21.2.2 公式法-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年九年级全一册数学（人教版 广西专版）

冒名师导学○预习先知 新知梳理 ①一般地，式子 叫做一 元二次方程a.x2十bx十c=0根的判 别式.△>0台方程ax2+bx+c=0 (a≠0)有 实数根； △=0曰方程a.x2+b.x十c=0(a≠0) 衣 实数根；△<0曰 方程a.x2+b.x十c=0(a≠0) 实数根 ②一元二次方程a.x2+bx十c=0(a≠ 0),当 时，x -b±√62-4ac 2a 例题引路 【例1】不解方程，判断下列方程的根的 情况. (1)2x2+3.x-4=0; (2)5(x2+1)-7x=0. 【名师点拨】根据△=b2一4ac的值与0 的大小关系判断每个方程根的情况， 【学生解答】 【例2】用公式法解方程：x2+x-1=0. 【学生解答】 7名师测控·数学Ⅱ九年级全册 21.2.2公式法 ②基础过关○逐点击破 知识点1利用一元二次方程根的判别式判断方程根 的情况 1.(2024·南宁武鸣区期中)一元二次方程x2一4x一7=0的 根的判别式的值为 2.(2024·南宁青秀区校级期未)关于一元二次方程x2一 6x十3=0根的情况，下列说法正确的是 () A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根 C.只有一个实数根 D.无实数根 知识点2利用根的判别式确定字母的取值或范围 3.(2024·北京)若关于x的一元二次方程x2一4x十c=0有 两个相等的实数根，则实数c的值为 ( ) A.-16 B.-4 C.4 D.16 4.(2025·柳州模拟)若关于x的方程x2一x一m=0有实数 根，则实数m的取值范围是 A.m Bm≤}C.m≥- D.m>- 知识点3用公式法解一元二次方程 5.用公式法解方程x2十x=2时，求根公式中的a,b,c的值分 别是 () A.a=1,b=1,c=2 B.a=1,b=-1,c=-2 C.a=1,b=1,c=-2 D.a=1,b=-1,c=2 6.用公式法解下列方程： (1)x2-6x+4=0; (2)2x2-2√2x+1=0. 可能力提升。整合运用 7.一次函数y=kx十b的图象如图所示，则关 于x的一元二次方程x2十bx十k一1=0的 根的情况是 A.没有实数根 y=kx+b B.有两个相等的实数根 C.有两个不相等的实数根 D.无法确定 8.新视角新定义对于实数a,b定义新运算：a※ b=ab2一b.若关于x的方程2※x=k有两个 相等的实数根，则的值为 9.数学思想分类讨论若等腰三角形的一边长是 4,另两边的长是关于x的方程x2一6x十n 0的两个根，则n的值为 10.新视角条件开放题)设一元二次方程x2十 bx十c=0.在下面的四组条件中选择其中 一组b,c的值，使这个方程有两个不相等 的实数根，并解这个方程， ①b=2,c=1; ②b=3,c=1: ③b=3,c=-1: ④b=2,c=2. 11.已知关于x的方程x2+2mx十m2-2=0. (1)试说明：无论m取何值，方程总有两个 不相等的实数根； (2)若方程有一个根为3，求2m2+12m+ 2043的值. ©思维拓展⊙学科素养 12.已知关于x的一元二次方程(2a十c)x2十 4bx+2a-c=0,其中a,b,c分别为△ABC 三边的长 (1)如果x=一1是方程的根，试判断 △ABC的形状，并说明理由； (2)如果△ABC是等边三角形，试用公式法 求这个一元二次方程的根 第二十一章一元二次方程8参考答案 第二十一章一元二次方程 21.1一元二次方程 新知梳理 ①2（二次） 例题引路 【例1】解：2y2-3=√2y的一般形式是2y2-√2y-3=0,其中二次项系数是2，一次项 系数是一√2，常数项是一3.【例2】解：(1)设参赛的足球队有x个.根据题意，得 x(,1)=55.整理化简，得x2-x-110=0:(2)设该直角三角形的一直角边长为 2 xcm,则另一直角边长为(17-x)cm.