27.2.3.1切线--切线的判定与性质 课件-2025-2026学年华东师大版（2012）数学九年级下册

该初中数学课件聚焦圆的切线判定与性质，通过例2（直线过圆上点连半径证垂直）、例3（无交点作垂直证半径）等探究活动，结合方法归纳构建从具体问题到抽象辅助线技巧的学习支架，帮助学生掌握切线证明的核心方法。 其亮点在于以推理意识和抽象能力为核心，用反证法证明性质定理培养逻辑推理，通过“对比思考”归纳辅助线规律提升抽象能力。例题与练习题结合具体图形，如证明题1和2的对比，让学生形成结构化知识。学生能提升推理与问题解决能力，教师可借助清晰的方法总结提高教学效率。

第 1 页：封面 标题：27.2.3.1 切线 —— 切线的判定与性质 副标题：从判定条件到性质应用的逻辑深化 落款：初中数学教研组 第 2 页：学习目标与知识衔接 一、学习目标 掌握切线的判定定理，能根据 “半径垂直 + 直线过半径外端” 精准判定切线 深化切线的性质定理（切线垂直过切半径），能灵活运用性质解决线段计算、角度证明问题 理解切线判定与性质的逻辑关系（互逆思维），提升几何推理与证明能力 二、知识衔接（回顾旧知） 上节课核心：直线与圆相切的定义（1 个公共点）、数量关系（\( d = r \)），及切线的初步性质（切线垂直过切半径）； 思考提问：如何在未明确公共点或距离的情况下，判定一条直线是圆的切线？切线的性质除了 “垂直”，还能延伸出哪些应用？（引出判定定理与性质深化）。 第 3 页：一、切线的判定定理（核心：“二推一” 逻辑） 1. 判定定理的推导（从定义到定理） 定义回顾：直线与圆有且只有一个公共点（或\( d = r \)），则直线是圆的切线，但实际判定中 “公共点” 或 “距离” 常需间接验证； 关键观察：若直线\( l \)经过圆上一点\( T \)（即 “直线过半径外端”），且\( l \perp OT \)（\( OT \)为半径，即 “直线垂直于该半径”），则\( l \)与圆的距离\( d = OT = r \)，满足相切条件； 定理表述：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 2. 定理的构成要素（“二缺一不可”） 切线判定需同时满足两个条件，缺少任一条件均不成立： 条件 1（位置） 条件 2（数量） 结论 反例（缺少条件） 直线过半径外端 直线垂直于该半径 直线是圆的切线 1. 仅过外端不垂直：直线与圆相交（2 个公共点）；2. 仅垂直不过外端：直线与圆相离（无公共点） 3. 定理的几何语言与图形示意 几何语言：如图，在\( \odot O \)中，\( \because OT \text{æ�¯}\odot O \text{ç��å��å¾�ï¼�ç�´çº¿}l \perp OT \text{äº�}Tï¼�Tå�¨}l\text{ä¸�ï¼�} \quad \therefore l \text{æ�¯}\odot O \text{ç��å��线} \) 图形示意：画\( \odot O \)及半径\( OT \)，直线\( l \)过\( T \)且\( l \perp OT \)，标注 “切线\( l \)”“半径\( OT \)”“\( l \perp OT \)”，同时画出 “仅过外端不垂直”“仅垂直不过外端” 的反例图形，对比差异。 第 4 页：二、切线判定定理的应用（分层证明） 1. 类型 1：已知直线过圆上一点（“连半径，证垂直”） 解题思路：若已知直线与圆有公共点，连接该点与圆心（构造半径），证明直线与该半径垂直，即可判定为切线。 例题 1：基础证明 如图，\( AB \)是\( \odot O \)的直径，点\( C \)在\( \odot O \)上，\( AD \perp CD \)于\( D \)，且\( \angle CAD = \angle BAC \)，求证：\( CD \)是\( \odot O \)的切线。 证明：1. 连半径：连接\( OC \)（\( C \)在圆上，\( OC \)为半径）； 2. 