1.2 第4课时 二次函数y=a（x-h）2+k的图象与性质 课件-2025-2026学年湘教版（2012）数学九年级下册

该初中数学课件聚焦二次函数\(y=a(x-h)^2+k\)的图象与性质，课堂导入先复习\(y=a(x-h)^2\)的左右平移规律，再通过“上下平移后表达式与顶点变化”的问题衔接，搭建从旧知到新知的学习支架。 其亮点是采用“分步探究—整合规律—应用验证”逻辑，通过列表描点对比图象培养几何直观，用平移口诀和思维导图总结提升推理能力，例题涵盖平移分析与表达式求解发展模型意识。学生能系统掌握性质，教师可直接用于分层教学和素养培养。

第 1 页：封面 标题：1.2 第 4 课时 二次函数\(y=a(x-h)^2+k\)的图象与性质 副标题：湘教版九年级数学下册 配图：\(y=x^2\)、\(y=(x-2)^2\)、\(y=(x-2)^2+3\)抛物线叠加图（标注左右、上下平移方向，用双向箭头指示） 落款：授课教师 / 日期 第 2 页：学习目标 知识与技能 会用描点法画出\(y=a(x-h)^2+k\)的图象，掌握其与\(y=a(x-h)^2\)、\(y=ax^2\)图象的平移关系 理解并熟记\(y=a(x-h)^2+k\)的图象特征（开口、对称轴、顶点）及函数性质（增减性、最值） 能根据\(a\)、\(h\)、\(k\)的值分析抛物线的位置与性质，解决综合问题 过程与方法 通过 “分步探究→整合规律→应用验证”，经历从单一平移到综合平移的认知过程 强化数形结合思想，提升函数图象分析与规律迁移能力 情感态度 感受函数图象平移的系统性与逻辑性，增强数学学习的条理性与成就感 第 3 页：复习回顾 —— 衔接旧知 回顾提问 二次函数\(y=a(x-h)^2\)（\(a≠0\)）的图象是由\(y=ax^2\)如何平移得到的？（“\(h\)正右移，\(h\)负左移”） 函数\(y=2(x-3)^2\)的顶点坐标、对称轴分别是什么？（顶点\((3,0)\)，对称轴直线\(x=3\)） 情境引入 若将\(y=2(x-3)^2\)的图象沿\(y\)轴上下平移，新函数的表达式会如何变化？顶点坐标又会发生什么改变？今天我们共同探究二次函数的 “完整平移” 规律。 第 4 页：探究 1—— 画\(y=(x-2)^2+3\)与\(y=(x-2)^2\)的图象（对比） 操作步骤 列表：选取\(x=0,1,2,3,4\)，分别计算两个函数的函数值： \(x\) \(0\) \(1\) \(2\) \(3\) \(4\) \(y=(x-2)^2\) \(4\) \(1\) \(0\) \(1\) \(4\) \(y=(x-2)^2+3\) \(7\) \(4\) \(3\) \(4\) \(7\) 描点连线：在同一坐标系中用不同颜色画出两个函数的图象 观察分析 对比两个图象：\(y=(x-2)^2+3\)的图象是由\(y=(x-2)^2\)的图象向上平移 3 个单位得到的 新图象的顶点坐标：\((2,3)\)（横坐标与原顶点相同，纵坐标增加 3），对称轴仍为直线\(x=2\)（上下平移不改变对称轴） 第 5 页：探究 2—— 画\(y=(x-2)^2-2\)与\(y=(x-2)^2\)的图象（对比） 分组任务 学生独立列表（\(x=0,1,2,3,4\)），计算\(y=(x-2)^2-2\)的函数值： \(x\) \(0\) \(1\) \(2\) \(3\) \(4\) \(y=(x-2)^2-2\) \(2\) \(-1\) \(-2\) \(-1\) \(2\) 在同一坐标系中画出\(y=(x-2)^2-2\)与\(y=(x-2)^2\)的图象 总结规律 \(y=(x-2)^2-2\)的图象是由\(y=(x-2)^2\)的图象向下平移 2 个单位得到的（\(k=-2\)，\(k\)为负） 新图象的顶点坐标：\((2,-2)\)（纵坐标比原顶点减少 2） 上下平移口诀：“\(k\)正上移，\(k\)负下移”（针对\(y=a(x-h)^2+k\)，\(k\)为正，图象向上平移\(|k|\)个单位；\(k\)为负，图象向下平移\(|k|\)个单位） 第 6 页：探究 3—— 综合平移规律（\(y=a(x-h)^2+k\)与\(y=ax^2\)的关系） 分步拆解 第一步：\(y=ax^2\)沿\(x\)轴平移得到\(y=a(x-h)^2\)（“\(h\)正右移，\(h\)负左移”\(|h|\)个单位） 第二步：\(y=a(x-h)^2\)沿\(y\)轴平移得到\(y=a(x-h)^2+k\)（“\(k\)正上移，\(k\)负下移”\(|k|\)个单位） 综合结论：\(y=a(x-h)^2+k\)的图象是由\(y=ax^2\)先沿\(x\)轴平移\(|h|\)个单位，再沿\(y\)轴平移\(|k|\)个单位得到（平移顺序可互换） 实例验证 例：\(y=3(x+1)^2-2\)是由\(y=3x^2\)如何平移得到的？ 解答：\(h=-1\)（左移 1 个单位），\(k=-2\)（下移 2 个单位），即先向左平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位 第 7 页：探究 4——\(a\)、\(h\)、\(k\)对\(y=a(x-h)^2+k\)图象的综合影响 对比分析（以\(h=1\)，\(k=2\)为例） 在同一坐标系中展示\(y=2(x-1)^2+2\)、\(y=(x-1)^2+2\)、\(y=-2(x-1)^2+2\)的图象 特征总结 开口方向：由\(a\)的符号决定（\(a＞0\)向上，\(a＜0\)向下） 开口宽窄：由\(|a|\)决定（\(|a|\)越大，开口越窄） 对称轴：由\(h\)决定（直线\(x=h\)，与\(a\)、\(k\)无关） 顶点坐标：由\(h\)、\(k\)共同决定（\((h,k)\)，与\(a\)无关） 最值：由\(a\)和\(k\)决定（\(a＞0\)时，最小值为\(k\)；\(a＜0\)时，最大值为\(k\)） 第 8 页：函数性质总结（\(y=a(x-h)^2+k\)，\(a≠0\)） 性质类别 具体内容（分情况讨论） 图象形状 抛物线，由\(y=ax^2\)先 “\(h\)正右移 / 负左移”$ 开口方向 \(a＞0\)时开口向上；\(a＜0\)时开口向下 对称轴 直线\(x=h\) 顶点坐标 \((h,k)\)（\(a＞0\)时为最低点，\(a＜0\)时为最高点） 最值 \(a＞0\)：当\(x=h\)时，\(y\)有最小值\(k\)；\(a＜0\)：当\(x=h\)时，\(y\)有最大值\(k\) 增减性 \(a＞0\)：\(x＜h\)时\(y\)随\(x\)增大而减小，\(x＞h\)时\(y\)随\(x\)增大而增大；\(a＜0\)：\(x＜h\)时\(y\)随\(x\)增大而增大，\(x＞h\)时\(y\)随\(x\)增大而减小 参数影响 \(a\)决定开口方向与宽窄；\(h\)决定对称轴与左右位置；\(k\)决定顶点纵坐标与上下位置 第 9 页：典例精析 例题 1：综合平移与性质分析 已知二次函数\(y=-2(x-3)^2+5\)，回答下列问题： （1）该函数图象是由\(y=-2x^2\)如何平移得到的？ （2）求图象的开口方向、对称轴、顶点坐标及最值； （3）当\(x\)为何范围时，\(y\)随\(x\)的增大而减小？ 解答： （1）\(h=3\)（右移 3 个单位），\(k=5\)（上移 5 个单位），即先向右平移 3 个单位，再向上平移 5 个单位； （2）\(a=-2＜0\)，开口向下；对称轴直线\(x=3\)；顶点\((3,5)\)；当\(x=3\)时，\(y\)有最大值 5； （3）\(x＞3\)时，\(y\)随\(x\)的增大而减小。 例题 2：根据性质求函数表达式 已知二次函数\(y=a(x-h)^2+k\)的图象经过点\((1,4)\)，且顶点为\((2,1)\)，开口向上，求该函数的表达式。 解答： 由顶点\((2,1)\)得\(h=2\)，\(k=1\)，函数表达式为\(y=a(x-2)^2+1\)； 将\((1,4)\)代入得\(4=a(1-2)^2+1\)，解得\(a=3\)； 故函数表达式为\(y=3(x-2)^2+1\)。 