1.2 第1课时 二次函数y=ax2(a＞0)的图象与性质 课件-2025-2026学年湘教版（2012）数学九年级下册

该初中数学课件聚焦二次函数y=ax²的图象及性质，通过观察图象中点的关系、函数值变化等问题导入，结合描点法和对称性引导学生探究画法，搭建从具体图象到抽象性质的学习支架，衔接前后知识。 其亮点是以问题驱动探究，通过观察猜测培养数学眼光（几何直观），提供多解法（代入、图象、对称性）发展数学思维（推理意识），结合菱形等实例强化数学语言（模型意识）。学生能提升探究能力，教师可高效开展教学。

0"title=" 湘教版九年级数学 1.2.1 二次函数 y=ax²(a＞0) 的图象与性质教学课件 "genre=""> 第 1 页：封面 标题：1.2.1 二次函数\(y=ax^2\)（\(a＞0\)）的图象与性质 副标题：湘教版九年级数学下册 配图：动态渐变的\(y=x^2\)、\(y=2x^2\)抛物线叠加图（标注\(a\)值） 落款：授课教师 / 日期 第 2 页：学习目标 知识与技能 会用描点法画出\(y=ax^2\)（\(a＞0\)）的图象，明确其 “抛物线” 形态 掌握\(y=ax^2\)（\(a＞0\)）的图象特征（开口、对称轴、顶点等） 理解并熟记\(y=ax^2\)（\(a＞0\)）的函数性质（增减性、最值） 过程与方法 通过 “画图→对比→归纳”，经历从具体到抽象的性质推导过程 培养数形结合思想，提升观察、分析和总结能力 情感态度 感受函数图象的对称性与美感，增强数学探究的主动性 第 3 页：复习回顾 —— 衔接旧知 回顾提问 上节课我们学习了二次函数的一般形式，其关键条件是什么？（\(y=ax^2+bx+c\)，\(a≠0\)） 最简二次函数\(y=ax^2\)中，当\(a=1\)时，图象是什么形状？（抛物线，开口向上） 引出新课 当\(a\)取不同正数（如\(a=2\)、\(a=\frac{1}{2}\)）时，\(y=ax^2\)的图象会发生怎样的变化？性质又有哪些共性？今天我们共同探究。 第 4 页：探究 1—— 用描点法画\(y=x^2\)的图象 操作步骤 列表：选取\(x\)的整数值（\(-3,-2,-1,0,1,2,3\)），计算对应\(y\)值： \(x\) \(-3\) \(-2\) \(-1\) \(0\) \(1\) \(2\) \(3\) \(y=x^2\) \(9\) \(4\) \(1\) \(0\) \(1\) \(4\) \(9\) 描点：在平面直角坐标系中，标记\(( -3,9 )\)、\(( -2,4 )\)等坐标点 连线：用平滑曲线依次连接各点，强调 “从左到右自然过渡，不描成折线” 学生活动：在练习本上独立完成画图，教师巡视指导 第 5 页：探究 2—— 画\(y=2x^2\)与\(y=\frac{1}{2}x^2\)的图象 分组任务 第一组：列表并绘制\(y=2x^2\)的图象（\(x\)取值同前） \(x\) \(-3\) \(-2\) \(-1\) \(0\) \(1\) \(2\) \(3\) \(y=2x^2\) \(18\) \(8\) \(2\) \(0\) \(2\) \(8\) \(18\) 第二组：列表并绘制\(y=\frac{1}{2}x^2\)的图象（\(x\)取值同前） \(x\) \(-3\) \(-2\) \(-1\) \(0\) \(1\) \(2\) \(3\) \(y=\frac{1}{2}x^2\) \(4.5\) \(2\) \(0.5\) \(0\) \(0.5\) \(2\) \(4.5\) 课件展示：动态呈现三个函数图象叠加效果，标注各函数对应的\(a\)值 第 6 页：图象特征分析（\(a＞0\)时） 共同特征 开口方向：均向上（类比 “碗口朝上”） 对称轴：都关于\(y\)轴（直线\(x=0\)）对称 顶点：都经过原点\((0,0)\)，且是图象的最低点（函数值最小处） 差异特征（\(a\)值影响） 对比\(y=x^2\)（\(a=1\)）、\(y=2x^2\)（\(a=2\)）、\(y=\frac{1}{2}x^2\)（\(a=\frac{1}{2}\)）： \(a\)值越大，抛物线开口越 “窄”（上升越陡峭） \(a\)值越小，抛物线开口越 “宽”（上升越平缓） 课件动画：拖动\(a\)的滑块（\(a＞0\)），直观展示开口宽窄变化 第 7 页：函数性质总结（\(y=ax^2\)，\(a＞0\)） 性质类别 具体内容 图象形状 抛物线，开口向上 对称轴 直线\(x=0\)（\(y\)轴） 顶点坐标 \((0,0)\)（最低点） 最值 当\(x=0\)时，\(y\)有最小值\(0\)，无最大值 增减性 当\(x＜0\)时，\(y\)随\(x\)的增大而减小；当\(x＞0\)时，\(y\)随\(x\)的增大而增大 \(a\)的影响 \(a\)越大，开口越窄；\(a\)越小，开口越宽 口诀辅助记忆：正开口上，轴过原点；顶点最低，值为零；左减右增，宽窄看\(a\)。 第 8 页：典例精析 例题 1：利用性质判断大小 已知函数\(y=3x^2\)，比较下列各组中函数值的大小： （1）\(x_1=-2\)，\(x_2=-1\)时，\(y_1\)与\(y_2\)； （2）\(x_1=1\)，\(x_2=2\)时，\(y_1\)与\(y_2\)。 解答： （1）∵ \(a=3＞0\)，\(x＜0\)时\(y\)随\(x\)增大而减小，且\(-2＜-1\)，∴ \(y_1＞y_2\)； （2）∵ \(a=3＞0\)，\(x＞0\)时\(y\)随\(x\)增大而增大，且\(1＜2\)，∴ \(y_1＜y_2\)。 例题 2：求最值 当\(x\)为任意实数时，求函数\(y=\frac{1}{3}x^2\)的最小值及对应的\(x\)值。 解答： ∵ \(a=\frac{1}{3}＞0\)，抛物线开口向上，顶点\((0,0)\)是最低点，∴ 当\(x=0\)时，\(y\)有最小值\(0\)。 第 9 页：课堂练习 基础题：判断下列关于\(y=4x^2\)的说法是否正确： （1）图象开口向下；（×） （2）对称轴是\(y\)轴；（√） （3）当\(x=0\)时，\(y\)取得最大值\(0\)；（×） （4）当\(x＞0\)时，\(y\)随\(x\)增大而增大。（√） 提升题：已知\(y=ax^2\)（\(a＞0\)）的图象经过点\(( -1,2 )\)，求\(a\)的值，并说明当\(x=2\)时的函数值。 （答案：\(a=2\)，\(y=8\)） 第 10 页：课堂小结 知识梳理（思维导图）： \(y=ax^2\)（\(a＞0\)）→ 图象（开口向上的抛物线）→ 性质（对称轴、顶点、最值、增减性、\(a\)的影响） 核心方法： 研究函数性质的关键：结合图象 “看特征、找规律” 比较函数值大小：先判断\(x\)所在区间，再利用增减性分析 第 11 页：作业布置 基础作业：教材 P12 第 1、2 题（画图 + 性质应用） 提升作业：若函数\(y=kx^2\)（\(k＞0\)）的图象经过点\(( 3,m )\)和\(( -2,n )\)，比较\(m\)与\(n\)的大小 实践作业：观察生活中开口向上的抛物线物体（如灯罩、碗），尝试用坐标大致描述其轮廓 2025-2026学年湘教版数学九年级下册【示范课精品课件】 授课教师： . 班 级： . 时 间： . 1.2 第1课时 二次函数y=ax2(a＞0)的图象与性质 第1章 二次函数 a i T u j m i a N g 1. 一次函数 y = kx+b (k ≠ 0) x y o b<0 b>0 b=0 x y o b<0 b>0 b=0 复习引入 你还记得一次函数与反比例函数的图象吗？ 情景导入 2. 反比例函数 0 x y 情景导入 画出 y=x2 的图象. 合作探究 x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y = x2 … 　 　 　 　 　 　 　 …　 9 4 1 0 1 9 4 1.列表：在 y = x2 中自变量 x 可以是任意实数.让 x 取0 和一些互为相反数的数，并算出相应的函数值. 二次函数 y = ax2(a>0) 的图象与性质 探究新知 2. 描点：根据表中 x，y 的数值在坐标平面中描点(x，y) 2 4 -2 -4 o 3 6 9 x y 探究新知 y = x2 的图象关于 y 轴对 称，y轴就是它的对称. -3 3 o 3 6 9 x y 图象在 y 轴右边的部分，函数 值随自变量取值的增大而增大， 简称为“右升”. A A' B B' 问题1：观察图象，点 A 和点 A' ，点 B 和点 B' ，…，它们有什么关系？由此你可以做出什么猜测？ 问题2：从图还可看出，y 轴右边描出的各点，当横坐标增大时，纵坐标怎样变化？ 探究新知 3.连线：再用一条光滑曲线把原点和 y 轴右边各点顺次连接起来；然后利用对称性，画出图象在 y 轴左边的部分（把 y 轴左边的对应点和原点用一条光滑曲线顺次连接起来），这样就得到了 y = x2 的图象. 2 4 -2 -4 o 3 6 9 x y 探究新知 函数 y = x2 性除了具有关于 y 轴对称和“右升”外，还具有哪些性质？ 议一议 x o y=x2 y 1. y＝x2 的图象是一条曲线; 2. 开口向上; 3. 图象与对称轴的交点为原点(0，0); 4. x<0 时，y 随 x 的增大而减小，简称“左降”； 5. 当 x=0时，函数值最小，且为0． 探究新知 例1 已知点(-1，y1)，(-3，y2)都在函数 y=x2 的图象上，则____________. 典例精析 y1＜y2 例1变式 已知点(－3，y1)，(1，y2)，( ，y3)都在函数 y＝x2 的图象上，试写出 y1、y2、y3 的大小关系． 解：方法一：把 x ＝ －3， ，1，分别代入 y＝x2 中， 得 y1＝9，y2＝1，y3＝2，则 y1＞y3＞y2； 探究新知 方法三：∵该图象的对称轴为 y 轴，a ＞ 0， ∴在对称轴的右边，y 随 x 的增大而增大， 而点(－3，y1)关于y 轴的对称点为(3，y1)． 又∵3＞ ＞1，∴y1＞y3＞y2. 方法二：如图，作出函数 y ＝ x2 的图象， 把各点依次在函数图象上标出．由图象可知 y1 ＞ y3 ＞ y2 . 探究新知 已知 是二次函数，且当 x＞0 时，y 随 x 增大而增大，则 k＝ . 分析： 是二次函数，即二次项的系数不为 0，x 的指数等于 2. 又因当 x＞0 时，y 随 x 增大而增大，即说明二次项的系数大于0. 因此， 解得 k＝2. 2 针对训练 探究新知 解：分别列表： x 0 1 2 3 4 ··· ··· x 0 0.5 1 1.5 2 ··· ··· 0 8 4.5 2 0.5 0 8 4.5 2 0.5 例2 在同一直角坐标系中，画出函数 的图象． 探究新知 x y O -2 2 2 4 6 4 -4 8 描点，连线 探究新知 x y O -2 2 2 4 6 4 -4 8 问题 二次函数 开口大小与 a 的大小有什么关系？ 当a＞0时，a的绝对值越大，开口越小. 探究新知 1. 二次函数 y = 2x2 的图象一定经过 （ ） A.第一、二象限 B.第三、四象限 C.第一、三象限 D.第二、四象限 2. 如右图，观察函数 y = (k-1)x2 的图象,则 k 的取值范围是 . O x y k > 1 A 课堂练习 3. 若抛物线 y = ax2 （a ≠ 0），过点（-1，2）. （1）则 a 的值是 ； （2）对称轴是 ，开口 . （3）与对称轴的交点是 ，该点是图象 上的最 值 . （4）若 A（x1，y1)，B(x2，y2) 在这条抛物线上，且 x1 < x2 <0，则 y1 y2. 2 y 轴 向上 （0，0） 小 > 课堂练习 4.已知 y ＝ (k＋2)xk2＋k 是二次函数． (1)求 k 的值； (2)画出函数的图象． 解：(1) ∵ y ＝ (k＋2)xk2＋k 为二次函数， ∴ k＋2 ≠ 0，k2＋k ＝ 2，解得 k＝1； (2) 当 k ＝ 1 时，函数的表达式为 y ＝ 3x2，用描点法画出函数的图象．列表： x 0 1 … y＝3x2 0 3 … 课堂练习 描点：(0，0)，( ， )，(1，3)． 连线：用光滑的曲线按 x 的从小到大的顺序连接各点，根据对称性做出另一部分，图象如图所示． 课堂练习 5. 直线 y=2x+3 与抛物线 y = ax2 交于 A、B 两点，已知 A 点的横坐标是 3，求 A、B 两点的坐标及抛物线的解析式． 解：∵直线 y = 2x+3与抛物线 y = ax2 交于 A、B 两点且 A 点的横坐标是 3， ∴点 A 的纵坐标 y = 2×3+3=9，∴点 A 的坐标为 (3，9)，将点 A 的坐标代入 y = ax2 得：a = 1. ∴抛物线的解析式为 y = x2. 解得： 或 ∴点 B 的坐标为 (-1，1)． 课堂练习 返回 A 1. 下列关于函数y＝36x2的叙述中，错误的是(　　) A．y有最大值 B．图象的对称轴是y轴 C．当x＞0时，y随x的增大而增大 D．图象的顶点是原点 考试考法 20 2．若点(－1，y1)，(0，y2)，(2，y3)都在二次函数y＝x2的图象上，则(　　) A．y3>y2>y1 B．y2>y1>y3 C．y1>y3>y2 D．y3>y1>y2 D 返回 考试考法 21 返回 C 考试考法 22 ①③② 考试考法 23 返回 考试考法 【解】这个函数图象的另一部分如图所示． 考试考法 25 (2)判断点(－2，－4)是否在这个函数图象上； 【解】当x＝－2时，y＝2≠－4， ∴点(－2，－4)不在这个函数图象上． 考试考法 26 (3)求当y＝4时对应的函数图象在第一象限的点的坐标． 返回 考试考法 27 6. 若(x1，y1)，(x2，y2)是抛物线y＝ax2(a>0)上两个不同的点，则(|x1|－|x2|)(y1－y2)为(　　) A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数 考试考法 28 【点拨】 ∵(x1，y1)，(x2，y2)是抛物线y＝ax2(a>0)上两个不同的点，∴x1≠x2，y1＝ax12，y2＝ax22.∴(|x1|－|x2|)·(y1－y2)＝a(|x1|－|x2|)(x1＋x2)(x1－x2)．当x1>0，x2>0时，原式＝a(x1－x2)(x1＋x2)(x1－x2)＝a(x1＋x2)(x1－x2)2.∵a>0，x1＋x2>0，(x1－x2)2>0，∴原式>0；当x1＝0，x2>0时，原式＝ax23>0；当x1＝0，x2<0时，原式＝－ax23>0. 考试考法 当x1<0，x2<0时，原式＝a(x2－x1)(x1＋x2)(x1－x2)．∵a>0，x1＋x2<0，(x2－x1)(x1－x2)<0，∴原式>0；当x1>0，x2<0时，原式＝a(x1＋x2)(x1＋x2)(x1－x2)＝a(x1－x2)(x1＋x2)2.∵a>0，x1－x2>0，(x1＋x2)2≥0， 考试考法 返回 ∴原式≥0.当x1>0，x2＝0时，原式＝ax13>0；当x1<0，x2＝0时，原式＝－ax13>0.当x1<0，x2>0时，原式＝a(－x1－x2)(x1＋x2)(x1－x2)＝－a(x1－x2)(x1＋x2)2.∵－a<0，x1－x2<0，(x1＋x2)2≥0，∴原式≥0.综上，(|x1|－|x2|)(y1－y2)为非负数．故选D. 【答案】 D 考试考法 2≤m≤4 7. 若直线y＝m(m为常数)与函数 的图象恒有两个不同的交点，则常数m的取值范围是________． 考试考法 32 返回 考试考法 8. 在平面直角坐标系中，已知点A在y轴正半轴上． (1)如图①，已知菱形ABCD的顶点B，C，D在二次函数y＝x2的图象上，且AD⊥y轴，则菱形的边长为_______． 考试考法 34 二次函数y=ax2的图象及性质 画法 描点法 先画对称轴一边的部分，再根据对称性画出另一边 图象 轴对称图形 性质 重点关注4个方面 开口方向及大小 对称轴 与对称轴的交点 增减性 课堂小结 必做作业：从教材习题中选取； 选做作业：完成练习册本课时的习题. 作业 谢谢观看！ 3． 已知矩形的长为2x cm，宽为x cm，面积为y cm2，下列图象能表示y与x之间的函数关系的是(　　) 4. 如图，在同一平面直角坐标系中，作出①y＝3x2；②y＝x2；③y＝x2的图象，则从里到外的二次函数的图象对应的函数表达式依次是________．(填序号) 【点拨】抛物线y＝ax2(a>0)的开口大小与a有关，a的值越大，开口越小．∵3>>，∴抛物线y＝x2的开口最大，抛物线y＝3x2的开口最小． 5．已知二次函数y＝x2，解答下列问题： (1)根据已知的部分图象(如图)画出这个函数图象的另一部分(直接在网格中作图即可)； 【解】当y＝4时，4＝x2，解得x＝±2，∴当y＝4时对应的函数图象在第一象限的点的坐标为(2，4)． 【点拨】分段函数y＝的图象如图．若要使直线y＝m(m为常数)与函数y＝ 的图象恒有两个不同的交点，则常数m 的取值范围为2≤m≤4. $