专题02 一次方程（组）的应用（11大题型）（专项训练）数学湘教版2024七年级上册

专题03 一次方程（组） 目录 A题型建模・专项突破 一元一次方程 题型一、配套问题 1 题型二、工程问题 4 题型三、销售盈亏问题（常考点） 6 题型四、行程问题（重点） 9 题型五、动点问题（难点） 12 题型六、其它问题 17 二元一次方程组 题型七、方案问题 21 题型八、行程问题 25 题型九、分配问题 28 题型十、销售、利润问题（重点） 31 题型十一、和差倍分问题（难点） 34 B综合攻坚・能力跃升 题型一、配套问题 1．某工厂加工齿轮，已知每1块金属原料可以加工成3个A齿轮或4个B齿轮（说明：每块金属原料无法同时既加工A齿轮又加B齿轮），已知1个A齿轮和2个B齿轮组成一个零件，为了加工更多的零件，要求A、B齿轮恰好配套．请列方程解决下列问题： （1）现有25块相同的金属原料，问最多能加工多少个这样的零件？ （2）若把36块相同的金属原料全部加工完，问加工的A、B齿轮恰好配套吗？说明理由 （3）若把n块相同的金属原料全部加工完，为了使这样加工出来的A、B齿轮恰好配套，请求出n所满足的条件． 【答案】（1）30；（2）不能恰好配套，理由见解析；（3）n是5的正整数倍的数． 【分析】（1）设用x块金属原料加工A齿轮，则用（25﹣x）块金属原料加工B齿轮，根据题意列出一元一次方程，故可求解； （2）设用y块金属原料加工A齿轮，则用（36﹣y）块金属原料加工B齿轮，依题意列出方程求解，得到解不是整数，即可判断； （3）设用a块金属原料加工A齿轮，则用（n﹣a）块金属原料加工B齿轮，根据配套列出方程即可求解. 【详解】解：（1）设用x块金属原料加工A齿轮，则用（25﹣x）块金属原料加工B齿轮． 由题意，可得2×3x＝4（25﹣x） 解得x＝10，则3×10＝30． 答：最多能加工30个这样的零件； （2）若把36块相同的金属原料全部加工完，加工的A、B齿轮不能恰好配套．理由如下：设用y块金属原料加工A齿轮，则用（36﹣y）块金属原料加工B齿轮． 由题意，可得2×3y＝4（36﹣y）， 解得y＝14.4．由于14.4不是整数，不合题意舍去， 所以若把36块相同的金属原料全部加工完，加工的A、B齿轮不能恰好配套； （3）设用a块金属原料加工A齿轮，则用（n﹣a）块金属原料加工B齿轮，可使这样加工出来的A、B齿轮恰好配套． 由题意，可得2×3a＝4（n﹣a）， 解得a＝n，则n﹣a＝n， 即n所满足的条件是：n是5的正整数倍的数． 2．某工厂加工螺栓、螺帽,已知每1块金属原料可以加工成3个螺栓或4个螺帽(说明:每块金属原料无法同时既加工螺栓又加工螺帽),已知1个螺栓和2个螺帽组成一个零件,为了加工更多的零件,要求螺栓和螺帽恰好配套.请列方程解决下列问题: (1)现有20块相同的金属原料,问最多能加工多少个这样的零件? (2)若把26块相同的金属原料全部加工完,问加工的螺栓和螺帽恰好配套吗?说明理由 (3)若把块相同的金属原料全部加工完,为了使这样加工出来的螺栓与螺帽恰好配套,请求出所满足的条件. 【答案】（1）24 （2）加工的螺栓和螺帽不能恰好配套．理由见解析（3）n是5的整数倍，且n为正整数． 【分析】（1）设用x块金属原料加工螺栓，则用（20-x）块金属原料加工螺帽．根据2×螺栓的个数=螺帽的个数，列出方程求解即可； （2）设用y块金属原料加工螺栓，则用（26-y）块金属原料加工螺帽．根据2×螺栓的个数=螺帽的个数列出方程，求出的方程的解，如果解是正整数，那么加工的螺栓和螺帽恰好配套；否则不能配套； （3）设用a块金属原料加工螺栓，则用（n-a）块金属原料加工螺帽，可使这样加工出来的螺栓与螺帽恰好配套．根据2×螺栓的个数=螺帽的个数列出方程，得出n与a的关系，进而求解即可． 【详解】解：（1）设用x块金属原料加工螺栓，则用（20-x）块金属原料加工螺帽． 由题意，可得2×3x=4（20-x）， 解得x=8， 则3×8=24． 答：最多能加工24个这样的零件； （2）若把26块相同的金属原料全部加工完，加工的螺栓和螺帽不能恰好配套．理由如下： 设用y块金属原料加工螺栓，则用（26-y）块金属原料加工螺帽． 由题意，可得2×3y=4（26-y）， 解得y=10.4． 由于10.4不是整数，不合题意舍去， 所以若把26块相同的金属原料全部加工完，加工的螺栓和螺帽不能恰好配套； （3）设用a块金属原料加工螺栓，则用（n-a）块金属原料加工螺帽，可使这样加工出来的螺栓与螺帽恰好配套． 由题意，可得2×3a=4（n-a）， 解得a=n，则n-a=n， 即n所满足的条件是：n是5的整数倍，且n为正整数． 3．某工厂计划生产一种新型豆浆机，每台豆浆机需2个甲种零件和4个乙种零件，已知车间每天能生产甲种零件450个或乙种零件300个，现要在天中使所生产的零件刚好配套，那么应安排多少天生产甲种零件，安排多少天生产乙种零件恰好配套？ 小明在解决这个问题时，设应安排x天生产甲零件．填出表格①②③的表达式，并列方程解决这个问题． 工效（个/天） 天数（天） 数量（个） 甲种零件 450 x ② 乙种零件 300 ① ③ 【答案】①，②，③，15 【分析】若设应安排x天生产甲种零件，则安排天生产乙种零件，共生产个甲种零件，个乙种零件，根据每台豆浆机需2个甲种零件和4个乙种零件，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：若设应安排x天生产甲种零件，则安排天生产乙种零件，个乙种零件， 根据题意得：， 解得：， ∴． 答：应安排15天生产乙种零件． 4．某工厂计划生产一种新型豆浆机，每台豆浆机需3个甲种零件和5个乙种零件，已知车间每天能生产甲种零件450个或乙种零件300个，现要在21天中使所生产的零件刚好配套，那么应安排多少天生产甲种零件，安排多少乙天生产乙种零件恰好配套？ 小明在解决这个问题时设应安排天生产甲零件．填出表格①②③的表达式，并列方程解决这个问题． 工效（个/天） 天数（天） 数量（个） 甲种零件 450 x ② 乙种零件 300 ① ③ 【答案】①，②，③；安排6天生产甲零件，安排15天生产乙零件． 【分析】设应安排天生产甲零件，根据题意求得安排天生产乙种零件，共生产甲种零件，生产乙种零件，根据每台豆浆机需3个甲种零件和5个乙种零件，使得恰好配套，则甲种零件的数量乘以5等于乙种零件的数量乘以3，据此列出一元一次方程即可求解． 【详解】解：设应安排天生产甲零件，根据题意求得安排天生产乙种零件，共生产甲种零件，生产乙种零件， 依题意得方程 解得： 答：安排6天生产甲零件，安排15天生产乙零件． 故答案为：①，②，③ 题型二、工程问题 5．一项工程，由甲队承担，需工期80天，工程费用100万；由乙队承担，需工期100天，工程费用80万．为了节省工期和费用，实际施工时，甲、乙两队合作若干天后，撤出一个队，由另一个队继续工作到工程完成．结算时，共支出工程费用万元．那么甲、乙两队合作了 天． 【答案】26 【分析】题目主要考查一元一次方程的应用，理解题意列出方程是解题关键． 设甲队工作了天，则甲队完成的工作量是，乙队完成的工作量是，根据题意列出方程求解即可． 【详解】解：设甲队工作了天，则甲队完成的工作量是，乙队完成的工作量是， 根据题意得：， 解得， 此时，乙工作的天数为（天）， ∵， ∴撤出的是甲队，甲队工作了26天，即甲、乙两队合作了26天， 故答案为：26． 6．一项工作，甲单独做要20天，乙单独做要34天，如果两人合作，工作效率就要降低，甲的工效降低20%，乙的工效降低15%，现在要17天完成这项工作，两人合作天数尽量少，两人最少合作 天． 【答案】10 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设两人至少合作x天，首先根据工作效率工作量工作时间，分别求出甲乙的工作效率，然后要使两人合作的天数尽可能少，则除去两人合作的时间外，其余的时间应该由工作效率高的人完成，根据题意列出一元一次方程，解方程即可． 【详解】解：甲工作效率，乙工作效率， 甲、乙合作效率， 因为，所以要使两人合作天数最少，则甲单独做一部分， 设两人合作天，剩下甲单独做天， ， ， ， ， ， 答：两人最少合作10天． 故答案为：10． 7．某车间有28名工人生产某种螺栓和螺母，每人每天能生产螺栓12个或螺母18个，为了合理分配劳动力，使生产的螺栓和螺母配套（一个螺栓套两个螺母），则应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺母？ 【答案】12人生产螺栓，16人生产螺母 【分析】本题考查一元一次方程的应用，设分配x人生产螺栓，则人生产螺母，根据生产的螺栓和螺母配套建立方程，解方程即可求得答案． 【详解】解：设分配x人生产螺栓，则人生产螺母， 每天生产螺栓的数量为：个，每天生产螺母的数量为：个， ∴， 解方程得：， ∵ ∴12人生产螺栓，16人生产螺母． 8．解答下列问题： （1）一项工程，甲队单独做需10天完成，乙队单独做需15天完成，甲先做5天后，甲、乙合作完成余下的工作，问两队合做几天可以完成这项工作？ （2）从A地到B地，甲需走10小时，从B地到A地，乙需走15小时，甲、乙两人从A，B两地相向而行，甲出发5小时后乙出发，问乙出发几小时后两人相遇？ （3）一笔钱款，可以买甲种商品10件或买乙种商品15件，用这笔钱款买了甲、乙两种商品，已知甲种商品比乙种商品多买了5件，问乙种商品买了几件？ （4）通过解答上面三个问题，你发现了什么？ （5）根据上面所列的方程，编写一道实际问题的应用题． 【答案】（1）3；（2）3；（3）3；（4）答案见解析；（5）答案见解析. 【分析】（1）设甲乙合作x天完成，根据甲做得工作量（分两部分）+乙做得工作量=总工作量1列出方程，解方程即可求解；（2）设甲乙两地相距的距离为整体1，乙出发x小时后两人相遇，根据甲走的路程（分两部分）+乙走的路程=总路程1列方程，解方程即可求解；（3）设购买了乙商品x件，总钱数为整体1，根据购买甲商品的钱数+购买乙商品的钱数=总钱数1列出方程，解方程即可求解；（4）根据前三问可得出三个问题除了内容不一样外，等量关系是一致的；（5）由题意编方程即可． 【详解】（1）设甲乙合作x天完成，则， 解之得：x=3； 答：两队合做3天可以完成这项工作. （2）设甲乙两地相距的距离为整体1，乙出发x小时后两人相遇则：， 解之得：x=3； 答：乙出发3小时后两人相遇. （3）设购买了乙商品x件，总钱数为整体1， 则：， 解之得：x=3； 答：乙种商品买了3件. （4）三个问题除了内容不一样外，等量关系是一致的． （5）教师节到了，学生们准备利用班费给任课教师购买纪念品，经过调查，利用这笔钱可买甲水杯10个或者乙水杯15个，用这笔钱款买了甲、乙两种水杯，已知甲种水杯比乙种水杯多买了5件，问乙种水杯买了几件？ 题型三、销售盈亏问题 9．某商品因换季准备打折出售，如果按定价六折出售，将赔100元，而按定价的八折出售，将赚20元，则这种商品的定价是（   ）． A．400 B．600 C．800 D．1000 【答案】B 【分析】本题主要了一元一次方程的应用，找到正确的数量关系、列出方程是解题的关键． 设这种商品的定价为x元，由“按定价的六折出售，将赔100元，而按定价的八折出售，将赚20元”，据此列出方程求解即可． 【详解】解：设这种商品的定价为x元， 由题意可得：， 解得：． 所以这种商品的定价为600元． 故选：B． 10．文具店的老板均以60元的价格卖了两个计算器，其中一个赚了，另一个亏了，则老板（   ） A．赚了5元 B．亏了5元 C．赚了20元 D．亏了20元 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程．可分别设两种计算器的进价，根据赔赚可列出方程求得，再比较两计算器的进价和与售价和之间的差，即可得老板的赔赚情况． 【详解】解：设赚了的进价为x元，亏了的一个进价为y元，依题意得∶ ，， 解得∶ ，， 则两个计算器的进价和为（元） 两个计算器的售价和为（元） 则（元） 即老板在这次交易中亏了元． 故选：B． 11．某种商品进价为每千克元，按标价的八折销售时，利润率为，则这种商品每件的标价为 ． 【答案】每千克元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设这种商品每件的标价为x元，利用利润=售价-进价，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设这种商品每件的标价为每千克x元， 根据题意得：， 解得：， 这种商品每件的标价为每千克元． 故答案为：每千克300元． 12．一件商品标价为元，按标价的五折出售，仍可获利元，则这件商品的进价为 元． 【答案】100 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据“利润标价折扣进价”列出方程是解题的关键． 设这件商品的进价为x元，根据“利润标价折扣进价”列出关于x的一元一次方程求解即可． 【详解】解：设这件商品的进价为x元， 根据题意得：， 解得：． 所以，这件商品的进价为100元． 故答案为：100． 13．春节将至，中央广播电视总台《2025年春节联欢晚会》发布官方吉祥物形象“巳升升”，祝福全球华人在新的一年如意康宁，好事连连．“巳升升”吉祥物摆件也随之热销，某超市用18000元从厂家购进了300个“巳升升”摆件，并以每个80元的价格销售，销售了一部分后正值元旦促销，该超市将剩下的“巳升升”摆件在原售价的基础上打9折继续销售，并且全部售完．已知这批“巳升升”摆件获得的总利润是4560元． (1)求每个“巳升升”摆件的进价是多少元？ (2)请你算一算打9折前共售出多少个“巳升升”摆件？ 