1.2 第5课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质 课件-2025-2026学年湘教版（2012）数学九年级下册

该初中数学课件聚焦二次函数的图象与性质，涵盖配方转化、顶点式应用、对称轴与顶点坐标确定、最值及增减性分析等核心知识点。通过“练一练”配方入手，衔接列表描点画图、图象性质探究，再归纳公式，构建从具体操作到抽象规律的学习支架。 其亮点在于以数学思维和数学眼光为核心，如配方步骤培养运算能力，结合图象分析增减性发展几何直观，例题通过对称轴比较函数值大小体现推理意识。丰富的例题练习助学生夯实基础、提升分析能力，为教师提供清晰教学路径与实用教学资源。

第 1 页：封面 标题：1.2 第 5 课时 二次函数\(y=ax^2+bx+c\)的图象与性质 副标题：湘教版九年级数学下册 配图：\(y=x^2+2x+3\)的图象（标注顶点、对称轴，附带配方过程示意） 落款：授课教师 / 日期 第 2 页：学习目标 知识与技能 会用配方法将二次函数一般式\(y=ax^2+bx+c\)转化为顶点式\(y=a(x-h)^2+k\) 掌握\(y=ax^2+bx+c\)的图象特征（开口、对称轴、顶点）及函数性质（增减性、最值） 能根据\(a\)、\(b\)、\(c\)的值分析抛物线位置与性质，解决实际问题 过程与方法 通过 “配方转化 — 对比分析 — 归纳总结”，经历从已知（顶点式）到未知（一般式）的认知过程 强化数形结合与转化思想，提升代数变形与图象分析能力 情感态度 感受数学知识间的逻辑关联，体会 “转化” 在解决问题中的重要作用，增强学习信心 第 3 页：复习回顾 —— 衔接旧知 回顾提问 二次函数顶点式\(y=a(x-h)^2+k\)的顶点坐标、对称轴分别是什么？（顶点\((h,k)\)，对称轴直线\(x=h\)） 如何将\(y=2(x-1)^2+3\)转化为一般式？（展开：\(y=2x^2-4x+5\)） 情境引入 生活中多数二次函数问题以一般式\(y=ax^2+bx+c\)呈现（如面积计算、利润问题），如何直接通过\(a\)、\(b\)、\(c\)分析其图象与性质？今天我们通过 “配方” 这一桥梁，探究一般式的奥秘。 第 4 页：探究 1—— 配方法转化：一般式→顶点式 以\(y=ax^2+bx+c\)（\(a≠0\)）为例，推导配方过程： 步骤拆解 第一步：提取二次项系数（只对含\(x\)的项操作） \(y=a\left(x^2+\frac{b}{a}x\right)+c\) 第二步：配方（括号内加、减一次项系数一半的平方） \(y=a\left[x^2+\frac{b}{a}x+\left(\frac{b}{2a}\right)^2-\left(\frac{b}{2a}\right)^2\right]+c\) 第三步：整理为顶点式 \(y=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2}{4a} + c = a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 + \frac{4ac - b^2}{4a}\) 对比顶点式 顶点坐标：\(\boxed{\left(-\frac{b}{2a},\frac{4ac - b^2}{4a}\right)}\) 对称轴：\(\boxed{直线x=-\frac{b}{2a}}\) 即时练习：将\(y=x^2+4x+5\)配方为顶点式（答案：\(y=(x+2)^2+1\)，顶点\((-2,1)\)，对称轴\(x=-2\)） 第 5 页：探究 2——\(a\)、\(b\)、\(c\)对\(y=ax^2+bx+c\)图象的影响 1. 系数\(a\)的影响（与顶点式一致） 开口方向：\(a＞0\)时开口向上；\(a＜0\)时开口向下 开口宽窄：\(|a|\)越大，开口越窄；\(|a|\)越小，开口越宽 课件演示：固定\(b=2\)、\(c=1\)，改变\(a\)的值（如\(a=1\)、\(a=2\)、\(a=-1\)），观察图象变化 2. 系数\(b\)的影响（结合对称轴公式\(x=-\frac{b}{2a}\)） 规律：当\(a\)固定时，\(b\)的符号与绝对值决定对称轴位置： \(b=0\)时，对称轴为\(y\)轴（\(x=0\)）； \(b\)与\(a\)同号时，\(-\frac{b}{2a}＜0\)，对称轴在\(y\)轴左侧； \(b\)与\(a\)异号时，\(-\frac{b}{2a}＞0\)，对称轴在\(y\)轴右侧； 口诀辅助：“左同右异”（\(a\)与\(b\)同号，对称轴在左侧；异号在右侧） 课件演示：固定\(a=1\)、\(c=1\)，改变\(b\)的值（如\(b=2\)、\(b=-2\)、\(b=0\)），观察对称轴变化 3. 系数\(c\)的影响（图象与\(y\)轴交点） 规律：当\(x=0\)时，\(y=c\)，即抛物线与\(y\)轴的交点为\(\boxed{(0,c)}\)： \(c＞0\)时，交点在\(y\)轴正半轴； \(c=0\)时，交点在原点（抛物线过原点）； \(c＜0\)时，交点在\(y\)轴负半轴； 课件演示：固定\(a=1\)、\(b=2\)，改变\(c\)的值（如\(c=3\)、\(c=0\)、\(c=-1\)），观察与\(y\)轴交点变化 第 6 页：函数性质总结（\(y=ax^2+bx+c\)，\(a≠0\)） 性质类别 具体内容（分情况讨论） 图象形状 抛物线，可通过配方法转化为\(y=a(x-h)^2+k\)分析（\(h=-\frac{b}{2a}\)，\(k=\frac{4ac - b^2}{4a}\)） 开口方向 \(a＞0\)时开口向上；\(a＜0\)时开口向下 对称轴 直线\(x=-\frac{b}{2a}\)（“左同右异” 判断位置） 顶点坐标 \(\left(-\frac{b}{2a},\frac{4ac - b^2}{4a}\right)\)（\(a＞0\)时为最低点，\(a＜0\)时为最高点） 最值 \(a＞0\)：当\(x=-\frac{b}{2a}\)时，\(y\)有最小值\(\frac{4ac - b^2}{4a}\)；\(a＜0\)：当\(x=-\frac{b}{2a}\)时，\(y\)有最大值\(\frac{4ac - b^2}{4a}\) 增减性 \(a＞0\)：\(x＜-\frac{b}{2a}\)时\(y\)随\(x\)增大而减小，\(x＞-\frac{b}{2a}\)时\(y\)随\(x\)增大而增大；\(a＜0\)：\(x＜-\frac{b}{2a}\)时\(y\)随\(x\)增大而增大，\(x＞-\frac{b}{2a}\)时\(y\)随\(x\)增大而减小 与\(y\)轴交点 交点为\((0,c)\)，\(c\)的符号决定交点在\(y\)轴的正 / 负半轴或原点 第 7 页：典例精析 例题 1：配方转化与性质分析 已知二次函数\(y=-2x^2+4x+1\)，回答下列问题： （1）将其配方为顶点式，求顶点坐标与对称轴； （2）判断图象开口方向，求函数的最值； （3）当\(x\)为何范围时，\(y\)随\(x\)的增大而增大？ 解答： （1）配方：\(y=-2(x^2-2x)+1=-2(x-1)^2+3\)，顶点\((1,3)\)，对称轴\(x=1\)； （2）\(a=-2＜0\)，开口向下；当\(x=1\)时，\(y\)有最大值\(3\)； （3）\(x＜1\)时，\(y\)随\(x\)的增大而增大。 例题 2：利用系数分析图象特征 已知二次函数\(y=ax^2+bx+c\)的图象经过点\((0,2)\)，且对称轴为\(x=1\)，开口向上，判断下列说法是否正确： （1）\(c=2\)；（2）\(a\)与\(b\)异号；（3）函数有最小值。 解答： （1）由与\(y\)轴交点\((0,2)\)得\(c=2\)，正确； （2）对称轴\(x=1=-\frac{b}{2a}\)，即\(b=-2a\)，\(a＞0\)则\(b＜0\)，\(a\)与\(b\)异号，正确； （3）\(a＞0\)，开口向上，函数有最小值，正确。 第 8 页：课堂练习 基础题：将\(y=3x^2-6x+2\)配方为顶点式，并写出顶点坐标与对称轴（答案：\(y=3(x-1)^2-1\)，顶点\((1,-1)\)，对称轴\(x=1\)） 提升题：已知二次函数\(y=x^2+mx+n\)的图象顶点为\((2,-3)\)，求\(m\)、\(n\)的值及函数的最小值（答案：\(m=-4\)，\(n=1\)，最小值\(-3\)） 第 9 页：课堂小结 知识梳理（思维导图）： \(y=ax^2+bx+c\)→ 配方转化（一般式→顶点式）→ 图象特征（\(a\)：开口；\(b\)：对称轴；\(c\)：与\(y\)轴交点）→ 性质（顶点、最值、增减性）→ 综合应用 核心结论： 分析一般式的关键是通过配方转化为顶点式，或直接利用公式\(h=-\frac{b}{2a}\)、\(k=\frac{4ac - b^2}{4a}\)求顶点与对称轴； \(a\)、\(b\)、\(c\)分工明确：\(a\)定开口与宽窄，\(b\)定对称轴左右，\(c\)定与\(y\)轴交点，三者结合可完整描述抛物线。 第 10 页：作业布置 基础作业：教材 P28 第 1、2 题（配方转化 + 性质分析） 提升作业：已知二次函数\(y=ax^2+bx+c\)的图象经过点\((1,0)\)、\((0,3)\)，且对称轴为\(x=-1\)，求该函数的表达式，并求当\(x=2\)时的函数值 实践作业：观察生活中的二次函数应用场景（如喷泉高度、物体抛物轨迹），尝试用一般式描述其函数关系，标注\(a\)、\(b\)、\(c\)的实际意义（选做） 2025-2026学年湘教版数学九年级下册【示范课精品课件】 授课教师： . 班 级： . 时 间： . 1.2 第5课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质 第1章 二次函数 a i T u j m i a N g 我们已经知道形如 y = a(x-h)2+k 的二次函数的图象的画法，可在生活和学习中，很多二次函数是用一般形式 y=ax2+bx+c 表示的，如图. 情境引入 y = ax2+bx+c 用一般式表示 ？根据一般式画图象 情景导入 探究 问题1：如何画出 的图象呢? 我们已经会画 y = a(x-h)2 + k的图象，因此，只需要把 配方成 的形式就可以了. 将一般式 y = ax2+bx+c 化成顶点式 y =a(x-h)2+k 探究新知 配方法 提取二次项系数 配方 整理 化简：去掉中括号 探究新知 配方 你知道是怎样配方的吗？ (1)“提”：提出二次项系数； (2)“配”：括号内配成完全平方； (3)“化”：化成顶点式. 温馨提示: 配方后的表达式通常称为配方式或顶点式 . 探究新知 我们如何用配方法将一般式 y = ax2 +bx+c (a ≠ 0) 化成顶点式 y = a(x-h)2 + k ？ y = ax² +bx+c 探究新知 归纳总结 一般地，二次函数 y =ax2+bx+c 的可以通过配方化成 y = a(x - h)2 +k 的形式，即： 探究新知 将函数 化为 y = a(x-h)2 + k 的形式. 解： 配方： 练一练 探究新知 根据顶点式 确定对称轴，顶点坐标. x … 6 7 8 9 … … … 列表：自变量 x 从顶点的横坐标 6 开始取值. 对称轴：直线 x = 6；顶点坐标：(6，3). 3 3.5 5 7.5 问题2：我们已经知道 ， 那么现在你会画这个二次函数的图象吗? 二次函数 y = ax2+bx+c 的图象与性质 探究新知 描点、连线，画出图象在对称轴右边的部分. 利用对称性，画出图象在对称轴左边的部分，即得. O x 5 5 10 ● ● ● ● ● （6，3） ● ● y 探究新知 （6,3） 问题3：从图看出，当 x 等于多少时，函数 的值最小？这个最小值是多少？ O x 5 5 10 当 x 等于顶点的横坐标 6 时，函数值最小，这个最小值等于顶点的纵坐标 3. 问题4：这个函数的增减性是怎样的？ 当 x < 6 时，函数值随 x 的增大而减小；当 x > 6 时，函数值随 x 的增大而增大. y 探究新知 归纳总结 抛物线 y = ax2+bx+c 的顶点坐标是： 对称轴是：直线 二次函数 y = ax2+bx+c的图象和性质 探究新知 (1) x y O 如果 a＞0，当 x＜ 时，y 随x 的增大而减小；当 x ＞ 时，y 随 x 的增大而增大；当 x = 时，函数达到最小值，最小值为 . 二次函数 y = ax2+bx+c的图象和性质 探究新知 (2) x y O 如果 a < 0，当 x< 时，y 随 x 的增大而增大；当 x > 时，y 随 x 的增大而减小；当 x = 时，函数达到最大值，最大值为 . 二次函数 y = ax2+bx+c的图象和性质 探究新知 练一练 填表： 顶点坐标 对称轴 最值 y = -x2+2x y = -2x2-1 y = 9x2+6x-5 (1，1) x = 1 最大值 1 (0，-1) y 轴 最大值 -1 最小值 -6 ( ，-6) 直线 x= 探究新知 例1 若点 A(2，y1)，B(－3，y2)，C(－1，y3)三点在抛物线 y＝x2－4x－m 的图象上，则 y1、y2、y3 的大小关系是 (　　) A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y2＞y3＞y1 D．y3＞y1＞y2 解析：∵二次函数 y＝x2－4x－m 中 a＝1＞0， ∴开口向上，对称轴为 x＝2. ∵A(2，y1)中 x＝2，∴ y1最小． 又∵B(－3，y2)，C(－1，y3) 都在对称轴的左侧，而在对称轴的左侧，y 随 x 的增大而减小， 故 y2＞y3.∴ y2＞y3＞y1. 故选C. 典例精析 C 探究新知 例2 在同一直角坐标系中，函数 y＝mx＋m 和函数 y＝mx2＋2x＋2 ( m 是常数，且 m ≠ 0 )的图象可能是(　　) 解析：A、B 中由函数 y＝mx＋m 的图象可知 m＜0， 即函数 y＝mx2＋2x＋2 开口方向朝下， 对称轴为 ，则对称轴应在 y 轴右侧，故A、B选项错误； 探究新知 C 中由函数 y ＝ mx＋m 的图象可知 m ＞0，即函数 y＝mx2＋2x＋2开口方向朝上，对称轴为 ＜0， 则对称轴应在 y 轴左侧，故 C 选项错误； D 中由函数 y＝ mx＋m的图象可知 m＜0，即函数 y＝mx2＋2x＋2 开口方向朝下，对称轴为 ＞0，则对称轴应在 y 轴右侧，与图象相符，故选D． 探究新知 例3 如图是二次函数 y = ax2+bx+c (a≠0) 图象的一部分， x= -1 是对称轴，有下列判断：① b-2a = 0；② 4a-2b+c < 0；③ a-b+c = -9a；④ 若(-3，y1)，( ，y2)是抛物线上两点，则 y1 > y2.其中正确的是 ( ) A．①②③　　 B．①③④ C．①②④　 D．②③④ x y O 2 x = -1 B 二次函数的图象与系数的关系 探究新知 1. 根据公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标： 直线 x = 3 直线 x = 8 直线 x = 1.25 直线 x = 0.5 课堂练习 2. 把抛物线 y＝x2＋bx＋c 的图象向右平移 3 个单位长度，再向下平移 2 个单位长度，所得图象的解析式为 y＝x2－3x＋5，则(　　) A．b＝3，c＝7 B．b＝6，c＝3 C．b＝－9，c＝－5 D．b＝－9，c＝21 解析：y＝x2－3x＋5 化为顶点式为 y＝(x－ )2＋ .将 y＝(x－ )2＋ 向左平移 3 个单位长度，再向上平移 2个单位长度，即为 y ＝ x2＋bx＋c.则 y＝x2＋bx＋c＝(x＋ )2＋ ，化简后得 y＝x2＋3x＋7，即 b＝3，c＝7. 故选 A. A 课堂练习 3. 已知二次函数 y＝ax2＋4x＋a－1 的最小值为 2，则 a 的值为(　　) A．3 　　B．－1 　　　C．4 　　　D．4或－1 解析：∵二次函数 y＝ax2＋4x＋a－1 有最小值 2， ∴ a＞0，y最小值＝ ＝ ＝ 2， 整理，得 a2－3a－4＝0，解得 a＝－1 或 4. ∵ a＞0，∴ a＝4. 故选C. C 课堂练习 4.已知二次函数 y=－x2＋2bx＋c，当 x＞1时，y 的值随x 值的增大而减小，则实数 b 的取值范围是（ ） A．b≥－1 B．b≤－1 C．b≥1 D．b≤1 解析：∵二次项系数为－1＜0，∴抛物线开口向下，在对称轴右侧，y 的值随 x 值的增大而减小，由题设可知，当x＞1时，y 的值随 x 值的增大而减小，∴抛物线 y=－x2＋2bx＋c的对称轴应在直线 x=1的左侧，而抛物线 y=－x2＋2bx＋c的对称轴 ，即b≤1，故选择D . D 课堂练习 5. 已知抛物线 y＝ax2＋bx＋c (a ≠ 0)经过点(－1，0)，且顶点在第一象限．有下列四个结论：① a＜0；② a＋b＋c＞0；③ ＞0；④ abc＞0.其中正确的结论是_______． ①②③ 课堂练习 6. 已知抛物线和直线 l 在同一直角坐标系中的图象如图所示，抛物线的对称轴为直线 x = -1，P1 (x1，y1)，P2 (x2，y2) 是抛物线上的点，P3 (x3，y3)是直线 l 上的点，且 x3＜-1＜x1＜x2，则 y1，y2，y3 的大小关系是 (　　) A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3 D 课堂练习 7. 如图，已知二次函数 y＝－ x2＋bx＋c 的图象经过 A(2，0) ，B(0，－6)两点． (1) 求这个二次函数的解析式； 解：(1) 把 A(2，0)、B(0，－6)代入 y＝－ x2＋bx＋c 得 ∴这个二次函数的解析式为 y＝－ x2＋4x－6； 解得 课堂练习 (2) 设该二次函数图象的对称轴与 x 轴交于点C，连接 BA、BC，求 △ABC 的面积． (2)∵该抛物线对称轴为直线 x＝ ＝4， ∴点 C 的坐标为(4，0)， ∴AC＝OC－OA＝4－2＝2. ∴S△ABC＝ ×AC×OB＝ ×2×6＝6. 课堂练习 返回 A 1．[2025邵阳月考]将抛物线y＝－2x2－4x向上平移5个单位后，所得新抛物线的顶点式是(　　) A．y＝－2(x＋1)2＋7 B．y＝－2(x－1)2＋7 C．y＝－2(x＋1)2－7 D．y＝－2(x－1)2－7 考试考法 28 考试考法 29 考试考法 考试考法 【答案】 C 返回 考试考法 3．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则关于x的一次函数y＝ax＋bc的图象一定不经过的象限是(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 考试考法 33 【答案】 B 返回 考试考法 4．已知二次函数y＝x2－2x(－1≤x≤t－1)，当x＝－1时，函数取得最大值；当x＝1时，函数取得最小值，则t的取值范围是(　　) A．0＜t≤2 B．0＜t≤4 C．2≤t≤4 D．t≥2 C 返回 考试考法 35 考试考法 36 【点拨】∵二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴在y轴的右侧，∴a<0，b>0，c>0.∴abc<0.故①符合题意；∵顶点P的坐标为(1，n)，∴n＝a＋b＋c且函数的最大值为n.∵当x＝m时，y＝am2＋bm＋c，∴a＋b＋c≥am2＋bm＋c.∴am2＋bm－a－b≤0，故②不符合题意； 考试考法 考试考法 考试考法 考试考法 【答案】 D 返回 考试考法 返回 6．在平面直角坐标系中，抛物线y＝2x2＋4x－1不动，把x轴向下平移3个单位，y轴向左平移1个单位，那么在新坐标系下抛物线的表达式为____________． y＝2x2 考试考法 42 7．若A(m－1，y1)，B(m，y2)，C(m＋2，y3)为抛物线y＝ax2－2ax＋4(a>0)上的三点，且总有y1>y3>y2，则m的取值范围是________． 返回 考试考法 43 顶点： 对称轴： y=ax2+bx+c（a ≠0) (一般式) 配方法 公式法 (顶点式) 最值： 课堂小结 必做作业：从教材习题中选取； 选做作业：完成练习册本课时的习题. 作业 谢谢观看！ 2．关于二次函数y＝x2＋x＋3，下列结论中正确的是(　　) A．其图象的对称轴是直线x＝ B．当x>2时，y随x的增大而减小 C．若点A(m，n)是抛物线上的点，则点B(－m－1，n)也是抛物线上的点 D．把该函数的图象先向上平移2个单位，再向左平移3个单位后，图象经过点(1，24) 【点拨】由二次函数y＝x2＋x＋3，得对称轴为直线 x＝－＝－，故A选项错误，不符合题意；∵a＝1>0，∴抛物线开口向上．∴在直线x＝－的右侧，y随x的增大而增大．∴当x>2时，y随x的增大而增大，故B选项错误，不符合题意； ∵点A(m，n)是抛物线上的点，∴m2＋m＋3＝n.当x＝－m－1时，y＝(－m－1)2＋(－m－1)＋3＝m2＋m＋3＝n.∴点B(－m－1，n)也是抛物线上的点，故C选项正确，符合题意； 二次函数y＝x2＋x＋3＝＋的图象先向上平移2个单位，再向左平移3个单位后得到y＝＋的图象，当x＝1时，y＝＋＝25≠24，∴点(1，24)不在y＝＋的图象上，故D选项错误，不符合题意． 【点拨】∵二次函数的图象开口向上，∴a＞0.∵二次函数的图象与y轴交于负半轴，∴c＜0.∵对称轴在y轴左侧，∴－＜0.又∵a＞0，∴b＞0.∴bc＜0.∴一次函数y＝ax＋bc的图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限． 5． [2025烟台]如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象与x轴的一个交点A位于(－2，0)和(－1，0)之间，顶点P的坐标为(1，n)．下列结论：①abc<0；②对于任意实数m，都有am2＋bm－a－b≥0；③3b<2c；④若该二次函数的图象与x轴的另一个交点为B，且△PAB是等边三角形，则n＝－.其中所有正确结论的 序号是(　　) A．①② B．①③ C．①④ D．①③ ∵二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象与x轴的一个交点A位于(－2，0)和(－1，0)之间，对称轴为直线x＝1，∴－＝1，a－b＋c>0，∴a＝－b.∴－b－b＋c>0.∴3b<2c.故③符合题意； 如图，设对称轴与x轴交于点H.∵△PAB为等边三角形，∴∠PAB＝∠PBA＝60°.易知PH⊥AB，HA＝HB，∴PH＝tan 60°·AH＝tan 60°·HB. 记点A，B的横坐标分别为x1，x2， ∴n＝(x2－1)＝(1－x1)． ∴2n＝(x2－x1)． 当y＝ax2＋bx＋c＝0时，有x1＋x2＝－＝2，x1x2＝，∴x2－x1＝＝.∴n＝·＝·＝＝－. ∵n＝a＋b＋c＝c－a，∴c－a＝－.∴a(a－c)＝3.∴n＝－＝－.故④符合题意．综上，所有正确结论的序号是①③④. 0<m< $