1.2 第3课时 二次函数y=a（x-h）2的图象与性质 课件-2025-2026学年湘教版（2012）数学九年级下册

该初中数学课件聚焦二次函数\(y = a(x - h)^2\)的图象及性质，通过“探究新知”环节以表格形式分析抛物线开口方向、对称轴和顶点坐标，衔接作图方法，搭建与\(y = ax^2\)的知识支架，引导学生逐步深入。 其亮点在于采用“问题驱动-典例示范-规律总结”教学路径，通过列表描点培养数学思维中的运算与推理能力，用“左加右减”提炼平移规律体现数学语言的简洁性，分层例题（如顶点与点求参数）提升模型意识，助力学生扎实掌握知识，便于教师高效教学。

第 1 页：封面 标题：1.2 第 3 课时 二次函数\(y=a(x-h)^2\)的图象与性质 副标题：湘教版九年级数学下册 配图：\(y=x^2\)、\(y=(x-2)^2\)、\(y=(x+1)^2\)抛物线叠加图（标注平移方向，用箭头指示） 落款：授课教师 / 日期 第 2 页：学习目标 知识与技能 会用描点法画出\(y=a(x-h)^2\)的图象，掌握其与\(y=ax^2\)图象的平移关系 理解并熟记\(y=a(x-h)^2\)的图象特征（开口、对称轴、顶点）及函数性质（增减性、最值） 能根据\(a\)和\(h\)的值分析抛物线的位置与性质，解决简单问题 过程与方法 通过 “对比画图→观察平移→归纳规律”，经历从具体到抽象的探究过程 培养数形结合思想，提升图象分析与规律总结能力 情感态度 感受函数图象平移的规律性与简洁性，增强数学学习的逻辑性与趣味性 第 3 页：复习回顾 —— 衔接旧知 回顾提问 二次函数\(y=ax^2\)（\(a≠0\)）的顶点坐标、对称轴分别是什么？（顶点\((0,0)\)，对称轴\(y\)轴） 当\(a＞0\)时，\(y=ax^2\)的增减性如何？（\(x＜0\)时\(y\)随\(x\)增大而减小，\(x＞0\)时\(y\)随\(x\)增大而增大） 情境引入 若将\(y=x^2\)的图象沿\(x\)轴左右平移，得到的新函数表达式会发生怎样的变化？新图象的顶点、对称轴又会如何改变？今天我们共同探究。 第 4 页：探究 1—— 画\(y=(x-2)^2\)与\(y=x^2\)的图象（对比） 操作步骤 列表：选取\(x=-1,0,1,2,3,4,5\)，分别计算\(y=x^2\)与\(y=(x-2)^2\)的函数值： \(x\) \(-1\) \(0\) \(1\) \(2\) \(3\) \(4\) \(5\) \(y=x^2\) \(1\) \(0\) \(1\) \(4\) \(9\) \(16\) \(25\) \(y=(x-2)^2\) \(9\) \(4\) \(1\) \(0\) \(1\) \(4\) \(9\) 描点连线：在同一坐标系中分别画出两个函数的图象，用不同颜色标注 观察分析 对比两个图象：\(y=(x-2)^2\)的图象是由\(y=x^2\)的图象向右平移 2 个单位得到的 新图象的顶点坐标：\((2,0)\)，对称轴：直线\(x=2\)（与平移距离一致） 第 5 页：探究 2—— 画\(y=(x+1)^2\)与\(y=x^2\)的图象（对比） 分组任务 学生独立列表（\(x=-4,-3,-2,-1,0,1,2\)），计算\(y=(x+1)^2\)的函数值： \(x\) \(-4\) \(-3\) \(-2\) \(-1\) \(0\) \(1\) \(2\) \(y=(x+1)^2\) \(9\) \(4\) \(1\) \(0\) \(1\) \(4\) \(9\) 在同一坐标系中画出\(y=(x+1)^2\)与\(y=x^2\)的图象 总结规律 \(y=(x+1)^2\)的图象是由\(y=x^2\)的图象向左平移 1 个单位得到的（\(x+1=x-(-1)\)，即\(h=-1\)） 新图象的顶点坐标：\((-1,0)\)，对称轴：直线\(x=-1\) 平移口诀：“\(h\)正右移，\(h\)负左移”（针对\(y=a(x-h)^2\)，\(h\)为正，图象向右平移\(|h|\)个单位；\(h\)为负，图象向左平移\(|h|\)个单位） 第 6 页：探究 3——\(a\)的符号与绝对值对\(y=a(x-h)^2\)图象的影响 对比画图（以\(h=2\)为例） 在同一坐标系中画出\(y=2(x-2)^2\)、\(y=(x-2)^2\)、\(y=-2(x-2)^2\)的图象（列表略，选取\(x=0,1,2,3,4\)） 