26.1.2 反比例函数的图象和性质-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年九年级全一册数学（人教版 广西专版）

26.1.2反比例函数的图象和性质 第1课时 反比例函数的图象和性质 冒名师导学。预习先知 ②基础过关。逐点击破 新知梳理 知识点1反比例函数图象的画法 ①一般地，反比例函数y=(k为常 1.(教材P4例2变式)请在如图所示的平面直角坐标系中画 数，k≠0)的图象是双曲线，它既是轴 出函数=2和y,=一2的图象 T 对称图形，又是中心对称图形 ®对于反比例函数y=(k为常数， x k≠0). (1)当k>0时，双曲线的两支分别位 于 象限，在每一个 象限内，y随x的增大而 ； 知识点2 反比例函数的图象 (2)当<0时，双曲线的两支分别位 于 象限，在每一个 2.反比例函数y=的图象分别位于 象限内y随x的增大而 A.第一、第三象限 B.第一、第四象限 例题印路 C.第二、第三象限 D.第二、第四象限 【例1】已知反比例函数y=- 2 ，当 3.(2024·重庆B卷)反比例函数y=一10的图象一定经过 x>0时，它的图象在第 象限 的点是 ( 【学生解答】 A.(1,10) B.(-2,5) C.(2,5) D.(2,8) 4.如图，它是反比例函数y=m二5图象的一 【例2】在反比例函数y= 飞(k<0)的图 支，根据图象可知，常数m的取值范围是 象上有两点(-1，)，（一4）则 y1一y2的值是 知识点3 反比例函数的性质 A.负数 B.非正数 5.(2024·贵港期未)关于反比例函数y=2,下列说法正确 C.正数 D.不能确定 【名师点拨】由反比例函数的性质判定 的是 ( ) y与y2的大小关系即可求解. A.图象经过点(1,2) B.图象分布在第二、四象限 【学生解答】 C.图象关于x轴对称 D.y随着x的增大而增大 6.已知反比例函数y=二1(k为常教，k≠1). (1)若在这个函数图象的每一分支上，y随x的增大而增 大，求的取值范围； (2)若k=9,试判断点B(2,4),C(4,1)是否在这个函数的 图象上 111名师测控·数学Ⅱ九年级全册 习能力提升。整合运用 思维拓展。学科素养 7.(2025·广西模拟)已知点A(一2，a),B(1, 11.(教材P,例4变式)已知反比例函数y D),C(4,c)在反比例函数y=+1(k为常 1一2m(m为常数)的图象在第一、第三象限. 数)的图象上，则下列判断正确的是( (1)求m的取值范围； A.a<c<b B.b<a<c (2)如图，若该反比例函数的图象经过 C.a<b<c D.c<b<a □ABOD的顶点D,点A,B的坐标分 8.已知反比例函数y=飞(k≠0) 别为(0,3)，(-2,0)，求此反比例函数 的解析式； 在第一象限内的图象与一次 (3)如果点E(x1,y1),F(x2,y2)都在该反 函数y=一x十b的图象如图O1y=-+bx 比例函数的图象上，且x1>x2>0,那么 所示，则函数y=x2一bx十k一1的图象可 y和y2有怎样的大小关系？ 能为 B 9.如图，在平面直角坐标系 中，将△OAB(顶点为网格 线交点)绕原点O顺时针旋 转90°，得到△OA'B'.若反 比例函数y=(k≠0)的图 象经过点A的对应点A',则的值为 10.在如图所示的平面直角坐标系中，作出函数 y一的图象，并根据图象解答下列问题： (1)当x=一2时，求y的值； (2)当2<y<4时，求x的取值范围； (3)当一1<2且x≠0时，求y的取值范围。 y +2 6420246x -2 十6 第二十六章反比例函数112 第2课时 反比例函数图象和性质的综合运用 昌名师导学。预习先知 ②基础过关。