出抛物线的标准方程后，根据准线方程可解得结果. 【详解】依题意可设抛物线的标准方程为：， 由，解得， 所以该抛物线的标准方程为：. 故答案为：. 【点睛】本题考查了根据准线方程求抛物线的标准方程，属于基础题. 4. 若圆柱的底面半径与高均为1，则其侧面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆柱的侧面积公式直接计算可得. 【详解】由题意，圆柱的侧面积为：. 故答案为： 5. 若正数满足，则的最小值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据基本不等式求解． 【详解】由已知，当且仅当，即时等号成立，故所求最小值是． 故答案为：． 6. 设为虚数单位，若复数满足，则________. 【答案】2 【解析】 【分析】设复数，，计算出，利用复数相等求出，即得. 【详解】设复数，，则， 所以， 因为， 所以， 则，所以. 故答案为：. 7. 从A校高一年级学生中抽取66名学生测量他们的身高，其中最大值为184cm，最小值152cm，绘制身高频率分布直方图，若组距为3，且第一组下限为151.5，则组数为________． 【答案】11 【解析】 【分析】根据组距即可求解. 【详解】第一组下限为151.5，组距为3，所以， 故第11组的下限为181.5，因此组数为11， 故答案为：11 8. 已知函数为奇函数，则______. 【答案】 【解析】 【分析】首先求出当时的函数值，再根据奇函数的性质得解. 【详解】因为函数为奇函数， 当时， 所以. 故答案为： 9. 在正四面体中，点是的中心，若（），则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】连接并延长交于点，连接，可得，，结合图形将用表示即得. 【详解】 如图，在正四面体中，连接并延长交于点，连接， 则，， 于是 ， 即得，故. 故答案为：. 10. 已知是双曲线的左右焦点，l是的一条渐近线，以为圆心的圆与l相切于P．若双曲线的离心率为，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】以为圆心的圆与l相切于点P，，所以由点到直线的距离求出，由余弦定理求出，再由余弦定理求出，即可求出的值． 【详解】设双曲线的一条渐近线为， 则到直线的距离为， 因为以为圆心的圆与l相切于点P，，所以， 又因为双曲线的离心率为，所以，则， 在中，， 在，， 解得：， 由余弦定理可得：， 所以， 故答案为：． 11. 已知、、为空间中三个单位向量，且、、与夹角为，点P为空间一点，满足且，则最大值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】以为坐标原点，为轴，为轴，垂直于平面为轴,建立空间直角坐标系，由坐标表示得，结合不等式的性质进行求解. 【详解】因为、，，平面， 所以平面，以为坐标原点，为轴，为轴，垂直于平面为轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 因为、、为空间中三个单位向量，与夹角为，即，则，，，即，，， 设，则， 因为， 所以， 所以且， 所以，即， 当时，解得；当时，解得； 所以，即， ，解得， 故， 则最大值为. 故答案为：. 【点睛】空间向量数量积的最值问题，可以根据所给向量的关系，直接列出方程或不等式关系，也可以建立适当的空间直角坐标系，利用坐标运算找到代数关系，借助基本不等式或函数思想解决； 12. 已知各项均为正整数的数列满足：对任意正整数，均存在，使得．若，则满足条件的数列的个数为_________． 【答案】 【解析】 【分析】按照已知等式可确定偶数项，由依次分析奇数项可能的取值，进而确定满足条件的数列. 【详解】，，，，； 当时，，，即，成等差数列， 又，，或，； 当时，或， 当时，（舍）或；当时，（舍）或（舍）， ，，，； 当时，或或， 或或； 当时，，， 当时，（舍）；当时，，则；当时，，则； ，，，，，或，，，，，； 当时，， 当时，或或或或； 当时，或或或或； 当时，，， 当时，（舍）；当时，（舍）； 当时，（舍）；当时，，则； 当，时，，则；当，时，（舍）； 时，或；时，； 综上所述：满足条件的数列有、、，共个. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题考查根据数列递推关系求解数列中的各项，解题关键是能够根据能成立的等式，分析出各项所有可能的取值，并剔除不合题意的取值，考查了学生的分析和逻辑推理能力. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13. 掷一颗质地均匀的骰子，观察朝上面的点数．设事件：点数是奇数，事件：点数是偶数，事件：点数是3的倍数，事件：点数是4．下列每对事件中，不是互斥事件的为（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件，利用互斥事件的定义，对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【详解】对于选项A，因为事件和事件不能同时发生，所以与互斥，故选项A错误， 对于选项B，当朝上面的点数为时，与同时发生，即与不是互斥事件，所以选项B正确， 对于选项C，因为事件和事件不能同时发生，所以与互斥，故选项C错误， 对于选项D，因为事件和事件不能同时发生，所以与互斥，故选项D错误， 故选：B. 14. 若从正方体八个顶点中任取四个顶点分别记为A、B、C、D，则直线AB与CD所成角的大小不可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意作图，根据正方体的几何性质，利用异面直线的夹角的定义，可得答案. 【详解】①由题意作图如下： 由图易知为等腰直角三角形，则直线与的夹角为； ②由题意作图如下： 由图易知为等边三角形，则直线与的夹角为； ③由题意作图如下： 由图易知，因为，则直线与的夹角为. 而不管怎么找顶点，都无法得到直线AB与CD所成角为. 故选：A. 15. 已知等差数列中，，设函数，记，则数列的前17项和为（ ） A. 9 B. 17 C. 26 D. 34 【答案】D 【解析】 【分析】利用三角恒等变换化简函数，分析函数的图象性质得图象关于点对称，利用等差中项的性质结合正弦型函数的对称性可求得结果. 【详解】依题意，， 由，得， 当时，，即函数的图象关于点对称，， 由等差中项的性质得， 则， 所以数列的前13项和为：. 故选：D 16. 已知，则方程的实数根个数不可能为（ ） A. 5个 B. 6个 C. 7个 D. 8个 【答案】A 【解析】 【分析】作出的图象，令，由对勾函数的性质作出的图象，再对分类讨论，将问题转化为关于的方程（具体到每种类型时为常数）的解的个数问题. 【详解】因为， 当时，则在上单调递增，在上单调递减， 又，，， 当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 且，，，，， 作出的图象，如图所示： 令，由对勾函数的性质可知在，上单调递减， 在，上单调递增，且，，则的图象如下所示： ①当时，令或， 则关于的方程有两个实数解，关于的方程的方程也有两个实数解， 即此时对应的个数为，（以下处理方法类似）； ②当时，令或或，此时对应的个数为6； ③当时， 令或或或， 此时对应的个数为； ④当时，或或或，此时对应的个数为； ⑤当时，或或，此时对应的个数为； ⑥当时，或，此时对应的个数为3； ⑦当时，，此时对应的个数为2. 综上可知，实数根个数不可能为5个. 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题关键是作出的图象，再对分类讨论，将问题转化为关于的方程（具体到每种类型时为常数）的根的问题. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 17. 如图，在正方体中，E是的中点． （1）求证：平面； （2）求直线DE与平面ABCD所成角的大小． 【答案】（1） 证明：连接，在正方体中，E是的中点， 所以E是的中点，且，即， 因为平面，平面， 所以， 又，平面， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）连接，结合正方体的性质易得，，进而求证即可； （2）过作，交于，连接，易得是直线与平面所成的角，进而结合直角三角形中正切的定义求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过作，交于，连接， 在正方体中，平面，， 所以平面， 又平面，所以， 所以是直线与平面所成的角. 