【答案】(1)60元 (2)120个 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列出方程． （1）用购买金额除以数量，即可得到进价； （2）设打9折前共售出x个“巳升升”摆件，根据这批“巳升升”摆件获得的总利润是4560元列方程可解得答案． 【详解】（1）解：∵某超市用18000元从厂家购进了300个“巳升升”摆件， ∴每个“巳升升”摆件的进价是（元）； 答：每个“巳升升”摆件的进价是60元； （2）解：设打9折前共售出x个“巳升升”摆件， 根据题意得：， 解得， ∴打9折前共售出120个“巳升升”摆件． 14．甲、乙两种商品，成本共3500元，甲商品按20%的利润定价，乙商品按10%的利润定价．后来都按定价的九折出售，结果仍获利154元．问甲、乙两种商品的成本各是多少元？ 【答案】甲商品的成本是元，乙商品的成本是元． 【分析】本题考查一元一次方程的应用，根据题意列方程是正确解答本题的关键．设甲商品的成本是元，那么乙商品的成本则是元，根据获利154元列出关于的一元一次方程并求解即可． 【详解】解：设甲商品的成本是元，那么乙商品的成本则是元，根据题意得： ， 解得：． 则， 答：甲商品的成本是元，乙商品的成本是元． 15．师徒二人购买一些原材料，正好加工成一个机械零件，已知师傅单独加工需4天完成，徒弟单独加工需6天完成，现在徒弟先加工1天，再两人合作加工完成． (1)师傅一共加工了多少天？ (2)加工完成后以2700元的价格将这个零件卖出，盈利为成本的，这些原材料的进价是多少元？ 【答案】(1)2天 (2)1500元 【分析】（1）设师傅一共加工了x天，则徒弟加工了天，根据师傅完成的工作量+徒弟完成的工作量＝总工作量，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可求出师傅一共加工的天数； （2）设这些原材料的进价是y元，利用利润=售价-进价，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：（1）设师傅一共加工了x天，则徒弟加工了天， 依题意得：， 解得：． 答：师傅一共加工了2天． （2）解：设这些原材料的进价是y元， 依题意得：， 解得：． 答：这些原材料的进价是1500元． 题型四、行程问题 16．甲、乙两人从A、B两地出发，甲骑自行车，乙骑摩托车，沿同一路线相向匀速行驶，出发后经3小时两人相遇，已知在相遇时乙比甲多行驶了90千米，相遇后经1小时乙到达A地．以下说法不正确的是（   ） A．乙行驶的速度是甲行驶速度的3倍 B．相遇时甲行驶了135千米 C．乙每小时比甲多行驶30千米 D．两地相距180千米 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，熟悉掌握路程的关系式是解题的关键． 利用路程关系试列出方程判断即可． 【详解】解：∵相遇后经1小时乙到达A地， ∴此路程甲一共行驶了3小时， ∴乙行驶的速度是甲行驶速度的3倍，故A正确； 设甲的速度为千米每小时，则乙的速度为千米每小时， 由题意可得：， 解得： ∴，即相遇时甲行驶了千米，故B错误； 乙每小时比甲多行驶：，故C正确； 两地相距：，故D正确； 故选：B． 17．古代名著《算学启蒙》中有一题：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之？意思是：两匹马从同一地点出发，跑得快的马每天走里，跑得慢的马每天走里，慢马先走天，快马几天可追上慢马？若设快马天可追上慢马，则由题意，可列方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系、正确列出一元一次方程是解题的关键． 设快马天可以追上慢马，根据快马和慢马所走的路程相等建立方程即可． 【详解】解：设快马天可以追上慢马， 据题意，得：． 故选：A． 18．轮船沿江从A港顺流行驶到B港，比从B港返回A港少用2小时，若船速为20千米/时，水速为2千米/时，求A港和B港相距多少千米．设A港和B港相距x千米．根据题意，可列出的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设A港和B港相距x千米，根据时间路程速度结合顺流比逆流少用2小时，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：设A港和B港相距x千米，则顺流速度为千米/时，逆流速度为千米/时， 根据题意得：．即． 故选：A． 19．甲、乙两人同时从地出发去地，甲骑自行车，速度是，乙步行，速度为．若甲出发后在路上遇到熟人交谈了半小时后，仍以原速前进地，结果甲、乙两人同时到达地，问、两地的路程是多少？ 【答案】、两地的路程是 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设、两地的路程是，根据题意列出一元一次方程，求解即可．理解题意，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解此题的关键． 【详解】解：设、两地的路程是， 由题意可得：， 解得：， 答：、两地的路程是． 20．甲、乙两地相距千米，、两车分别从甲乙两地开出，车每小时行驶千米，车每小时行驶千米． (1)若两车相向而行，车提前小时出发，求车出发后几小时两车相遇？ (2)若、两车同向而行，车在前，车在后，车先行小时，求车出发几小时后两车相距千米？ 【答案】(1)车出发 小时相遇 (2)车出发小时或 小时后两车相距千米 【分析】本题考查了一元一次方程的应用． （1）设车出发后 小时相遇，根据两车相向而行，车的总路程为千米，列出一元一次方程； （2）设车出发 小时后两车相距千米，根据题意，分两种情况列出一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：设车出发后 小时相遇 则 解得： 答：车出发后小时相遇 （2）解：设车出发 小时后两车相距千米 ① 解得： （小时） ② 解得：（小时） 答：车出发小时或 小时后两车相距千米 21．已知A，B，C三地依次在同一条直线上，A，C两地距离465千米，A，B两地距离330千米． (1)现有甲、乙两车分别从A，B两地相向而行，两车均保持匀速行驶且甲车的速度是乙车速度的3倍，若甲车比乙车提前1小时出发，则甲车出发后3小时两车相遇．求甲、乙两车的速度分别是多少千米/小时？ (2)如果甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，向C地行驶，两车保持（1）中的速度，求经过多少小时两车相距30千米？ 【答案】(1)甲、乙两车的速度分别是90千米/小时和30千米/小时 (2)经过5小时两车相距30千米 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，正确理解题意，根据题意找出等量关系是解题的关键． （1）设乙车速度为x千米/小时，则甲车的速度是千米/小时，根据题意列出方程求解即可； （2）设经过小时两车相距30千米，然后进行分类讨论：当两车相遇前，当两车相遇后，分别列出方程求解，再结合实际即可解答． 【详解】（1）解：设乙车速度为x千米/小时，则甲车的速度是千米/小时， 根据题意：， 解得， 千米/小时， 答：甲、乙两车的速度分别是90千米/小时和30千米/小时； （2）解：设经过t小时两车相距30千米， ①两车相遇前： ； ②两车相遇后： ； ， 不合题意，舍去； 答：经过5小时两车相距30千米． 题型五、动点问题 22．数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合通过研究数轴，我们发现了许多重要的规律，比如：数轴上点和点表示的数为，，则，两点之间的距离，若，则可化简为若，则可化简为，请你利用数轴解决以下问题：若数轴上两点、对应的数分别为，，点为数轴上一动点，其对应的数为当到点、的距离之和为时，则对应的数的值为（    ） A． B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】本题考查数轴上两点间的距离．根据两点间的距离公式，分三种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：当点在点左侧时，则：， 解得； 当点在点和点之间时，则：，不符合题意； 当点在点右侧时，则：， 解得； 综上：或； 故选：C． 23．如图，已知数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，且a，b满足．动点P从点A出发，以每秒8个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．若点P，Q同时出发，当P，Q两点相距4个单位长度时，t的值为（    ） A．3 B．5 C．3或5 D．1或 【答案】C 【分析】本题主要考查了数轴上的动点问题，乘方和绝对值的非负性，利用绝对值的方程求两点之间的距离问题，解题的关键是熟练掌握以上性质． 利用乘方和绝对值的非负性求出的值，然后根据数轴上点的平移性质列出带有绝对值的方程，最后求解即可． 【详解】解：因为， 所以， 所以， 因为动点P从点A出发，以每秒8个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动， 设运动时间为t()秒，所以P表示的数是，Q表示的数是， 所以，即， 解得或， 故选：C． 24．如图，已知数轴上三点对应的数分别为，点为数轴上一动点，其对应的数为． (1)点、之间的距离为___________； (2)如果点到点、点的距离相等，那么的值是___________； (3)数轴上是否存在点，使点到点、点的距离之和是8？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (4)如果点以每分钟1个单位长度的速度从点向左运动，同时点以每分钟3个单位长度的速度也向左运动，直接写出多少分钟时，点之间的距离为1． 【答案】(1)4 (2)1 (3)存在，或5 (4)1或2分钟时，点，之间的距离为1 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，涉及了数轴上两点间的距离公式，一元一次方程的求解．根据动点的起始位置、运动方向和运动速度确定动点在数轴上对应的数是解题关键． （1）依题意，计算，即可作答； （2）根据题意得：，即可求解； （3）分类讨论：①当点P在点M的左侧时，②当点P在点M和点N之间时，③当点P在点N的右侧时，三种情况即可求解； （4）设运动t分钟时，点之间的距离为1，结合运动速度以及两点间的距离进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵数轴上三点对应的数分别为 ∴； 点、之间的距离为4； （2）解：根据题意得：， 解得：； （3）解：依题意，①当点P在点M的左侧时． 根据题意得：． 解得：． ②当点P在点M和点N之间时， 则， 方程无解，即点P不可能在点M和点N之间． ③当点P在点N的右侧时， ． 解得：． ∴x的值是或5； （4）解：设运动t分钟时，点之间的距离为1， ∵点以每分钟1个单位长度的速度从点向左运动，同时点以每分钟3个单位长度的速度也向左运动， ∴ ∴ ∴或 解得或 即1或2分钟时，点之间的距离为1． 25．在数轴上，点为原点，点表示的数为，点表示的数为．动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴正方向运动，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴负方向运动．设运动时间为秒（）． (1)分别用含的代数式表示点、点对应的数； (2)当为何值时，、两点到原点的距离相等？ (3)若点运动到点后立即以原速度沿数轴负方向运动，点运动到点后停止运动． ①求点到达点及点到达点的时间； ②当时，是否存在某一时刻，使得、两点之间的距离为个单位长度？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)：，： (2) (3)①点到达点时间为秒，点到达点的时间为15秒②存在，或 【分析】本题考查数轴上动点问题，数轴上两点间的距离，解一元一次方程，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）数轴上动点所对应的数是：向右运动是起始点对应的数加上运动速度乘以运动时间，向左运动是起始点对应的数减去运动速度乘以运动时间，据此解答即可； （2）根据、两点到原点的距离相等列方程求解即可； （3）当时，点运动到点后立即以原速度沿数轴负方向运动，则P点对应的数是，分两种情况，Q到达A之前和Q到达A之后，以、两点之间的距离为个单位长度为等量关系列方程求解，检验求出的t值是否符合要求即可． 【详解】（1）解：：，：； （2）解：∵、两点到原点的距离相等 ∴， 或 解得或（舍去）， 故； （3）解：①点到的时间：秒；点到的时间：秒； ②当时，：，：， 则，即， 或 解得（舍去）或（舍去）； 当时，已停止在点，：， 则，即， 或 解得或，均符合条件． 综上，或． 26．数轴上、两点分别对应整数、，且满足和这两个条件．（表示方法：与相差，与相差三个长度单位） 【计算能力】___________， ___________． 【基础知识】如图1，、两点在数轴上进行着图形的运动，试说出两者的运动方式． 【知识理解】如图2，动点在点沿数轴右方向运动，每秒行个长度单位；动点在点沿数轴左方向运动，每秒行个长度单位，经过多少秒后两点相距个单位长度？ 【知识运用】如图3，为，为．动点在点沿数轴右方向运动，每秒行个长度单位；动点在点沿数轴左方向移动，每秒行个长度单位．当动点到达了点，动点速度提高到个长度单位/秒沿反方向追动点，动点速度提高到个长度单位/秒沿原方向继续运动，相遇后停止运动． 在运动的过程中一共用了多少秒？ 【答案】计算能力：，；基础知识：做直线运动，做曲线运动；知识理解：经过秒或秒后、两点相距个单位长度；知识运用：在运动的过程中一共用了秒 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，数轴上两点间的距离，一元一次方程，解题的关键是掌握相关知识． 计算能力：根据和即可求解； 基础知识：结合图形即可求解； 知识理解：设经过秒后两点相距个单位长度，由题意得，，则点表示的数为，点表示的数为，根据即可求解； 知识运用：动点从点到点所需时间为秒，得到此时动点的路程为，设动点反方向追动点时，秒相遇，则，求出，即可求解． 【详解】解：计算能力：， ， 将代入得， 故答案为：，； 基础知识：如图1，做直线运动，做曲线运动； 知识理解：设经过秒后两点相距个单位长度， 由题意得，， 点表示的数为，点表示的数为， 点表示的数为，点表示的数为， ， 解得或， 即经过秒或秒后、两点相距个单位长度； 知识运用：动点从点到点所需时间为（秒）， 此时动点的路程为， 设动点反方向追动点时，秒相遇， 则， 解得， 在运动的过程中一共用了（秒）， 答：在运动的过程中一共用了秒． 题型六、其它问题 27．用形状和大小相同的按如图所示的方式排列，第1个图形中有5个，第2个图形中有9个，第3个图形中有13个，…，按照这样的规律，若第个图形中有321个，则的值为（   ） A．79 B．80 C．81 D．82 【答案】B 【分析】本题考查图形类规律探究，根据给出的图形，找到相应的数字规律，进行求解即可． 【详解】 解：第1个图形中有个； 第2个图形中有个， 第3个图形中有个， 第个图形中有个， 当时，； 故选B． 27．有浓度是的盐水溶液若干千克，如果再加入20千克盐，那么盐水的浓度就变为，原来的盐水是 千克． 【答案】140 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，解题的关键是设未知数，根据题意建立方程． 设原来那杯浓度为的盐水的质量为千克，利用加盐后的溶液比加盐前的溶液多20克盐建立方程求解即可． 【详解】设原来那杯浓度为的盐水的质量为千克，则其中盐的质量为千克， 再加人20千克盐后，盐水的质量为千克，盐的质量为千克， 依题意，得， 解得， 故原来那杯浓度为的盐水的质量为140千克． 故答案为：140． 28．有两根同样长度但粗细不同的蜡烛，粗蜡烛可以燃烧6小时，细蜡烛可以燃烧4小时，一次停电，同时点燃两根蜡烛，来电后同时吹灭，发现剩下的粗蜡烛长度是细蜡烛长度的两倍，则停电时间是 小时． 【答案】3 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，关键是找出题目中的等量关系．设停电时间为小时，根据“同时吹灭后剩下的粗蜡烛长度是细蜡烛长度的两倍”列方程求解，即可得出结论． 【详解】解：设停电时间是小时， 则， 解得：， 即停电时间是小时， 故答案为：． 29．有8筐白菜，以每筐25千克为重，超过（盈）的千克数记为正数，不足（亏）的千克数记为负数，称后的记录如下表： 1筐 2筐 3筐 4筐 5筐 6筐 7筐 8筐 盈亏合计 1.5 2 1 0.5 表中第六筐的盈亏数被墨水涂污了，请你根据图表中数据算出第六筐的盈亏数，并求出这8筐白菜一共多少千克？ 【答案】第六筐白菜亏2千克，这8筐白菜一共197千克 【分析】本题考查有理数加减运算的实际应用，相反意义的量，一元一次方程的应用，解题的关键在于根据题意列式． 设第六筐白菜为x千克，根据题意建立方程求出，进而即可得到第六筐的盈亏数，再结合8筐白菜的标准质量与盈亏合计，即可求出8筐白菜总共重量． 【详解】解：设第六筐白菜的盈亏数为x千克， 依题意得：， 解得：， 即第六筐白菜亏2千克，实际重量为23千克； 8筐白菜共重（千克）， 答：这8筐白菜一共197千克． 30．学校要添置一批乒乓球拍和乒乓球，购买球拍与球的个数之比为，且购买乒乓球比购买乒乓球拍多52个，球拍的标价80元，球的标价是球拍标价的少2元． (1)购买球拍与球的个数分别是多少？ (2)球的标价分别是多少？ (3)甲，乙两商店分别推出不同的优惠政策：甲：全部商品按标价九折出售乙：每买一只乒乓球拍赠球两个，学校应选择哪个商店购买比较便宜？便宜多少钱？ 【答案】(1)购买乒乓球拍13个，购买乒乓球65个 (2)球的标价是每个8元 (3)选择乙商店比较便宜，便宜元 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，有理数的四则混合运算的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设购买乒乓球拍x个，则购买乒乓球个，根据“购买乒乓球比购买乒乓球拍多52个”建立一元一次方程求解； （2）由球拍的价格乘以，再减即可； （3）分别计算甲乙两个商店的费用，再比较即可． 【详解】（1）解：设购买乒乓球拍x个，则购买乒乓球个， 则由题意得： 解得 则 (个) 所以购买乒乓球拍13个，购买乒乓球65个， 答：购买乒乓球拍13个，购买乒乓球65个； （2）解：由题意得，（元） 答：球的标价是每个8元． （3）解：甲商店：（元）； 乙商店：（元）， ， （元）， 答：选择乙商店比较便宜，便宜元． 31．一份试卷共25道题，每道题都给出四个答案，其中只有一个是正确的，要求学生把正确答案选出来，每题选对得4分，不选或选错扣1分． (1)如果一个学生得了90分，那么他选对几题？ (2)现有500名学生参加考试，有得83分的同学吗？为什么？ 【答案】(1)他选对23道题 (2)没有得83分的同学 【分析】本题考查了一元一次方程的应用． （1）设某同学做对了x道题，那么他做错或不做的道题，他的得分应该是，列出方程求解即可； （2）利用上一问列方程的方法求解，看得出的答案是否为整数． 【详解】（1）解：设该同学做对了x道题，那么他做错或不做的道题， 根据题意列方程得：， 解得：， 答：他做对了23道； （2）设某同学做对了y题， 根据题意列方程得：， 解得：． ∵不是整数， ∴没有得83分的同学． 答：没有得83分的同学． 题型七、方案问题 32．某中学拟组织七年级师生去参观苏州博物馆．下面是张老师和小芳、小明同学有关租车问题的对话： 张老师：“客运公司有60座和45座两种型号的客车可供租用． 60座客车每辆每天的租金比45座的贵150元．” 小芳∶“八年级师生昨天在这个客运公司租了5辆60座和3辆45座的客车到苏州博物馆，一天的租金共计6750元．” 小明∶“如果我们七年级租用45座的客车a辆，那么还有15人没有座位；如果租用60座的客车则可少租1辆，且有一辆车上的人不足一半．” 根据以上对话，解答下列问题： (1)客运公司60座和45座的客车每辆每天的租金分别是多少元？ (2)求出满足条件的a的值． (3)若同时租用两种或一种客车．要使每位师生都有座位，且每辆客车恰好坐满，问有哪几种租车方案？ 【答案】(1)60座和45座的客车每辆每天的租金分别是900元和750元 (2) (3)租车方案有两种：方案一：60座4辆，45座3辆；方案二：60座1辆，45座7辆 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组、二元一次方程组的应用，根据题意构造方程、不等式是解答的关键． （1）根据题意设出两种车的租金，列二元一次方程组即可； （2）用a表示七年级人数，根据条件构造不等式组； （3）在（2）的基础上设出租用两种车型的数量，表示总人数，得到二元一次方程，易得，即n为可取的整数，然后再讨论m、n的值即可解答． 【详解】（1）解：设60座和45座的客车每辆每天的租金分别是x元、y元， 由题意得：，解得：． 答：60座和45座的客车每辆每天的租金分别是900元和750元． （2）解：由题意可得：七年级人数为人 由题意可得：，解得：， ∵a为整数， ∴． （3）解：由（2）七年级共人， 由（2）知，只租一种客车，不能使每位师生都有座位，且每辆客车恰好坐满， 设60座和45座车分别为m辆n辆 则，即， ∴， ∴， ∴n为可取的整数 ∵m为整数 ∴当时，；当时，． ∴租车方案有两种：方案一：60座4辆，45座3辆；方案二：60座1辆，45座7辆． 33．我校八年级共有名师生参加社会实践活动，此次活动的交通经费预算为元．现有大小客车两种车型，小客车可载客人，大客车可载客人，租一辆小客车的租金为元，租一辆大客车的租金为元．如果租用大客车比小客车多辆，且恰好坐满，请通过计算判断这次活动的交通经费预算是否够用？ 【答案】够用；详见解析 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设租用小客车辆，则租用大客车辆，根据等量关系列出方程求解即可． 【详解】解：设租用小客车辆，则租用大客车辆 根据题意，得： 解得： 则大客车数量为（辆） 所以，租车费用为：（元） 因为 所以，活动的交通经费预算够用． 答：活动的交通经费预算够用． 34．某中学为了增加操场面积，租用了土地10亩，现在平整操场需要运走36800吨泥土，现有租用A型车和B型车，已知：用3辆A型车和2辆B型车一次可运泥土60吨；用2辆A型车和3辆B型车一次可运泥土65吨． (1)1辆A型车和1辆B型车都载满货物一次可分别运多少吨？ (2)已知A型车每天能运20次，B型车每天能运16次．学校同时租用A、B型车，刚好20天运完且每辆车每天运足次数，每次都按（1）中运量运满，请找出该校的租车方案； 【答案】(1)1辆A型车满载货物一次可以运10吨，1辆B型车载满货物一次可以运15吨 (2)学校共有2种租车方案：①租用A型车8辆，B型车1辆；②租用A型车2辆，B型车6辆 【分析】本题考查二元一次方程与二元一次方程组解决实际问题，分析题意，找出数量关系，正确列出方程及方程组是解题的关键． （1）设1辆A型车满载货物一次可以运x吨，1辆B型车载满货物一次可以运y吨，根据“：用3辆A型车和2辆B型车一次可运泥土60吨；用2辆A型车和3辆B型车一次可运泥土65吨”列出方程组，求解即可； （2）设该校租用A型车m辆，B型车n辆，根据“学校同时租用A、B型车，刚好20天运完且每辆车每天运足次数，每次都按（1）中运量运满”列出方程，求出正整数解即可． 【详解】（1）解：设1辆A型车满载货物一次可以运x吨，1辆B型车载满货物一次可以运y吨，根据题意，得 ，解得， 答：1辆A型车满载货物一次可以运10吨，1辆B型车载满货物一次可以运15吨． （2）解：设该校租用A型车m辆，B型车n辆，根据题意，得 ， 整理，得， ∵m，n为正整数， ∴或， ∴学校共有2种租车方案： ①租用A型车8辆，B型车1辆； ②租用A型车2辆，B型车6辆． 35．倡导健康生活，推进全民健身，某社区要购进A，B两种型号的健身器材若干套，A，B两种型号健身器材的购买单价分别为每套300元，450元，且每种型号健身器材必须整套购买． (1)若购买A，B两种型号的健身器材共50套，且恰好支出19500元，求A，B两种型号健身器材各购买多少套？ (2)若购买A，B两种型号的健身器材共50套，且支出不超过17500元，求A种型号健身器材至少要购买多少套？ 【答案】(1)A种型号健身器材20套，B型器材健身器材30套 (2)34套 【分析】本题主要考查二元一次方程组和一元一次不等式的应用； （1）设购买A种型号健身器材x套，B种型号健身器材y套，根据题意列二元一次方程组解答即可； （2）设购买A种型号健身器材m套，根据：A种型号健身器材总费用种型号健身器材总费用，列不等式求解可得． 【详解】（1）解：设购买A种型号健身器材x套，B种型号健身器材健身器材y套． 根据题意，得：解得：， 答：购买A种型号健身器材20套，B种型号健身器材30套． （2）解：设购买A种型号健身器材m套， 根据题意，得：， 解得：， ∵m为整数， ∴m的最小值为34， 答：A种型号健身器材至少要购买34套． 36．2024年11月12日第15届中国国际航空航天博览会在珠海开幕．这激发了航模小组对新款无人机模型的极大兴趣和购买欲望，于是他们去模型商店了解后知道：一架A款无人机模型的价格比一架B款无人机模型的价格贵600元，用9000元购买A款无人机模型的数量与用5400元购买B款无人机模型的数量相同． (1)求A款无人机模型和B款无人机模型的单价． (2)航模小组计划用18000元购买无人机模型，要求A，B两款模型都要购买且钱刚好用完，请求出所有的购买方案． 【答案】(1)A款无人机模型的单价为1500元，B款无人机模型的单价为900元 (2)有3种购买方案：①A款无人机模型购买9架，B款无人机模型购买5架；②A款无人机模型购买6架，B款无人机模型购买10架；③A款无人机模型购买3架，B款无人机模型购买15架 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，二元一次方程的应用，根据等量关系列出方程，是解题的关键． （1）设B款无人机模型的单价为x元，则A款无人机模型的单价为元，根据用9000元购买A款无人机模型的数量与用5400元购买B款无人机模型的数量相同，列出方程，解方程即可； （2）设A款无人机模型购买m架，B款无人机模型购买n架，根据购买费用18000元，列出方程，得出答案即可． 【详解】（1）解：设B款无人机模型的单价为x元，则A款无人机模型的单价为元，由题意，得： 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ∴ 答：A款无人机模型的单价为1 500元，B款无人机模型的单价为900元． （2）解：设A款无人机模型购买m架，B款无人机模型购买n架．由题意得： ， 整理得：， ∵m，n均为正整数， ∴或或， ∴有3种购买方案： ①A款无人机模型购买9架，B款无人机模型购买5架； ②A款无人机模型购买6架，B款无人机模型购买10架； ③A款无人机模型购买3架，B款无人机模型购买15架． 题型八、行程问题 37．小明和小亮练习赛跑，如果小明让小亮先跑2秒，那么小明跑6秒就追上小亮；如果小明让小亮先跑16米，那么小明跑8秒就追上小亮．设小明每秒跑的路程为x米，小亮每秒跑的路程为y米，则根据题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两种追击情况，分别找出小明和小亮路程的等量关系，从而列出方程组．本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，熟练掌握根据行程问题中的追及等量关系列方程组是解题的关键． 【详解】解：小明让小亮先跑2秒，小明跑6秒追上小亮，此时小亮跑了秒，小明跑的路程等于小亮跑的路程，即； 小明让小亮先跑16米，小明跑8秒追上小亮，此时小明跑的路程等于小亮跑的路程加上16米，即． 所以方程组为 故选：A． 38．A地至B地的航线长，一架飞机从A地顺风飞往B地需，设飞机无风时的平均速度为，风速为，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．根据速度时间路程，可以列出相应的方程． 【详解】解：由题意可得， ， 故选：A． 39．甲、乙两人从同一地点出发，同向而行，甲乘车，乙骑自行车．如果乙先走，那么甲用就能追上乙；如果乙先走，那么甲只用就能追上乙．求甲、乙两人的速度． 【答案】甲的速度是，乙的速度是． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设甲的速度为，乙的速度为，根据乙先走，甲用就能追上乙，列出方程；根据乙先走，甲只用就能追上乙，可以列出方程，联立方程组求解即可. 【详解】解：设甲的速度为，乙的速度为， 根据题意，得， 解得， 答：甲的速度为，乙的速度为． 40．“网约出行”改变了人们的出行方式．某网约平台的打车出行计价规则为：打车总费用＝里程费+耗时费，其中里程费按x元/公里计算，耗时费按y元/分钟计算．已知甲、乙两乘客用该平台网约打车出行，按其计价规则，其行驶里程数、平均车速及打车总费用等信息如下表： 乘客 里程数（公里） 平均速度（公里/时） 打车总费用（元） 甲 8 乙 (1)求x与y的值； (2)小明的妈妈也采用了该平台的打车出行方式，其出行的平均车速为公里/时，行驶了9公里，请你计算小明的妈妈应付车费多少元？ 【答案】(1)x的值为2，y的值为 (2)小明的妈妈应付车费元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，有理数四则混合运算，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组． （1）根据甲、乙的打车总费用，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）利用打车总费用=里程费+耗时费，即可求出结论． 【详解】（1）解：依题意得：， 解得：． 答：x的值为2，y的值为； （2）（元）． 答：小明的妈妈应付车费元． 41．某城市规定：出租车起步价允许行驶的最远路程为3千米，超过3千米的部分按每千米另收费．甲说：“我乘坐这种出租车走了11千米，付了17元”；乙说：“我乘坐这种出租车走了23千米，付了35元”． (1)请你算一算这种出租车的起步价是多少元？以及超过3千米后，每千米的车费是多少元？ (2)若小明乘坐这种出租车付了47元钱，则他这次乘车走了多少千米？ 【答案】(1)起步价5元，每千米1.5元 (2)31千米 【分析】此题考查二元一次方程组和一元一次方程的应用，解题的关键是正确分析等量关系． （1）设出租车的起步价是x元，超过3千米后，每千米的车费是y元，根据题意得到关于x、y的方程组，解方程组即可得； （2）设他这次乘车走了m千米，根据题意列出方程求解即可． 【详解】（1）设出租车的起步价是x元，超过3千米后，每千米的车费是y元，由题意得： ， 解得：， 答：出租车的起步价是5元，超过3千米后，每千米的车费是1.5元； （2）设他这次乘车走了m千米 根据题意得， 解得 答：他这次乘车走了31千米． 题型九、分配问题 42．2024年4月3日，我国台湾省发生7.3级地震，某公益组织为灾区人民送去了大量的物资，其中就有1000份面包，全部分发给某村300位灾民，其中成人一人分4份，小孩一人分3份，问分别有多少成人和小孩？若设成人有x人，小孩有y人，则可列二元一次方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组． 根据面包总数为1000份，灾民人数为300位，列方程组即可． 【详解】解：设成人有x人，小孩有y人， 由题意可得，， 故选：A． 43．甲、乙两人各有纪念币若干枚，乙的纪念币数量比甲的纪念币数量多12枚；如果甲把他一半的纪念币给乙，那么乙共有纪念币48枚，问甲、乙原来各有多少枚纪念币？设甲原有x枚纪念币，乙原有y枚纪念币，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，正确理解题意是解题的关键．根据“乙的纪念币数量比甲的纪念币数量多12枚”，可列方程，根据“甲把他一半的纪念币给乙，那么乙共有纪念币48枚”，可列方程，即得答案． 【详解】解：根据题意，得． 故选：B． 44．某农副产品经销商打算将一批农副产品运往网点销售，现有大货车、小货车运送该批农副产品．已知2辆大货车与1辆小货车一次运送农副产品38吨；1辆大货车与2辆小货车一次运送农副产品31吨（每辆货车都装满）． (1)求一辆大货车与一辆小货车一次各运送农副产品多少吨； (2)该经销商计划组织大、小货车共10辆运送该批农副产品，已知该批农副产品的重量不少于120吨，请问至少需要大货车多少辆． 【答案】(1)一辆大货车运送农副产品15吨，一辆小货车运送农副产品8吨 (2)6 【分析】本题主要考查了列二元一次方程组解决实际问题，列一元一次不等式解决实际问题，解题的关键是理解题意，找准等量关系和不等关系． （1）设一辆大货车运送农副产品吨，一辆小货车运送农副产品吨，根据两次运输方式，列出方程组求解即可； （2）设大货车用了辆，则小货车用了辆，根据运输的吨数列出不等式，然后进行求解即可． 【详解】（1）解：设一辆大货车运送农副产品吨，一辆小货车运送农副产品吨，根据题意得， 解得 所以，一辆大货车运送农副产品15吨，一辆小货车运送农副产品8吨； （2）解：设大货车用了辆，则小货车用了辆，根据题意得， 解得， ∴， 所以，至少需要大货车6辆． 45．某校为实现垃圾分类投放，准备在校园内摆放大、小两种垃圾桶．购买2个大垃圾桶和4个小垃圾桶共需600元；购买6个大垃圾桶和8个小垃圾桶共需1560元． (1)求大、小两种垃圾桶的单价； (2)该校购买10个大垃圾桶和26个小垃圾桶共需多少元？ 【答案】(1)大垃圾桶的单价为180元，小垃圾桶的单价为60元 (2)3360元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、有理数混合运算的应用等知识点，审清题意、正确列出方程组和算式是解题的关键． （1）设大垃圾桶的单价为x元，小垃圾桶的单价为y元，根据“购买2个大垃圾桶和4个小垃圾桶共需600元；购买6个大垃圾桶和8个小垃圾桶共需1560元”列出关于x，y的二元一次方程组求解即可； （2）利用总价、单价、数量列式计算即可． 【详解】（1）解：设大垃圾桶的单价为x元，小垃圾桶的单价为y元， 根据题意得：，解得： 答：大垃圾桶的单价为180元，小垃圾桶的单价为60元． （2）解：根据题意得：元 答：该校购买10个大垃圾桶和26个小垃圾桶共需3360元． 46．根据题意列方程组： (1)某活动小组购买了4个篮球和5个足球，共花费435元，其中篮球的单价比足球的单价多3元，篮球的单价和足球的单价各是多少元？ (2)将一批图书分给了若干名学生，若每人分6本，则剩余40本；若每人分8本，则还缺50本．共有多少本图书、多少名学生？ 【答案】(1)篮球的单价为50元，足球的单价为47元 (2)有310本图书、45名学生 【分析】本题主要考查了利用二元一次方程组解决实际问题，解题的关键是理解题意，找准等量关系，列出方程组． （1）设篮球的单价为x元，足球的单价为y元，根据花费的钱数和球的数量关系，列出方程组进行求解即可； （2）设有x本图书、y名学生，根据两种分书的方式，列出方程组进行求解即可． 【详解】（1）解：设篮球的单价为x元，足球的单价为y元，根据题意得， 解得， ∴篮球的单价为50元，足球的单价为47元； （2）解：设有x本图书、y名学生，根据题意得， 解得 ∴有310本图书、45名学生． 47．青花瓷是中国瓷器主流品种之一，由于它具有白瓷如雪，青花似玉的特征，因此深受人们的喜爱．现某瓷器厂计划生产由1个茶壶和8个茶杯组成套装的青花瓷茶具．若一位工人一天只能生产200个茶杯或50个茶壶，该厂现有120名工人，如何安排生产茶杯或茶壶的工人人数使生产的茶具配套． 【答案】安排80名工人生产茶杯，40名工人生产茶壶 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用；设名工人生产茶杯，名工人生产茶壶，根据有120名工人，且1个茶壶和8个茶杯组成套装的青花瓷茶具．一位工人一天只能生产200个茶杯或50个茶壶，列出二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设名工人生产茶杯，名工人生产茶壶，    根据题意，得         解方程组.得             答：安排80名工人生产茶杯，40名工人生产茶壶. 题型十、销售、利润问题 48．甲、乙、丙、丁四人一起到冷饮店去买红豆与奶油两种棒冰．四人购买的数量及总价如下表： 甲 乙 丙 丁 红豆棒冰的数量/支 3 9 6 4 奶油棒冰的数量/支 4 11 2 7 总价/元 18 51 20 29 若其中一人把总价算错了，则此人是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据甲和乙的数据列出方程组，求出解再判断即可. 【详解】解：设红豆棒冰的单价为x元，奶油棒冰的单价为y元． 假设甲、乙两人都正确，则 解得 当时， ． 所以甲、乙、丁三人的总价都算对了，丙的总价算错了． 故选：C. 49．为了丰富课后服务文体活动，某学校决定采购一定数量的足球和篮球，下表是市场调查信息表： 篮球数量 足球数量 所需费用 3个 5个 1900元 4个 10个 3200元 (1)求足球和篮球的单价； (2)若学校准备用不多于12000元的金额采购篮球和足球共50个，请问篮球最多能采购多少个？ 【答案】(1)篮球的单价为300元，足球的单价为200元 (2)篮球最多能采购20个 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，理解题意，找到等量关系与不等量关系，列出方程组与一元一次不等式是解题的关键； （1）设篮球单价为元，足球的单价为元，根据表格中的数量关系列出方程组并求解即可； （2）设采购篮球个，则采购足球个，根据：用不多于12000元的金额采购篮球和足球共50个，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：设篮球单价为元，足球的单价为元，由题意得： ， 解得：， 答：篮球的单价为300元，足球的单价为200元； （2）解：设采购篮球个，则采购足球个， 由题意得：， 解得：， 最大为20， 答：篮球最多能采购20个． 50．小朋友：阿姨，我买一盒饼干和一袋牛奶．（递上10元钱） 售货员：小朋友，本来你用10元钱买一盒饼干是足够的，但要再买一袋牛奶就少一元钱啦！今天是儿童节，我给你买的饼干打八折，两样东西请拿好，还找你8角钱．根据对话内容，试求出饼干和牛奶的标价是多少元？ 【答案】饼干和牛奶的标价分别是9元，2元． 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出方程组即可求解．设饼干和牛奶的标价是元和元，根据用10元钱买一盒饼干是足够的，但要再买一袋牛奶就少一元钱和饼干打8折还找8角钱两个数量关系列方程组求解． 【详解】解：设饼干和牛奶的标价是元和元，根据题意得： ， 解得：． 答：饼干和牛奶的标价分别是9元，2元． 51．某小区计划利用一片空地建一个花圃，花圃为矩形，其中一面靠墙，这堵墙的长度为，另三面用总长的篱笆材料围成，且计划建造花圃的面积为．设垂直于墙的边长为． (1)求这个花圃的长和宽． (2)该小区计划购进A，B两种树苗共17棵种在花圃里，已知A种树苗每棵80元，B种树苗每棵60元．若购进A，B两种树苗刚好用去1220元，求购进A，B两种树苗的数量． 【答案】(1)这个花圃的长为10米，宽为8米 (2)购进A种树苗棵， B种树苗棵 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用和一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键． （1）设垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为米，根据花圃的面积为80平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合墙的长度为12米，即可得出结论． （2）设购进A种树苗棵， B种树苗棵，根据购进A，B两种树苗共17棵，刚好用去1220元列出二元一次方程组，求解方程组即可． 【详解】（1）解：设垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为米， 依题意，得：， 整理，得： 解得． 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意． 答：这个花圃的长为10米，宽为8米． （2）解：设购进A种树苗棵， B种树苗棵，根据题意得： ， 解得， 答：购进A种树苗棵， B种树苗棵． 52． 在召开期末总结表彰会前，班主任安排班长李小波去商店买奖品，下面是李小波与售货员的对话： 李小波：阿姨，您好！ 售货员：同学，你好，想买点什么？ 李小波：我只有元，请帮我安排买支钢笔和本笔记本． 售货员：好，每支钢笔比每本笔记本贵元，退你元，请清点好，再见． 根据这段对话，你能算出钢笔和笔记本的单价各是多少吗？ 【答案】钢笔每支为元，笔记本每本元 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，根据题意找到等量关系是解题关键．设钢笔每支为元，笔记本每本元，根据题意列出二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设钢笔每支为元，笔记本每本元， 据题意得， 解得， 答：钢笔每支为元，笔记本每本元． 题型十一、和差倍分问题 53．703班有男女同学若干人，女同学因故走了8名，这时男女同学之比为5：2，后来男同学又走了12名，这时男女同学人数相同，那么最初的女同学有（   ） A．15名 B．16名 C．17名 D．18名 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系、正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设最初的女同学有x人，最初的男同学有y人，根据“女同学因故走了8名，这时男女同学之比为5：2，后来男同学又走了12名，这时男女同学人数相同”，即可得出关于x，y的二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设最初的女同学有x人，最初的男同学有y人， 依题意，得：，解得：． 故选：B． 54．某年级学生共有246人，其中男生人数比女生人数的2倍少2人，则下面所列的方程组中符合题意的有（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，此题中的等量关系有：①某年级学生共有246人，则；②男生人数比女生人数的2倍少2人，则． 【详解】解：根据某年级学生共有246人，则； 男生人数比女生人数的2倍少2人，则． 可列方程组为． 故选：B． 55．一次社会实践小组活动中，男生戴白色帽子，女生戴红色帽子，每个人可以看到除自己以外的每位同学的帽子．每位男生看到的白色帽子比红色帽子多1顶，每位女生看到的红色帽子数量的2倍比白色帽子多3顶，则这个活动小组一共有（    ） A．17人 B．16人 C．15人 D．14人 【答案】B 【分析】设这个活动小组男生有人，女生有人，由题意：每位男生看到的白色帽子比红色帽子多1顶，每位女生看到的红色帽子数量的2倍比白色帽子多3顶，列出二元一次方程组，解方程组即可．此题主要考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【详解】解：设这个活动小组男生有人，女生有人， 由题意得：， 解得：， ， 即这个活动小组一共有16人， 故选：B． 56．拓展学生视野，促进书本知识与生活实践的深度融合，某中学组织八年级全体学生前往某研学基地开展研学活动，在此次活动中，若每位老师带队14名学生，则还剩10名学生没老师带；若每位老师带队15名学生，就有一位老师少带6名学生，现有甲、乙两种大型客车，它们的载客量和租金如表所示：学校计划此次研学活动的租金总费用不超过3000元，为安全起见，每辆客车上至少要有2名老师． 甲型客车 乙型客车 载客量（人/辆） 35 30 租金（元/辆） 400 320 (1)参加此次研学活动的老师和学生各有多少人？ (2)既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆车上至少要有2名老师，可知租车总辆数为______． (3)最省钱的租车方式的费用是多少？ 【答案】(1)参加此次研学活动的老师有16人，学生有234人 (2)8 (3)最少租车费用是2720元． 【分析】本题考查的是二元一次方程组和不等式组的实际应用，一次函数的实际应用，正确的列出方程组，不等式组和一次函数，是解题的关键： （1）设参加此次研学活动的老师有人，学生有人，根据题意列出方程组即可求解； （2）利用租车总辆数总人数，再结合每辆车上至少要有2名老师，即可求解； （3）设租35座客车辆，则需租30座的客车辆，根据题意列出不等式组即可求解． 【详解】（1）解：设参加此次研学活动的老师有人，学生有人， 依题意，得：， 解得：． 答：参加此次研学活动的老师有16人，学生有234人． （2）（辆）（人），（辆）， 租车总辆数为8辆． 故答案为8． （3）设租35座客车辆，则需租30座的客车辆， 依题意，得：， 解得：． 为正整数， ， 共有4种租车方案． 设租车总费用为元，则， ， 的值随值的增大而增大， 当时，取得最小值，最小值为2720． 最少租车费用是2720元． 57．某学校建立了劳动基地，计划在基地上种植A，B两种苗木共600株，其中A种苗木的数量比B种苗木的数量的一半多60株． (1)请问A，B两种苗木各多少株？ (2)如果学校安排21人同时开始种植这两种苗木，每人每天平均能种植A种苗木4株或B种苗木3株，应分别安排多少人种植A种苗木和B种苗木，才能确保同时完成任务？ 【答案】(1)A种苗木有240株，B种苗木有360株 (2)应安排7人种植A种苗木，14人种植B种苗木，才能确保同时完成任务 【分析】本题考查分式方程的实际应用，二元一次方程组的实际应用，正确的列出方程和方程组，是解题的关键： （1）设A 种苗木有x 株， B 种苗木有y株，根据A，B两种苗木共600株，其中A种苗木的数量比B种苗木的数量的一半多60株，列出方程组进行求解即可； （2）设安排m 人种植A 种苗木，根据工作时间等于工作总量除以工效，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）设A 种苗木有x 株， B 种苗木有y株， 根据题意，得 解得； 答： A种苗木有240株，B种苗木有360株； （2）设安排m 人种植A 种苗木， 根据题意，得 解得， 经检验，是原方程的根，且符合题意， (人)， 答：应安排7人种植A种苗木，14人种植B种苗木，才能确保同时完成任务 1．“重庆沙坪坝全球校友半程马拉松”在4月20日激情开跑．一中校友踊跃奔赴赛场，共赴母校之约，参赛人数高居中学榜第一为了迎接校友归来，学校为每位校友准备了一套纪念品，包括1件定制运动衫和3枚金属校徽．若1件运动衫的价格为52元，1枚校徽的价格是6元，本次总共花费了20300元．设购买运动衫一共花了x元，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用．设运动衫总费用为x元，则校徽总费用为元．根据题意，每位校友获得1件运动衫和3枚校徽，总花费20300元．利用数量关系建立方程，即可． 【详解】解：设购买运动衫一共花了x元，根据题意得： ． 故选：A 2．某商品的标价为每件元，现打八折出售，仍可获利，则该商品的进价是每件（    ）元． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了实际问题与一元一次方程的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题设进价为元，列方程，然后即可求解； 【详解】解：设进价为元， 即：， 解得：． 故选：C； 3．足球比赛的记分规则为：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，一个队进行了10场比赛，其中胜6场，共得20分，那么这个队负了（    ） A．1场 B．2场 C．3场 D．4场 【答案】B 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意；首先设该队共平x场，则该队负了场，胜场得分是18分，平场得分是x分，根据题意找出题中的等量关系：平场得分+胜场得分分，列方程即可解得答案． 【详解】解：设该队共平x场，则该队负了场， 根据题意得：， 解得：， 该队负了场． 故选：B． 4．如图，将2，，4，，7，，，3分别填入圆圈内，使横、竖以及内、外两圈上的4个数字之和都相等，现已将2，，4，，7这五个数填入圆圈内，则图中（   ） A．或2 B．或2 C．或1 D．或 【答案】B 【分析】本题考查了有理数加减运算的应用，解一元一次方程，代数式求值，正确求出横、竖以及内、外两圈上的4个数字之和是解题关键． 先求出横、竖以及内、外两圈上的4个数字之和为2，再求出的值，由此即可得的值，代入计算即可得． 【详解】解：根据题意得， ， ， 或， 当时，， 当时，， 综上所述，的值为或， 故选：B． 5．甲、乙两人从A、B两地出发，甲骑自行车，乙骑摩托车，沿同一路线相向匀速行驶，出发后经3小时两人相遇，已知在相遇时乙比甲多行驶了90千米，相遇后经1小时乙到达A地．以下说法不正确的是（   ） A．乙行驶的速度是甲行驶速度的3倍 B．相遇时甲行驶了135千米 C．乙每小时比甲多行驶30千米 D．两地相距180千米 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，熟悉掌握路程的关系式是解题的关键． 利用路程关系试列出方程判断即可． 【详解】解：∵相遇后经1小时乙到达A地， ∴此路程甲一共行驶了3小时， ∴乙行驶的速度是甲行驶速度的3倍，故A正确； 设甲的速度为千米每小时，则乙的速度为千米每小时， 由题意可得：， 解得： ∴，即相遇时甲行驶了千米，故B错误； 乙每小时比甲多行驶：，故C正确； 两地相距：，故D正确； 故选：B． 6．为积极响应“环保垃圾分类”政策，某小区计划采购A、B两种类型的垃圾桶，用于提升小区垃圾分类的效率和质量．已知A型垃圾桶每个80元，B型垃圾桶每个60元．小区准备投入1200元资金全部用于购买这两种垃圾桶两种垃圾桶都要买，则共有（    ）种购买方案 A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键． 购买x个A型垃圾桶，y个B型垃圾桶，利用总价单价数量，可列出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为正整数，可得出共有4种购买方案． 【详解】解：购买x个A型垃圾桶，y个B型垃圾桶， 根据题意得：， ， 又，y均为正整数， 或或或， 共有4种购买方案． 故选：． 7．甲、乙两人从相距18千米的两地同时出发，相向而行，经小时相遇．如果甲比乙先出发小时，那么在乙出发后经小时两人相遇．则甲的速度为（   ）千米小时． A．2 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】设甲的速度为x千米/时，乙的速度为y千米/时，根据相遇问题中的路程关系建立方程组求解． 本题考查了方程组的应用，熟练掌握解方程组是解题的关键． 【详解】解：设甲的速度为x千米/时，乙的速度为y千米/时，根据题意，得 ， 解得． 故选：B． 8．某家具厂设计的餐桌椅套装，1张桌子配4把椅子．该厂一天能生产桌子12张或椅子32把，决定用20天时间生产一批这样的餐桌椅．如果要使生产的桌子和椅子正好配套，设安排x天生产桌子，y天生产椅子，根据题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查列出二元一次方程组的配套问题，由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设安排x天生产桌子，y天生产椅子，根据1张桌子配4把椅子即生产椅子数量是生产桌子数量的4倍可列方程组． 【详解】解：设安排x天生产桌子，y天生产椅子， 根据题意可列方程组为：． 故选：A． 9．10年前，小明妈妈的年龄是小明的6倍，10年后，小明妈妈的年龄是小明的2倍，小明和他妈妈现在的年龄分别是多少岁？若设小明和他妈妈现在的年龄分别是x岁和y岁，根据题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列二元一次方程组，弄清题意，找准等量关系是解题的关键． 由“10年前，小明妈妈的年龄是小明的6倍”可知，由“10年后，小明妈妈的年龄是小明的2倍”可知，进而列方程组即可． 【详解】解：设小明和他妈妈现在的年龄分别是x岁和y岁，由题意可得： 故选：B 10．某车间有名工人生产太阳镜，名工人每天可生产镜片片或镜架个．两个镜片和一个镜架配套，应如何分配工人生产镜片和镜架，才能使产品配套？设安排名工人生产镜片，名工人生产镜架，则可列方程组（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，找到等量关系是解题关键．根据题意，找出等量关系，列出二元一次方程组即可． 【详解】解：设安排名工人生产镜片，名工人生产镜架， 根据题意，得：， 故选：A． 11．某项工作，甲单独做需要4小时，乙单独做需要6小时，甲先做30分钟，然后甲、乙合作．甲、乙合作还需要小时才能完成全部工作．根据题意，可得方程 ． 【答案】 【分析】根据题意，甲的工作效率为，工作时间为小时，乙的工作效率为，工作时间为小时，根据题意列方程即可． 本题考查了一元一次方程的应用-工程问题，熟练掌握总工作量看成1，会表示工作效率是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得甲的工作效率为，工作时间为小时，乙的工作效率为，工作时间为小时，得． 故答案为：． 12．幻方又称九宫图，在幻方拓展课程中，小明在如下所示的方格内填入了一些数及字母，若图中每行、每列以及对角线上的三个数字之和都相等，则 ， ． y 2 5 7 8 x 6 【答案】 1 9 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，根据题意可得，，再进一步求解即可． 【详解】解：由题意可得：，， 解得：，． 故答案为：， 13．购买A种跳绳9根和购买B种跳绳11根的价钱相等，购买8根A种跳绳和1根B种跳绳比购买1根A种跳绳和10根B种跳绳少13元，则每根A种跳绳卖 元，每根B种跳绳卖 元． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组．设每根A种跳绳的价格为 元，每根B种跳绳的价格为元，根据题意列二元一次方程组，求解即可． 【详解】解：设每根A种跳绳的价格为元，每根B种跳绳的价格为元． 根据题意： 解得：， 答：每根A种跳绳卖元，每根B种跳绳卖元． 故答案为：，． 14．某工厂需要生产一批设备，每套设备由一个部件和3个部件组装而成；若工厂每人每天只能生产同一种部件，每人每天平均生产部件的个数比部件的个数少6个，且每天6个工人生产部件的数量与5个工人生产部件的数量相同． (1)工厂每人每天平均生产部件和部件各多少个？ (2)现共有21名工人，应如何分配工人才能使每天的生产的部件和部件配套？ 【答案】(1)工厂每人每天平均生产部件30个，部件36个 (2)每天应分配6名工人生产部件，分配15名工人生产部件，可使每天的生产的部件和部件配套 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意、找准相等关系是解题的关键； （1）设工厂每人每天平均生产B部件x个，则每人每天平均生产A部件个，根据每天6个工人生产A部件的数量与5个工人生产B部件的数量相同，即可列出方程，解方程即可； （2）设每天应分配y名工人生产部件，名工人生产部件，可使每天的生产的部件和部件配套，根据B部件的数量=A部件数量的3倍，即可列出方程，解方程即可得. 【详解】（1）解：设工厂每人每天平均生产B部件x个，则每人每天平均生产A部件个， 根据题意可得：， 解得：， 则， 答：工厂每人每天平均生产部件30个，部件36个. （2）解：设每天应分配y名工人生产部件，名工人生产部件，可使每天的生产的部件和部件配套， 根据题意可得：， 解得：， 则， 答：每天应分配6名工人生产部件，15名工人生产部件时，可使每天的生产的部件和部件配套. 15．六年级办公室买进一包白纸，计划每天用18张，可以用30天．由于注意了节约用纸，实际每天只用了12张，这包纸实际用了多少天？ 【答案】这包纸实际用了45天 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意是解题关键．由题意可知每天用纸张数与使用天数成反比例关系，设这包纸实际用了x天，列方程求解即可． 【详解】解：解法一：由题意可知每天用纸张数与使用天数成反比例关系， 设这包纸实际用了x天， 则， 解得：， 答：这包纸实际用了45天； 解法二：解：由题意可知每天用纸张数与使用天数成反比例关系， 设这包纸实际用了x天，     则， 解得：， 答：这包纸实际用了45天． 16．年月日，某市为表彰“最美乡村教师”，组织中小学代表队参加文艺汇演，甲、乙两校共名学生（其中甲校人数大于人且低于人），准备统一购买服装参加演出，下面是某服装厂给出的演出服装的价格表： 购买服装的套数 每套服装的价格 元 元 元 已知两所学校单独购买服装，一共应付元． (1)若甲、乙两校联合起来购买服装，则比各自购买服装共可以节省多少元？ (2)甲、乙两所学校各有多少名学生准备参加演出？ (3)如果甲校有名同学被抽调去参加书法绘画比赛，不能参加演出，请你为这两所学校设计一种最省钱的购买服装方案． 【答案】(1)元； (2)甲学校有名学生准备参加演出，乙学校有名学生准备参加演出； (3)最省钱的购买服装方案是两校联合购买套服装（即比实际人数多购套）． 【分析】本题考查了有理数乘法的应用，一元一次方程的应用，读懂题意，列出算式和方程是解题的关键． （）由题意列出算式，然后利用运算法则即可求解； （）设甲学校有名学生准备参加演出，乙学校有名学生参加，由题意得，然后解方程即可； （）由题意得甲校有人参加演出，然后进行分情况讨论，最后比较即可． 【详解】（1）解：由题意得：（元）； 故两所学校联合起来购买服装比各自购买服装共可以节省元； （2）解：设甲学校有名学生准备参加演出，乙学校有名学生参加． 由题意，，故甲校单价为元， 若乙校单价也为元，则总费用为元，与题设元不符， 由题意得：， 解得：，则， 答：甲学校有名学生准备参加演出，乙学校有名学生准备参加演出； （3）解：∵甲校有人不能参加演出， ∴甲校有（人）参加演出， 若两校联合购买服装，则需要（元）， 若两校分别单独购买：（元）， 若两校分别单独购买，甲校需套，可选择购买套，费用为（元），乙校需套，可选择购买套，费用为（元），总费用为（元）， 若甲校为获得更低单价而单独购买套，乙校单独购买套，其花费（元）， 若两校联合购买套服装，需（元）， ∵， ∴最省钱的购买服装方案是两校联合购买套服装（即比实际人数多购套）． 17．如图，已知，是线段上的两点，，是的中点，，求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查线段中点和线段的和与差，一元一次方程的应用，能够表示出线段的和与差是解题的关键． 先设，，，根据中点表示出，再由线段和差得到，求出，再由求解即可． 【详解】解：， 设，，， ， ∵是的中点， ， ， ， ， ． 18．如图，已知数轴上三点对应的数分别为，点为数轴上一动点，其对应的数为． (1)点、之间的距离为___________； (2)如果点到点、点的距离相等，那么的值是___________； (3)数轴上是否存在点，使点到点、点的距离之和是8？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (4)如果点以每分钟1个单位长度的速度从点向左运动，同时点以每分钟3个单位长度的速度也向左运动，直接写出多少分钟时，点之间的距离为1． 【答案】(1)4 (2)1 (3)存在，或5 (4)1或2分钟时，点，之间的距离为1 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，涉及了数轴上两点间的距离公式，一元一次方程的求解．根据动点的起始位置、运动方向和运动速度确定动点在数轴上对应的数是解题关键． （1）依题意，计算，即可作答； （2）根据题意得：，即可求解； （3）分类讨论：①当点P在点M的左侧时，②当点P在点M和点N之间时，③当点P在点N的右侧时，三种情况即可求解； （4）设运动t分钟时，点之间的距离为1，结合运动速度以及两点间的距离进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵数轴上三点对应的数分别为 ∴； 点、之间的距离为4； （2）解：根据题意得：， 解得：； （3）解：依题意，①当点P在点M的左侧时． 根据题意得：． 解得：． ②当点P在点M和点N之间时， 则， 方程无解，即点P不可能在点M和点N之间． ③当点P在点N的右侧时， ． 解得：． ∴x的值是或5； （4）解：设运动t分钟时，点之间的距离为1， ∵点以每分钟1个单位长度的速度从点向左运动，同时点以每分钟3个单位长度的速度也向左运动， ∴ ∴ ∴或 解得或 即1或2分钟时，点之间的距离为1． 19．乐乐购买3件A商品和2件B商品应付80元，购买4件A商品和1件B商品应付65元． (1)A商品和B商品的单价分别是多少元？ (2)商场现推出两种优惠方案： 方案一：累计购物超过100元后，超出100元的部分按九折收费； 方案二：累计购物超过50元后，超出50元的部分按收费． 如果乐乐需要购买3件商品和6件商品，应选择哪个方案更省钱？说明理由． 【答案】(1)A商品的单价是10元，B商品的单价是25元； (2)选择方案一更省钱． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）设A商品的单价是x元，B商品的单价是y元，根据“购买3件A商品和2件B商品应付80元，购买4件A商品和1件B商品应付65元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）利用总价=单价×数量，可求出按原价后面所需费用，结合商场给出的两种优惠方案，可分别求出选择各方案所需费用，比较后，即可得出结论． 【详解】（1）解：设A商品的单价是x元，B商品的单价是y元， 根据题意得：， 解得：． 答：A商品的单价是10元，B商品的单价是25元； （2）解：选择方案一更省钱，理由如下： 按原价购买所需费用为（元）； 选择方案一购买所需费用为（元）； 选择方案二购买所需费用为（元）， ∵， ∴选择方案一更省钱． 20．2020年1月以来，我国受新冠疫情影响，疫情严重地区医疗物资紧缺，“一方有难，八方支援”，某市筹集了大量的医疗物资，用两种型号的货车，分两批运往疫情严重的地区，具体运输情况如下： 第一批 第二批 型号货车的辆数（单位：辆） 1 2 型号货车的辆数（单位：辆） 4 3 累计运送货物的吨数（单位：吨） 34 38 备注：第一批、第二批每辆货车均满载 (1)求、两种型号货车每辆满载分别能运多少吨医疗物资； (2)该市后续又筹集了60吨医疗物资，现已联系了3辆A型号货车，试问至少还需要多少辆型号货车才能一次性将这批医疗物资运往目的地． 【答案】(1)A种型号货车每辆满载能运10吨医疗物资，B种型号货车每辆满载能运6吨医疗物资 (2)5 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，以及一元一次不等式的实际应用，体现了用二元一次方程组解决实际问题中“找等量关系、设未知数、列方程、解方程”的核心思路，属于二元一次方程组在实际生活中运输物资这类场景下的应用考查． （1）设A种型号货车每辆满载能运x吨医疗物资，B种型号货车每辆满载能运y吨医疗物资，根据前两批具体运输情况数据表，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设还需联系m辆B种型号货车才能一次性将这批生活物资运往目的地，根据要求一次性运送60吨医疗物资，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中最小的整数值即可得出结论． 【详解】（1）解：设A种型号货车每辆满载能运x吨医疗物资，B种型号货车每辆满载能运y吨医疗物资， 依题意，得， 解得， 综上，A种型号货车每辆满载能运10吨医疗物资，B种型号货车每辆满载能运6吨医疗物资资． （2）解：设还需联系m辆B种型号货车才能一次性将这批医疗物资运往目的地， 依题意，得：， 解得：， 又∵m为正整数， ∴m的最小值为5． 综上，至少还需联系5辆B种型号货车才能一次性将这批医疗物资运往目的地． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 一次方程（组） 目录 A题型建模・专项突破 一元一次方程 题型一、配套问题 1 题型二、工程问题 4 题型三、销售盈亏问题（常考点） 6 题型四、行程问题（重点） 9 题型五、动点问题（难点） 12 题型六、其它问题 17 二元一次方程组 题型七、方案问题 21 题型八、行程问题 25 题型九、分配问题 28 题型十、销售、利润问题（重点） 31 题型十一、和差倍分问题（难点） 34 B综合攻坚・能力跃升 题型一、配套问题 1．某工厂加工齿轮，已知每1块金属原料可以加工成3个A齿轮或4个B齿轮（说明：每块金属原料无法同时既加工A齿轮又加B齿轮），已知1个A齿轮和2个B齿轮组成一个零件，为了加工更多的零件，要求A、B齿轮恰好配套．请列方程解决下列问题： （1）现有25块相同的金属原料，问最多能加工多少个这样的零件？ （2）若把36块相同的金属原料全部加工完，问加工的A、B齿轮恰好配套吗？说明理由 （3）若把n块相同的金属原料全部加工完，为了使这样加工出来的A、B齿轮恰好配套，请求出n所满足的条件． 2．某工厂加工螺栓、螺帽,已知每1块金属原料可以加工成3个螺栓或4个螺帽(说明:每块金属原料无法同时既加工螺栓又加工螺帽),已知1个螺栓和2个螺帽组成一个零件,为了加工更多的零件,要求螺栓和螺帽恰好配套.请列方程解决下列问题: (1)现有20块相同的金属原料,问最多能加工多少个这样的零件? (2)若把26块相同的金属原料全部加工完,问加工的螺栓和螺帽恰好配套吗?说明理由 (3)若把块相同的金属原料全部加工完,为了使这样加工出来的螺栓与螺帽恰好配套,请求出所满足的条件. 3．