证垂直： \( OA = OC \)（同圆半径相等）→\( \angle BAC = \angle OCA \)（等边对等角）； 已知\( \angle CAD = \angle BAC \)→\( \angle CAD = \angle OCA \)（等量代换）； 故\( OC \parallel AD \)（内错角相等，两直线平行）； 又\( AD \perp CD \)→\( OC \perp CD \)（平行线的传递性）； 下结论：\( OC \)是半径且\( OC \perp CD \)，由判定定理得\( CD \)是\( \odot O \)的切线。 2. 类型 2：未知直线与圆的公共点（“作垂直，证半径”） 解题思路：若未知直线与圆是否有公共点，过圆心作直线的垂线（构造垂线段），证明垂线段长度等于半径，即可判定为切线。 例题 2：进阶证明 如图，在\( \triangle ABC \)中，\( AB = AC \)，\( O \)是\( BC \)的中点，以\( O \)为圆心的圆与\( AB \)相切于点\( D \)，求证：\( AC \)与\( \odot O \)相切。 证明：1. 作垂直：过\( O \)作\( OE \perp AC \)于\( E \)（需证\( OE = \)半径）； 2. 连半径：连接\( OD \)（\( AB \)与圆相切于\( D \)，\( OD \perp AB \)，\( OD \)为半径）； 3. 证半径： \( AB = AC \)→\( \angle B = \angle C \)（等腰三角形底角相等）； \( O \)是\( BC \)中点→\( OB = OC \)； \( \angle ODB = \angle OEC = 90^\circ \)→\( \triangle OBD \cong \triangle OCE \)（AAS）； 故\( OD = OE \)（全等三角形对应边相等），即\( OE = \)半径； 下结论：\( OE \perp AC \)且\( OE = \)半径，由判定定理得\( AC \)与\( \odot O \)相切。 第 5 页：三、切线的性质定理（深化与延伸） 1. 核心性质定理（回顾与证明） 性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。 几何语言：若\( l \)是\( \odot O \)的切线，切点为\( T \)，则\( OT \perp l \)（\( OT \)为半径）； 证明思路：反证法 —— 假设\( OT \)不垂直于\( l \)，则圆心\( O \)到\( l \)的距离\( d < OT = r \)，直线与圆相交（与 “切线” 定义矛盾），故\( OT \perp l \)。 2. 性质定理的推论（“过心 / 过切，必过切 / 过心”） 基于性质定理，可推导两个重要推论，形成 “三线合一” 的特殊关系： 推论 1 推论 2 图形示意 经过圆心且垂直于切线的直线，必经过切点 经过切点且垂直于切线的直线，必经过圆心 切线\( l \)，过\( O \)作\( OT \perp l \)，则\( T \)是切点；过\( T \)作\( l \perp OT \)，则\( OT \)过\( O \) 3. 性质定理的应用场景 求线段长度（构造直角三角形，用勾股定理）； 求角度（利用直角三角形的内角和、互余关系）； 证明线段 / 角度关系（利用垂直的传递性、全等三角形）。 第 6 页：四、切线性质定理的应用（分层实例） 1. 应用 1：求线段长度 例题 3：基础计算 如图，\( PA \)是\( \odot O \)的切线，切点为\( A \)，\( PO \)交\( \odot O \)于\( B \)，若\( PB = 2 \)，\( PA = 4 \)，求\( \odot O \)的半径。 解：1. 由性质定理，\( OA \perp PA \)（\( OA \)为半径，设半径为\( r \)，则\( OA = OB = r \)）； 2. 在\( \text{Rt}\triangle OAP \)中，\( PO = PB + OB = 2 + r \)； 3. 