第1章三角形（专题十一：等边三角形）2025-2026学年苏科版数学八年级上册

2025-2026学年苏科版数学八年级上册 第1章三角形 (专题十一：等边三角形) 【典型例题】 【例1】若一个三角形是轴对称图形，且有一个内角为60，则这个三角形的形状是() A.直角三角形 B.等腰直角三角形 C.等边三角形 D.上述三种情形都有可能 【例2】如图，在等边△ABC中，AB=4,BD是AC边上的高，点E在BC的延长线上， LACB=2LE,则BE的长为() A.4.5 B.5 C.6 D.9 【例3】在ABC中，已知AB=AC,再添加一个条件 ,就能使ABC是等边三角形. (只要写出一个符合题意的条件即可) 【例4】如图，ABC是等边三角形，D,E分别是AC,BC上的点，若 AE=AD,∠CED=20°.则∠BAE=°. 【例5】如图，在ABC中，D为AB边上一点，DF⊥BC于点F,延长FD、CA交于点E.若 ∠E=30°，AD=AE,求证：ABC为等边三角形 第1页共21页 【例6】如图，已知点B、C、D在同一条直线上，ABC和△CDE都是等边三角形.BE交 AC于F,AD交CE于H, B (1)求证：△BCE≌△ACD; (2)求证：CF=CH; (3)判断△CFH的形状并说明理由. 【举一反三】 【变式1】如图，直线a∥b,等边△ABC的顶点C在直线b上，若∠1=38°，则∠2的度数为() 62 -b A.98 B.128 C.142° D.152° 【变式2】如图，BD是等边△ABC的边AC上的中线，以点D为圆心，DB长为半径画弧交BC的 延长线于点E,则∠BDE=() D B、 E A.120° B.110° C.100° D.140° 第2页共21页 【变式3】如图，在边长为2的等边△ABC中，D是BC的中点，点E在线段AD上，连接BE, 在BE的下方作等边△BEF,连接DF.当aBDF的周长最小时，∠BDF的度数是() D A.90 B.120° C.135 D.150 【变式4】已知等边ABC中，AD⊥BC,AD=12,若点P在线段AD上运动，当二AP+BP 的值最小时，AP的长为 B D 【变式5】如图，在等边ABC中，点D、E在边BC、AC上，且BD=CE,连接AD、BE交于 点F. (1)求证：△ABD≌△BCE; (2)若LBAD=20°，求∠ABE的度数. 第3页共21页 【变式6】如图，在等边三角形ABC中，顶点A,C处各有一只蚂蚁，它们同时出发，分别以 同样的速度由A向B和由C向A爬行，经过t秒后，它们分别到达D,E处，请问两只妈蚁在 爬行过程中， (1)CD与BE有何数量关系，为什么？ (2)DC与BE相交所成的∠BFC的大小是否发生变化？若有变化，请说明理由；若没有变化，求 出∠BFC的大小， 【巩固练习】 1.满足下列条件的三角形中，不一定是等边三角形的是( A.有两个内角是60°的三角形 B.有两边相等且是轴对称图形的三角形 C.有一个内角是60°且有两边相等的三角形D.三边都相等的三角形 2.如图，ABC是等边三角形，AB=6,BD是∠ABC的平分线，延长BC到E,使CE=CD, 则BE的长为() B A.7 B.8 D.9 2 3.如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD,DF=DE, 则∠E的度数为() 第4页共21页 D A.25°B.20°C.15°D.7.5° 4.如图，△ABC和△BDE都是等边三角形，点A,B,D在一条直线上.给出4个结论：①AE-CD; ②AB⊥FB;③∠AFC=60°；④△BGH是等边三角形.其中正确的是() G A.①，②，③ B.①，②，④ C.①，③，④ D.②，③，④ 5.如图，△ABC是等边三角形，点D、E、F分别在AB、BC、AC上，若∠1=∠2， ∠DFE=80°，则∠EDF=度， A D 1 52 B E 6.己知：如图，在△ABC中，AB=BC,∠ABC=120°，BE⊥AC于点D,且DE-DB,则△CEB是 三角形. E B A 7.如图，在ABC是等边三角形，D是AC的中点，M在BC延长线上，N在AB上， ∠NDM=120°，AB=6,则BM+BN= 第5页共21页 D B C M 8.如图，在△ABC中，∠ABC=60°，以AC为边在△ABC外作等边△ACD,过点D作DE⊥BC.若 AB=5.4,CE=3,则BE=一 D B E 9.如图，在ABC中，AB=AC,点D,E分别在BA,CB的延长线上，且AE=CD, LBAE=LACD.求证：ABC是等边三角形. D y E B 10.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，DE是AB的垂直平分线，交AB、BC于点 D、E连接CD、AE.求证： (1)△ADC是等边三角形： (2)点E在线段CD的垂直平分线上. A D E C 第6页共21页 11.如图，在等边ABC中，AO是∠BAC的平分线，D为AO上一点，以CD为一边且在CD 下方作等边△CDE,连接BE. B (1)求证：AD=BE; (2)已知AC=9,求点O到BE之间的距离. 12.已知线段AB,点C是平面内一动点，且AB=AC,连接BC,将线段BC绕点B顺时针旋 转90°得到线段BD,连接CD,AD,AD交BC于点E. D D E B 图1 图2 备用图 (1)如图1，若LBAC=60°. ①求∠AEB的度数； ②如图2，作∠CBD的角平分线BF交AD于F,试探究线段AD与2DF+BF之间的数量关系， 并说明理由； (2)若AB=2,当AD最长时，求DE的长. 第7页共21页 答案解析 【典型例题】 【例1】若一个三角形是轴对称图形，且有一个内角为60，则这个三角形的形状是() A.直角三角形 B.等腰直角三角形 C.等边三角形 D.上述三种情形都有可能 【答案】C 【例2】如图，在等边△ABC中，AB=4,BD是AC边上的高，点E在BC的延长线上， LACB=2LE,则BE的长为() A.4.5 B.5 C.6 D.9 【答案】C 【例3】在ABC中，己知AB=AC,再添加一个条件 就能使ABC是等边三角形. (只要写出一个符合题意的条件即可) 【答案】∠A=60°（答案不唯一） 【例4】如图，ABC是等边三角形.D,E分别是AC,BC上的点，若 AE=AD,∠CED=20°.则∠BAE=°. 【答案】40 【例5】如图，在ABC中，D为AB边上一点，DF⊥BC于点F,延长FD、CA交于点E,若 ∠E=30°，AD=AE.求证：ABC为等边三角形 第8页共21页 D 【答案】：AD=AE,LE=30°， :LADE=∠E=30°， :∠BAC=LE+LDAE=60°， :DF⊥BC, :LEFC=90°， :∠C=90°-∠E=60°， :∠B=180°-∠C-∠BAC=180°-60°-60°=60°， :∠BAC=LB=LC, △ABC为等边三角形. 【例6】如图，已知点B、C、D在同一条直线上，ABC和△CDE都是等边三角形.BE交 AC于F,AD交CE于H, C (1)求证：ABCE≌△ACD; (2)求证：CF=CH; (3)判断△CFH的形状并说明理由. 【答案】(1)证明：，△ABC和△CDE都是等边三角形 .∠BCA=∠DCE=60°，AC=BC,CE=CD, 第9页共21页 ∴.∠BCE=∠ACD, 在△BCE和△ACD中， BC=AC ∠BCE=∠ACD, CE=CD ∴.aBCE≌△ACD(SAS; 【小问2详解】 证明：：△BCE≌aACD, .∠CBF=∠CAH. .∠ACB=∠DCE=60°， :∠ACH=60°. ·.∠BCF=∠ACH, 在BCF和△ACH中， ∠CBF=∠CAH BC=AC ∠BCF=∠ACH .△BCF≌△4CH(ASA, :.CF=CH; 【小问3详解】 解：△CFH是等边三角形. 理由如下： 由(2)知CF=CH,∠ACH=60°， ∴.△CFH是等边三角形. 【举一反三】 【变式1】如图，直线a∥b,等边△ABC的顶点C在直线b上，若∠1=38°，则∠2的度数为() 第10页共21页