某工厂计划生产一种新型豆浆机，每台豆浆机需2个甲种零件和4个乙种零件，已知车间每天能生产甲种零件450个或乙种零件300个，现要在天中使所生产的零件刚好配套，那么应安排多少天生产甲种零件，安排多少天生产乙种零件恰好配套？ 小明在解决这个问题时，设应安排x天生产甲零件．填出表格①②③的表达式，并列方程解决这个问题． 工效（个/天） 天数（天） 数量（个） 甲种零件 450 x ② 乙种零件 300 ① ③ 4．某工厂计划生产一种新型豆浆机，每台豆浆机需3个甲种零件和5个乙种零件，已知车间每天能生产甲种零件450个或乙种零件300个，现要在21天中使所生产的零件刚好配套，那么应安排多少天生产甲种零件，安排多少乙天生产乙种零件恰好配套？ 小明在解决这个问题时设应安排天生产甲零件．填出表格①②③的表达式，并列方程解决这个问题． 工效（个/天） 天数（天） 数量（个） 甲种零件 450 x ② 乙种零件 300 ① ③ 题型二、工程问题 5．一项工程，由甲队承担，需工期80天，工程费用100万；由乙队承担，需工期100天，工程费用80万．为了节省工期和费用，实际施工时，甲、乙两队合作若干天后，撤出一个队，由另一个队继续工作到工程完成．结算时，共支出工程费用万元．那么甲、乙两队合作了 天． 6．一项工作，甲单独做要20天，乙单独做要34天，如果两人合作，工作效率就要降低，甲的工效降低20%，乙的工效降低15%，现在要17天完成这项工作，两人合作天数尽量少，两人最少合作 天． 7．某车间有28名工人生产某种螺栓和螺母，每人每天能生产螺栓12个或螺母18个，为了合理分配劳动力，使生产的螺栓和螺母配套（一个螺栓套两个螺母），则应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺母？ 8．解答下列问题： （1）一项工程，甲队单独做需10天完成，乙队单独做需15天完成，甲先做5天后，甲、乙合作完成余下的工作，问两队合做几天可以完成这项工作？ （2）从A地到B地，甲需走10小时，从B地到A地，乙需走15小时，甲、乙两人从A，B两地相向而行，甲出发5小时后乙出发，问乙出发几小时后两人相遇？ （3）一笔钱款，可以买甲种商品10件或买乙种商品15件，用这笔钱款买了甲、乙两种商品，已知甲种商品比乙种商品多买了5件，问乙种商品买了几件？ （4）通过解答上面三个问题，你发现了什么？ （5）根据上面所列的方程，编写一道实际问题的应用题． 题型三、销售盈亏问题 9．某商品因换季准备打折出售，如果按定价六折出售，将赔100元，而按定价的八折出售，将赚20元，则这种商品的定价是（   ）． A．400 B．600 C．800 D．1000 10．文具店的老板均以60元的价格卖了两个计算器，其中一个赚了，另一个亏了，则老板（   ） A．赚了5元 B．亏了5元 C．赚了20元 D．亏了20元 11．某种商品进价为每千克元，按标价的八折销售时，利润率为，则这种商品每件的标价为 ． 12．一件商品标价为元，按标价的五折出售，仍可获利元，则这件商品的进价为 元． 13．春节将至，中央广播电视总台《2025年春节联欢晚会》发布官方吉祥物形象“巳升升”，祝福全球华人在新的一年如意康宁，好事连连．“巳升升”吉祥物摆件也随之热销，某超市用18000元从厂家购进了300个“巳升升”摆件，并以每个80元的价格销售，销售了一部分后正值元旦促销，该超市将剩下的“巳升升”摆件在原售价的基础上打9折继续销售，并且全部售完．已知这批“巳升升”摆件获得的总利润是4560元． (1)求每个“巳升升”摆件的进价是多少元？ (2)请你算一算打9折前共售出多少个“巳升升”摆件？ 14．甲、乙两种商品，成本共3500元，甲商品按20%的利润定价，乙商品按10%的利润定价．后来都按定价的九折出售，结果仍获利154元．问甲、乙两种商品的成本各是多少元？ 15．师徒二人购买一些原材料，正好加工成一个机械零件，已知师傅单独加工需4天完成，徒弟单独加工需6天完成，现在徒弟先加工1天，再两人合作加工完成． (1)师傅一共加工了多少天？ (2)加工完成后以2700元的价格将这个零件卖出，盈利为成本的，这些原材料的进价是多少元？ 题型四、行程问题 16．甲、乙两人从A、B两地出发，甲骑自行车，乙骑摩托车，沿同一路线相向匀速行驶，出发后经3小时两人相遇，已知在相遇时乙比甲多行驶了90千米，相遇后经1小时乙到达A地．以下说法不正确的是（   ） A．乙行驶的速度是甲行驶速度的3倍 B．相遇时甲行驶了135千米 C．乙每小时比甲多行驶30千米 D．两地相距180千米 17．古代名著《算学启蒙》中有一题：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之？意思是：两匹马从同一地点出发，跑得快的马每天走里，跑得慢的马每天走里，慢马先走天，快马几天可追上慢马？若设快马天可追上慢马，则由题意，可列方程为（ ） A． B． C． D． 18．轮船沿江从A港顺流行驶到B港，比从B港返回A港少用2小时，若船速为20千米/时，水速为2千米/时，求A港和B港相距多少千米．设A港和B港相距x千米．根据题意，可列出的方程是（    ） A． B． C． D． 19．甲、乙两人同时从地出发去地，甲骑自行车，速度是，乙步行，速度为．若甲出发后在路上遇到熟人交谈了半小时后，仍以原速前进地，结果甲、乙两人同时到达地，问、两地的路程是多少？ 20．甲、乙两地相距千米，、两车分别从甲乙两地开出，车每小时行驶千米，车每小时行驶千米． (1)若两车相向而行，车提前小时出发，求车出发后几小时两车相遇？ (2)若、两车同向而行，车在前，车在后，车先行小时，求车出发几小时后两车相距千米？ 21．已知A，B，C三地依次在同一条直线上，A，C两地距离465千米，A，B两地距离330千米． (1)现有甲、乙两车分别从A，B两地相向而行，两车均保持匀速行驶且甲车的速度是乙车速度的3倍，若甲车比乙车提前1小时出发，则甲车出发后3小时两车相遇．求甲、乙两车的速度分别是多少千米/小时？ (2)如果甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，向C地行驶，两车保持（1）中的速度，求经过多少小时两车相距30千米？ 题型五、动点问题 22．数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合通过研究数轴，我们发现了许多重要的规律，比如：数轴上点和点表示的数为，，则，两点之间的距离，若，则可化简为若，则可化简为，请你利用数轴解决以下问题：若数轴上两点、对应的数分别为，，点为数轴上一动点，其对应的数为当到点、的距离之和为时，则对应的数的值为（    ） A． B．和 C．和 D．和 23．如图，已知数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，且a，b满足．动点P从点A出发，以每秒8个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．若点P，Q同时出发，当P，Q两点相距4个单位长度时，t的值为（    ） A．3 B．5 C．3或5 D．1或 24．如图，已知数轴上三点对应的数分别为，点为数轴上一动点，其对应的数为． (1)点、之间的距离为___________； (2)如果点到点、点的距离相等，那么的值是___________； (3)数轴上是否存在点，使点到点、点的距离之和是8？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (4)如果点以每分钟1个单位长度的速度从点向左运动，同时点以每分钟3个单位长度的速度也向左运动，直接写出多少分钟时，点之间的距离为1． 25．在数轴上，点为原点，点表示的数为，点表示的数为．动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴正方向运动，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴负方向运动．设运动时间为秒（）． (1)分别用含的代数式表示点、点对应的数； (2)当为何值时，、两点到原点的距离相等？ (3)若点运动到点后立即以原速度沿数轴负方向运动，点运动到点后停止运动． ①求点到达点及点到达点的时间； ②当时，是否存在某一时刻，使得、两点之间的距离为个单位长度？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 26．数轴上、两点分别对应整数、，且满足和这两个条件．（表示方法：与相差，与相差三个长度单位） 【计算能力】___________， ___________． 【基础知识】如图1，、两点在数轴上进行着图形的运动，试说出两者的运动方式． 【知识理解】如图2，动点在点沿数轴右方向运动，每秒行个长度单位；动点在点沿数轴左方向运动，每秒行个长度单位，经过多少秒后两点相距个单位长度？ 【知识运用】如图3，为，为．动点在点沿数轴右方向运动，每秒行个长度单位；动点在点沿数轴左方向移动，每秒行个长度单位．当动点到达了点，动点速度提高到个长度单位/秒沿反方向追动点，动点速度提高到个长度单位/秒沿原方向继续运动，相遇后停止运动． 在运动的过程中一共用了多少秒？ 题型六、其它问题 27．用形状和大小相同的按如图所示的方式排列，第1个图形中有5个，第2个图形中有9个，第3个图形中有13个，…，按照这样的规律，若第个图形中有321个，则的值为（   ） A．79 B．80 C．81 D．82 27．有浓度是的盐水溶液若干千克，如果再加入20千克盐，那么盐水的浓度就变为，原来的盐水是 千克． 28．有两根同样长度但粗细不同的蜡烛，粗蜡烛可以燃烧6小时，细蜡烛可以燃烧4小时，一次停电，同时点燃两根蜡烛，来电后同时吹灭，发现剩下的粗蜡烛长度是细蜡烛长度的两倍，则停电时间是 小时． 29．有8筐白菜，以每筐25千克为重，超过（盈）的千克数记为正数，不足（亏）的千克数记为负数，称后的记录如下表： 1筐 2筐 3筐 4筐 5筐 6筐 7筐 8筐 盈亏合计 1.5 2 1 0.5 表中第六筐的盈亏数被墨水涂污了，请你根据图表中数据算出第六筐的盈亏数，并求出这8筐白菜一共多少千克？ 30．学校要添置一批乒乓球拍和乒乓球，购买球拍与球的个数之比为，且购买乒乓球比购买乒乓球拍多52个，球拍的标价80元，球的标价是球拍标价的少2元． (1)购买球拍与球的个数分别是多少？ (2)球的标价分别是多少？ (3)甲，乙两商店分别推出不同的优惠政策：甲：全部商品按标价九折出售乙：每买一只乒乓球拍赠球两个，学校应选择哪个商店购买比较便宜？便宜多少钱？ 31．一份试卷共25道题，每道题都给出四个答案，其中只有一个是正确的，要求学生把正确答案选出来，每题选对得4分，不选或选错扣1分． (1)如果一个学生得了90分，那么他选对几题？ (2)现有500名学生参加考试，有得83分的同学吗？为什么？ 题型七、方案问题 32．某中学拟组织七年级师生去参观苏州博物馆．下面是张老师和小芳、小明同学有关租车问题的对话： 张老师：“客运公司有60座和45座两种型号的客车可供租用． 60座客车每辆每天的租金比45座的贵150元．” 小芳∶“八年级师生昨天在这个客运公司租了5辆60座和3辆45座的客车到苏州博物馆，一天的租金共计6750元．” 小明∶“如果我们七年级租用45座的客车a辆，那么还有15人没有座位；如果租用60座的客车则可少租1辆，且有一辆车上的人不足一半．” 根据以上对话，解答下列问题： (1)客运公司60座和45座的客车每辆每天的租金分别是多少元？ (2)求出满足条件的a的值． (3)若同时租用两种或一种客车．要使每位师生都有座位，且每辆客车恰好坐满，问有哪几种租车方案？ 33．我校八年级共有名师生参加社会实践活动，此次活动的交通经费预算为元．现有大小客车两种车型，小客车可载客人，大客车可载客人，租一辆小客车的租金为元，租一辆大客车的租金为元．如果租用大客车比小客车多辆，且恰好坐满，请通过计算判断这次活动的交通经费预算是否够用？ 34．某中学为了增加操场面积，租用了土地10亩，现在平整操场需要运走36800吨泥土，现有租用A型车和B型车，已知：用3辆A型车和2辆B型车一次可运泥土60吨；用2辆A型车和3辆B型车一次可运泥土65吨． (1)1辆A型车和1辆B型车都载满货物一次可分别运多少吨？ (2)已知A型车每天能运20次，B型车每天能运16次．学校同时租用A、B型车，刚好20天运完且每辆车每天运足次数，每次都按（1）中运量运满，请找出该校的租车方案； 35．倡导健康生活，推进全民健身，某社区要购进A，B两种型号的健身器材若干套，A，B两种型号健身器材的购买单价分别为每套300元，450元，且每种型号健身器材必须整套购买． (1)若购买A，B两种型号的健身器材共50套，且恰好支出19500元，求A，B两种型号健身器材各购买多少套？ (2)若购买A，B两种型号的健身器材共50套，且支出不超过17500元，求A种型号健身器材至少要购买多少套？ 36．2024年11月12日第15届中国国际航空航天博览会在珠海开幕．这激发了航模小组对新款无人机模型的极大兴趣和购买欲望，于是他们去模型商店了解后知道：一架A款无人机模型的价格比一架B款无人机模型的价格贵600元，用9000元购买A款无人机模型的数量与用5400元购买B款无人机模型的数量相同． (1)求A款无人机模型和B款无人机模型的单价． (2)航模小组计划用18000元购买无人机模型，要求A，B两款模型都要购买且钱刚好用完，请求出所有的购买方案． 题型八、行程问题 37．小明和小亮练习赛跑，如果小明让小亮先跑2秒，那么小明跑6秒就追上小亮；如果小明让小亮先跑16米，那么小明跑8秒就追上小亮．设小明每秒跑的路程为x米，小亮每秒跑的路程为y米，则根据题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 38．