特征分析 开口方向：\(a＞0\)时开口向上（\(y=2(x-2)^2\)、\(y=(x-2)^2\)）；\(a＜0\)时开口向下（\(y=-2(x-2)^2\)） 开口宽窄：\(|a|\)越大，开口越窄（\(y=2(x-2)^2\)比\(y=(x-2)^2\)开口窄）；\(|a|\)越小，开口越宽 顶点与对称轴：无论\(a\)取何值（\(a≠0\)），顶点始终为\((h,0)\)，对称轴始终为直线\(x=h\)（与\(a\)无关） 第 7 页：函数性质总结（\(y=a(x-h)^2\)，\(a≠0\)） 性质类别 具体内容（分情况讨论） 图象形状 抛物线，平移关系：由\(y=ax^2\)向 “\(h\)正右移，\(h\)负左移”$ 开口方向 \(a＞0\)时开口向上；\(a＜0\)时开口向下 对称轴 直线\(x=h\) 顶点坐标 \((h,0)\)（\(a＞0\)时为最低点，\(a＜0\)时为最高点） 最值 \(a＞0\)：当\(x=h\)时，\(y\)有最小值\(0\)；\(a＜0\)：当\(x=h\)时，\(y\)有最大值\(0\) 增减性 \(a＞0\)：\(x＜h\)时\(y\)随\(x\)增大而减小，\(x＞h\)时\(y\)随\(x\)增大而增大；\(a＜0\)：\(x＜h\)时\(y\)随\(x\)增大而增大，\(x＞h\)时\(y\)随\(x\)增大而减小 \(a\)的影响 \(a\)的符号决定开口方向与最值类型；$ 第 8 页：典例精析 例题 1：图象平移与性质分析 已知二次函数\(y=-3(x+4)^2\)，回答下列问题： （1）该函数图象是由\(y=-3x^2\)的图象如何平移得到的？ （2）求图象的开口方向、对称轴及顶点坐标； （3）当\(x\)为何值时，\(y\)取得最大值？最大值是多少？ （4）当\(x\)为何范围时，\(y\)随\(x\)的增大而增大？ 解答： （1）\(h=-4\)，故由\(y=-3x^2\)的图象向左平移 4 个单位得到； （2）\(a=-3＜0\)，开口向下；对称轴直线\(x=-4\)；顶点\((-4,0)\)； （3）当\(x=-4\)时，\(y\)取得最大值，最大值为\(0\)； （4）\(x＜-4\)时，\(y\)随\(x\)的增大而增大。 例题 2：根据性质求函数表达式 已知二次函数\(y=a(x-h)^2\)的图象经过点\((1,2)\)，且对称轴为直线\(x=3\)，开口向上，求该函数的表达式。 解答： 由对称轴\(x=3\)得\(h=3\)，函数表达式为\(y=a(x-3)^2\)； 将\((1,2)\)代入得\(2=a(1-3)^2\)，解得\(a=\frac{1}{2}\)； 故函数表达式为\(y=\frac{1}{2}(x-3)^2\)。 第 9 页：课堂练习 基础题：判断下列关于\(y=2(x-1)^2\)的说法是否正确： （1）图象由\(y=2x^2\)向右平移 1 个单位得到；（√） （2）开口向下；（×） （3）对称轴是直线\(x=-1\)；（×） （4）当\(x=1\)时，\(y\)取得最小值\(0\)。（√） 提升题：已知二次函数\(y=a(x-h)^2\)的图象经过点\((2,0)\)和\((0,8)\)，且开口向下，求该函数的表达式，并说明当\(x\)为何范围时\(y\)随\(x\)增大而减小。 （答案：顶点\((2,0)\)，故\(h=2\)，代入\((0,8)\)得\(a=2\)，但\(a＜0\)矛盾？修正：代入\((0,8)\)得\(8=a(0-2)^2\)，\(a=2\)不符合开口向下，此处设计错误，正确应为：假设图象经过\((2,0)\)（顶点）和\((0,2)\)，则\(a=\frac{1}{2}\)，若开口向下则\(a=-\frac{1}{2}\)，表达式\(y=-\frac{1}{2}(x-2)^2\)，\(x＞2\)时\(y\)随\(x\)增大而减小） 第 10 页：课堂小结 知识梳理（思维导图）： \(y=a(x-h)^2\)→ 图象平移（“\(h\)正右移，\(h\)负左移”）→ 性质（开口、对称轴、顶点、最值、增减性）→ 与\(y=ax^2\)的联系 核心结论： 平移只改变抛物线的位置（顶点、对称轴），不改变开口方向与宽窄（由\(a\)决定）； 分析\(y=a(x-h)^2\)的性质时，先确定\(a\)（开口、最值、增减性趋势）和\(h\)（对称轴、顶点位置），再结合两者综合判断。 第 11 页：作业布置 基础作业：教材 P18 第 1、2 题（画图 + 平移分析 + 性质应用） 提升作业：已知二次函数\(y=a(x-h)^2\)的图象经过点\((3,0)\)和\((1,4)\)，且当\(x＞3\)时\(y\)随\(x\)增大而减小，求该函数的表达式，并求当\(x=5\)时的函数值 实践作业：在平面直角坐标系中，用描点法画出\(y=(x-1)^2\)、\(y=(x+1)^2\)、\(y=2(x-1)^2\)的图象，观察并记录它们的顶点、对称轴及开口差异，拍照或画图提交 2025-2026学年湘教版数学九年级下册【示范课精品课件】 授课教师： . 班 级： . 时 间： . 1.2 第3课时 二次函数y=a（x-h）2的图象与性质 第1章 二次函数 a i T u j m i a N g 羽毛球的运动轨迹可以用y = ax2 的图象刻画,大家能回忆出二次函数 y = x2的性质吗？ 如果二次函数y = ax2 的图象与平移碰撞在一起,会擦出怎样的火花呢？让我们拭目以待吧！ 情境引入 门禁反映了图形的平移，大家还记得平移的要点吗？ 情景导入 x y O －2 2 2 4 6 4 －4 8 O' E F l' l 由于平移不改变图形的形状和大小，所以它仍是一条开口向上的抛物线 顶点为O'(1，0) 对称轴为直线l' 探究 问题1 把二次函数 的图象 E 向右平移 1个 单位，得到图形 F，图形 F 有什么特点？ 二次函数 y = a(x+h)² 的图象与性质 探究新知 把点 P 的横坐标 a加上 1，纵坐标 不变，即点 Q 的坐标为 . 问题2 抛物线 F是哪个函数的图象呢？ 在抛物线 上任取一点 ，它在向右移 1 个单位后，P 平移后的点 Q 的坐标是什么？ 探究新知 记 b = a+1，则 a = b-1. 从而点 Q 的坐标为 ， 这表明：点 Q 在函数 的图象上. 由此得出，抛物线 F 是函数 的图象. 探究新知 4. 对称轴是过点 O' (1,0) 且与 y 轴平行的直线 l'. (直线 l' 是由横坐标为 1 的所有点组成的，我们把直线 l' 记作直线 x = 1). 1. 函数图象是一条开口向上的抛物线； 2. 顶点是 O'（1，0）. 问题3 函数 有哪些性质呢？ 5. 在对称轴左边，y 随 x 的增大而减小，在对称轴右边，y 随 x 的增大而增大. 3. 在 x = 1处，y 有最小值，且为 0. x y O －2 2 2 4 6 4 －4 8 O' F l' 探究新知 类似地，可以证明二次函数 y = a(x-h)2的下列性质 y = a(x-h)2 a ＞ 0 a ＜ 0 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 x = h 直线 x = h 顶点坐标 （h,0） （h,0） 最值 当 x = h 时，y最小值 = 0 当 x = h 时，y最大值 = 0 增减性 当 x ＜ h 时，y 随 x 的增大而减小；x ＞ h 时，y 随 x 的增大而增大. 当 x ＞ h 时，y 随 x 的增大而减小；x ＜ h 时，y 随 x 的增大而增大. 知识要点 探究新知 指出下列函数图象的开口方向,对称轴和顶点坐标. 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 向上 直线 x = 3 ( 3，0 ) 直线 x = 2 直线 x = -1 向下 向上 ( 2，0 ) ( -1，0) 练一练 探究新知 问题4 如何画出 y = a(x- h)2 的图象呢？ 根据“列表、描点、连线”画出对称轴及图象在对称轴右边的部分，再利用对称性画出图象在对称轴左边的部分. 探究新知 典例精析 例1 画函数 的图象. 解：抛物线的对称轴是 x = -1，顶点坐标是(-1，0). 列表：自变量 x 从顶点的横坐标 -1 开始取值. x ··· －1 0 1 2 ··· ··· ··· 探究新知 x y -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 1 2 3 4 5 6 描点和连线： 画出图象在对称轴右边的部分； 画出左边的部分； 即得图象. 探究新知 例2 已知抛物线 y ＝ a(x－h)2 (a ≠ 0) 的顶点坐标是 (－2，0)，且图象经过点 (－4，2). (1) 求 a，h 的值； (2) 当 x 为何值时，函数值 y 随 x 增大而增大？ 解：(1)∵抛物线 y ＝ a(x－h)2 (a ≠ 0)的顶点坐标为(－2，0)，∴ h＝－2. 又∵抛物线 y ＝ a(x＋2)2 经过点 (－4，2)， ∴ a(－4＋2)2 ＝ 2. ∴ a ＝ . (2)当 x ＞ -2 时，函数值 y 随 x 的增大而增大. 探究新知 向右平移 1个单位 想一想 抛物线 ， 与抛物线 有什么关系？ 向左平移 1个单位 x y -4 -2 -1 o 1 2 3 4 1 2 3 4 5 6 二次函数 y = a(x-h)2 的图象与 y = ax2 的图象的关系 探究新知 知识要点 可以看作互相平移得到( h ＞ 0 ). 左右平移规律： 括号内左加右减；括号外不变. y = a(x-h)2 当向左平移 ︱h︱ 时 y = a(x+h)2 当向右平移 ︱h︱ 时 y = ax2 探究新知 典例精析 例3 抛物线 y＝ax2 向右平移 3 个单位后经过点(－1，4)，求 a 的值和平移后的函数关系式. 解：二次函数 y＝ax2 的图象向右平移 3 个单位后的二次函数关系式可表示为 y＝a(x－3)2， 把 x＝－1，y＝4代入，得4＝a(－1－3)2，a＝ ，∴平移后二次函数关系式为 y＝ (x－3)2. 探究新知 方法归纳：根据抛物线左右平移的规律，向右平移 3 个单位后，a 不变，括号内应“减去3”；若向左平移3个单位，括号内应“加上3”，即“左加右减”． 探究新知 1. 填空： (1) 的对称轴是_____，顶点坐标是______. x = 5 (5，0) (2) y = -3(x+2)2的对称轴是 ，顶点坐标是__ ___. x = -2 (-2，0) (3) 抛物线 y= -2(x+3)2是把抛物线 沿 x 轴向＿＿ 　　平移 个单位得到的． 　　它的开口向 ，对称轴是 ， 　　顶点坐标是 ， 　　当 x = 时，y有最 值，值是 . y = -2x2 左 3 下 （-3，0） x = -3 -3 大 0 课堂练习 2. 把抛物线 y = -x2 沿着 x 轴方向平移 3 个单位长度，那么平移后抛物线的表达式是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. y= -(x+3)2 或 y= -(x-3)2 3. 对于二次函数 y ＝ 9(x－1)2，下列结论正确的是 (　 ) 　A．y 随 x 的增大而增大 　B．当 x＞0时，y 随 x 的增大而增大 　C．当 x＝ －1时，y 有最小值 0 　D．当 x＞1时，y 随 x 的增大而增大 解析：因为 a＝9＞0，所以抛物线开口向上，且 h ＝1，　　　　 顶点坐标为 (1，0)， 所以当 x＞1时，y 随 x 的增大而增大．故选Ｄ. D 课堂练习 4 . 若（- ，y1）（ - ，y2）（ ，y3）为二次函数 y = (x-2)2 图象上的三点，则 y1 ，y2 ，y3 的大小关系为_______________. y1 ＞y2 ＞ y3 课堂练习 5. 向左或向右平移函数 y＝－　x2 的图象，能使得到的新的图象过点 (－9，－8) 吗？若能，请求出平移的方向和距离；若不能，请说明理由． 解：能，理由如下： 设平移后的函数为 y ＝－　(x－h)2， 将x＝－9，y＝－8代入得－8＝－　(－9－h)2， 所以 h＝－5或 h＝－13， 所以平移后的函数为 y ＝－　(x＋5)2 或 y ＝－　(x＋13)2. 即抛物线的顶点坐标为 (－5，0) 或 (－13，0)， 所以应向左平移 5 或 13 个单位． 课堂练习 对于抛物线y＝2(x－1)2，下列说法正确的有(　　) ①开口向上；②顶点坐标为(0，－1)；③对称轴为直线x＝1；④与x轴的交点坐标为(1，0)；⑤图象不经过第二、三象限． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 返回 C 考试考法 21 2．如图，小芳在坐标系内画出了y＝a(x＋3)2的图象，则她所选择的坐标原点是(　　)  A．P点 B．Q点 C．M点 D．N点 C 返回 考试考法 22 3．若点P(m，n)在抛物线y＝ax2(a≠0)上，则下列各点在抛物线y＝a(x＋1)2上的是(　　) A．(m，n＋1) B．(m＋1，n) C．(m，n－1) D．(m－1，n) 返回 D 考试考法 23 4. 在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax＋c和二次函数y＝a(x＋c)2的图象可能是(　　) B 返回 考试考法 24 返回 b<c<a 考试考法 25 返回 6. 三名同学分别说出了一个二次函数的一些特征： 小明：函数图象的顶点在x轴上； 小智：当自变量取1，3时，函数值相等； 小文：函数有最大值． 请你写出一个符合上述条件的二次函数表达式：_______________________． y＝－(x－2)2(答案不唯一) 考试考法 26 7．把抛物线y＝a(x－4)2向左平移6个单位后得到抛物线y＝－3(x－h)2.若抛物线y＝a(x－4)2的顶点为A，且与y轴交于点B，抛物线y＝－3(x－h)2的顶点是M. 考试考法 27 (1)求a，h的值； 【解】∵抛物线y＝a(x－4)2向左平移6个单位后得到抛物线y＝－3(x－h)2， ∴a＝－3，4－6＝h，∴h＝－2. 考试考法 28 (2)求S△MAB的值． 返回 考试考法 29 8．已知a>0，现有函数y1＝a(x－1)2，y2＝a(x－2)2，y3＝a(x－3)2.直线x＝m与函数y1，y2，y3的图象分别交于点A(m，c1)，B(m，c2)，C(m，c3)，下列说法正确的是(　　) A．若m<1，则c2<c3<c1 B．若1<m<2，则c1<c2<c3 C．若2<m<3，则c3<c2<c1 D．若m>3，则c3<c2<c1 考试考法 30 【点拨】如图所示．A.由图象可知，当m<1时，c1<c2<c3，故选项错误，不符合题意；B.由图象可知，当1<m<2时，c1<c2<c3不一定成立，故选项错误，不符合题意； 考试考法 返回 C.由图象可知，当2<m<3时，c3<c2<c1不一定成立，故选项错误，不符合题意；D.由图象可知，当m>3时，c3<c2<c1，故选项正确，符合题意．故选D. 【答案】 D 考试考法 考试考法 33 考试考法 34 返回 【答案】 D 考试考法 35 10. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2(a＞0)与y＝a(x－2)2交于点B，抛物线y＝a(x－2)2交y轴于点E，过点B作x轴的平行线与两条抛物线分别交于C，D两点，若点A是x轴上两条抛物线顶点之间的一点，连接AD，AC，EC，ED，则四边形ACED 的面积为________．(用含a的 式子表示) 8a 考试考法 36 返回 考试考法 37 二次函数 y = a(x - h)2 的图象及性质 图象性质 对称轴是 x = h； 顶点坐标是 (h，0)； a 的符号决定开口及增减性. 左右平移 平移规律： 括号内：左加右减；括号外不变. 课堂小结 必做作业：从教材习题中选取； 选做作业：完成练习册本课时的习题. 作业 谢谢观看！ 5．[2025长沙岳麓区期末]若A(－4，a)，B(－2，b)，C(1，c)为二次函数y＝(x＋1)2的图象上的三点，则a，b，c的大小关系是____________(用“<”连接)． 【解】∵抛物线y＝－3(x－4)2的顶点为A，且与y轴交于点B，∴点A(4，0)，B(0，－48)．∵抛物线y＝－3(x＋2)2的顶点是M，∴M(－2，0)．∴S△MAB＝×|4－(－2)|×|－48|＝144. 9．[2025常德期末]已知二次函数y＝－(x－h)2，当自变量x的值满足1≤x≤3 时，与其对应的函数值y的最大值为－2，则常数h的值为(　　) A．1或3 B．－1或1 C．3或5 D．－1或5 【点拨】由y＝－(x－h)2得函数图象开口向下，对称轴为直线x＝h.由题意得，当1≤h≤3时，y的最大值为0，故h<1或h>3.当h<1时，在1≤x≤3中，y随x的增大而减小，∴当x＝1时，y的最大值为－2.∴－(1－h)2＝－2，解得h＝－1或h＝3(舍去)； 当h>3时，在1≤x≤3中，y随x的增大而增大，∴当x＝3时，y的最大值为－2.∴－(3－h)2＝－2，解得h＝1(舍去)或h＝5.综上，常数h的值为－1或5. 【点拨】∵抛物线y＝ax2(a＞0)与y＝a(x－2)2交于点B，CD∥x轴且经过点B，∴BD＝BC＝2.∴DC＝4.∵y＝a(x－2)2＝ax2－4ax＋4a，∴E(0，4a)．∴S四边形ACED＝S△ACD＋S△CDE＝DC·4a＝×4×4a＝8a. $