由题意，设，则， ，所以， 所以在，， 故直线与平面所成角的大小是. 18. 已知函数，其中. （1）求证：是奇函数； （2）若关于的方程在区间上有解，求实数的取值范围. 【答案】（1）证明：函数的定义域为 ， 在中任取一个实数，都有，并且. 因此是奇函数. （2） 【解析】 【分析】（1）结合奇偶性的定义以及对数函数运算法则即可得证； （2）分离参数，将原问题等价转换为在上有解，由此转换为求函数值域问题. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 等价于即在上有解. 记，因为在上为严格减函数， 所以，，， 故的值域为，因此，实数的取值范围为. 19. 一根长为的铁棒欲通过如图所示的直角走廊，已知走廊的宽． （1）设，试将表示为的函数； （2）求的最小值，并说明此最小值的实际意义． 【答案】（1），． （2）,最小值的实际意义是：在拐弯时，铁棒的长度不能超过，否则，铁棒无法通过．也就说，能够通过这个直角走廊的铁棒的最大长度为． 【解析】 【分析】（1）写出，，化简即可； （2）设，换元，此时，判断单调性并求最值. 【详解】（1），．　　　　 ，． （2）设，，则， 所以，，此时． 任取、，且，， 因为、，且，所以，， 故，即在时是减函数，所以 最小值的实际意义是：在拐弯时，铁棒的长度不能超过，否则，铁棒无法通过．也就说，能够通过这个直角走廊的铁棒的最大长度为． 【点睛】单调性定义法证明时，作差后一定要变形到位，一般为几个因式相乘的形式，然后判断差的正负作出结论. 20. 双曲线的左、右焦点分别为、（），过点的直线与右支在轴上方交于点． （1）若，点的坐标为，求的值； （2）若，且是等比数列，求证：直线的斜率为定值； （3）设直线与左支的交点为，，当且仅当满足什么条件时，存在直线，使得成立． 【答案】（1） （2） 依题意知，可设直线，代入中， 整理得：（*）， 如图，因，故点的横坐标为恰是方程（*）的解， 则， 整理得：，即， 因是等比数列，则，代入此式，可得，即得， 因过点的直线与右支在轴上方交于点，故得，即直线的斜率为定值； （3） 【解析】 【分析】（1）将值和点坐标代入双曲线方程求出值，即可求得值； （2）设直线，与双曲线方程联立消元，得关于的方程，依题方程有解为，代入整理方程后，借助于，可推得，即得证； （3）利用双曲线定义化简得到，，设，利用余弦定理求出的值，结合图形和题意，确定其范围，即得关于的不等式，解之即得. 【小问1详解】 依题意，将，代入中， 解得，则； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图，因点在双曲线右支上，则，即， 故由可得, 又因点直线与左支的交点,故，则， 在中，设，由余弦定理，， 因为，所以， 所以， 故当且仅当满足时，存在直线，使得成立. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系的应用，属于难题. 解题的关键在于对双曲线定义的理解掌握，在处理相关的焦半径问题时，要有转化思想，结合图形和定义，将其化简为常量或最值问题，即可解决. 21. 设函数的定义域为，在上仅有一个极值点，方程在上仅有两解，分别为，且．若，则称函数在上的极值点左偏移；若，则称函数在上的极值点右偏移． （1）设，判断函数在上的极值点是否左偏移或右偏移，并说明理由； （2）设且，，，求证：函数在上的极值点右偏移； （3）设，，，求证：当时，函数在上的极值点左偏移． 【答案】（1） 由零点为极值点为， 由于，所以极值点既不左偏移，也不右偏移． （2） 因为，其中且， 因此在内的零点为1和． 而，， 因此在内的极值点为． 此时， 而，由于， 因为，所以，即， 则函数在上的极值点右偏移得证． （3） 先考虑有两个零点，此时． 设，则， 当时，，此时在上单调递增， 当时，，此时在上单调递减， 而当时，时， 所以结合图像， 有两解时，的取值范围是，此时的两个零点． 再考虑极值点，， 当时，有解， 当时，，此时在上单调递增， 当时，，此时在上单调递减， 因此有唯一极值点，并且． 要证明，即证明，因为，所以， 又因为在上单调递减， 所以只需要证明， 又因为，所以只需要证明， 构造 ，由于， 则， 即在区间上单调递减，且，即在上恒有， 则， 所以原不等式得证， 因此函数在上的极值点左偏移． 