1.2 第2课时 二次函数y=ax2(a＜0)的图象与性质 课件-2025-2026学年湘教版（2012）数学九年级下册

该初中数学课件聚焦二次函数\(y=ax^2\)（\(a＜0\)）的图象与性质，通过复习\(y=\frac{1}{2}x^2\)的列表描点连线画法，引导学生探究对称点坐标关系，以\(a＞0\)时的图象为支架，推导出\(a＜0\)时图象与x轴对称的结论，帮助学生建立前后知识联系。 其亮点在于运用几何直观分析对称点坐标，结合推理意识归纳系数a对开口大小的影响，通过铅球路线等实例建立数学与现实的联系，用表格对比总结\(a＞0\)与\(a＜0\)的性质。这能培养学生的探究能力和模型意识，教师可借助结构化流程和丰富例题提升教学效率。

第 1 页：封面 标题：1.2 第 2 课时 二次函数\(y=ax^2\)（\(a＜0\)）的图象与性质 副标题：湘教版九年级数学下册 配图：\(y=-x^2\)、\(y=-2x^2\)、\(y=-\frac{1}{2}x^2\)抛物线叠加图（标注\(a\)值，与\(a＞0\)时图象对比呈现） 落款：授课教师 / 日期 第 2 页：学习目标 知识与技能 会用描点法画出\(y=ax^2\)（\(a＜0\)）的图象，识别其抛物线形态 掌握\(y=ax^2\)（\(a＜0\)）的图象特征（开口、对称轴、顶点等）及函数性质（增减性、最值） 能对比\(a＞0\)与\(a＜0\)时二次函数的异同，形成完整认知 过程与方法 通过 “对比旧知→自主画图→分析特征→归纳性质”，提升逻辑推理与数形结合能力 经历从具体实例到抽象规律的推导过程，培养数学探究思维 情感态度 体会函数图象的对称美与规律美，增强数学学习的系统性与连贯性 第 3 页：复习对比 —— 衔接旧知 回顾提问（\(a＞0\)时） 二次函数\(y=ax^2\)（\(a＞0\)）的图象开口方向、顶点坐标分别是什么？（开口向上，顶点\((0,0)\)） 当\(a＞0\)时，函数的增减性如何？（\(x＜0\)时\(y\)随\(x\)增大而减小，\(x＞0\)时\(y\)随\(x\)增大而增大） 提出猜想（\(a＜0\)时） 若\(a\)取负数（如\(a=-1\)、\(a=-2\)），\(y=ax^2\)的图象开口方向会改变吗？顶点、增减性又会有怎样的变化？今天我们共同验证。 第 4 页：探究 1—— 用描点法画\(y=-x^2\)的图象 操作步骤 列表：选取\(x=-3,-2,-1,0,1,2,3\)，计算对应\(y\)值： \(x\) \(-3\) \(-2\) \(-1\) \(0\) \(1\) \(2\) \(3\) \(y=-x^2\) \(-9\) \(-4\) \(-1\) \(0\) \(-1\) \(-4\) \(-9\) 描点：在平面直角坐标系中，标记\(( -3,-9 )\)、\(( -2,-4 )\)等坐标点（强调与\(y=x^2\)描点位置的对称关系） 连线：用平滑曲线依次连接各点，观察图象 “开口向下” 的特征 学生活动：独立画图，对比\(y=x^2\)的图象，记录两者的相同点与不同点 第 5 页：探究 2—— 画\(y=-2x^2\)与\(y=-\frac{1}{2}x^2\)的图象 分组任务 第一组：列表并绘制\(y=-2x^2\)的图象（\(x\)取值同前） \(x\) \(-3\) \(-2\) \(-1\) \(0\) \(1\) \(2\) \(3\) \(y=-2x^2\) \(-18\) \(-8\) \(-2\) \(0\) \(-2\) \(-8\) \(-18\) 第二组：列表并绘制\(y=-\frac{1}{2}x^2\)的图象（\(x\)取值同前） \(x\) \(-3\) \(-2\) \(-1\) \(0\) \(1\) \(2\) \(3\) \(y=-\frac{1}{2}x^2\) \(-4.5\) \(-2\) \(-0.5\) \(0\) \(-0.5\) \(-2\) \(-4.5\) 课件展示：动态呈现三个函数图象叠加效果，同时对比\(a＞0\)时的图象，直观展示差异 第 6 页：图象特征分析（\(a＜0\)时） 共同特征 开口方向：均向下（类比 “碗口朝下”） 对称轴：都关于\(y\)轴（直线\(x=0\)）对称（与\(a＞0\)时相同） 顶点：都经过原点\((0,0)\)，且是图象的最高点（函数值最大处，与\(a＞0\)时 “最低点” 相反） 差异特征（\(a\)值影响） 对比\(y=-x^2\)（\(a=-1\)）、\(y=-2x^2\)（\(a=-2\)）、\(y=-\frac{1}{2}x^2\)（\(a=-\frac{1}{2}\)）： \(|a|\)越大，抛物线开口越 “窄”（下降越陡峭）；\(|a|\)越小，开口越 “宽”（下降越平缓）（与\(a＞0\)时规律一致） 课件动画：拖动\(a\)的滑块（\(a＜0\)），展示开口宽窄变化，同时对比\(a＞0\)时的动画效果 第 7 页：函数性质总结（\(y=ax^2\)，\(a＜0\)） 性质类别 具体内容 与\(a＞0\)时对比 图象形状 抛物线，开口向下 开口方向相反 对称轴 直线\(x=0\)（\(y\)轴） 相同 顶点坐标 \((0,0)\)（最高点） 顶点位置相同，“高低” 属性相反 最值 当\(x=0\)时，\(y\)有最大值\(0\)，无最小值 最值类型相反（最大值 vs 最小值） 增减性 当\(x＜0\)时，\(y\)随\(x\)的增大而增大；当\(x＞0\)时，\(y\)随\(x\)的增大而减小 增减性完全相反 \(a\)的影响 $ a 口诀辅助记忆：负开口下，轴过原点；顶点最高，值为零；左增右减，宽窄看\(|a|\)。 第 8 页：典例精析 例题 1：利用性质判断大小 已知函数\(y=-2x^2\)，比较下列各组中函数值的大小： （1）\(x_1=-3\)，\(x_2=-1\)时，\(y_1\)与\(y_2\)； （2）\(x_1=2\)，\(x_2=3\)时，\(y_1\)与\(y_2\)。 解答： （1）∵ \(a=-2＜0\)，\(x＜0\)时\(y\)随\(x\)增大而增大，且\(-3＜-1\)，∴ \(y_1＜y_2\)； （2）∵ \(a=-2＜0\)，\(x＞0\)时\(y\)随\(x\)增大而减小，且\(2＜3\)，∴ \(y_1＞y_2\)。 例题 2：求最值与函数值 已知\(y=ax^2\)（\(a＜0\)）的图象经过点\(( 2,-8 )\)，求： （1）\(a\)的值；（2）函数的最大值；（3）当\(x=-1\)时的函数值。 解答： （1）将\((2,-8)\)代入得\(-8=a×2^2\)，解得\(a=-2\)； （2）∵ \(a=-2＜0\)，∴ 当\(x=0\)时，\(y\)有最大值\(0\)； （3）当\(x=-1\)时，\(y=-2×(-1)^2=-2\)。 第 9 页：课堂练习 基础题：判断下列关于\(y=-3x^2\)的说法是否正确： （1）图象开口向下；（√） （2）对称轴是\(x=0\)；（√） （3）当\(x=0\)时，\(y\)取得最小值\(0\)；（×） （4）当\(x＜0\)时，\(y\)随\(x\)增大而增大。