逐点击破 新知梳理 知识点1 用待定系数法求反比例函数解析式 0已知反此例函数y=的图象经过1.(2024·软州期末)反比例函数y=的图象经过点（一2， 某点，则可用待定系数法求出这个反 3),则的值是 ( ) 比例函数的解析式。 A.-1 B.-2 C.-3 D.-6 ®过双曲线y=(k≠0)上任意一点2.(2024·四川送宁)反比例函数y=二1的图象在第一、三 向两坐标轴作垂线与两坐标轴围成 象限，则点(k,一3)在第 象限. 的矩形面积等于 ,连接该点 知识点2反比例函数中k的几何意义 与原点，还可得到两个直角三角形， 这两个直角三角形的面积都等于 3.如图，过反比例函数y=(x>0)的图象上一点A作AB x轴于点B,连接AO.若S△AoB=2,则k的值为( 例题引路 A.2 B.3 C.4 D.5 【例尼知反比例函数y的图象经 过点A(2,3),则这个函数的解析式为 (第3题图) (变式题图) (第4题图) 【学生解答】 【变式】如图，点P是反比例函数y=(x<0)图象上的一 点，PA⊥y轴，垂足为点A,PB⊥x轴，垂足为点B.若矩形 PBOA的面积为6，则k的值为 【例2】如图，A,B两点在双曲线y= 4.如图，点A是反比例函数y=一(x<0)的图象上的一 上，分别过A,B两点向两坐标轴作 垂线段.已知S偶影=1，则S1十S2等 点，过点A作□ABCD,使点B,C在x轴上，点D在y轴 子 上，则□ABCD的面积为 知识点3反比例函数与一次函数的综合运用 5.(教材P,习题T变式)反比例函数y=的图象与正比例 函数y=一2x的图象有一个交点的横坐标为一2. A.3 B.4 C.5 D.6 (1)当x=4时，求反比例函数y的值； 【学生解答】 (2)当一4<x<一2时，求反比例函数y的取值范围. 113名师测控·数学Ⅱ九年级全册 习能力提升。整合运用 思维拓展。学科素养 6.(2024·梧州期中)在同一平面直角坐标系 9.如图，一次函数图象与反比例函数图象交于 中，一次函数y=bx十2(k≠0)与函数y=飞 点A(-1,6),B(2a-3)与x轴交于点C 的大致图象可能是 与y轴交于点D.连接OA,OB. 下子{良 (1)求反比例函数与一次函数的解析式； (2)点M在x轴上，若S△OAM=S△OAB,求点 M的坐标. 7.(2024·南宁期中)如图，在等腰三角形OAB 中，OB在x轴上，OA=OB,C为AB的中点，反 比例函数y一的图象经过点A,C若△Q4B 的面积为15，则k的值为 8.(2024·江苏盐城)小明在草稿纸上画了某反 比例函数在第二象限内的图象，并把矩形直 尺放在上面，如图.请根据图中信息，求： (1)反比例函数的解析式； (2)点C的坐标. 第二十六章反比例函数114这些结果出现的可能性相等，其中甲获胜的结果有8种，即(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,3)， （8,2,（8,,4,1）,4,3),所以P(甲获胜)=是=号：(2)不公平.理由如下：由树状 82 图可以看出，乙获胜的结果有4种，即(1,3)，(2,4)，(3,1)，(4,2)，所以P(乙获胜)=是 =子因为号>子所以游戏不公平。 1 思维拓展 9.解：(1)根据题意，可以画出如下的树状图： 由树状图 第一次 第二次 甲 第三次乙丙乙甲乙丙丙甲 可以看出，三次传球所有可能出现的结果共有8种，这些结果出现的可能性相等，其中 传回到甲手中的结果有2种，即（甲，乙，丙，甲），（甲，丙，乙，甲），所以P(三次传球后， 球传回到甲手中)-号-：（②）由1)可知，从甲开给传球，传球三次后球传到甲手中 的概率为子，球传到乙、丙手中的概率均为。，即最开始传球的人经过三次传球后，拿 到球的概率最低，所以乙会让球开始时在甲手中或丙手中， 25.3用频率估计概率 基础过关 1.D2.D3.0.954.21【变式】12 能力提升 5.C6.