解法二：由， 可得． 欲证，即证，即证． ， 不妨设，令， 于是， 此时即证：当时，． 令，求导并整理，得， 因此函数在区间上单调递增， 其值域为，而， 因此当时，，即， 从而得证，即函数在上的极值点左偏移． 【解析】 【分析】（1）利用二次函数求解零点和极值点，即可得出判断； （2）利用三次函数求解零点和极值点，再用作差法比较大小，也可得出判断； （3）利用分析法，再借助，可转化证明，然后构造，证明其单调性，从而问题得证； 方法二：利用分析法，把要证明的不等式，利用零点性质转化证明，从而问题得证. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 复旦大学附属中学2025-2026学年第一学期 高三年级（上）数学综合练习（3） 班级___________学号___________姓名___________ 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1. 设全集，若集合，则________. 2. 不等式的解集为__________. 3. 已知某抛物线的准线方程为y＝1，则该抛物线的标准方程为________ . 4. 若圆柱的底面半径与高均为1，则其侧面积为________． 5. 若正数满足，则的最小值为______. 6. 设为虚数单位，若复数满足，则________. 7. 从A校高一年级学生中抽取66名学生测量他们的身高，其中最大值为184cm，最小值152cm，绘制身高频率分布直方图，若组距为3，且第一组下限为151.5，则组数为________． 8. 已知函数为奇函数，则______. 9. 在正四面体中，点是的中心，若（），则__________. 10. 已知是双曲线的左右焦点，l是的一条渐近线，以为圆心的圆与l相切于P．若双曲线的离心率为，则_________． 11. 已知、、为空间中三个单位向量，且、、与夹角为，点P为空间一点，满足且，则最大值为______． 12. 已知各项均为正整数的数列满足：对任意正整数，均存在，使得．若，则满足条件的数列的个数为_________． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13. 掷一颗质地均匀的骰子，观察朝上面的点数．设事件：点数是奇数，事件：点数是偶数，事件：点数是3的倍数，事件：点数是4．下列每对事件中，不是互斥事件的为（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 14. 若从正方体八个顶点中任取四个顶点分别记为A、B、C、D，则直线AB与CD所成角的大小不可能为（ ） A. B. C. D. 15. 已知等差数列中，，设函数，记，则数列的前17项和为（ ） A. 9 B. 17 C. 26 D. 34 16. 已知，则方程的实数根个数不可能为（ ） A. 5个 B. 6个 C. 7个 D. 8个 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 17. 如图，在正方体中，E是的中点． （1）求证：平面； （2）求直线DE与平面ABCD所成角的大小． 18. 已知函数，其中. （1）求证：是奇函数； （2）若关于的方程在区间上有解，求实数的取值范围. 19. 一根长为的铁棒欲通过如图所示的直角走廊，已知走廊的宽． （1）设，试将表示为的函数； （2）求的最小值，并说明此最小值的实际意义． 20. 双曲线的左、右焦点分别为、（），过点的直线与右支在轴上方交于点． （1）若，点的坐标为，求的值； （2）若，且是等比数列，求证：直线的斜率为定值； （3）设直线与左支的交点为，，当且仅当满足什么条件时，存在直线，使得成立． 21. 设函数的定义域为，在上仅有一个极值点，方程在上仅有两解，分别为，且．若，则称函数在上的极值点左偏移；若，则称函数在上的极值点右偏移． （1）设，判断函数在上的极值点是否左偏移或右偏移，并说明理由； （2）设且，，，求证：函数在上的极值点右偏移； （3）设，，，求证：当时，函数在上的极值点左偏移． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $