21.3 实际问题与一元二次方程-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年九年级全一册数学（人教版 广西专版）

21.3 第1 冒名师导学。预习先知 例题引路 【例1】学校要组织一次排球邀请赛，参 赛的每两个队之间都要比赛一场，根 据场地和时间等条件，赛程计划安排7 天，每天安排4场比赛，比赛组织者邀 请了多少个队参赛？ 解决方案： 解：设比赛组织者邀请了x个队参赛， (1)每个队要与其他 个队各 赛一场，由于甲队对乙队的比赛和 乙队对甲队的比赛是同一场比赛， 所以全部比赛共 场： (2)根据题意，列出相应方程为 (3)解这个方程，得 (4)检验： (5)答：比赛组织者邀请了 个队 参赛 【学生解答】 【例2】一个两位数，十位数字与个位数 字之和是5，把这个数的个位数字与十 位数字对调后，所得的新两位数与原 来的两位数的乘积为736，求原来的 两位数 【学生解答】 实际问题与一元二次方程 课时传播问题与循环问题 ②基础过关⊙逐点击破 知识点1传播问题 1.(教材P2习题T4变式)某种植物的主干长出若干数目的 支干，每个支干又长出相同数目的小分支，主干、支干和小 分支的总数是57.设每个支干长出x个小分支，根据题意 列出方程为 ) A.1+x+x(1+x)=57 B.1+x+x2=57 C.x+x(1+x)=57 D.1+2x2=57 2.电脑病毒传播快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会 有169台电脑被感染，若每轮感染中平均一台电脑会感染x 台电脑，则根据题意，列方程为 知识点2循环问题 3.情境题体育赛事在第十九届亚运会中国国家象棋队选拔赛 的第一阶段中，采用分组单循环（每两人之间都只进行一 场比赛)制，每组x人.若每组共需进行15场比赛，则根据 题意可列方程为 A.2x(x-1)=15 B.2c(x+1)=15 C.x(x-1)=15 D.x(x+1)=15 【变式】单循环→双循环 参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共要 比赛110场.设参加比赛的球队有x支，根据题意可列方 程为 4.元旦当天，九(2)班每个同学都与全班其他同学交换一件 自制的小礼物，结果全班共交换小礼物1560件，则九(2) 班有多少个同学？ 第二十一章一元二次方程16 知识点3数字问题 5.两个数的积为12，和为7，设其中一个数为 x,则依题意可列方程为 (化为一般形式) 6.若两个连续奇数之积为143，则这两个数 为 A.-13,11 B.11,13 C.11,13或-13，-11D.都不是 网能力提升。整合运用 7.跨学科语文读诗词，列方程：大江东去，浪淘 尽，千古风流人物，而立之年督东吴，早逝英 年两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿 符.（诗词大意：周瑜英年早逝，逝世时的年 龄是一个两位数，十位数字比个位数字小3， 个位数字的平方刚好是周瑜逝世时的年 龄)，设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x, 则列出的方程正确的是 () A.10x+(x-3)=x2 B.10(x-3)+x=x C.10x+(x-3)=(x-3)2 D.10(x-3)+x=(x-3)2 8.特征数表示法如图是某月的日历表，在此日 历表上可以用一个矩形圈出3×3个位置相 邻的9个数（如6,7,8,13,14,15,20,21， 22).若圈出的9个数中，最大数与最小数的 积为192，则这9个数的和为 日一二三四五六 1234 567891011 12131415161718 19202122232425 262728293031 9.跨学科生物)（教材P1g“探究1”变式）某生物 实验室需培育一群有益菌.现有60个活体 样本，经过两轮培育后，总和达24000个，其 中每个有益菌每一次可分裂成若干个相同 数目的有益菌， (1)每轮分裂中平均每个有益菌可分裂成多 少个有益菌？ 