第 10 页：课堂练习 基础题：判断下列关于\(y=\frac{1}{2}(x+2)^2-3\)的说法是否正确： （1）图象由\(y=\frac{1}{2}x^2\)先左移 2 个单位，再下移 3 个单位得到；（√） （2）开口向下；（×） （3）顶点坐标为\((2,-3)\)；（×） （4）当\(x=-2\)时，\(y\)取得最小值\(-3\)。（√） 提升题：已知二次函数\(y=a(x-h)^2+k\)的图象顶点为\((1,-2)\)，且经过点\((3,2)\)，求该函数的表达式，并说明当\(x\)为何范围时\(y\)随\(x\)增大而增大。 （答案：\(h=1\)，\(k=-2\)，代入\((3,2)\)得\(a=1\)，表达式\(y=(x-1)^2-2\)；\(x＞1\)时\(y\)随\(x\)增大而增大） 第 11 页：课堂小结 知识梳理（思维导图）： \(y=a(x-h)^2+k\)→ 综合平移（左右：\(h\)；上下：\(k\)）→ 性质（开口：\(a\)；对称轴：\(h\)；顶点：\((h,k)\)；最值：\(a\)与\(k\)；增减性：\(a\)与\(h\)）→ 与\(y=a(x-h)^2\)、\(y=ax^2\)的联系 核心结论： 二次函数的平移本质是顶点的平移，只需关注顶点\((0,0)\)到\((h,k)\)的变化即可； 分析函数性质时，先确定\(a\)（开口、增减性趋势、最值类型），再确定\(h\)（对称轴、左右位置）和\(k\)（顶点纵坐标、最值大小），三者结合可完整描述抛物线特征。 第 12 页：作业布置 基础作业：教材 P22 第 1、2 题（平移分析 + 性质应用） 提升作业：已知二次函数\(y=a(x-h)^2+k\)的图象经过点\((0,5)\)和\((2,5)\)，且顶点纵坐标为 3，开口向上，求该函数的表达式，并求当\(x=4\)时的函数值 实践作业：在平面直角坐标系中，用描点法画出\(y=x^2\)、\(y=(x-1)^2+2\)的图象，标注平移过程与顶点坐标，拍照或画图提交，尝试分析两者的性质差异 2025-2026学年湘教版数学九年级下册【示范课精品课件】 授课教师： . 班 级： . 时 间： . 1.2 第4课时 二次函数y=a（x-h）2+k的图象与性质 第1章 二次函数 a i T u j m i a N g 复习引入 确定其对称轴 x=1，顶点坐标为( 1，0). 列表：x 从顶点横坐标 1 开始取值. 描点并连线：先画出对称轴右边的部分. 再根据对称性另一部分即得图象. 1. 如何画二次函数 y = (x-1)2 的图象. 2. 那么如何画二次函数 y = (x-1)2+3 的图象呢？ 要解决这个问题，我们首先探究一下两个二次函数的关系. 情景导入 对于每一个给定的 x 值，下面的函数值都比上面的大 3. 的图象可由 的图象向上平移 3 个单位得到. 二次函数 与 的关系. 探究 横坐标 a a 二次函数 图象上的点 纵坐标 二次函数 y = a(x+h)2 + k 的图象和性质 探究新知 x y O －2 2 2 4 6 4 －4 8 观察 的图象，说说它有哪些特征. 顶点为(1,3) 对称轴为直线 x=1 开口向上的抛物线 探究新知 二次函数 y = a(x - h)2 + k 的性质 y = a(x-h)2+k a ＞ 0 a ＜ 0 开口方向 对称轴 顶点坐标 最值 增减性 知识要点 向上 向下 直线 x = h 直线 x = h （h,k） （h,k） 当 x = h 时，y最小值 = k 当 x = h 时，y最大值 = k 当 x ＜ h 时，y 随 x 的增大而减小；x ＞ h 时，y 随 x 的增大而增大. 当 x ＞ h 时，y 随 x的增大而减小；x ＜ h 时，y 随 x 的增大而增大. 探究新知 二次函数 开口方向 对称轴 顶点坐标 y=2(x+3)2+5 向上 ( 1, －2 ) 向下 向下 ( 3 , 7) ( 2 , －6 ) 向上 直线 x =－3 直线 x = 1 直线 x = 3 直线 x = 2 (－3, 5 ) y=－3(x－1)2－2 y = 4(x－3)2＋7 y=－5(2－x)2－6 完成下列表格： 练一练 探究新知 问题1 我们已经知道了二次函数 y = a(x-h)2+k 的图象的性质，那么你猜想一下如何画出它的图象？ 第一步 写出对称轴和顶点坐标，并且在平面直角坐标系内画出对称轴，描出顶点； 第二步 列表（自变量 x 从顶点的横坐标开始取值），描点和连线，画出图象在对称轴右边的部分； 第三步 利用对称性，画出图象在对称轴左边的部分（这只要先把对称轴左边的对应点描出来，然后用一条光滑曲线顺次连接它们和顶点）. 探究新知 典例精析 例1 画二次函数 的图象. 解：对称轴是直线 x = －1，顶点坐标为 (－1，－3). 列表：自变量 x 从顶点的横坐标 －1开始取值. x －1 0 1 2 3 －3 －2.5 －1 1.5 5 探究新知 x O y 2 4 －2 －4 2 4 －2 －4 描点和连线：画出图象在对称轴右边的部分. 利用对称性，画出图象在对称轴左边的部分，这样我们得到了函数 的图象，如右图. 探究新知 例2 已知抛物线 y = a(x-3)2 + 2 经过点（1，-2）． （1）求 a 的值； （2）若点 A（ ，y1）、B（4，y2）、C（0，y3）都在该抛物线上，试比较 y1、y2、y3 的大小． 解：（1）∵抛物线过点（1，-2）， ∴ -2 = a(1-3)2+2，解得 a = -1； （2）由抛物线 y = a(x-3)2+2 可知对称轴 x = 3， ∵抛物线开口向下，而点 B（4，y2）到对称轴的距离最近，C（0，y3）到对称轴的距离最远， ∴y3＜y1＜y2． 探究新知 探究归纳 怎样移动抛物线 才能得到抛物线 ？ 平移方法1 向右平移 1个单位 向上平移 3个单位 x y O －2 2 2 4 6 4 －4 8 二次函数 y = a(x-h)2+k 的图象与 y = ax2 的图象的关系 探究新知 向右平移 1个单位 平移方法2 向上平移 3个单位 x y O －2 2 2 4 6 4 －4 8 探究新知 知识要点 二次函数 y = ax2 与 y = a(x-h)2+k 的关系 可以看作互相平移得到的(h＞0，k>0). y = ax2 y = ax2 + k y = a(x - h )2 y = a( x - h )2 + k 上下 平移 左右 平移 上下 平移 左右 平移 平移规律 简记为： 上下平移， 括号外上加下减； 左右平移， 括号内左加右减. 二次项系数 a 不变. 探究新知 请回答抛物线 y = 4(x－3)2＋7 由抛物线 y = 4x2 怎样平移得到? 由抛物线向上平移 7 个单位, 再向右平移 3 个单位得到的. 练一练 探究新知 1. 将抛物线 y＝ x2 向右平移 2 个单位，再向下平移 1 个单位，所得的抛物线是(　　) A．y＝ (x－2)2－1 B．y＝ (x－2)2＋1 C．y＝ (x＋2)2＋1 D．y＝ (x＋2)2－1 A 2. 抛物线 y = 2x2 不动，把 x 轴、y 轴分别向上、向左平移 3 个单位，则在新坐标系下，此抛物线的表达式为__________________． y = 2(x-3)2-3 课堂练习 3. 已知 y ＝ (x－3)2－2 的部分图象如图所示，抛物线与 x 轴交点的一个坐标是(1，0)，则另一个交点的坐标是________． 解析：由抛物线的对称性知，对称轴为 x＝3，一个交点坐标是(1，0)， 则另一个交点坐标是(5，0)． (5，0) 课堂练习 4. 对于抛物线 y = - (x−2)2+6，下列结论：① 抛物线的开口向下；② 对称轴为直线 x = 2；③顶点坐标为 (2，6)；④当 x＞2 时，y 随 x 的增大而减小. 其中正确的结论有（　　） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 D 课堂练习 5. 已知点 A（x1，y1）、B（x2，y2）在二次函数 y = -(x - 1)2 + 1 的图象上，若 -1＜x1＜0，3＜x2＜4，则 y1___ y2（填“＞”“＜”或“=”）． ＞ 解析：抛物线 y = -(x - 1)2 + 1 的对称轴为直线 x = 1，∵ a = -1＜0， ∴ 抛物线开口向下， ∵ -1＜x1＜0，3＜x2＜4， ∴ y1＞y2． 课堂练习 6. 试说明抛物线 y＝2(x－1)2 与 y＝2(x－1)2＋5 的异同． 解：相同点：(1)它们的形状相同，开口方向相同； (2)它们的对称轴相同，都是 x＝1. 当x＜1时都是左降，当 x＞1 时都是右升； (3)它们都有最小值． 不同点：(1)顶点坐标不同．y＝2(x－1)2的顶点坐标 是 (1，0)，y＝2(x－1)2＋5 的顶点坐标是(1，5)； (2) y ＝ 2(x－1)2 的最小值是 0， y ＝ 2(x－1)2＋5 的最小值是 5. 课堂练习 7. 抛物线 与 x 轴交于 B，C 两点，顶点为 A，则 △ABC 的周长为（ ） A. B. C. 12 D. B 课堂练习 8. 如图所示，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y＝x2 向左平移 1 个单位，再向下平移 4 个单位，得到抛物线 y＝(x－h)2＋k. 所得抛物线与 x 轴交于 A，B 两点(点 A 在点 B 的左边)，与 y 轴交于点 C，顶点为 D. (1) 求 h，k 的值； 解：(1)∵将抛物线 y＝x2 向左平移 1 个单位，再向下平移 4 个单位，得到抛物线 y＝(x＋1)2－4， ∴h＝－1，k＝－4； 课堂练习 (2) 判断△ACD的形状，并说明理由． (2) △ACD 为直角三角形． 理由如下：由 (1) 得 y＝(x＋1)2－4. 当 y＝0 时，(x＋1)2－4＝0，x＝－3 或 x＝1， ∴A(－3，0)，B(1，0)． 当 x＝0 时，y＝(x＋1)2－4＝(0＋1)2－4＝－3， ∴C点坐标为 (0，－3)． 顶点坐标为D (－1，－4)． 课堂练习 作出抛物线的对称轴 x＝－1交 x 轴于点 E，过 D 作 DF⊥y 轴于点 F，如图所示． 在 Rt△AED 中，AD2 ＝ 22＋42 ＝ 20； 在 Rt△AOC 中，AC2 ＝ 32＋32 ＝ 18； 在 Rt△CFD 中，CD2 ＝ 12＋12 ＝ 2. ∵AC2＋CD2＝AD2， ∴△ACD 是直角三角形． 课堂练习 1．[2025岳阳模拟]关于二次函数y＝(x＋1)2－2的图象，下列结论中正确的是(　　) A．对称轴为直线x＝1 B．与y轴交于点(0，－2) C．与x轴没有交点 D．当x<－1时，y随x的增大而减小 考试考法 24 【点拨】 A.对称轴为直线x＝－1，原说法错误，故该选项不符合题意；B.令x＝0，则y＝(x＋1)2－2＝－1，故与y轴交于点(0，－1)，原说法错误，故该选项不符合题意；C.抛物线y＝(x＋1)2－2的顶点为(－1，－2)，且开口向上，∴抛物线y＝(x＋1)2－2与x轴有两个交点，原说法错误，故该选项不符合题意； 考试考法 返回 D.∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝－1，∴当x<－1时，y随x的增大而减小，原说法正确，故该选项符合题意．故选D. 【答案】 D 考试考法 2．[2025威海]已知点(－2，y1)，(3，y2)，(7，y3)都在二次函数y＝－(x－2)2＋c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是(　　) A．y1>y2>y3 B．y1>y3>y2 C．y2>y1>y3 D．y3>y2>y1 C 返回 考试考法 27 3．抛物线y＝(x－a)2＋a－1的顶点一定不在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 返回 B 考试考法 28 4．已知点A(a，2)，B(b，2)，C(c，7)都在抛物线y＝(x－1)2－2上，且点A在点B的左侧，则下列选项正确的是(　　) A．若c＜0，则a＜c＜b B．若c＜0，则a＜b＜c C．若c＞0，则a＜c＜b D．若c＞0，则a＜b＜c D 返回 考试考法 29 5. 已知某二次函数y＝a(x－h)2＋k的部分图象如图所示，若y≤0，则x的取值范围为__________，其函数表达式为______________． 返回 －1≤x≤5 y＝(x－2)2－9　 考试考法 30 6．[2025怀化期末]将抛物线y＝(x＋3)2向下平移1个单位，再向右平移________个单位后，得到的新抛物线经过原点． 2或4 考试考法 31 返回 【点拨】抛物线y＝(x＋3)2向下平移1个单位后的表达式为y＝(x＋3)2－1，设抛物线向右平移h个单位后，得到的新抛物线经过原点，则新抛物线的表达式为y＝(x＋3－h)2－1.∵新抛物线经过原点，∴(3－h)2－1＝0，解得h＝2或4. 考试考法 7. 已知二次函数y＝a(x－1)2－a(a≠0)，当－1≤x≤4时，y的最小值为－4，则a的值为________． 返回 考试考法 33 8．如图，点P(a，3)在抛物线C：y＝4－(6－x)2上，且在对称轴的右侧． (1)写出抛物线C的对称轴和y的最大值，并求出a的值； 【解】抛物线C的对称轴为直线x＝6，y的最大值为4.当y＝3时，3＝4－(6－x)2，解得x＝5或x＝7.∵点P在对称轴的右侧，∴a＝7. 考试考法 34 (2)坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点P及C的一段，分别记为P′，C′.平移该胶片，使C′所在抛物线对应的函数表达式恰好为y＝－(x－3)2.求点P′移动的最短路程． 考试考法 35 返回 考试考法 返回 B 考试考法 37 考试考法 38 考试考法 39 返回 【答案】 D 考试考法 ①③ 考试考法 41 一般地，抛物线 y = a(x-h)2+k 与y = ax2 形状相同，位置不同. 二次函数 y = a(x-h)2 + k 的图象和性质 图象特点 当 a > 0，开口向上；当 a < 0，开口向下.对称轴是 x = h, 顶点坐标是(h，k). 平移规律 左右平移： 括号内左加右减； 上下平移： 括号外上加下减. 课堂小结 必做作业：从教材习题中选取； 选做作业：完成练习册本课时的习题. 作业 谢谢观看！ －或4 【解】∵平移后的抛物线的表达式为y＝－(x－3)2，∴平移后的顶点坐标为(3，0)．∵平移前抛物线的顶点坐标为(6，4)，∴点P′移动的最短路程为＝5. 9．如图，点A(m，5)，B(n，2)是抛物线C1：y＝(x－2)2＋1上的两点，将该抛物线向左平移，得到抛物线C2：y＝(x＋1)2＋1，点A，B的对应点分别为点A′，B′，则曲线段AB扫过的阴影部分的面积为(　　) A．6 B．9 C．12 D．15 10. 如图，抛物线y＝(x－h)2＋k的顶点在△AOB的边OA所在的直线上运动，△AOB的顶点A的坐标为(－2，1)，点B的坐标为(0，2)，若抛物线与△AOB的边AB，OA都有公共点，则h的取值范围是(　　) A．－≤h≤ B．－2≤h≤0 C．－1≤h≤ D．－2≤h≤ 【点拨】∵点A 的坐标为(－2，1)，∴易得直线OA的表达式为y＝－x.∵抛物线y＝(x－h)2＋k的顶点为(h，k)，且在直线OA上，∴k＝－h.∴抛物线对应的函数表达式为y＝(x－h)2－h. 当抛物线经过点O(0，0)时，将点O(0，0)的坐标代入y＝(x－h)2－h，得h2－h＝0，解得h1＝0，h2＝； 当抛物线经过点A(－2，1)时，将点A (－2，1)的坐标代入y＝(x－h)2－h，得(－2－h)2－h＝1，整理，得2h2＋7h＋6＝0，解得h1＝－2，h2＝－. 综上所述，h的取值范围是－2≤h≤. 11．[2025天津四十五中月考]如图，抛物线y1＝(x＋1)2＋1与y2＝a(x－4)2－3交于点A(1，3)，过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于B，C两点，且D，E分别为顶点，则下列结论：①a＝；②若连接AE，则AC＝AE； ③若连接AD，BD，则△ABD是等 腰直角三角形；④当x>1时，y1>y2. 其中正确的结论有________．(填序号) $