（√） 提升题：已知函数\(y=ax^2\)的图象经过点\(( -2,-4 )\)，判断点\(( 3,-9 )\)是否在该图象上，并说明理由。 （答案：\(a=-1\)，将\(x=3\)代入得\(y=-9\)，故点\((3,-9)\)在图象上） 第 10 页：课堂小结 知识梳理（对比表格）： 对比维度 \(y=ax^2\)（\(a＞0\)） \(y=ax^2\)（\(a＜0\)） 开口方向 向上 向下 顶点属性 最低点 最高点 最值 最小值\(0\) 最大值\(0\) 增减性（\(x＜0\)） 减小 增大 增减性（\(x＞0\)） 增大 减小 核心结论： \(a\)的符号决定抛物线开口方向与最值类型，\(|a|\)决定开口宽窄； 研究二次函数性质需结合图象，通过对比加深理解。 第 11 页：作业布置 基础作业：教材 P15 第 3、4 题（画图 + 性质应用） 提升作业：已知\(y=ax^2\)（\(a≠0\)）的图象经过点\(( 1,k )\)和\(( -2,4k )\)，求\(a\)与\(k\)的关系，并判断当\(a＜0\)时，\(x=3\)对应的函数值与\(k\)的大小关系 实践作业：观察生活中开口向下的抛物线物体（如喷泉下落轨迹、伞面轮廓），用坐标大致描述其形状，并分析对应的\(a\)值特征 2025-2026学年湘教版数学九年级下册【示范课精品课件】 授课教师： . 班 级： . 时 间： . 1.2 第2课时 二次函数y=ax2(a＜0)的图象与性质 第1章 二次函数 a i T u j m i a N g 复习引入 列表； 描点； 连线. 你还记得如何画 的图象吗？ x 0 1 2 3 4 0 8 4.5 2 0.5 x y O -2 2 2 4 6 4 -4 8 情景导入 我们已经画出了 的图象，能不能从它得出二次函数 的图象呢？ 合作探究 抛物线 y = ax2 (a<0) 的图象 情景导入 1. 在 的图象上任取一点 P( )， 它关于 x 轴的对称点 Q 的坐标是 ( ). 2. 点 Q 的坐标是否在 的图象上？ y x O P Q 3. 由此推测 的图象与 的图象是否关于 x 轴对称？ 在 是关于 x 轴对称. 探究新知 4. 你怎样得到 的图象？ 因此只要把 的图象沿着x 轴翻折将图象“复制”出来，就得到 的图象. y x O P Q 探究新知 例1 函数 y =﹣a（x+a）与 y =﹣ax2（a ≠ 0）在同一坐标系上的图象是（　　） 典例精析 A． B． C． D． 探究新知 解析：函数 y =﹣a(x+a) =﹣ax﹣a2 的常数项﹣a2 一定小于零，函数 y=﹣a(x+a) 与 y 轴一定相交于负轴．故选D． B. 由一次函数的图象可知 a ＜ 0，由二次函数的图象可知 a ＞ 0，两者相矛盾； C. 由一次函数的图象可知 a ＞ 0，由二次函数的图象可知 a ＜ 0，两者相矛盾； A． B． C． D． 探究新知 说说二次函数 的图象有哪些性质，与同伴交流. o x y 1. 是一条曲线； 2. 图象开口向下； 3. 图象关于 y 轴对称； 4. 与对称轴的交点为( 0 ，0 )； 5. “左升”，“右降”； 6. x = 0 时，函数值最大，且为 0. 议一议 抛物线 y = ax2 ( a ＜ 0 )的性质 探究新知 解：（1）根据题意得 m－3 ≠ 0 且 m2－2m－6 = 2， 解得 m1 = －2，m2 = 4． 所以满足条件的 m 的值为－2 或 4； （2）∵当 m－3 ＞ 0 时，图象有最低点， ∴ m = 4，此时二次函数的解析式为 y = x2， ∴当 x ＞ 0 时，y 随 x 的增大而增大. 