由勾股定理：\( OA^2 + PA^2 = PO^2 \)； 代入数据：\( r^2 + 4^2 = (2 + r)^2 \)→\( r^2 + 16 = r^2 + 4r + 4 \)→\( 4r = 12 \)→\( r = 3 \)； 答：\( \odot O \)的半径为 3。 2. 应用 2：证明角度关系 例题 4：进阶证明 如图，\( AB \)是\( \odot O \)的直径，\( CD \)是\( \odot O \)的切线，切点为\( C \)，\( CD \perp AB \)的延长线于\( D \)，求证：\( \angle ACD = \angle ABC \)。 证明：1. 由性质定理，\( OC \perp CD \)（\( OC \)为半径，\( CD \)是切线）； 2. 又\( CD \perp AD \)→\( OC \parallel AD \)（垂直于同一直线的两直线平行）； 3. 故\( \angle ACD = \angle OCA \)（内错角相等）； 4. \( OA = OC \)→\( \angle OCA = \angle OAC \)（等边对等角）； 5. \( AB \)是直径→\( \angle ACB = 90^\circ \)（直径对直角），故\( \angle OAC + \angle ABC = 90^\circ \)； 6. 又\( \angle ACD + \angle OCA = 90^\circ \)（\( OC \perp CD \)），结合\( \angle ACD = \angle OCA = \angle OAC \)，得\( \angle ACD = \angle ABC \)。 第 7 页：五、判定与性质的逻辑关系及易错点解析 1. 判定与性质的互逆关系 切线判定定理：条件（过外端 + 垂直半径）→结论（直线是切线）（从 “线的特征” 推 “切线身份”）； 切线性质定理：条件（直线是切线）→结论（垂直过切半径）（从 “切线身份” 推 “线的特征”）； 二者是 “互逆” 逻辑，需明确 “已知什么，要证什么”，避免混淆应用场景。 2. 常见易错点 易错点 1：判定时缺少条件 —— 仅证明 “直线垂直于半径”，未证明 “直线过半径外端”（或反之），直接判定为切线； 易错点 2：性质应用时 “张冠李戴”—— 切线垂直于 “过切点的半径”，而非 “任意半径”（例：切线\( l \)切于\( T \)，误说\( OA \perp l \)，其中\( A \)不是切点）； 易错点 3：“作垂直，证半径” 时忽略垂直 —— 未过圆心作直线的垂线，直接用其他线段长度与半径比较； 易错点 4：计算时忽略直角三角形 —— 应用性质时未意识到 “切线与半径垂直” 可构造直角三角形，导致无法用勾股定理。 3. 避坑技巧 “判定两步走”：判定切线时，先检查 “是否过半径外端”“是否垂直于该半径”，两步均满足再下结论； “性质关键词记”：记 “切线必垂过切半径”，强调 “过切点” 三个字，画图时标注切点位置； “辅助线口诀”：判定切线的辅助线口诀 ——“已知公共点，连半径证垂直；未知公共点，作垂直证半径”； “直角标记法”：应用性质时，在图中用 “\( \perp \)” 标记切线与半径的垂直关系，提醒构造直角三角形。 第 8 页：课堂练习（分层设计） 一、基础题 如图，\( OA \)是\( \odot O \)的半径，\( AB \perp OA \)于\( A \)，\( AB = 3 \)，\( OA = 4 \)，则\( OB = \)，直线\( AB \)与\( \odot O \)的位置关系是（答案：5；相切）； 证明：经过半径外端且垂直于该半径的直线是圆的切线（提示：用定义 “\( d = r \)” 证明）。 