17名师测控·数学Ⅱ九年级全册 (2)按照这样的分裂速度，经过三轮培育后 有多少个有益菌？ 父思维拓展⊙学科素养 10.(教材P17习题T2变式)阅读下列内容： 我们知道n边形的对角线条数公式为： 1 n(m一3).如果一个n边形共有20条对角 线，那么可以得到方程u(n-3)=20.整 理，得n2-3n-40=0.解得n=8,或n= -5..n≥3，.n=-5不符合题意，舍去. .n=8,即该多边形是八边形. 根据以上内容，解答下列问题： (1)若一个多边形共有14条对角线，则这 个多边形的边数是多少？ (2)A同学说：“我求得一个多边形共有10 条对角线.”你认为A同学的说法正确 吗？为什么？ 第2识 冒名师导学。预习先知 方法指导 ①数量经过连续两次增长（或降低）， 并且连续两次增长（或降低）的百分 率相同，则b=a(1士x)2,其中b,a,x 分别表示两次增长（或降低）后的变 后数、基础数、增长率（或降低率） ②利润=售价一进价：利润率=利润× 进价 100%;售价=进价十进价×利润率； 售价=标价X折扣， 10 例题引路 【例1】2024年中国家电及消费电子博 览会(AWE2024)在上海举行.据了解 某电商平台2024年2月份的销售额是 10万元，由于乘借“以旧换新”的政策 东风，4月份的销售额是12.1万元.该 电商平台3,4两个月销售额的月平均 增长率为 【学生解答】 【例2】某商店如果将进价为8元的商 品按每件10元售出，每天可销售200 件，现采用提高售价，减少进货量的方 法增加利润，如果这种商品单价每涨 0.5元，其每天的销售量就会减少10 件，那么将售价定为多少元时，能使每 天所得利润为640元？ 【学生解答】 果时平均变化率与销售问题 ②基础过关○逐点击破 知识点1增长（下降）率问题 1.(2024·云南)两年前生产1kg甲种药品的成本为80元， 随着生产技术的进步，现在生产1kg甲种药品的成本为 60元.设甲种药品成本的年平均下降率为x,根据题意，下 列方程正确的是 ) A.80(1-x2)=60 B.80(1-x)2=60 C.80(1-x)=60 D.80(1-2.x)=60 2.情境题充电桩随着新能源电动汽车的快速增加，某市正在 快速推进全市电动汽车的充电桩建设，已知到2023年底， 该市约有3.5万个充电桩，根据规划到2025年底，全市的 充电桩数量将会达到5.04万个，则从2023年底到2025年 底，该市充电桩数量的年平均增长率为 知识点2营销中的利润问题 3.(2024·南宁期中)商场某种商品平均每天可售30件，每 件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当降价 措施，经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可 多售出2件.若商场销售该商品日盈利要达到2100元，则 每件商品应降价多少元？设每件商品降价x元，依题意可 列方程为 A.(50+x)(50-2x)=2100B.(50+x)(30+2x)=2100 C.(50-x)(30-2x)=2100D.(50-x)(30+2x)=2100 4.本士文化坭兴陶(2024·玉林期中)“坭兴陶”是钦州的一张 文化名片.钦州市某坭兴陶公司以每只60元的价格销售 一种成本价为40元的文化纪念杯，每星期可售出100只. 后来经过市场调查发现，每只杯子的售价每降低1元，则 平均每星期可多卖出10只.若该公司销售这种文化纪念 杯要想平均每星期获利2240元，每只杯子应降价多少元？ 第二十一章一元二次方程18 祠能力提升。整合运用 5.某条新闻热搜第一天的点击量为8000万 次，以后每天的点击量按相同的增长率增 长，三天后累计点击量达1.2亿次.若将增 长率记作x,则可列方程为 () A.8000(1+x)2=12000 B.8000+8000x+8000x2=12000 C.(1+x)2=12000 D.8000+8000(1+x)+8000(1+x)2= 12000 6.(2024·重庆A卷)随着经济复苏，某公司近 两年的总收入逐年递增.该公司2021年缴 税40万元，2023年缴税48.4万元.该公司 这两年缴税的年平均增长率是 7.(2024·辽宁)某商场出售一种商品，经市场调 查发现，日销售量y(件)与每件售价x(元)之间 满足一次函数关系，部分数据如表所示 每件售价x/元 … 45 55 65 日销售量y/件 … 55 45 35 (1)求y与x之间的函数关系式；（不要求写 出自变量x的取值范围) (2)该商品日销售额能否达到2600元？如 果能，求出每件售价；如果不能，说明 理由. 19名师测控·数学Ⅱ九年级全册 父思维拓展⊙学科素养 8.新考向项目式学习根据以下素材，探索完成任务 背景素材 随着数字技术、新能源、新材料等不断突 破，我国制造业发展迎来重大机遇，天府 素材1 科技园工作实验室借助智能化，对某款电 动车的零部件进行一体化加工，以相同的 生产效率提升，该零件7月份生产500 个，9月份生产720个. 该园工作实验室的零部件成本为30元/个 销售一段时间后发现，当零部件售价为 50元/个时，月销售量为800个，若在此基 素材2础上售价每下降2元，则月销售量将增加 20个.为刺激经济的快速增长，政府给予 实验室支持，当月销售量不低于900个 时，每个将有5元的科技创新补贴. 问题解决 求工作实验室从7月份到9月份生产数 任务1 量的平均增长率； 要使工作实验室月销售利润达到 任务2 13500元，而且尽可能让车企得到实惠 社会普及度增加，则该零件的实际售价 (整数)应定为多少元？ 第3课时 ②基础过关○逐点击破 知识点1规则图形的面积问题 1.用10m长的铝材制成一个矩形门框，使它 的面积为6m.若设它的一条边长为xm, 则根据题意可列出关于x的方程为() A.x(5+x)=6 B.x(5-x)=6 C.x(10-x)=6 D.x(10-2x)=6 2.(教材P21习题T3变式)一个直角三角形的两 条直角边相差3cm,面积是9cm,则较长的 直角边的长为 () A.√5cm B.2√3cm C.3 cm D.6 cm 知识点2边框与通道问题 3.如图，在宽为20m,长为38m的矩形地面上 修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的 部分种上草坪.要使草坪的面积为540m2, 求道路的宽.如果设道路的宽为xm.根据题 意，所列方程正确的是 A.(20-x)(38-x)=540 B.(20-x)(38-x)=38×20-540 C.(20-2x)(38-2x)=540 D.(20-2x)(38-2x)=38×20-540 16m 12m 花坛 (第3题图) (变式题图) 【变式】(2024·山东青岛)如图，某小区要在 长为16m,宽为12m的矩形空地上建造一 个花坛，使花坛四周小路的宽度相等，且花 坛所占面积为空地面积的一半，则小路的宽 为 m. 4.情境题页边距)如图，在打印图片之前，为确定 打印区域，需设置纸张大小和页边距（纸张 的边线到打印区域的距离)，上、下、左、右页 边距分别为acm,bcm,ccm,dcm.若纸张大 小为16cm×10cm,考虑到整体的美观性， L何图形问题 要求各页边距相等并使打印区域的面积占 纸张的70%，则需如何设置页边距？ ccm a cm 打印区域 bcm d cm 。能力提升。整合运用 5.如图，老李想用长为70m的栅栏，再借助房 屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈 ABCD,并在边BC上留一个2m宽的门（建 在EF处，另用其他材料) (1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围 成一个面积为640m的羊圈？ (2)羊圈的面积能达到650m吗？如果能，请 你给出设计方案；如果不能，请说明理由. A D 第二十一章一元二次方程20-2,a2=6.当a=-2时，x2十x=-2,即x2十x十2=0.，△=12-4X1×2=-7<0, 此方程无实数根.当a=6时，x2十x=6,即x2十x-6=0,解得x1=一3，x2=2.∴.原 方程有两个实数根：x1=-3,x2=2. 方法技巧专题一元二次方程的解法 1.解：(1)4x2=144,x2=36,x=±6，x1=6,x2=-6:(2)4(x-2)2=121,(x-2)2= 1x-2=士号x-2-号或x-2=号=子2.解：1)移项，得 15. 4 x2十4x=12.配方，得x2十4x十2=12十22，(x十2)2=16.由此可得x十2=士4，x1=2, x2=-6;(2)移项，得2x2十8x=10.二次项系数化为1，得x2十4x=5.配方，得x2十4x 十2=5十2，(x十2)2=9.由此可得x十2=±3，x1=1,x2=-5.3.解：(1)a=3,b= -6,c=4.△=b2-4ac=(-6)2-4×3×4=-12<0.方程无实数根；(2)a=2,b=7,c =3.△=b-4ac=72-4×2X3=25>0,方程有两个不等的实数根x=b士-4a 2a 生西-二75，即1=-3=一子.4.解：1)因式分解，得(x一7)1-) 2×2 4 =0.于是得x-7=0,或1-x=0,x1=7,x2=1;(2)原方程可变形为3(x-2)一x(x 2)=0.因式分解，得(x-2)(3-x)=0.于是得x-2=0,或3-x=0,x1=2,x2=3. 5.解：(1)设x2=y,则原方程可化为y2-3y-4=0.解得y1=4,y2=-1.当y=4时， x2=4,∴x=士2.当y=一1时，x2=一1，此方程无解.∴.原方程的解为x1=2,x2= -2;(2)设x2-2=y,则原方程可化为y2-11y十18=0.解得y=2,y2=9.当y=2 时，x2-2=2,x2=4,.x=士2.当y=9时，x2-2=9,.x2=11,x=±√.原 方程的解为x1=2,x2=-2,x3=-√1，x4=√.6.解：①当x-1≥0时，此时x ≥1，原方程化为x2-x=0,即x(x-1)=0,解得x1=1,x=0(不符合题意，舍去)； ②当x一1<0时，此时x<1,原方程化为x2十x-2=0,即(x十2)(x-1)=0,解得x1= -2,x2=1(不符合题意，舍去).原方程的根是无=1，x2=-2. *21.2.4一元二次方程的根与系数的关系 新知梳理 例题引路 2 【例】解：(1)x十x2=3,xzx2=1:(2)十x2三3，xxg=二3：（3)x十x2=0 号：()十=一号函=0.【例2】根据根与系数的关系，得十 号=分1原式=十)-2=()-2×号-头，(2原式=十 5 xIx2 5 2 基础过关 1.A2.-13.04.B5.-56.-27.C8.39.A 能力提升 10.B1山.202512.±713.解：(1)p1(2)”x十x=p,x1=1,1+ =十工=上=.“关于x的一元二次方程x2-px十1=0(p为常数)有两个不相等 xIx2 1 的实数根和-p十1=0，一p叶子=0，即十子=p:3):十 =p,x1x2=1,且x1十x=2p+1,∴.(x1十x2)2-2x1x2=2p十1，∴.p2-2=2p+1,解 得p1=3,p2=-1.当p=3时，4=p2-4=9-4=5>0;当p=-1时，△=p2-4=-3 <0,不合题意，舍去..p=3. 思维拓展 14.解：(1)解方程x2-3x十2=0，得x1=2,x2=1.x1=2x2,∴.方程x2-3x十2=0 是“倍根方程”；(2)：(x-2)(mx十n)=0,.x-2=0,或mx十n=0,.x=2,x2= 一”“此方程是“倍根方程”，分以下两种情况讨论：当一”=2×2=4时，n一 一4m,即4m十月=0：当一只=之×2=1时，=一m,即m十n=0.综上所述，m,n的关 m 第4页（共72页） 系式为4m十n=0或m十n=0:(3):一元二次方程a.x2十bx十c=0(b-4ac≥0)是“倍 根方程”，设方程的两根分别为，2t.根据根与系数的关系，得t十2：=一么，t·21= a 合=品2…（品）(a)=后26=9ac 重点突破专题一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 1.A2.C3.C【变式1】>}【变式2B4.解：1)：关于x的一元二次方程x -(2m+1)x+4m-2=0,a=1,b=-(2m+1),c=4n-2,.△=b-4ac=[-(2m+ 1)]-4×1×(4m-2)=(2m-3);(2)由(1)知，△=(2m-3)≥0，∴.无论m取何值， 2 这个方程总有实数根。5.D6,号7.解：1)：a=1,b=2m,c=m-1△=6- 4ac=(2m)2一4×1×(m2一1)=4>0，即方程有两个不相等的实数根；(2)：x2十2m.x 十m-1=0有一个根是3，.把x=3代入方程，得32+2m×3十m-1=0.整理，得 m2+6m十8=0.解得m=-4,2=-2.当1=-4时，方程为x2-8x十15=0，另一根 为5，当m=-2时，方程为x2-4x十3=0，另一根为1. 21.3实际问题与一元二次方程 第1课时传播问题与循环问题 例题引路 1 【例1】(1)(x-1)2x(x-1)(2)2x(x-1)=4X7(3)2=-7,x=8(4)x= 一7不符合题意，舍去，只取x=8(5)8【例2】解：设原来的两位数十位上的数字为 x,则个位上的数字为(5一x).根据题意，得(10x十5一x)[10(5一x)十x=736.整理，得 x2-5x十6=0.解得x1=2,x2=3.当x=2时，5-x=5-2=3.当x=3时，5-x=5 3=2.答：原来的两位数是23或32. 基础过关 1.B2.1+x十x(x+1)=1693.A【变式】x(x-1)=1104.解：设九(2)班有x个 同学，则每个同学交换出(x一1)件小礼物.根据题意，得x(x一1)=1560.整理，得x2 x一1560=0.解得x1=40,x2=-39(不符合题意，舍去).答：九(2)班有40个同学. 5.x2-7x+12=06.C 能力提升 7.B8.1449.解：(1)设每轮分裂中平均每个有益菌可分裂成x个有益菌.根据题 意，得60x2=24000.解得x1=20,x2=一20（不符合题意，舍去）.答：每轮分裂中平均 每个有益菌可分裂成20个有益菌：(2)24000×20=480000（个）.答：经过三轮培育后 有480000个有益菌. 思维拓展 10.解：(1)根据题意，得号n(n一3)=14.整理，得m2-3m-28=0.解得m=7,m=一4 :n≥3，∴n=一4不符合题意，舍去..n=7,即这个多边形的边数是7：(2)A同学的 说法不正确.理由如下：当2n(n-3)=10时，整理，得-3n-20=0.解得n= 3±√/89 2 “符合方程n一3n一20=0的正整数n不存在，∴多边形的对角线不可能有 10条，即A同学的说法不正确. 第2课时平均变化率与销售问题 例题引路 【例1】10%【例2】解：设每件商品的售价提高x元.根据题意，得(10+x一8)200 0×10）=640.整理，得-8x十12=0.解得2=2，x=6.又要减少进货量x =6,.售价定为10十6=16（元）比较合适.答：将售价定为16元时，能使每天所得利润 为640元. 基础过关 1.B2.20%3.D4.解：设每只杯子降价x元.根据题意，得(100十10x)(60一40一 x)=2240.整理，得x2-10x十24=0.解得=4,2=6.答：每只杯子应降价4元或6元. 能力提升 5.D6.10%7.解：(1)由题意，设一次函数的关系式为y=kx十b.又结合表格数据可 第5页（共72页） 知图象过(4555.55,4,45大十6-5·解科二10，y与工的函数关系式为 {55k+b=45, =一x十100；(2)由题意，得日销售额为x(-x十100)=-x2+100x.当日销售额是 2600元时，2600=-x2+100x..x2-100x+2600=0..△=(-100)2-4×2600= 10000一10400=一400<0..此方程无实数根，故该商品日销售额不能达到2600元. 思维拓展 8.解：任务1：设工作实验室从7月份到9月份生产数量的平均增长率为x.根据题意， 得500(1十x)2=720.解得x1=0.2=20%,x2=一2.2（不符合题意，舍去）.答：工作实 验室从7月份到9月份生产数量的平均增长率为20%：任务2：设该零件的实际售价定 为y元，则月销售量为800+50)Y×20=1300-10y(个).当1300-10y<900,即y> 2 40时，每个零件的销售利润为(y-30)元.根据题意，得(y-30)(1300-10y)=13500. 整理，得y2-160y十5250=0.解得y1=80一5√46，y2=80十5√46.（均不符合题意， 舍去)当1300-10y≥900，即y≤40时，每个零件的销售利润为(y-30十5)元.根据题 意，得(y-30+5)(1300-10y)=13500.整理，得y-155y+4600=0.解得y1=40, y2=115(不符合题意，舍去).答：该零件的实际售价应定为40元. 第3课时几何图形问题 基础过关 1.B2.D3.A【变式】24.解：设页边距为xcm.根据题意，得(16-2x)(10一2x) =16×10×70%.整理，得x2-13x十12=0，解得x1=1,x2=12(不符合题意，舍去). 答：需设置页边距为1cm. 能力提升 5.解：(1)设矩形ABCD的边AB=xm,则边BC=70-2x十2=72一2x(m).根据题意， 得x(72一2x)=640.整理，得x2-36x十320=0.解得x1=16,x2=20.当x=16时，72 -2x=72-32=40;当x=20时，72-2x=72-40=32.答：当羊圈的长为40m,宽为 16m或长为32m,宽为20m时，能围成一个面积为640m的羊圈；(2)不能.理由如 下：根据题意，得x(72-2x)=650.整理，得x2一36x十325=0.△=（一36）2一4×325 =一4<0，∴该一元二次方程没有实数根..羊圈的面积不能达到650m. 第二十一章整合与提升 高频考点突破 1.A2.C3.-24.-75.解：(1)x2=16,x=士4，x1=4,x2=-4;(2)原方程变 形，得x(x十3)一2(x十3)=0.因式分解，得(x十3)(x-2)=0.于是得x十3=0，或x一 2=0.x1=-3,x2=2;(3)a=1,b=-3,c=1.△=6-4ac=(-3)2-4×1×1=5>0. 方程有两个不等的实数根=生公证-装款-，即=3 2a 2×1 22= 35 2 6.D7.B8.解：(1)a=1,b=-(m+2),c=-1,△=b-4ac=[-(m十 2)]2一4×1×(-1)=m十4+4一4n十4=m2十8..m≥0，.△>0..无论m取 何值，方程都有两个不相等的实数根；(2)由题意，得x1十x2=m十2，x1x2=1一1.：x 十x-x1x2=9,即（十x2)2-3x1x2=9,.(1十2）2-3(m-1)=9.整理，得m2十m- 2=0..(m十2)(m-1)=0.解得m1=-2,2=1,.m的值为-2或1.9.610.解： 0设散丙手办的单价为：元，则哪凭手办的单价为1.元，根据题意，相 1000=14,解得x=50.经检验x=50是原方程的解，且符合题意.1.3x=1.3×50=65 (元).答：哪吒手办的单价为65元，敖丙手办的单价为50元；(2)由(1)可得计划购买救 丙手办100=20（个），哪吒手办20+14=34（个）.根据题意，得(65-3m)(34十2m)+ 50 (50-m)(20+2)=2210十1000+100.整理，得m2-m=0.解得m1=1,2=0(不符合 题意，舍去).答：m的值为1， 易错易混专攻 1.-22.-1 常考题型演练 1.A2.D3.解：(1)设该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率为x,根据题意， 得300(1十x)2=432.解得x1=0.2=20%,x2=一2.2（不符合题意，舍去）.答：该基地 “阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率为20%：(2)设销售单价应降低y元.根据题意， 得(20-y-10)(300十+50y)=3150.整理，得y2-4y十3=0.解得y1=1,y2=3.:要使 消费者尽可能获得实惠，·y=3,此时20一y=17.答：销售单价应定为17元. 第6页（共72页）