A地至B地的航线长，一架飞机从A地顺风飞往B地需，设飞机无风时的平均速度为，风速为，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 39．甲、乙两人从同一地点出发，同向而行，甲乘车，乙骑自行车．如果乙先走，那么甲用就能追上乙；如果乙先走，那么甲只用就能追上乙．求甲、乙两人的速度． 40．“网约出行”改变了人们的出行方式．某网约平台的打车出行计价规则为：打车总费用＝里程费+耗时费，其中里程费按x元/公里计算，耗时费按y元/分钟计算．已知甲、乙两乘客用该平台网约打车出行，按其计价规则，其行驶里程数、平均车速及打车总费用等信息如下表： 乘客 里程数（公里） 平均速度（公里/时） 打车总费用（元） 甲 8 乙 (1)求x与y的值； (2)小明的妈妈也采用了该平台的打车出行方式，其出行的平均车速为公里/时，行驶了9公里，请你计算小明的妈妈应付车费多少元？ 41．某城市规定：出租车起步价允许行驶的最远路程为3千米，超过3千米的部分按每千米另收费．甲说：“我乘坐这种出租车走了11千米，付了17元”；乙说：“我乘坐这种出租车走了23千米，付了35元”． (1)请你算一算这种出租车的起步价是多少元？以及超过3千米后，每千米的车费是多少元？ (2)若小明乘坐这种出租车付了47元钱，则他这次乘车走了多少千米？ 题型九、分配问题 42．2024年4月3日，我国台湾省发生7.3级地震，某公益组织为灾区人民送去了大量的物资，其中就有1000份面包，全部分发给某村300位灾民，其中成人一人分4份，小孩一人分3份，问分别有多少成人和小孩？若设成人有x人，小孩有y人，则可列二元一次方程组为（    ） A． B． C． D． 43．甲、乙两人各有纪念币若干枚，乙的纪念币数量比甲的纪念币数量多12枚；如果甲把他一半的纪念币给乙，那么乙共有纪念币48枚，问甲、乙原来各有多少枚纪念币？设甲原有x枚纪念币，乙原有y枚纪念币，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 44．某农副产品经销商打算将一批农副产品运往网点销售，现有大货车、小货车运送该批农副产品．已知2辆大货车与1辆小货车一次运送农副产品38吨；1辆大货车与2辆小货车一次运送农副产品31吨（每辆货车都装满）． (1)求一辆大货车与一辆小货车一次各运送农副产品多少吨； (2)该经销商计划组织大、小货车共10辆运送该批农副产品，已知该批农副产品的重量不少于120吨，请问至少需要大货车多少辆． 45．某校为实现垃圾分类投放，准备在校园内摆放大、小两种垃圾桶．购买2个大垃圾桶和4个小垃圾桶共需600元；购买6个大垃圾桶和8个小垃圾桶共需1560元． (1)求大、小两种垃圾桶的单价； (2)该校购买10个大垃圾桶和26个小垃圾桶共需多少元？ 46．根据题意列方程组： (1)某活动小组购买了4个篮球和5个足球，共花费435元，其中篮球的单价比足球的单价多3元，篮球的单价和足球的单价各是多少元？ (2)将一批图书分给了若干名学生，若每人分6本，则剩余40本；若每人分8本，则还缺50本．共有多少本图书、多少名学生？ 47．青花瓷是中国瓷器主流品种之一，由于它具有白瓷如雪，青花似玉的特征，因此深受人们的喜爱．现某瓷器厂计划生产由1个茶壶和8个茶杯组成套装的青花瓷茶具．若一位工人一天只能生产200个茶杯或50个茶壶，该厂现有120名工人，如何安排生产茶杯或茶壶的工人人数使生产的茶具配套． 题型十、销售、利润问题 48．甲、乙、丙、丁四人一起到冷饮店去买红豆与奶油两种棒冰．四人购买的数量及总价如下表： 甲 乙 丙 丁 红豆棒冰的数量/支 3 9 6 4 奶油棒冰的数量/支 4 11 2 7 总价/元 18 51 20 29 若其中一人把总价算错了，则此人是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 49．为了丰富课后服务文体活动，某学校决定采购一定数量的足球和篮球，下表是市场调查信息表： 篮球数量 足球数量 所需费用 3个 5个 1900元 4个 10个 3200元 (1)求足球和篮球的单价； (2)若学校准备用不多于12000元的金额采购篮球和足球共50个，请问篮球最多能采购多少个？ 50．小朋友：阿姨，我买一盒饼干和一袋牛奶．（递上10元钱） 售货员：小朋友，本来你用10元钱买一盒饼干是足够的，但要再买一袋牛奶就少一元钱啦！今天是儿童节，我给你买的饼干打八折，两样东西请拿好，还找你8角钱．根据对话内容，试求出饼干和牛奶的标价是多少元？ 51．某小区计划利用一片空地建一个花圃，花圃为矩形，其中一面靠墙，这堵墙的长度为，另三面用总长的篱笆材料围成，且计划建造花圃的面积为．设垂直于墙的边长为． (1)求这个花圃的长和宽． (2)该小区计划购进A，B两种树苗共17棵种在花圃里，已知A种树苗每棵80元，B种树苗每棵60元．若购进A，B两种树苗刚好用去1220元，求购进A，B两种树苗的数量． 52． 在召开期末总结表彰会前，班主任安排班长李小波去商店买奖品，下面是李小波与售货员的对话： 李小波：阿姨，您好！ 售货员：同学，你好，想买点什么？ 李小波：我只有元，请帮我安排买支钢笔和本笔记本． 售货员：好，每支钢笔比每本笔记本贵元，退你元，请清点好，再见． 根据这段对话，你能算出钢笔和笔记本的单价各是多少吗？ 题型十一、和差倍分问题 53．703班有男女同学若干人，女同学因故走了8名，这时男女同学之比为5：2，后来男同学又走了12名，这时男女同学人数相同，那么最初的女同学有（   ） A．15名 B．16名 C．17名 D．18名 54．某年级学生共有246人，其中男生人数比女生人数的2倍少2人，则下面所列的方程组中符合题意的有（   ） A． B． C． D． 55．一次社会实践小组活动中，男生戴白色帽子，女生戴红色帽子，每个人可以看到除自己以外的每位同学的帽子．每位男生看到的白色帽子比红色帽子多1顶，每位女生看到的红色帽子数量的2倍比白色帽子多3顶，则这个活动小组一共有（    ） A．17人 B．16人 C．15人 D．14人 56．拓展学生视野，促进书本知识与生活实践的深度融合，某中学组织八年级全体学生前往某研学基地开展研学活动，在此次活动中，若每位老师带队14名学生，则还剩10名学生没老师带；若每位老师带队15名学生，就有一位老师少带6名学生，现有甲、乙两种大型客车，它们的载客量和租金如表所示：学校计划此次研学活动的租金总费用不超过3000元，为安全起见，每辆客车上至少要有2名老师． 甲型客车 乙型客车 载客量（人/辆） 35 30 租金（元/辆） 400 320 (1)参加此次研学活动的老师和学生各有多少人？ (2)既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆车上至少要有2名老师，可知租车总辆数为______． (3)最省钱的租车方式的费用是多少？ 57．某学校建立了劳动基地，计划在基地上种植A，B两种苗木共600株，其中A种苗木的数量比B种苗木的数量的一半多60株． (1)请问A，B两种苗木各多少株？ (2)如果学校安排21人同时开始种植这两种苗木，每人每天平均能种植A种苗木4株或B种苗木3株，应分别安排多少人种植A种苗木和B种苗木，才能确保同时完成任务？ 1．“重庆沙坪坝全球校友半程马拉松”在4月20日激情开跑．一中校友踊跃奔赴赛场，共赴母校之约，参赛人数高居中学榜第一为了迎接校友归来，学校为每位校友准备了一套纪念品，包括1件定制运动衫和3枚金属校徽．若1件运动衫的价格为52元，1枚校徽的价格是6元，本次总共花费了20300元．设购买运动衫一共花了x元，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 2．某商品的标价为每件元，现打八折出售，仍可获利，则该商品的进价是每件（    ）元． A． B． C． D． 3．足球比赛的记分规则为：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，一个队进行了10场比赛，其中胜6场，共得20分，那么这个队负了（    ） A．1场 B．2场 C．3场 D．4场 4．如图，将2，，4，，7，，，3分别填入圆圈内，使横、竖以及内、外两圈上的4个数字之和都相等，现已将2，，4，，7这五个数填入圆圈内，则图中（   ） A．或2 B．或2 C．或1 D．或 5．甲、乙两人从A、B两地出发，甲骑自行车，乙骑摩托车，沿同一路线相向匀速行驶，出发后经3小时两人相遇，已知在相遇时乙比甲多行驶了90千米，相遇后经1小时乙到达A地．以下说法不正确的是（   ） A．乙行驶的速度是甲行驶速度的3倍 B．相遇时甲行驶了135千米 C．乙每小时比甲多行驶30千米 D．两地相距180千米 6．为积极响应“环保垃圾分类”政策，某小区计划采购A、B两种类型的垃圾桶，用于提升小区垃圾分类的效率和质量．已知A型垃圾桶每个80元，B型垃圾桶每个60元．小区准备投入1200元资金全部用于购买这两种垃圾桶两种垃圾桶都要买，则共有（    ）种购买方案 A．6 B．5 C．4 D．3 7．甲、乙两人从相距18千米的两地同时出发，相向而行，经小时相遇．如果甲比乙先出发小时，那么在乙出发后经小时两人相遇．则甲的速度为（   ）千米小时． A．2 B． C．5 D． 8．某家具厂设计的餐桌椅套装，1张桌子配4把椅子．该厂一天能生产桌子12张或椅子32把，决定用20天时间生产一批这样的餐桌椅．如果要使生产的桌子和椅子正好配套，设安排x天生产桌子，y天生产椅子，根据题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 9．10年前，小明妈妈的年龄是小明的6倍，10年后，小明妈妈的年龄是小明的2倍，小明和他妈妈现在的年龄分别是多少岁？若设小明和他妈妈现在的年龄分别是x岁和y岁，根据题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 10．某车间有名工人生产太阳镜，名工人每天可生产镜片片或镜架个．两个镜片和一个镜架配套，应如何分配工人生产镜片和镜架，才能使产品配套？设安排名工人生产镜片，名工人生产镜架，则可列方程组（   ） A． B． C． D． 11．某项工作，甲单独做需要4小时，乙单独做需要6小时，甲先做30分钟，然后甲、乙合作．甲、乙合作还需要小时才能完成全部工作．根据题意，可得方程 ． 12．幻方又称九宫图，在幻方拓展课程中，小明在如下所示的方格内填入了一些数及字母，若图中每行、每列以及对角线上的三个数字之和都相等，则 ， ． y 2 5 7 8 x 6 13．购买A种跳绳9根和购买B种跳绳11根的价钱相等，购买8根A种跳绳和1根B种跳绳比购买1根A种跳绳和10根B种跳绳少13元，则每根A种跳绳卖 元，每根B种跳绳卖 元． 14．某工厂需要生产一批设备，每套设备由一个部件和3个部件组装而成；若工厂每人每天只能生产同一种部件，每人每天平均生产部件的个数比部件的个数少6个，且每天6个工人生产部件的数量与5个工人生产部件的数量相同． (1)工厂每人每天平均生产部件和部件各多少个？ (2)现共有21名工人，应如何分配工人才能使每天的生产的部件和部件配套？ 15．六年级办公室买进一包白纸，计划每天用18张，可以用30天．由于注意了节约用纸，实际每天只用了12张，这包纸实际用了多少天？ 16．年月日，某市为表彰“最美乡村教师”，组织中小学代表队参加文艺汇演，甲、乙两校共名学生（其中甲校人数大于人且低于人），准备统一购买服装参加演出，下面是某服装厂给出的演出服装的价格表： 购买服装的套数 每套服装的价格 元 元 元 已知两所学校单独购买服装，一共应付元． (1)若甲、乙两校联合起来购买服装，则比各自购买服装共可以节省多少元？ (2)甲、乙两所学校各有多少名学生准备参加演出？ (3)如果甲校有名同学被抽调去参加书法绘画比赛，不能参加演出，请你为这两所学校设计一种最省钱的购买服装方案． 17．如图，已知，是线段上的两点，，是的中点，，求的长． 18．如图，已知数轴上三点对应的数分别为，点为数轴上一动点，其对应的数为． (1)点、之间的距离为___________； (2)如果点到点、点的距离相等，那么的值是___________； (3)数轴上是否存在点，使点到点、点的距离之和是8？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (4)如果点以每分钟1个单位长度的速度从点向左运动，同时点以每分钟3个单位长度的速度也向左运动，直接写出多少分钟时，点之间的距离为1． 19．乐乐购买3件A商品和2件B商品应付80元，购买4件A商品和1件B商品应付65元． (1)A商品和B商品的单价分别是多少元？ (2)商场现推出两种优惠方案： 方案一：累计购物超过100元后，超出100元的部分按九折收费； 方案二：累计购物超过50元后，超出50元的部分按收费． 如果乐乐需要购买3件商品和6件商品，应选择哪个方案更省钱？说明理由． 20．2020年1月以来，我国受新冠疫情影响，疫情严重地区医疗物资紧缺，“一方有难，八方支援”，某市筹集了大量的医疗物资，用两种型号的货车，分两批运往疫情严重的地区，具体运输情况如下： 第一批 第二批 型号货车的辆数（单位：辆） 1 2 型号货车的辆数（单位：辆） 4 3 累计运送货物的吨数（单位：吨） 34 38 备注：第一批、第二批每辆货车均满载 (1)求、两种型号货车每辆满载分别能运多少吨医疗物资； (2)该市后续又筹集了60吨医疗物资，现已联系了3辆A型号货车，试问至少还需要多少辆型号货车才能一次性将这批医疗物资运往目的地． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $