1.1 二次函数 课件-2025-2026学年湘教版（2012）数学九年级下册

该初中数学课件围绕二次函数展开，系统讲解定义、一般形式、自变量取值范围及列关系式等核心知识。课堂导入从示例公式切入，通过归纳总结引出定义，结合典例精析和练一练，搭建从具体实例到抽象概念的学习支架，帮助学生衔接前后知识。 其亮点在于融合数学眼光、思维与语言培养。通过矩形截正方形、正方形挖长方形等现实情境，引导学生抽象数量关系，发展抽象能力和模型意识。典例与考点强化推理意识，课堂小结系统梳理定义、形式及关键点，助力学生构建知识体系，也为教师提供清晰教学路径，提升教学效率。

第 1 页：封面 标题：1.1 二次函数 副标题：湘教版九年级数学下册 配图：篮球投篮轨迹、拱桥轮廓叠加的抛物线示意图 落款：授课教师 / 日期 第 2 页：学习目标 知识与技能 理解二次函数的实际意义与概念本质 掌握二次函数的一般形式及关键条件 能列出实际问题中的二次函数关系式 过程与方法 通过实例探究，经历 “变量关系→表达式归纳→概念形成” 的过程 初步体会数形结合与数学建模思想 情感态度 感受二次函数在生活中的广泛应用，激发探究兴趣 第 3 页：情境导入 —— 生活中的抛物线 视觉呈现（配图）： 体育场景：跳水运动员空中轨迹、足球射门弧线 建筑场景：石拱桥桥面轮廓、卫星天线截面 自然场景：喷泉水流轨迹、雨滴下落曲线 问题链： 这些图形有什么共同特征？（引出 “抛物线”） 这种曲线能否用函数关系描述？它与我们学过的一次函数有何不同？ 第 4 页：实例探究 —— 构建函数关系式 探究 1：几何问题（教材 P2 “动脑筋” 改编） 问题：用 100m 长的围栏靠墙围矩形植物园，相邻于墙面的边长为 x (m)，面积为 S (m²)，求 S 与 x 的关系。 推导：另一边长为 (100-2x) m，得 S=-2x²+100x（x 取值范围：0<x<50） 探究 2：经济问题 问题：某商品进价 8 元 / 件，售价 x 元 / 件，销售量为 (20-2x) 件，求利润 y 与 x 的关系。 推导：利润 = 单件利润 × 销量，得 y=(x-8)(20-2x)=-2x²+36x-160 探究 3：物理问题 问题：自由下落物体高度 h (m) 与时间 t (s) 的关系（忽略空气阻力），得 h=5t² 第 5 页：概念建构 —— 二次函数的定义 表达式特征分析（对比三个实例）： 都是整式函数 自变量的最高次数为 2 含有一个自变量和一个因变量 一般形式： y=ax²+bx+c（a、b、c 为常数，且 a≠0） 关键条件：二次项系数 a≠0（若 a=0，则退化为一次函数） 各部分名称：ax²（二次项）、bx（一次项）、c（常数项） 第 6 页：即时小练 —— 概念辨析 判断下列函数是否为二次函数（说明理由）： ① y=3x²+2x-1 ② y=2x-5 ③ y=-x² ④ y=ax²+bx+c 填空： 函数 y=(k-2) x²+3x-1 是二次函数，则 k 的取值范围是______。 第 7 页：图像初探 —— 最简二次函数 y=ax² 画图步骤（以 y=x² 为例）： 列表：取 x=-3,-2,-1,0,1,2,3，计算对应 y 值 描点：在平面直角坐标系中标记坐标点 连线：用平滑曲线连接各点（形成抛物线） 几何画板演示： 动态展示 y=x² 与 y=-x² 的图像生成过程 对比观察：开口方向、对称轴（y 轴）、顶点（原点）的差异 第 8 页：典例精析 例题：已知函数 y=(k²-5k+6) x^(k²-4k+3) 是二次函数。 求 k 的值； 当 k 为何值时，抛物线有最低点？写出最低点坐标，并说明 x 为何范围时 y 随 x 增大而增大。 解答过程： 由二次函数定义得： \(\begin{cases}k²-4k+3=2 \\ k²-5k+6≠0\end{cases}\) 解得 k=1（k=3 舍去，因 k=3 时二次项系数为 0） 抛物线有最低点需开口向上，即二次项系数 > 0： k=1 时，系数 = 1-5+6=2>0，最低点为 (0,0)，当 x≥0 时 y 随 x 增大而增大。 第 9 页：课堂小结 知识梳理（思维导图）： 二次函数→定义（y=ax²+bx+c,a≠0）→实际应用（列关系式）→最简图像（y=ax²） 核心提醒： 识别二次函数的关键：整式 + 自变量最高次 2+a≠0 抛物线 y=ax² 中，a 的符号决定开口方向（正上负下） 第 10 页：作业布置 基础作业：教材 P7 第 1、2 题（列关系式 + 概念判断） 实践作业：观察生活中 3 个抛物线实例，尝试用文字描述变量关系 拓展作业：用描点法画出 y=2x² 和 y=-2x² 的图像，对比其异同 2025-2026学年湘教版数学九年级下册【示范课精品课件】 授课教师： . 班 级： . 时 间： . 1.1 二次函数 第1章 二次函数 a i T u j m i a N g 通过表情包来辨别人物，最重要的是根据个人的特征，那么数学的特征是什么呢？ “数学根本上是玩概念的，不是玩技巧，技巧不足道也.” ------中科院数学与系统科学研究院 李邦河 如果变量 y 随着 x 而变化，并且对于 x 取的每一个值，y 总有唯一的一个值与它对应，那么称 y 是 x 的函数. 问题1 我们以前学过的函数的概念是什么？ 探究新知 函 数 一次函数 反比例函数 y = kx+b (k≠0) (正比例函数) y = kx (k≠0) 问题2 我们学过哪些函数？ 思考 一个边长为 x 的正方形的面积 y 为多少？y 是 x的函数吗？是我们学过的函数吗？ y = 6x2，对于 x 的每一个值，y 都有唯一的一个对应值，即 y 是 x 的函数.这个函数不是我们学过的函数. 思考：这种函数叫什么？这节课我们一起来学习吧. 探究新知 问题1：学校准备在校园里利用围墙的一段和篱笆墙围成一个矩形植物园，已知篱笆墙的总长度为 100 m，设与围墙相邻的一篱笆墙的长度都为 x（m），求矩形植物园的面积 S（m2）与 x 之间函数关系式. 即 二次函数的概念及建立二次函数模型 探究新知 问题2：某型号的电脑两年前的销售为 6000 元，现降价销售，若每年的平均降价率为 x，求现在售价 y （元）与平均降价率 x 之间的函数关系. 即 观察上面所列的函数表达式有什么共同点？它们与一次函数的表达式有什么不同？ 探究新知 像前面所列两式那样，如果函数的表达式是自变量的二次多项式，那么，这样的函数称为二次函数，它的一般形式是 y = ax²+bx+c (a，b，c 是常数，a≠0). 其中 x 是自变量，a 为二次项系数，ax2 叫做二次项； b 为一次项系数，bx 叫做一次项；c 为常数项. 归纳总结 探究新知 例1 (1) m 取什么值时，此函数是正比例函数？ (2) m 取什么值时，此函数是二次函数？ 解： (1) 由题可知 解得 (2) 由题可知 解得 m=3. 第 (2) 问易忽略二次项系数 a ≠ 0 这一限制条件，从而得出 m=3 或 -3 的错误答案，需要引起同学们的重视. 典例精析 注意 探究新知 1. 下列函数中,哪些是二次函数? 先化简后判断 练一练 是 不是 是 不是 探究新知 2. 把下列函数化成二次函数的一般式. (1) y = (x-2)(x-3)； (2) y = (x+2)(x-2)-2(x-1)2； (3) y = -2(x+3)2. 解：(1) y = (x-2)(x-3) = x2-5x+6; (2) y = (x+2)(x-2)-2(x-1)2 = -x2+4x-6; (3) y = -2(x+3)2 = -2x2-12x-18. 探究新知 例2 如图，一块矩形木板，长为 120 cm、宽为 80 cm，在木板 4 个角上各截去边长为 x (cm)的正方形，求余下面积 S (cm2) 与 x 之间的函数表达式. 分析：本问题中的数量关系是： 木板余下面积 = 矩形面积-截去面积. 解：木板余下面积 S 与截去正方形边长 x 有如下函数关系： S = 120×80-4×x2 = -4x2+9600，0＜x≤40. x 二次函数的自变量取值范围 探究新知 归纳总结 二次函数的自变量的取值范围是所有实数，但在实际问题中，它的自变量的取值范围会有一些限制. 探究新知 例3 一个正方形的边长是 12 cm，若从中挖去一个长为 2x cm，宽为 (x+1) cm的小长方形．剩余部分的面积为 y cm2. 写出 y 与 x 之间的函数关系式，并指出 y 是 x 的什么函数？ 解：由题意得 y ＝122－2x(x+1)， 又∵ x+1＜ 2x ≤ 12，∴1＜ x ≤ 6， 即 y ＝ －2x2－2x＋144 (1＜x≤6)， ∴ y 是 x 的二次函数. 分析：本题中的数量关系是： 剩余面积=正方形面积-长方形面积. 列二次函数关系式 探究新知 2. 函数 y = (m-n)x2+ mx+n 是二次函数的条件是( ) A . m，n 是常数,且m≠0 B . m，n 是常数,且n≠0 C. m，n 是常数,且m≠n D . m，n 为任何实数 C 1. 把 y = (2-3x)(6+x)变成一般式，二次项为_____， 一次项系数为______，常数项为 . -3x2 -16 12 课堂练习 3．下列函数是二次函数的是 ( ) A．y＝2x＋1 B． C．y＝3x2＋1 D． C 课堂练习 4. 矩形的周长为 16 cm，它的一边长为 x cm，面积为 y cm2.求: (1) y 与 x 之间的函数表达式及自变量 x 的取值范围； (2) 当 x = 3 时,矩形的面积. 解：(1) y＝(8－x)x ＝－x2＋8x (0＜x＜8)； (2) 当 x＝3时，y＝－32＋8×3＝15 . 课堂练习 返回 C 考试考法 16 2．关于函数y＝(500－10x)(40＋x)，下列说法不正确的是(　　) A．y是x的二次函数 B．二次项系数是－10 C．一次项是100 D．常数项是20 000 C 返回 考试考法 17 3．[2025长沙岳麓区模拟]下列函数关系中，是二次函数的是(　　) A．生产100吨钢材，工作效率x和工作时间y之间的关系 B．当速度为100 km/h时，汽车行驶的距离s与时间t之间的关系 C．长方形的周长一定时，长方形的长y与宽x之间的关系 D．高为14 m的圆柱形储油罐的体积为y m3，底面圆的半径为x m 返回 D 考试考法 18 4. 2025年5月18日，子弹库帛书《五行令》《攻守占》两件文物回到祖国，子弹库帛书于1942年在湖南省长沙市出土，是迄今发现的中国最早的帛书，对于学术史、思想史研究具有不可替代的价值．各地博物馆也因此迎来一波游览热潮．数据显示某博物馆5月第2周接待游客3.5万人，若平均每周的增长率为x，则5月第4周的游客人数y(万人)关于x的函数表达式是(　　) A．y＝3.5(1＋x) B．y＝3.5(1＋2x) C．y＝3.5(1＋x)2 D．y＝3.5x2 C 返回 考试考法 19 5．[2025常德期末]若关于x的二次函数y＝(k－2)·xk2－2k＋2＋kx＋1的二次项系数为a，一次项系数为b，常数项为c，则a＋b＋c＝________. －1 考试考法 20 【点拨】∵函数y＝(k－2)xk2－2k＋2＋kx＋1是关于x的二次函数，∴k－2≠0，k2－2k＋2＝2，解得k＝0.∴y＝－2x2＋1.∴a＝－2，b＝0，c＝1.∴a＋b＋c＝－2＋0＋1＝－1. 返回 考试考法 返回 6. 如图是一个运算程序示意图，若第一次输入1，则输出的结果是________． 11 考试考法 22 7. 已知一块边长为30 m的正方形草地． (1)如图①，先将正方形草地的一条边减少x m(0＜x＜10)，再将另一边增加x m，设变化后的草地的面积为S m2，则S________(填“是”或“不是”) 关于x的函数． 是 考试考法 23 (2)如图②，将正方形草地的相邻两边各增加x m，设扩充后的草地的面积为y m2. ①写出y与x之间的函数关系式； ②当x＝5时，求y的值． 【解】根据题意，得y＝(30＋x)2. 返回 当x＝5时，y＝(30＋5)2＝1 225. 考试考法 24  8. 某网络主播代销某品牌的电子产品，销售中发现每件售价为99元时，日销售量为200件，当电子产品的单价每下降5元时，日销售量会增加10件．已知每售出1件电子产品，该主播需支付厂家和其他费用共50元． 考试考法 25 D 返回 考试考法 26 返回 考试考法 27 二次函数 定 义 y = ax2+bx+c (a ≠0，a，b，c是常数） 一般形式 右边是整式； 自变量的指数是 2 ； 二次项系数 a ≠ 0. 特殊形式 y = ax2； y = ax2+bx； y = ax2+c (a ≠0，a，b，c是常数）. 课堂小结 必做作业：从教材习题中选取； 选做作业：完成练习册本课时的习题. 作业 谢谢观看！ 1．下列函数中，一定是二次函数的有(　　) ①y＝－2x2；②y＝x(1－x)；③y＝； ④y＝(2＋x)(2－x)＋x2；⑤y＝ax2＋bx＋c；⑥y＝5x3－3x2. A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 设每件电子产品的售价为x(元)，主播每天的利润为w(元)，则w与x之间的函数关系式为(　　) A．w＝(99－x)[200＋10(x－50)] B．w＝(x－50)[200＋10(99－x)] C．w＝(x－50)(200＋×10) D．w＝(x－50)(200＋×10) 1或－ 9．二次函数y＝(x－1)mx＋(x＋1)nx＋(m≠－n)的二次项系数与一次项系数的和为，差为2，则将其化为一般形式为__________________，当x＝0时，y＝______.当y＝时，x＝________. y＝x2－x＋ $