例2 已知函数 是关于 x 的二次函数． （1）求满足条件的 m 的值； （2）当 m 为何值时，它的图象有最低点？此时当 x 为 何值时，y 随 x 的增大而增大？ 探究新知 （3）∵当 m－3 ＜ 0 时，图象有最高点， ∴ m = －2，此时二次函数的解析式为 y = －5x2， ∴当 x ＞ 0 时，y 随 x 的增大而减小． （3）当 m 为何值时，它的图象有最高点？此时当x 为何值时，y 随 x 的增大而减小？ 探究新知 问题1 画二次函数 的图象. x 0 1 2 3 4 0 －1 －4 列表 合作探究 探究新知 描点和连线：画出图象在 y 轴右边的部分，再利用对称性画出 y 轴左边的部分. 这样我们得到了 的图象，如图. y －2 －4 2 4 －2 －4 x o 探究新知 问题2 观察图 的图象跟实际生活中的什么相像？ 的图象很像掷铅球时，铅球在空中经过的路线 x O y －2 －4 2 4 －2 －4 探究新知 以铅球在空中经过的路线的最高点为原点建立直角坐标系，x 轴的正方向水平向右，y 轴的正方向竖直向上， 则可以看出铅球在空中经过的路线是形式为 的图象的一段. x O y -2 －-4 2 4 -2 -4 这条抛物线关于 y 轴对称，y 轴就 是它的对称轴. 对称轴与抛物 线的交点叫做 抛物线的顶点. 受此启发，把 二次函数 y= ax2 的 图象这样的曲线 叫做抛物线. 归纳总结 探究新知 x y O －2 2 －2 －4 －6 4 －4 －8 相同点：开口都向下，顶点是原点而且是抛物线的最低点，对称轴是 y 轴，增减性相同. 不同点：a 越小，即 |a| 越大，抛物线的开口越小． 问题3 在同一坐标系中，画出函数 y = -x2, y = -2x2, 的图象，并考虑这些抛物线有什么共同点和不同点． 对于二次函数 y = ax2,|a| 越大，抛物线的开口越小. 系数 a 对图象的影响 探究新知 1. 下列函数中，当 x ＞ 0 时，y 值随 x 值增大而减小的是（ ） A. y = B. y = x - 1 C. D. y= -3x2 D 2. 抛物线 y ＝ －4x2 不具有的性质是 (　　) A．开口向上 B．对称轴是y轴 C．在对称轴的左侧，y 随 x 的增大而增大 D．最高点是原点 A 课堂练习 3. 函数 y = -3x2 的图象的开口 ， 对称轴 ，顶点是 ； 在对称轴的左侧， y随x的增大而 ， 在对称轴的右侧， y随x的增大而 . 向下 y轴 (0,0) 减小 增大 y O x 课堂练习 4. 当 ab > 0 时，抛物线 y ＝ ax2 与直线 y ＝ ax ＋ b在同一直角坐标系中的图象大致是 (　　) 解析：根据 a、b 的符号来确定． 当 a > 0 时，抛物线 y ＝ ax2 的开口向上．∵ ab > 0，∴ b > 0 . ∴直线 y ＝ ax＋b过第一、二、三象限；当a < 0 时，抛物线 y ＝ ax2 的开口向下．∵ab > 0，∴b < 0.∴直线 y ＝ ax＋b 过第二、三、四象限． 故选 D. D 课堂练习 5. 如图，四个二次函数图象中，分别对应：① y ＝ax2；② y ＝ bx2；③ y ＝ cx2；④ y ＝ dx2，则 a、b、c、d 的大小关系为(　　) A．a > b > c > d B．a > b > d > c C．b > a > c > d D．b > a > d >c 解析：∵抛物线 y ＝ ax2中，|a| 越大，抛物线的开口越小. ∴a > b > 0，|d| > |c| > 0， ∴d < c < 0，∴ a > b > 0 > c > d． A 课堂练习 返回 A 1. 小湘用软件绘制抛物线y＝－0.3x2时，将“－0.3”按成了“0.3”，和原图象相比，发生改变的是(　　) A．开口方向　　 B．开口大小 C．对称轴　　 D．顶点坐标 考试考法 20 考试考法 21 返回 C 考试考法 22 返回 A 考试考法 23 4. 当ab＞0时，函数y＝ax2与y＝ax＋b的图象可能是(　　) D 返回 考试考法 24 5. 已知(x1，y1)，(x2，y2)是二次函数y＝(a＋1)x2的图象上的两点，且当0<x1<x2时，有y1>y2，试写出不等式ax＜a的一个解x＝______________. 返回 2(答案不唯一) 考试考法 25 6．如图，正方形的边长为4，以正方形的中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数y＝2x2与y＝－2x2的图象，则阴影部分的面积是________． 8 考试考法 26 返回 【点拨】∵函数y＝2x2与y＝－2x2的图象关于x轴对称，∴阴影部分的面积是正方形面积的一半．∵正方形的边长为4，∴正方形的面积为16.∴阴影部分的面积是8. 考试考法 7．已知y＝(k＋2)xk2＋k－4是二次函数，且函数图象开口向下． (1)求k的值，并画出它的图象； 考试考法 28 (2)该图象的顶点坐标是________，若点(a，－9)在其图象上，则a的值是________； (0，0) ±3 考试考法 29 (3)如果点P(m，n)是此二次函数的图象上的一点，若－2≤m≤1，求n的取值范围． 【解】∵点P(m，n)是此二次函数的图象上的一点，且－2≤m≤1，∴当m＝－2时，n＝－(－2)2＝－4； 当m＝1时，n＝－12＝－1； 当m＝0时，n取最大值，为0. ∴当－2≤m≤1时，－4≤n≤0. 返回 考试考法 30 8. 定义新运算：a⊗b＝ 例如：4⊗5＝4×52，4⊗(－5)＝－4×(－5)2，则函数y＝2⊗x的图象大致为(　　) D 返回 考试考法 31 考试考法 32 返回 【答案】 B 考试考法 33 10．如图，直线y＝kx＋b(k≠0)与抛物线y＝ax2(a≠0)交于A，B两点，且点A的横坐标是－2，点B的横坐标是3， 考试考法 34 则以下结论中，正确的有(　　) ①抛物线y＝ax2(a≠0)的图象的顶点一定是原点； ②当x>0时，直线y＝kx＋b(k≠0)与抛物线y＝ax2(a≠0)的函数值都随着x的增大而减小； ③AB的长度可以等于5； ④△OAB有可能成为等边三角形； ⑤当－2<x<3时，ax2－kx>b. A．①② B．①②⑤ C．②③④ D．①②④⑤ 考试考法 35 【点拨】①抛物线y＝ax2(a≠0)的顶点坐标为(0，0)，故①说法正确；②由题图可知，k<0，a<0，二次函数图象的顶点坐标为(0，0)，所以当x>0时，直线y＝kx＋b(k≠0)与抛物线y＝ax2(a≠0)的函数值都随着x的增大而减小，故②说法正确；③由点A的横坐标是－2，点B的横坐标是3，若AB＝5，可得出直线AB与x轴平行，即k＝0，与已知k≠0矛盾，故③说法错误； 考试考法 36 ④当△OAB为等边三角形时，有OA＝OB，可得出直线AB与x轴平行，即k＝0，与已知k≠0矛盾，故④说法错误；⑤由ax2－kx>b，可知ax2>kx＋b，结合交点A，B的横坐标可判断当直线y＝kx＋b(k≠0)的图象在抛物线y＝ax2(a≠0)的下方时，x的取值范围为－2<x<3，故⑤说法正确．综上，正确的结论有①②⑤. 返回 【答案】 B 考试考法 37 考试考法 38 返回 考试考法 39 12. (1)已知四个点的坐标分别为A(－4，2)，B(－3，1)，C(－1，1)，D(－2，2)，若抛物线y＝ax2与四边形ABCD的边没有交点，则a的取值范围为___________________． 考试考法 40 考试考法 (2)已知△ABC的三个顶点坐标为A(－1，－1)，B(－1，3)，C(－3，－3)，将△ABC向右平移m(m>0)个单位后，△ABC某一边的中点恰好落在二次函数y＝－2x2的图象上，则m的值为________． 1或2或3 考试考法 42 y ＝ ax2 a > 0 a < 0 图象 位置开 口方向 对称性 顶点最值 增减性 开口向上 开口向下 a 的绝对值越大，开口越小 关于 y 轴对称，对称轴方程是直线 x＝0 顶点坐标是原点（0，0） 当 x = 0 时，y最小值 = 0 当 x = 0 时，y最大值 = 0 在对称轴左侧递减 在对称轴右侧递增 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递减 y O x y O x 课堂小结 必做作业：从教材习题中选取； 选做作业：完成练习册本课时的习题. 作业 谢谢观看！ 2．下列说法错误的是(　　) A．在二次函数y＝－5x2中，当x＝0时，y有最大值，最大值是0 B．在二次函数y＝－x2中，当x＞0时，y随x的增大而减小 2．下列说法错误的是(　　) C．在三条抛物线y＝2x2，y＝－0.5x2，y＝－x2中，y＝2x2的图象开口最大，y＝－x2的图象开口最小 D．不论a是正数还是负数，抛物线y＝ax2(a≠0)的顶点一定是坐标原点 3．已知点A(－1，y1)，B(－，y2)，C(－2，y3)在二次函数y＝－x2的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是(　　) A．y1>y2>y3 B．y1>y3>y2 C．y3>y2>y1 D．y2>y1>y3 【解】根据题意，得 解得k＝－3.∴二次函数的表达式为y＝－x2，其图象如图所示． 9．如图，在平面直角坐标系中，平行于x轴的直线y＝－2与二次函数y＝－x2，y＝ax2的图象分别交于点A，B和点C，D，若CD＝2AB，则a＝(　　) A．－4 B．－ C．－2 D．－ 【点拨】设直线y＝－2与y轴交于点E.∵直线y＝－2与二次函数y＝－x2的图象交于A，B两点，当y＝－2时，－x2＝－2，解得x＝±，∴A(－，－2)，B(，－2)． ∴AB＝2.又∵CD＝2AB，∴CD＝4.由二次函数图象的对称性可得CE＝DE＝2.∴D(2，－2)．将点D的坐标代入y＝ax2，得8a＝－2，解得a＝－. 11. 如图，分别过点Pi(i，0)(i＝1，2，…，2 025)作x轴的垂线，交直线y＝x于点Ai，交抛物线y＝－x2(x＞0)于点Bi，则＋＋…＋的值为________． 【点拨】∵过点Pi(i，0)(i＝1，2，…，2 025)作x轴的垂线，交直线y＝x于点Ai，交抛物线y＝－x2(x＞0)于点Bi，∴Ai(i，i)，Bi(i，－i2)．∴AiBi＝i＋i2.∴＝＝＝－.∴＋＋…＋＝－＋－＋…＋－＝1－＝. a>1或0<a<或a<0 【点拨】①当a<0时，恒成立；②当a>0时，将点C(－1，1)的坐标代入y＝ax2，得a＝1，将点B(－3，1)的坐标代入y＝ax2，得a＝，将点A(－4，2)的坐标代入y＝ax2，得a＝.∵抛物线y＝ax2与四边形ABCD的边没有交点，∴a>1或0<a<.综上，a的取值范围为a>1或0<a<或a<0. $