21.2.3 因式分解法-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年九年级全一册数学（人教版 广西专版）

冒名师导学○预习先知 新知梳理 ①当一元二次方程的一边为0，而另一 边易分解成两个一次因式的乘积 时，令每个因式分别等于0，得到两 个 ,从而实现降 次，这种解法叫做因式分解法. ②用因式分解法解一元二次方程的步 骤：(1)将方程的一边化为0；(2)将 方程另一边分解成 的形式；(3)令每个因式分别等于0， 即得到两个一元一次方程；(4)解这 两个一元一次方程，它们的解就是 原方程的解. 例题引路 【例1】用因式分解法解下列方程： (1)x2=2x; (2)2(x-1)2+x=1. 【学生解答】 【例2】用适当的方法解下列方程： (1)x2+2x-323=0; (2)7x(3-x)=2(x-3). 【学生解答】 9名师测控·数学Ⅱ九年级全册 21.2.3因式分解法 ②基础过关⊙逐点击破 知识点1用因式分解法解一元二次方程 1.已知某一元二次方程的两根分别为x1=一2，x2=一3，则 这个方程可能为 ( ) A.(x-2)(x十3)=0 B.(x+2)(x-3)=0 C.(x+2)(x+3)=0 D.(x-2)(x-3)=0 2.(1)方程(x-7)(x一2)=0的两个根是x1= ，x2= (2)方程x2=x的根是 3.用因式分解法解下列方程： (1)x2=-3x; (2)x2-10x+25=0. 知识点2用适当的方法解一元二次方程 4.解方程(x一3)2=4，最合适的方法是 A.直接开平方法 B.配方法 C.公式法 D.因式分解法 5.用适当的方法解下列方程： (1)x(x+4)-x-4=0; (2)x2-4x+1=0. ?易错点解一元二次方程时，方程两边同除以含有未 知数的代数式导致漏根 6.小明在解方程(x一7)2=x一7时，只得出一个根为x=8,其 错误原因是 ,漏掉的一个根是 能力提升○整合运用 7.方程x(x一2)=x的根是 A.x=0 B.x=2 C.x1=0,x2=2 D.x1=0,x2=3 8.点P的横、纵坐标恰好是方程x2一2x一 24=0的两个根，则经过点P的正比例函数 图象一定过 A.第一、三象限 B.第二、四象限 C.第一象限 D.第四象限 9.新视角新定义)对于实数a,b,定义新运算，规 则如下：a△b=b一ab,则等式6△x=7中x 的值为 A.1或-7 B.-1或7 C.-1 D.-7 10.三角形的两边长分别为6和8，第三边长是 方程x2一12.x十20=0的一个实根，则第三 边长为 11.用合适的方法解下列方程： (1)3.x2-6x-2=0; (2)5(x-2)2=2(2-x). ⊙ 思维拓展©学科素养 12.阅读理解方法型(2024·桂林灌阳县期中) 解方程x一5x2+4=0,这是一个一元四次 方程，根据该方程的特点，它的解法通 常是： 设x2=y,那么x=y2,于是原方程可变为 ①，解得y1=1,y2=4. 当y=1时，x2=1,x=士1； 当y=4时，x2=4,x=士2； ∴.原方程有四个根：x1=1,x2=一1，x3= 2,x4=-2. (1)①中填写的方程是 ,在由原方 程得到方程①的过程中，利用换元法达到 降次的目的，体现了数学的转化思想； (2)已知实数x,y满足(x2+y2+3)2-7x -7y2-3=26,求x2+y的值； (3)解方程：(x2+x)2-4(x2+x)-12=0. 第二十一章一元二次方程10参考答案 第二十一章一元二次方程 21.1一元二次方程 新知梳理 ①2（二次） 例题引路 【例1】解：2y2-3=√2y的一般形式是2y2-√2y-3=0,其中二次项系数是2，一次项 系数是一√2，常数项是一3.【例2】解：(1)设参赛的足球队有x个.根据题意，得 x(,1)=55.整理化简，得x2-x-110=0:(2)设该直角三角形的一直角边长为 2 xcm,则另一直角边长为(17-x)cm.根据题意，得x2十(17-x)2=13.整理化简，得 x2-17x+60=0. 基础过关 1.C2.C3.m≠24.解：(1)4x2一√3x=0,二次项系数是4，一次项系数是-√5，常 弥数项是0：(2)2x2-1=0,二次项系数是2，一次项系数是0，常数项是-1,5.A 帐 【变式】20256.C7.(50-2x)(30-2x)=8008.A 能力提升 9.D10.B11.解：(1)根据题意，得1k-1=2,且k-3≠0，解得k=-1..当k=-1 时，方程是关于x的一元二次方程；(2)当k一3=0时，解得k=3.此时方程为一5x=2, 是一元一次方程.当|k-1|=1时，解得k=0,或k=2.方程分别为-3x-5x=2和 一x一5x=2,都是一元一次方程.综上所述，当k的值为3或0或2时，方程是关于x 的一元一次方程. 思维拓展 她 12.解：根据题意，得(x十1)·2x-(x十2)(x-2)=22,∴.2x2+2x-x2十4=22，即x2十 2x-18=0,它符合一元二次方程的定义，是一元二次方程，其一般形式为x2十2x 18=0. 封 21.2解一元二次方程 21.2.1配方法 第1课时用直接开平方法解一元二次方程 新知梳理 物 ①两个不等 -√p无两个相等0gD一”二D-” 例题引路 【例1】解：1)32=9,2=3=士5，=5，=-：(2)16r=12,r=号=是 3 ,【例214(x-2》=25-2)-25x-2=± 5 2 9 1 哈 2 -2 线基础过关 1.C2D3B4解：0x=是x=士号=多=-号：(2)5x-5r 3 3 3 -1.-1<0,方程无实数根.5.D6.解：(1)(x十1)=5，x十1=士5，x=-1士 5=-1+6=1-后(21-=器-号1-=士号=1士青 1 能力提升 7.B8.B9.5(答案不唯一，只要c≥0即可)10.4或-211.解：(1)4x2=1,x2= 1 4x=士 ==安：242+109=25,2x+10=92x+1=±号 1 3 x2= 千：(3)x2-3=1,x2=4,x=士2，x=2,=-2.12.解：②漏掉了 7 种情况移项，得4(2x-1)2=25(x+1)2.直接开平方，得2(2x-1)=士5(x+1),即 2(2x-1)=5(x十1)，或2(2x-1)=-5(x十1)，.x1=-7,x2=- 1 3 第1页（共72页） 思维拓展 13.解：(1)由题意，得 $$4 \triangle 3 = 4 ^ { 2 } - 3 ^ { 2 } = 7 ； \left( 2 \right)$$ 由题意，得 $$\left( x + 2 \right) \triangle 5 = \left( x + 2 \right) ^ { 2 } - 5 ^ { 2 } = 0 ，$$ 即 $$\left( x + 2 \right) ^ { 2 } = 2 5 .$$ 两边直接开平方，得 x+2=±5， ，解得 $$x _ { 1 } = 3 ， x _ { 2 } = - 7 ； \left( 3 \right)$$ 由题意，得 $$3 \triangle \left( x - 8 \right) = 3 ^ { 2 } - \left( x - 8 \right) ^ { 2 } = 9 - \left( x - 8 \right) ^ { 2 } = 0 .$$ .解方程 $$9 - \left( x - 8 \right) ^ { 2 } = 0 ，$$ 得 $$x _ { 1 } = 1 1 ， x _ { 2 } = 5 .$$ 当11是该直角三角形的斜边长时，第三边长为 $$\sqrt { 1 1 ^ { 2 } - 5 ^ { 2 } } = 4 \sqrt 6 ；$$ 当 11 是该直角三角 形的直角边长时，第三边长为 $$\sqrt { 1 1 ^ { 2 } + 5 ^ { 2 } } = \sqrt { 1 4 6 } .$$ 综上所述，该直角三角形的第三边长 为 $$4 \sqrt 6$$ 或 $$\sqrt { 1 4 6 } .$$ 第2课时用配方法解一元二次方程 新知梳理 O完全平方形式②(1)1 右边(2)一次项系数一半的平方 (3)≥< 例题引路 【例1】解：移项，得 $$2 x ^ { 2 } + 4 x = - 1 .$$ .二次项系数化为 1， ，得 $$x ^ { 2 } + 2 x = - \frac { 1 } { 2 } .$$ 配方，得 $$x ^ { 2 } +$$ $$2 x + 1 ^ { 2 } = - \frac { 1 } { 2 } + 1 ^ { 2 } ， \left( x + 1 \right) ^ { 2 } = \frac { 1 } { 2 }$$ .由此可得 $$x + 1 = \pm \frac { \sqrt 2 } { 2 } ， x _ { 1 } = \frac { \sqrt 2 } { 2 } - 1 ， x _ { 2 } = - \frac { \sqrt 2 } { 2 } - 1 .$$ 【例2】证明 $$： 2 x ^ { 2 } - 4 x + 9 = 2 \left( x ^ { 2 } - 2 x \right) + 9 = 2 \left( x ^ { 2 } - 2 x + 1 ^ { 2 } - 1 ^ { 2 } \right) + 9 = 2 \left( x - 1 \right) ^ { 2 } + 7 .$$ ∵ 无论 x 取何值，总有 $$\left( x - 1 \right) ^ { 2 } \ge 0 ， \therefore 2 \left( x - 1 \right) ^ { 2 } + 7 > 0 ， \therefore 2 x ^ { 2 } - 4 x + 9$$ 恒大于零. 基础过关 $$1 . B 2 . \left( 1 \right) 4 \quad 2 \left( 2 \right) \frac { 9 } { 4 } - \frac { 3 } { 2 }$$ 3. 解：(1)移项，得 $$x ^ { 2 } + 4 x = 3 .$$ 配方，得 $$x ^ { 2 } + 4 x + 2 ^ { 2 } =$$ $$3 + 2 ^ { 2 } ， \left( x + 2 \right) ^ { 2 } = 7 .$$ 由此可得 $$x + 2 = \pm \sqrt 7 ， x _ { 1 } = - 2 + \sqrt 7 ， x _ { 2 } = - 2 - \sqrt 7 ； \left( 2 \right)$$ 整理，得 $$x ^ { 2 } - 6 x = 2 .$$ 配方，得 $$x ^ { 2 } - 6 x + 3 ^ { 2 } = 2 + 3 ^ { 2 } ， \left( x - 3 \right) ^ { 2 } = 1 1 .$$ .由此可得 $$x - 3 = \pm \sqrt { 1 1 } ， x _ { 1 } =$$ $$3 + \sqrt { 1 1 } ， x _ { 2 } = 3 - \sqrt { 1 1 } ， 4 . A \quad 5 .$$ .解：1)二次项系数化为 1， ，得 $$x ^ { 2 } - 2 x = \frac { 1 } { 4 } .$$ 配方，得 $$x ^ { 2 } - 2 x + 1 ^ { 2 } = \frac { 1 } { 4 } + 1 ^ { 2 } ， \left( x - 1 \right) ^ { 2 } = \frac { 5 } { 4 } .$$ ，由此可得 $$x - 1 = \pm \frac { \sqrt 5 } { 2 } ， x _ { 1 } = 1 + \frac { \sqrt 5 } { 2 } ， x _ { 2 } = 1 - \frac { \sqrt 5 } { 2 } ；$$ (2)移项，得 $$\frac { 1 } { 6 } x ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } x = - \frac { 1 } { 3 } .$$ .二次项系数化为 1， ，得 $$x ^ { 2 } - 3 x = - 2 .$$ .配方，得 $$x ^ { 2 } - 3 x +$$ $$\left( \frac { 3 } { 2 } \right) ^ { 2 } = - 2 + \left( \frac { 3 } { 2 } \right) ^ { 2 } \cdot \left( x - \frac { 3 } { 2 } \right) ^ { 2 } = \frac { 1 } { 4 } .$$ ，由此可得 $$x - \frac { 3 } { 2 } = \pm \frac { 1 } { 2 } ， x _ { 1 } = 2 ， x _ { 2 } = 1 ， 6 ， D$$ 6.D 能力提升 7.D8.D9. 10. $$： A - B = \left( 2 x ^ { 2 } - 4 x - 1 \right) - \left( x ^ { 2 } - 6 x - 6 \right) = 2 x ^ { 2 } - 4 x - 1 - x ^ { 2 } +$$ $$6 x + 6 = x ^ { 2 } + 2 x + 5 = \left( x + 1 \right) ^ { 2 } + 4 ， \because \left( x + 1 \right) ^ { 2 } \ge 0 ， \therefore \left( x + 1 \right) ^ { 2 } + 4 > 0 ， \therefore A - B > 0 ，$$ ∴A>B. 思维拓展 11.解： $$： \left( 1 \right) ： x ^ { 2 } + 2 y ^ { 2 } - 2 x y - 1 0 y + 2 5 = 0 ， \therefore x ^ { 2 } - 2 x y + y ^ { 2 } + y ^ { 2 } - 1 0 y + 2 5 = 0 ， \therefore \left( x -$$ $$y \right) ^ { 2 } + \left( y - 5 \right) ^ { 2 } = 0 ， \because \left( x - y \right) ^ { 2 } \ge 0 ， \left( y - 5 \right) ^ { 2 } \ge 0 ， \therefore \left( x - y \right) ^ { 2 } = 0 ， \left( y - 5 \right) ^ { 2 } = 0 ， \therefore x - y =$$ $$0 ， y - 5 = 0 ， \therefore x = 5 ， y = 5 ； \left( 2 \right) \because a ^ { 2 } + b ^ { 2 } - 2 a - 6 b + 1 0 = 0 ， \therefore a ^ { 2 } - 2 a + 1 + b ^ { 2 } - 6 b + 9 =$$ $$0 ， \therefore \left( a - 1 \right) ^ { 2 } + \left( b - 3 \right) ^ { 2 } = 0 ， \because \left( a - 1 \right) ^ { 2 } \ge 0 ， \left( b - 3 \right) ^ { 2 } \ge 0 ， \therefore \left( a - 1 \right) ^ { 2 } = 0 ， \left( b - 3 \right) ^ { 2 } = 0 ， \therefore$$ -1=0，b-3=0，∴a=1，b=3，∴3-1<c<3+1，∴2<c<4，∵c 是正整数， ，∴c=3， ∴a=1，b=3，c=3，∴△ABC 是等腰三角形. 21.2.2 公式法 新知梳理 $$\textcircled { b ^ { 2 } } - 4 a c$$ 两个不等的两个相等的无 $$\textcircled { b } ^ { 2 } - 4 a c \ge 0$$ 例题引路 【例1】解： $$\left( 1 \right) a = 2 ， b = 3 ， c = - 4 ， \triangle = b ^ { 2 } - 4 a c = 3 ^ { 2 } - 4 \times 2 \times \left( - 4 \right) = 4 1 > 0 ，$$ ，方程有两个 不等的实数根；(2)方程化为 $$5 x ^ { 2 } - 7 x + 5 = 0 ， a = 5 ， b = - 7 ， c = 5 ， \triangle = b ^ { 2 } - 4 a c = \left( - 7 \right) ^ { 2 } -$$ 4×5×5=-51<0， ，方程无实数根.【例 解 $$： a = 1 ， b = 1 ， c = - 1 . \triangle = b ^ { 2 } - 4 a c = 1 ^ { 2 } -$$ 4×1×(-1)=5>0. .方程有两个不等的实数根 $$x = \frac { - b \pm \sqrt { b ^ { 2 } - 4 a c } } { 2 a } = \frac { - 1 \pm \sqrt 5 } { 2 \times 1 } =$$ $$\frac { - 1 \pm \sqrt 5 } { 2 } ， 则 x _ { 1 } = \frac { - 1 + \sqrt 5 } { 2 } ， x _ { 2 } = \frac { - 1 - \sqrt 5 } { 2 } .$$ 基础过关 1.44 2.A 3.C 4.C 5.C 6.解： $$\left( 1 \right) a = 1 ， b = - 6 ， c = 4 ， \triangle = b ^ { 2 } - 4 a c =$$ $$\left( - 6 \right) ^ { 2 } - 4 \times 1 \times 4 = 2 0 > 0 .$$ .方程有两个不等的实数根 $$x = \frac { - b \pm \sqrt { b ^ { 2 } - 4 a c } } { 2 a } =$$ 2a 第2页(共72页 -（-6)±20=3±5，即=3+5，x=3-5;(2)a=2,b=-22,c=1.△=6- 2×1 4如c=(-22)2-4×2X1=0.方程有两个相等的实数根x=,=一之= -22_N2 2a2×22 能力提升 7.C8一冬98或910，解：使方程有两个不相等的实数根，且a=1∴4=6 4ac=6-4c>0,即b>4c,∴.②③均可.选②解方程，则这个方程为x2十3x十1=0，a= 1,6=3c=1x=b士4ac=-3±5,1=二3+5，=二325：选⊙解 2a 2 2 2 方程，则这个方程为x2十3x-1=0,a=1,b=3,c=-1,x=一b±厅4ac= 2a -3去区，.x=二3+压，，=二3，压.11.解：1)△=(2m)-4×1×(m 2 2 2 一2)=4m2一4m十8=8>0，.无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)方程有一个根为3，∴32十6m十m2-2=0.整理，得m2十6m=-7..22十12m +2043=2(m2+6m)+2043=2×(-7)+2043=-14+2043=2029. 思维拓展 12.解：(1)△ABC是等腰三角形.理由如下：把x=一1代入原方程，得2a十c-4b十2a 一c=0,.4a-4b=0,∴.a=b,.△ABC是等腰三角形；(2)当△ABC是等边三角形时， a=b=c,.原方程可化为(2a十a)x2十4ax十2a-a=0,∴.3ax2十4ax十a=0.又.a> 0.3x2+4红十1=0,4=4-4X3X1=4>0.x=二4±4=2±即=-1， 2×3 3 1 x2=一3 21.2.3因式分解法 新知梳理 ①一元一次方程②两个一次因式的积 例题引路 【例1】解：(1)移项，得x2-2x=0.因式分解，得x(x-2)=0.于是得x=0,或x-2=0, x1=0,x2=2;(2)移项，得2(x-1)2+x-1=0.因式分解，得(x-1)[2(x-1)十1]=0， (x-1D(2x-1)=0.于是得x-1=0,或2x-1=0,=1,=号.【例2】解：10移 项，得x2十2x=323.配方，得x2十2x十12=323十12，(x十1)2=324.由此可得x十1= ±18，x1=-19,2=17;(2)移项，得7x(3-x)+2(3-x)=0.因式分解，得(3-x)(7x +2)=0.于是得8-=0，或7z十2=0=3=-号. 基础过关 1.C2.(1)72(2)x1=0,x2=13.解：(1)移项，得x2十3x=0.因式分解，得x(x 十3)=0.于是得x=0,或x十3=0，x1=0,x2=-3;(2)因式分解，得(x-5)2=0.于是 得x-5=0,x1=x2=5.4.A5.解：(1)原方程可变形为x(x十4)-(x十4)=0.因式 分解，得(x十4)(x-1)=0,于是得x十4=0，或x-1=0,x1=-4,x2=1;(2)移项，得 x2-4x=-1.配方，得x2-4x十22=-1十22，(x-2)2=3.由此可得x-2=±3，x =2十√3，x2=2-√5.6.未考虑x-7=0x=7 能力提升 7.D8.B9.B10.1011.解：(1)移项，得3x2-6x=2.二次项系数化为1，得x2 2x=号配方，得-2x十1=号+1，(x-1)=号由此可得x-1=士压。 3x1=1 十=1-5，(2移项，得5g一2》+2一2》=0因式分解，得：一25： -2)+2]=0,c-2)6x-8)=0.于是得x-2=0,或5x-8=0,4=24=号 思维拓展 12.解：(1)y2-5y十4=0(2)(x2十y2+3)2-7x2-7y2-3=26,.(x2十y2+3)2 7x2-7y2-29=0,.(x2+y2十3)2-7(x2十y2+3)-8=0.设x2+y2+3=m,则原方 程可变为m2-7m-8=0,解得m1=8,2=-1.当m=8时，x2十y2+3=8,x2十y2= 5.当m=-1时，x2十y2十3=-1，x2十y2=-4.-4<0,x2十y≥0，.此种情况不 成立.故x2十y的值为5；(3)设x2十x=a,则原方程可化为a2-4a-12=0,解得a1= 第3页（共72页） -2,a2=6.当a=-2时，x2十x=-2,即x2十x十2=0.，△=12-4X1×2=-7<0, 此方程无实数根.当a=6时，x2十x=6,即x2十x-6=0,解得x1=一3，x2=2.∴.原 方程有两个实数根：x1=-3,x2=2. 方法技巧专题一元二次方程的解法 1.解：(1)4x2=144,x2=36,x=±6，x1=6,x2=-6:(2)4(x-2)2=121,(x-2)2= 1x-2=士号x-2-号或x-2=号=子2.解：1)移项，得 15. 4 x2十4x=12.配方，得x2十4x十2=12十22，(x十2)2=16.由此可得x十2=士4，x1=2, x2=-6;(2)移项，得2x2十8x=10.二次项系数化为1，得x2十4x=5.配方，得x2十4x 十2=5十2，(x十2)2=9.由此可得x十2=±3，x1=1,x2=-5.3.解：(1)a=3,b= -6,c=4.△=b2-4ac=(-6)2-4×3×4=-12<0.方程无实数根；(2)a=2,b=7,c =3.△=b-4ac=72-4×2X3=25>0,方程有两个不等的实数根x=b士-4a 2a 生西-二75，即1=-3=一子.4.解：1)因式分解，得(x一7)1-) 2×2 4 =0.于是得x-7=0,或1-x=0,x1=7,x2=1;(2)原方程可变形为3(x-2)一x(x 2)=0.因式分解，得(x-2)(3-x)=0.于是得x-2=0,或3-x=0,x1=2,x2=3. 5.解：(1)设x2=y,则原方程可化为y2-3y-4=0.解得y1=4,y2=-1.当y=4时， x2=4,∴x=士2.当y=一1时，x2=一1，此方程无解.∴.原方程的解为x1=2,x2= -2;(2)设x2-2=y,则原方程可化为y2-11y十18=0.解得y=2,y2=9.当y=2 时，x2-2=2,x2=4,.x=士2.当y=9时，x2-2=9,.x2=11,x=±√.原 方程的解为x1=2,x2=-2,x3=-√1，x4=√.6.解：①当x-1≥0时，此时x ≥1，原方程化为x2-x=0,即x(x-1)=0,解得x1=1,x=0(不符合题意，舍去)； ②当x一1<0时，此时x<1,原方程化为x2十x-2=0,即(x十2)(x-1)=0,解得x1= -2,x2=1(不符合题意，舍去).原方程的根是无=1，x2=-2. *21.2.4一元二次方程的根与系数的关系 新知梳理 例题引路 2 【例】解：(1)x十x2=3,xzx2=1:(2)十x2三3，xxg=二3：（3)x十x2=0 号：()十=一号函=0.【例2】根据根与系数的关系，得十 号=分1原式=十)-2=()-2×号-头，(2原式=十 5 xIx2 5 2 基础过关 1.A2.-13.04.B5.-56.-27.C8.39.A 能力提升 10.B1山.202512.±713.解：(1)p1(2)”x十x=p,x1=1,1+ =十工=上=.“关于x的一元二次方程x2-px十1=0(p为常数)有两个不相等 xIx2 1 的实数根和-p十1=0，一p叶子=0，即十子=p:3):十 =p,x1x2=1,且x1十x=2p+1,∴.(x1十x2)2-2x1x2=2p十1，∴.p2-2=2p+1,解 得p1=3,p2=-1.当p=3时，4=p2-4=9-4=5>0;当p=-1时，△=p2-4=-3 <0,不合题意，舍去..p=3. 思维拓展 14.解：(1)解方程x2-3x十2=0，得x1=2,x2=1.x1=2x2,∴.方程x2-3x十2=0 是“倍根方程”；(2)：(x-2)(mx十n)=0,.x-2=0,或mx十n=0,.x=2,x2= 一”“此方程是“倍根方程”，分以下两种情况讨论：当一”=2×2=4时，n一 一4m,即4m十月=0：当一只=之×2=1时，=一m,即m十n=0.综上所述，m,n的关 m 第4页（共72页） 系式为4m十n=0或m十n=0:(3):一元二次方程a.x2十bx十c=0(b-4ac≥0)是“倍 根方程”，设方程的两根分别为，2t.根据根与系数的关系，得t十2：=一么，t·21= a 合=品2…（品）(a)=后26=9ac 重点突破专题一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 1.A2.C3.C【变式1】>}【变式2B4.解：1)：关于x的一元二次方程x -(2m+1)x+4m-2=0,a=1,b=-(2m+1),c=4n-2,.△=b-4ac=[-(2m+ 1)]-4×1×(4m-2)=(2m-3);(2)由(1)知，△=(2m-3)≥0，∴.无论m取何值， 2 这个方程总有实数根。5.D6,号7.解：1)：a=1,b=2m,c=m-1△=6- 4ac=(2m)2一4×1×(m2一1)=4>0，即方程有两个不相等的实数根；(2)：x2十2m.x 十m-1=0有一个根是3，.把x=3代入方程，得32+2m×3十m-1=0.整理，得 m2+6m十8=0.解得m=-4,2=-2.当1=-4时，方程为x2-8x十15=0，另一根 为5，当m=-2时，方程为x2-4x十3=0，另一根为1. 21.3实际问题与一元二次方程 第1课时传播问题与循环问题 例题引路 1 【例1】(1)(x-1)2x(x-1)(2)2x(x-1)=4X7(3)2=-7,x=8(4)x= 一7不符合题意，舍去，只取x=8(5)8【例2】解：设原来的两位数十位上的数字为 x,则个位上的数字为(5一x).根据题意，得(10x十5一x)[10(5一x)十x=736.整理，得 x2-5x十6=0.解得x1=2,x2=3.当x=2时，5-x=5-2=3.当x=3时，5-x=5 3=2.答：原来的两位数是23或32. 基础过关 1.B2.1+x十x(x+1)=1693.A【变式】x(x-1)=1104.解：设九(2)班有x个 同学，则每个同学交换出(x一1)件小礼物.根据题意，得x(x一1)=1560.整理，得x2 x一1560=0.解得x1=40,x2=-39(不符合题意，舍去).答：九(2)班有40个同学. 5.x2-7x+12=06.C 能力提升 7.B8.1449.解：(1)设每轮分裂中平均每个有益菌可分裂成x个有益菌.根据题 意，得60x2=24000.解得x1=20,x2=一20（不符合题意，舍去）.答：每轮分裂中平均 每个有益菌可分裂成20个有益菌：(2)24000×20=480000（个）.答：经过三轮培育后 有480000个有益菌. 思维拓展 10.解：(1)根据题意，得号n(n一3)=14.整理，得m2-3m-28=0.解得m=7,m=一4 :n≥3，∴n=一4不符合题意，舍去..n=7,即这个多边形的边数是7：(2)A同学的 说法不正确.理由如下：当2n(n-3)=10时，整理，得-3n-20=0.解得n= 3±√/89 2 “符合方程n一3n一20=0的正整数n不存在，∴多边形的对角线不可能有 10条，即A同学的说法不正确. 第2课时平均变化率与销售问题 例题引路 【例1】10%【例2】解：设每件商品的售价提高x元.根据题意，得(10+x一8)200 0×10）=640.整理，得-8x十12=0.解得2=2，x=6.又要减少进货量x =6,.售价定为10十6=16（元）比较合适.答：将售价定为16元时，能使每天所得利润 为640元. 基础过关 1.B2.20%3.D4.解：设每只杯子降价x元.根据题意，得(100十10x)(60一40一 x)=2240.整理，得x2-10x十24=0.解得=4,2=6.答：每只杯子应降价4元或6元. 能力提升 5.D6.10%7.解：(1)由题意，设一次函数的关系式为y=kx十b.又结合表格数据可 第5页（共72页） 知图象过(4555.55,4,45大十6-5·解科二10，y与工的函数关系式为 {55k+b=45, =一x十100；(2)由题意，得日销售额为x(-x十100)=-x2+100x.当日销售额是 2600元时，2600=-x2+100x..x2-100x+2600=0..△=(-100)2-4×2600= 10000一10400=一400<0..此方程无实数根，故该商品日销售额不能达到2600元. 思维拓展 8.解：任务1：设工作实验室从7月份到9月份生产数量的平均增长率为x.根据题意， 得500(1十x)2=720.解得x1=0.2=20%,x2=一2.2（不符合题意，舍去）.答：工作实 验室从7月份到9月份生产数量的平均增长率为20%：任务2：设该零件的实际售价定 为y元，则月销售量为800+50)Y×20=1300-10y(个).当1300-10y<900,即y> 2 40时，每个零件的销售利润为(y-30)元.根据题意，得(y-30)(1300-10y)=13500. 整理，得y2-160y十5250=0.解得y1=80一5√46，y2=80十5√46.（均不符合题意， 舍去)当1300-10y≥900，即y≤40时，每个零件的销售利润为(y-30十5)元.根据题 意，得(y-30+5)(1300-10y)=13500.整理，得y-155y+4600=0.解得y1=40, y2=115(不符合题意，舍去).答：该零件的实际售价应定为40元. 第3课时几何图形问题 基础过关 1.B2.D3.A【变式】24.解：设页边距为xcm.根据题意，得(16-2x)(10一2x) =16×10×70%.整理，得x2-13x十12=0，解得x1=1,x2=12(不符合题意，舍去). 答：需设置页边距为1cm. 能力提升 5.解：(1)设矩形ABCD的边AB=xm,则边BC=70-2x十2=72一2x(m).根据题意， 得x(72一2x)=640.整理，得x2-36x十320=0.解得x1=16,x2=20.当x=16时，72 -2x=72-32=40;当x=20时，72-2x=72-40=32.答：当羊圈的长为40m,宽为 16m或长为32m,宽为20m时，能围成一个面积为640m的羊圈；(2)不能.理由如 下：根据题意，得x(72-2x)=650.整理，得x2一36x十325=0.△=（一36）2一4×325 =一4<0，∴该一元二次方程没有实数根..羊圈的面积不能达到650m. 第二十一章整合与提升 高频考点突破 1.A2.C3.-24.-75.解：(1)x2=16,x=士4，x1=4,x2=-4;(2)原方程变 形，得x(x十3)一2(x十3)=0.因式分解，得(x十3)(x-2)=0.于是得x十3=0，或x一 2=0.x1=-3,x2=2;(3)a=1,b=-3,c=1.△=6-4ac=(-3)2-4×1×1=5>0. 方程有两个不等的实数根=生公证-装款-，即=3 2a 2×1 22= 35 2 6.D7.B8.解：(1)a=1,b=-(m+2),c=-1,△=b-4ac=[-(m十 2)]2一4×1×(-1)=m十4+4一4n十4=m2十8..m≥0，.△>0..无论m取 何值，方程都有两个不相等的实数根；(2)由题意，得x1十x2=m十2，x1x2=1一1.：x 十x-x1x2=9,即（十x2)2-3x1x2=9,.(1十2）2-3(m-1)=9.整理，得m2十m- 2=0..(m十2)(m-1)=0.解得m1=-2,2=1,.m的值为-2或1.9.610.解： 0设散丙手办的单价为：元，则哪凭手办的单价为1.元，根据题意，相 1000=14,解得x=50.经检验x=50是原方程的解，且符合题意.1.3x=1.3×50=65 (元).答：哪吒手办的单价为65元，敖丙手办的单价为50元；(2)由(1)可得计划购买救 丙手办100=20（个），哪吒手办20+14=34（个）.根据题意，得(65-3m)(34十2m)+ 50 (50-m)(20+2)=2210十1000+100.整理，得m2-m=0.解得m1=1,2=0(不符合 题意，舍去).答：m的值为1， 易错易混专攻 1.-22.-1 常考题型演练 1.A2.D3.解：(1)设该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率为x,根据题意， 得300(1十x)2=432.解得x1=0.2=20%,x2=一2.2（不符合题意，舍去）.答：该基地 “阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率为20%：(2)设销售单价应降低y元.根据题意， 得(20-y-10)(300十+50y)=3150.整理，得y2-4y十3=0.解得y1=1,y2=3.:要使 消费者尽可能获得实惠，·y=3,此时20一y=17.答：销售单价应定为17元. 第6页（共72页）