解：(1)红球：(18+2)÷50×100%=40%：黄球：(28+2)÷50×100%=60%： (2)设总球数为x个.由题意，得兰-品，解得x=10.10×40%=40(个)，即盒中 有红球40个. 易错易混专题概率中的“放回”与“不放回”问题 1.A2解：1)片（2)根据题意，可以画出如下的树状图： 由树状图可以看出，所有可能出现的结果共有16种，这些结果出现的可能性相等.其 中两次取出的2张卡片中至少有1张图案为“A唐僧”的结果有7种，即(A,A),(A, B),(A,C),(A,D),(B,A),(C,A),(D,A),所以P(两次取出的2张卡片中至少有1张 图案为“A唐僧)=6 3.B解：1) (2)列表如下： A B C 0 A AB AC AD B BA BC BD C CA CB CD D DA DB DC 由表可以看出，可能出现的结果有12种，并且它们出现的可能性相等.有一张是演讲 社团CC记为事件A的结果有6种，即AC,BC,CA.CB.CD.DC,P(A)=是=合 跨学科融合专题概率的综合应用1 1.A2.A3.C4.D5.A6.7,08.解：1)当开关S闭合时，再随机闭合 开关S,或S其中一个，小灯泡发光的概率为2；(2)根据题意，可以画出如下的树状 ：入入入 由树状图可以看出，所有可能出现的结果共有6种，这些结果出现的 S,SSSS S. 可能性相等.其中小灯泡发光的结果有4种，即(S,S),(S,S),(S,S),(S,S2),所 以P小灯泡发光)=专-号 第28页（共72页） 学科内综合专题概率的综合应用2 1.C2.号3A4子5A6A7.C8解：)2 (2)根据题意，可以画出如 下的树状图：横坐标 由树状图可以看出，所有可能 出现的结果共有16种，这些结果出现的可能性相等，其中点A在直线y=2x上的结果 有2种，即(-1，-2》，0,0》，所以P(点A在直线y=2x上)=品=日 第二十五章整合与提升 高频考点突破 2 1,A2.D3.号4.C5,解：(1)随机(2)根据题意，可以画出如下的树状图： 八由树状图可以看出，所有可能出现的结果共有6种，这些结果出现的可 能性相等.恰好选中的都是七年级班级的结果有2种，即（七，七），（七，七），P(选中的 都是七年级班级)=号=子，6,217解：1)5014（2D的人数：50X10%=5 (人)C的人数：50-20-10-5=15（人）.补全条形统计图如图25人数 20 20 15 10 ABCD实验 (3)根据题意，可以画出如下的树状图：男 男 女 由树状图可以看 男女女男女女男男女男男女 出，所有可能出现的结果共有12种，这些结果出现的可能性相等，其中抽到的学生恰 好是两名女生的结果有2种，即（女，女），（女，女），所以P(抽到的学生恰好是两名女 生)品=合 常考题型演练 1D2.合3解：1)根据题意，列表如下： e b c (a,a) (a,b) (a,c) b (b,a) (b.b) (b,c) 由表可以看出，可能出现的结果有6种，并且它们出现的可能性相等；(2)七年级年级 组、八年级年级组选择的研学基地互不相同的结果有4种，即(a,b),(a,c),(b,a),(b, 0,所以P=专=号 第二十六章反比例函数 26.1反比例函数 26.1.1反比例函数 新知梳理 0,=兰 ≠0不等于0的一切实数②≠ 例题引路 【例1】-2【例21解：1)y=-名：(2)-3142- 2 3 基础过关 1.B2.2 3.44.2【变式】05.D6.解：(1)设y关于x的函数解析式为y= 当x=2时，y=6,“62解得=一12.y关于x的函数解析 ，(2把x=4代人y=-是得y=-是=-8.7A89 -12 能力提升 10.-11山.解：1)y=6.75,不是反比例函数：(2)t=100,是反比例函数. 第29页（共72页） 思维拓展 12.解：(1)①b或c中至少有一个为零②正比例③反比例(2)某零件厂举行零件 加工竞赛，参赛的有甲、乙两名选手，甲选手每小时比乙选手多做c个零件，已知甲选手 做α个零件用的时间和乙选手做b个零件用的时间相同，请问这两名选手每小时分别 做多少个零件？解：设甲选手每小时做x个零件，则乙选手每小时做(x一)个零件. :甲选手效a个零件用的时间和乙运手政6个零件用的时间相同∴兰=产气。（答案 不唯一) 26.1.2反比例函数的图象和性质 第1课时反比例函数的图象和性质 新知梳理 ②(1)第一、第三减小(2)第二、第四增大 例题引路 【例】四【例2】A【解析】：反比例函数y=中的k<0,∴函数图象位于第二、四象 限，且在每一个象限内，y随x的增大而增大.又“点（一1，y)和（一）均位于第 二象限，-1< 4…y<y2y一y2<0,即y一y的值是负数，故选A 基础过关 1.解：如图. 2.A3.B4.>55.A6.解：(1)根据题意，得k -1<0,解得k<1:(2):k=9,y=8.:2X4=8,4X1=4,点B在这个函数的图 象上，点C不在 能力提升 7.A8A9310.解：函数y=的图象如图。 6 (1)当x= 542d 246x -2 -4 16 一2时，y=-3:(2)当2<y<4时，1.5<x3:(3)当1<x<2且x≠0时，y<-6或 y>3. 思维拓展 1,解：1)根据题意，得1一2m>0,解得m<:(2):四边形AB0D为平行四边形。 ∴.AD∥OB,AD=OB.∴.点D的纵坐标与点A的纵坐标相同.：A(0,3),B(-2,0), O(0,0),OB=2,.AD=2.·点D的坐标为(2,3).把D(2,3)代入y=1-2m,得1 x 2m=2X3=6,∴此反比例函数的解析式为y=名，(3)：西>>0，∴E,F两点都在 第一象限.该反比例函数在第一象限内，y随x的增大而减小，y< 第2课时反比例函数图象和性质的综合运用 新知梳理 ®1专1 例题引路 【例1y=号【例2】（解析】：点A,B是双曲线y=兰上的点，分别过A,B两点向： 轴、y轴作垂线段，则根据反比例函数图象的性质，得两个矩形的面积都等于k=4, ∴.S十S2=4十4-1×2=6.故选D. 第30页（共72页） 基础过关 1.D2.四3.C【变式】一64.65.解：(1)在正比例函数y=-2x中，当x=一2 时y=4点（一2,0在反比例函数y=兰的图象上，则k=一2X4=一8.“y=一是 当x=4时，y=一2：(2)在反比例函数y=一8中，当-4<<一2时，2<y<4. x 能力提升 6.B7.108.解：(1)由图可知点A的坐标为(-3,2).：反比例函数图象经过点A, 设反比例函数的解析式为y=冬k=一3X2=一6，反比例函数的解析式为y -6:(2)设直线OA的解析式为y=ax.将A(-3,2)代入y=ax,得2=-3a,解得a x =一号.直线OA的解析式为y=一号x由图象可知，直线OA向上平移3个单位长 2 度得到直线BC,则直线BC的解析式为y=一号x十3，联立 y=-3x十3， 解得 y=-6 x 3 去c(会) y=4, 思维拓展 9.解：(1)由题意，设反比例函数的解析式为y一2（加≠0），一次函数的解析式为y=k红 十b(k≠0).点A(一1,6)在反比例函数的图象上，.n=一1×6=一6，∴反比例函数 的解析式为)=一三.：点B在反比例函数的图象上，是（a一3)=一6，解得a=1. a B(3,-2).:点A(-1,6),B(3,一2)在一次函数y=kx十b的图象上， 日2.解雅怎2-次函数的解析式为一2z+4:2设点Mm,0 在y=-2x十4中，令y=0,则-2x十4=0，解得x=2,.C(2,0),∴.OC=2,∴.S△0B= Ssx+Sam=20C·1m+号0C·1g=号X2×6+号×2×2=6+2=8.“点 M在x轴上∴Saw=20MX6=3m.又：Samw=Sae3m=8,解得m- ±号∴点M的坐标为（号，0）或(-号0） 难点突破专题反比例函数与一次函数的综合 1,B2.C3,D4.>5.解：(1)片点A(m,2)在正比例函数y=2x的图象上，2 =子m,解得m=4.A4,2.:点A4,2)在反比例函数=上的图象上2=冬， 解得太=8，“反比例函数的解析式为为=三：(2)把直线=号x向上平移3个单位 长度得到的直线的解析式为y-号x十3，过点B作BMLx轴于点M,过点A作ANL x轴于点N,联立 1 解得/2， y=2x+3 1,或y(舍去)B(2,4DS△B= 1y=4, Sm+50w-Sw=号×2X4+号×2+0X4-2)-号×4X2=4+6-4= 6.6.D7.解：(1)将点A(-2,1)代入y=m,得m=-2×1=-2,则反比例函数的 解析式为)=-兰将点A(-2,D,B1,-2)分别代人y=kx十6，得2十6解 k十b=-2, 容”则一次函数的解析式为=1：(2)当反比例函数值大于一次函数 时，x的取值范围是一2<x<0或x>1.8.39.解：(1)：A(-3,2)在反比例函数y =”的图象上，m=一3×2=一6，∴.反比例函数的解析式为y=一 ：(2)：Bm, -3)在反比例函数y=- 号的图象上-3n=-6n=2点B的坐标是(2， 第31页（共72页） -3).将点A(-3,2),B(2,-3)分别代人y=6x十6，得3十6=2解得=-1， 2k十b=-3, b=-1, .一次函数的解析式为y=一x-1.在y=-x-1中，令y=0,则x=-1,点C的坐 标是(-1,0)Sae=Sam十Sac=号X1X2+合X1X3=2.5 重点突破专题反比例函数中k的几何意义 1.B2.123.k=4(答案不唯一)4.C5.106.D7.4 26.2实际问题与反比例函数 第1课时利用反比例函数解决实际生活中的问题 例题引路 【例】解：(1)共有就餐学生3×10×60=1800（名）；(2)由题意，得3x×60y=1800, y-9x>0. 基础过关 1.B2.S=9(d>0》3.44解：1：y是x的反比例函数设y=女(k≠0. 把14,0.5)代入，得0.5=帝，解得大=72.y与x之间的函数解析式为y=2 2)当x=180时，y=3=0.4,答：每月应还款0.4万元 能力提升 5.C6.5507.解：(1)：矩形体育活动场地占地面积为64m,.xy=64,∴.y关于x 的函数解析式为y-兰：(2)不能理由如下：把x=20代入y-4得y=32.∴周长 为2×(20十3.2)=46.4(m)>45m,..不能建造AB=20m的活动场地. 思维拓展 8.解：(1)设线段AB所在直线的解析式为y1=k1x+20,把B(10,40)代入，得10k十20 =40,解得1=2,1=2x+20.设CD所在双曲线的解析式为)=生，把C(25,40) f代入，得k,=25X40=100,y=1000.当I=5时，y=2×5+20=30.当2=30 时的100-930<罗1<，答：第三+分钟注意力更集中：2)令1 30 3636=2x十20，解得x=8.令2=36,36=1000，解得x≈27.8.：27.8-8= x 19.8>18.·经过适当安排，老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目. 第2课时利用反比例函数解决有关物理问题 例题引路 【例1】A【例2】解：(1)把P(2,7.5)代入W=Fs,得W=7.5×2=15,∴.F与s之间的 函数解析式为F=15;(2)把F=5N代入F=15,得s=3m. 基础过关 1.D2.解：1)设p关于S的函数解析式为p=冬，把A1.5,40)代入，得及=1.5X 40=60.p6g(S>0):(2)当S=0.2时，p=808=30.当木板的面积为 0,2m㎡时，压强是3000P4.3.解：)设h关于p的函数解析式为h=。,把p=1,办 =20代入解析式，得k=1X20=20.:h关于p的函数解析式为h=20;(2)把h=25代 人h0得25=0解得p=0.8,答：该液体的密度p为0.8gcm 能力提升 4解：1)猜测y与x是反比例函数关系.设y=兰(k≠0)，把x=10,y=30代入，得 k=300,y=30.把其余各组数据代入验证均符合.y关于x的函数解析式为y= ：(2)把y=24代人y=四得24=，解得=12.5当砝码的质量为24g时， x 活动托盘B与点O的距离是12.5cm:(3)将活动托盘B往左移动时，活动托盘B与点 O的距离减小，根据反比例函数的增减性，砝码的质量增大，才能保持仪器左右平衡. 第32页（共72页） 故应添加砝码.5.解：(1)21.5(2)①根据表格数据描点：(1,4)，(2,3)，(4,2)，(6， 15),在平面直角坐标系巾面出对应雨数y=是（红≥0）的图象如图： ②不断减小(3)x≥2或x=0[解析：如图.由函数图象知，当 123456789x ≥减-0时半≥号十6即当≥0时半≥-名十6的解氣为≥2政 12 3 x=0.] 第二十六章整合与提升 高频考点突破 1.c2.号 3.A4.D5.C6.57.(2,1)8.C9.D10.311.D12.解： )由题意，将点B(一1,2)代入反比例函数)=只2=气m=一2反比例函 数的解析式为)=一兰：(2)根据函数图象可知：当x<-1或0<<2时，一次函数图 象在反比例函数图象的上面，.关于x的不等式kx十b>”的解集为x<-1或0<x <2:8)点A2a)在双曲线y=-兰上a=-号=-1A(2,-1).将A2, x B(12分别代入直线虹+6得%2解得直线山 b=1, 一x+1.设y=一x+1与y轴交于点C,则点C的坐标为(0,1)，.S△o=×0C× 1-a=之×1X3=号.13.C14.18015,解：1)当0≤x≤8时，设一次函数 解析式为y=ax+6(a≠0)，把(0,20)，(8,700)代入，得0-20： 8a+b=700, 解得/a=85, b=20, ∴.一次函数解析式为y=85x十20(0≤x≤8)；当x≥8时，设反比例函数解析式为y= ≠0)，把(8,70)代入，得k=8×700=5600,心反比例函数解析式为y=600( x ≥8)，(2)把y=400代入3y=5600,得400=500，解得x=14,放冷却的时间为148 x =6(min).答：材料需要冷却的时间为6min. 易错易混专攻 1.D2.-33.D4.-1<a<0 常考题型演练 1B2.D3.B4.24005.解：(1)点A(1,a)在一次函数y=-x十4上，a= -1十4=3，“点A的坐标为1,3).“点A(1,3)在反比例函数y=冬(k为常数，且≠ 0上一6=3，“反比例函数解析式为y=三.联立一次函数与反比例函数解析式，得 y=-x十4， 3解得'或{二1点B的坐标为3,1D2)当x+4≥时， y-T 次函数y=一x十4的图象在反比例函数y=三图象上方，∴自变量x的取值范围为工 <0或1<x<3;(3)在一次函数y=-x十4中，令y=0,得x=4,.C(4,0),即OC=4. :A1,3),B63,15am=Sac-Sar=号X4X3-合X4X1=4 第二十七章相似 27.1图形的相似 新知梳理 ①形状②相等目相等成比例相似比 例题引路 【例1】D【例2】是【例3】125°12 第33页（共72页）