二、提升题 如图，\( \triangle ABC \)中，\( AB = AC \)，以\( AB \)为直径作\( \odot O \)交\( BC \)于\( D \)，过\( D \)作\( DE \perp AC \)于\( E \)，求证：\( DE \)是\( \odot O \)的切线（提示：连\( OD \)，证\( OD \parallel AC \)）； 已知\( PA \)切\( \odot O \)于\( A \)，\( OP = 5 \)，\( \odot O \)的半径为 3，求\( PA \)的长度（答案：4，提示：用勾股定理）。 第 9 页：课堂小结与作业布置 一、课堂小结 切线判定：核心是 “过半径外端 + 垂直于该半径”，辅助线分 “连半径证垂直”（已知公共点）和 “作垂直证半径”（未知公共点）； 切线性质：核心是 “切线垂直于过切半径”，可延伸出 “过心 / 过切垂直切线，必过切 / 过心”，常用于构造直角三角形； 逻辑关系：判定与性质互逆，需根据 “已知条件” 选择应用，避免混淆； 思想方法：辅助线构造（半径、垂线）、数形结合（直角三角形计算）、反证法（性质证明）。 二、作业布置 必做：教材中 “切线的判定与性质” 基础证明题（2 道）和计算题（1 道）； 选做：如图，\( AB \)是\( \odot O \)的直径，\( C \)是\( \odot O \)上一点，\( BD \)是\( \odot O \)的切线，\( BD = BC \)，\( OD \)交\( BC \)于\( E \)，求证：\( OE = \frac{1}{2}AC \)（提示：用切线性质和三角形中位线定理）。 2025-2026学年华东师大版数学九年级下册【示范课精品课件】 授课教师： . 班 级： . 时 间： . 27.2.3.1切线--切线的判定与性质 第27章 圆 a i T u j m i a N g 情境引入 转动雨伞时飞出的雨滴，用砂轮磨刀时擦出的火花，都是沿着什么方向飞出的？ 都是沿切线方向飞出的. 生活中常看到切线的实例，如何判断一条直线是否为切线呢？学完这节课，你就都会明白. 情景导入 从图可以看出来，对直线 l 上除点 A 外的任一点 P，必有 OP＞OA，即点 P 位于圆外，从而可知直线与圆只有一个公共点，所以直线 l 是圆的切线. P l 如图，画一个圆 O 及半径 OA，经过 ☉O 的半径 OA 的外端点 A 画一条直线 l 垂直于这条半径，这条直线与圆有几个公共点？ 切线的判定定理 做一做 A O P P 探究新知 经过圆的半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. OA 为⊙O 的半径 OA⊥l 于点 A 直线 l 为⊙O 的切线 切线的判定定理 应用格式 要点归纳 l A O 探究新知 在此定理中，“经过圆的半径的外端”和“垂直于这条半径”，两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线 下列各直线是不是圆的切线？如果不是，请说明为什么？ (1) 不是，因为没有垂直. (2) (3) 不是，因为没有经过圆的半径的外端点 A. 判一判 O. A O. A B A O (1) (2) (3) 注意 探究新知 判断一条直线是一个圆的切线有三个方法： 1. 定义法：直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线； 2. 数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径(即 d = r)时，直线与圆相切； 3. 判定定理：经过圆的半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. l A l O l r d 要点归纳 O O 探究新知 例1 如图，线段 AB 是☉O 的直径，直线 AC 与 AB 交于点 A，∠ABC = 45°，且 AB = AC. 求证：AC 是☉O 的切线. 分析：直线 AC 经过半径的一端，因此只要证 OA 垂直于 AC 即可. 证明：∵ AB = AC，∠ABC = 45°， ∴∠ACB =∠ABC = 45°. ∴∠BAC = 180° -∠ABC -∠ACB = 90°， 即 AB⊥AC. ∵ AB 是☉O 的直径， ∴ AC 是☉O 的切线. A O C B 探究新知 例2 已知直线 AB 经过 ⊙O 上的点 C，并且 OA = OB， CA = CB. 求证：直线 AB 是 ⊙O 的切线. O B A C 证明：连接 OC. ∵ OA ＝ OB，CA ＝ CB， ∴ OC 是等腰△OAB 底边 AB 上的中线.　 ∴ OC⊥AB. ∵ OC 是 ⊙O 的半径， ∴ AB 是 ⊙O 的切线. 分析：由于 AB 过⊙O 上的点 C，所以连接 OC，只要 证明 AB⊥OC 即可. 探究新知 例3 如图，△ABC 中，AB ＝AC ，O 是 BC 的中点，⊙O 与 AB 相切于 E.求证：AC 是⊙O 的切线． B O C E A 分析：根据切线的判定定理，要证明 AC 是⊙O 的切线，只要证明由点 O 向 AC 所作的垂线段 OF 是⊙O 的半径就可以了，而 OE 是⊙O 的半径，因此只需要证明 OF = OE. F 探究新知 证明：连接 OE ，OA， 过 O 作 OF ⊥AC. ∵ ⊙O 与 AB 相切于 E ，∴ OE ⊥ AB. 又∵ 在△ABC 中，AB ＝AC ， O 是 BC 的中点， ∴ AO 平分∠BAC， F B O C E A ∴ OE ＝OF. ∵ OE 是⊙O 半径， OF ＝OE，OF ⊥ AC， ∴ AC 是⊙O 的切线． 又∵ OE⊥AB ，OF⊥AC. 探究新知 如图，已知直线 AB 经过⊙O 上的点 C，并且 OA＝OB，CA＝CB 求证:直线AB是⊙O 的切线. C B A O 如图，OA＝OB＝5， AB＝8，⊙O 的直径为 6. 求证:直线AB是⊙O的切线. C B A O 对比思考 ？ 作垂直 连接 方法归纳 探究新知 (1) 有交点，连半径，证垂直； (2) 无交点，作垂直，证半径. 证切线时辅助线的添加方法 有切线时常用辅助线添加方法 (1) 见切点，连半径，得垂直. 切线的其他重要结论 (1) 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点； (2) 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心. 要点归纳 例2 例3 探究新知 思考：如图，如果直线 l 是⊙O 的切线，点 A 为切点，那么 OA 与 l 垂直吗？ A l O ∵直线 l 是⊙O 的切线，A 是切点， ∴直线 l⊥OA. 切线的性质 圆的切线垂直于经过切点的半径． 应用格式 切线的性质定理 探究新知 （1）假设 AB 与 CD 不垂直，过点 O 作 OM⊥CD，垂足为 M； 理由是：直径 AB 与直线 CD 要么垂直，要么不垂直. （2）则 OM＜OA，即圆心到直线 CD 的 距离小于⊙O 的半径，因此，CD 与⊙O 相交. 这与已知条件“直线 与⊙O 相切”相矛盾； C D B O A （3）所以假设不成立，故 AB 与 CD 垂直. M 证法：反证法 性质定理的证明 探究新知 C D O A 证法2：构造法. 作出小⊙O 的同心圆大⊙O，CD 切小⊙O 于点 A，且 A 点为 CD 的中点，连接 OA，根据垂径定理，则 CD⊥OA，即圆的切线垂直于经过切点的半径． 探究新知 1. 如图①，在⊙O 中，OA、OB 为半径，直线 MN 与⊙O 相切于点 B. 若∠ABN = 30°，则∠AOB = °. 2. 如图②，AB 为⊙O 的直径，D 为 AB 延长线上一点，DC 与⊙O 相切于点 C，∠DAC = 30°. 若⊙O 的半径长 1 cm，则 OD = cm. 60 练一练 图① 图② 探究新知 利用切线的性质解题时，常需作辅助线，一般连接圆心与切点，构造直角三角形，再利用直角三角形的相关性质解题. 方法总结 探究新知 例4 如图，PA 为⊙O 的切线，A 为切点．直线 PO 与⊙O交于 B、C 两点，∠P＝30°，连接 AO、AB、AC. (1) 求证：△ACB≌△APO； (2) 若 AP＝ ，求⊙O 的半径． 解析：(1) 根据已知条件我们易得 ∠CAB = ∠PAO = 90°， 由∠P = 30° 可得出∠AOP = 60°， 则∠C = 30° = ∠P，即 AC = AP； 这样就凑齐了角边角，可证得 △ACB≌△APO. O A B P C 探究新知 又∵∠P＝30°，∴∠AOB＝60°， 又 OA＝OB，∴△AOB 为等边三角形． ∴ AB＝AO，∠ABO＝60°. (1) 求证：△ACB≌△APO； O A B P C 在△ACB 和△APO 中， ∠BAC＝∠OAP，AB＝AO，∠ABC＝∠AOP， ∴△ACB≌△APO. (1) 证明：∵ PA 为 ⊙O 的切线，A 为切点， 又∵ BC 为⊙O 的直径，∴∠BAC＝90°. ∴∠OAP＝90°. 探究新知 (2) 若 AP＝ ，求 ⊙O 的半径． O A B P C ∴ AO＝1，即⊙O 的半径为 1. (2) 解：在 Rt△AOP 中，∠P＝30°，AP＝ ， (2)由已知条件可得△AOP 为直角三角形， 因此可以通过解直角三角形 求出半径 OA 的长. 探究新知 1. 判断下列命题是否正确. (1) 经过半径外端的直线是圆的切线. ( ) (2) 垂直于半径的直线是圆的切线. ( ) (3) 过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆的 切线. ( ) (4) 和圆只有一个公共点的直线是圆的切线. ( ) (5) 过直径一端点且垂直于直径的直线是圆的切线. ( ) × × √ √ √ 课堂练习 2. 如图，A 是☉O 上一点，且 AO = 5，PO = 13， AP = 12，则 PA 与☉O 的位置关系是 . A P O 相切 3. 如图，在☉O 的内接四边形 ABCD 中，AB 是直径， ∠BCD = 120°，过 D 点的切线 PD 与直线 AB 交于 点 P，则∠ADP 的度数为 （ ） A．40° B．35° C．30° D．45° C P O D A B C 第2题图 第3题图 课堂练习 4. 如图，PB 切☉O 于点 B，PB = 4，PA = 2，则 ☉O 的半径是多少？ O P B A 解：连接 OB，如图. 则∠OBP = 90°. 设⊙O 的半径为 r，则 OA = OB = r，OP = OA + PA = r + 2. 在 Rt△OBP 中， OB2 + PB2 = PO2， 即 r2 + 42 = (2 + r)2. 解得 r = 3， 即 ⊙O 的半径为 3. 课堂练习 O A B C E P 5. 如图，△ABC 中，AB = AC，以 AB 为直径的 ⊙O 交边 BC 于 P，PE⊥AC 于 E. 求证：PE 是 ⊙O 的切线. 证明：连接 OP，如图. ∵ AB = AC，∴∠B =∠C. ∵ OB = OP，∴∠B =∠OPB. ∴∠OPB =∠C. ∴ OP∥AC. ∵ PE⊥AC，∴ PE⊥OP. ∴ PE为 ⊙O 的切线. 课堂练习 6.如图，O 为正方形 ABCD 对角线 AC 上一点，以 O 为圆心，OA 长为半径的 ⊙O 与 BC 相切于点 M. 求证：CD 与⊙O 相切． 证明：连接 OM，过点 O 作 ON⊥CD 于点 N， ∵ ⊙O 与 BC 相切于点 M， ∴ OM⊥BC. 又∵ ON⊥CD，O 为正方形 ABCD 对角线 AC 上一点， ∴ OM＝ON ∴ CD 与⊙O 相切． M N 课堂练习 6. 已知：△ABC 内接于☉O，过点 A 作直线 EF. (1)如图1，AB 为直径，要使 EF 为☉O 的切线，还需 添加的条件是（只需写出两种情况）： ① _________ ；② _____________ . (2) 如图2，AB 是非直径的弦，∠CAE = ∠B， 求证：EF 是☉O 的切线. BA⊥EF ∠CAE=∠B A F E O A F E O B C B C 图1 图2 课堂练习 证明：连接 AO 并延长交☉O 于 D，连接 CD， 则 AD 为☉O 的直径. ∴ ∠D +∠DAC = 90°. ∵ ∠D 与∠B 同对 ， ∴ ∠D = ∠B. 又∵ ∠CAE = ∠B， ∴ ∠D = ∠CAE. ∴ ∠DAC+∠EAC = 90°. ∴ EF 是☉O 的切线. A F E O B C 图2 D 课堂练习 1．[2024雄安期中]已知⊙O的半径为5，直线EF经过⊙O上的一点A(点E，F在点A的两旁)，下列条件：①OA＝5；②OE＝OF；③OA⊥EF；④O到直线EF的距离是5.其中能判定直线EF与⊙O相切的有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 考试考法 28 返回 【点方法】切线的判定方法有三种：①利用切线的定义，即与圆只有一个公共点的直线是圆的切线；②到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；③经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 返回 【答案】 B 考试考法 2．[2024山西]如图，已知△ABC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，与AC相切于点A，连结OD.若∠AOD＝80°，则∠C的度数为(　　) A．30° B．40° C．45° D．50° D 返回 考试考法 30 返回 A 考试考法 31 4. 如图，AB是⊙O的直径，要使得直线AT是⊙O的切线，需要添加的一个条件是_________________________． (写一个条件即可) ∠TAC＝∠B(答案不唯一) 考试考法 32 返回 【点拨】∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°. ∴∠B＋∠BAC＝90°. 当∠TAC＝∠B时，∠TAC＋∠BAC＝90°， 即∠OAT＝90°. ∵OA是⊙O的半径，∴直线AT是⊙O的切线． 故答案为∠TAC＝∠B(答案不唯一)． 返回 返回 考试考法 5．[2024北京海淀区模拟]如图，OA是⊙O的半径，BC是⊙O的弦，OA⊥BC于点D，AE是⊙O的切线，AE交OC的延长线于点E.若∠AOC＝60°，BC＝3，则线段AE的长为________． 3 考试考法 34 返回 考试考法 35 考试考法 36 (1)求证：CD是⊙O的切线； 考试考法 37 返回 (2)若OA＝3，BD＝2，求△OCD的面积． 考试考法 38 切线的 判定方法 定义法 数量关系法 判定定理 1 个公共点，则相切 d = r，则相切 经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线 证切线时常用辅助线添加方法： ①有公共点，连半径，证垂直； ②无公共点，作垂直，证半径 课堂小结 切线的性质 有 1 个公共点 d = r 性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径 有切线时常用辅助线添加方法： 见切线，连切点，得垂直. 必做作业：从教材习题中选取； 选做作业：完成练习册本课时的习题. 作业 谢谢观看！ 3．[2024福建]如图，已知点A，B在⊙O上，∠AOB＝72°，直线MN与⊙O相切，切点为C，且C为的中点，则∠ACM等于(　　) A．18° B．30° C．36° D．72° 【点拨】如图，连结AB，∵AE是⊙O的切线， ∴半径OA⊥AE. ∵OA⊥CB，∴BC∥AE，∠CDO＝90°. ∵∠AOC＝60°，∴∠OCD＝90°－60°＝30°. ∵∠ABC＝∠AOC＝30°， ∴∠ABC＝∠OCD.∴AB∥CE.∴四边形ABCE是平行四边形．∴AE＝BC＝3.故答案为3. 6．如图，AB为⊙O的弦，C为的中点，过点C作CD∥AB，交OB的延长线于点D.连结OA，OC. 【证明】设OC交AB于点E，∵OC是⊙O的半径， C为的中点，∴OC垂直平分AB. ∵CD∥AB，∴∠OCD＝∠OEB＝90°. ∵OC是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线． 【解】∵OA＝OC＝OB＝3，BD＝2， ∴OD＝OB＋BD＝3＋2＝5. ∵∠OCD＝90°， ∴CD＝＝＝4. ∴S△OCD＝CD·OC＝×4×3＝6. $