根据题意，得x2十(17-x)2=13.整理化简，得 x2-17x+60=0. 基础过关 1.C2.C3.m≠24.解：(1)4x2一√3x=0,二次项系数是4，一次项系数是-√5，常 弥数项是0：(2)2x2-1=0,二次项系数是2，一次项系数是0，常数项是-1,5.A 帐 【变式】20256.C7.(50-2x)(30-2x)=8008.A 能力提升 9.D10.B11.解：(1)根据题意，得1k-1=2,且k-3≠0，解得k=-1..当k=-1 时，方程是关于x的一元二次方程；(2)当k一3=0时，解得k=3.此时方程为一5x=2, 是一元一次方程.当|k-1|=1时，解得k=0,或k=2.方程分别为-3x-5x=2和 一x一5x=2,都是一元一次方程.综上所述，当k的值为3或0或2时，方程是关于x 的一元一次方程. 思维拓展 她 12.解：根据题意，得(x十1)·2x-(x十2)(x-2)=22,∴.2x2+2x-x2十4=22，即x2十 2x-18=0,它符合一元二次方程的定义，是一元二次方程，其一般形式为x2十2x 18=0. 封 21.2解一元二次方程 21.2.1配方法 第1课时用直接开平方法解一元二次方程 新知梳理 物 ①两个不等 -√p无两个相等0gD一”二D-” 例题引路 【例1】解：1)32=9,2=3=士5，=5，=-：(2)16r=12,r=号=是 3 ,【例214(x-2》=25-2)-25x-2=± 5 2 9 1 哈 2 -2 线基础过关 1.C2D3B4解：0x=是x=士号=多=-号：(2)5x-5r 3 3 3 -1.-1<0,方程无实数根.5.D6.解：(1)(x十1)=5，x十1=士5，x=-1士 5=-1+6=1-后(21-=器-号1-=士号=1士青 1 能力提升 7.B8.B9.5(答案不唯一，只要c≥0即可)10.4或-211.解：(1)4x2=1,x2= 1 4x=士 ==安：242+109=25,2x+10=92x+1=±号 1 3 x2= 千：(3)x2-3=1,x2=4,x=士2，x=2,=-2.12.解：②漏掉了 7 种情况移项，得4(2x-1)2=25(x+1)2.直接开平方，得2(2x-1)=士5(x+1),即 2(2x-1)=5(x十1)，或2(2x-1)=-5(x十1)，.x1=-7,x2=- 1 3 第1页（共72页） 思维拓展 13.解：(1)由题意，得4△3=4-3=7：(2)由题意，得(x十2)△5=(x十2)2-52=0， 即(x十2)2=25.两边直接开平方，得x十2=士5，解得x1=3,x2=-7:(3)由题意，得 3△(x-8)=32-(x-8)2=9-(x-8)2=0.解方程9-(x-8)2=0,得x1=11,x2=5. 当11是该直角三角形的斜边长时，第三边长为√11一-5=4√6；当11是该直角三角 形的直角边长时，第三边长为√1'十5=√146.综上所述，该直角三角形的第三边长 为4√6或√146. 第2课时用配方法解一元二次方程 新知梳理 ①完全平方形式②(1)1右边(2)一次项系数一半的平方(3)≥< 例题引路 【例1】解：移项，得2x十红=-1.二次项系数化为1，得十2x=一子配方，得十 2z+1=合+1，十1y=子由此可得x十1=士号号-1函=一号1 【例2】证明：2x2-4x+9=2(x2-2x)+9=2(x2-2x十12-1)+9=2(x-1)2+7. 无论x取何值，总有(x-1)≥0，.2(x-1)2十7>0，.2x2-4x十9恒大于零. 基础过关 1B2.)42(2)是是3.解：1)移项，得x+4红=3.配方，得x+4r十2- 3十22，(x十2)2=7.由此可得x十2=士√7，x1=-2十√7，x2=-2-7:(2)整理，得 x2-6x=2.配方，得x2-6x十32=2十3，(x-3)=11.由此可得x-3=士√T,x1= 3十Tx=3-m.4A5,解：二次项系数化为1，得2-2x=子配方，得 r-2x+1=+1,6-10=是由此可得x-1=士号=1+号=1-， (2)移项，得日2-名x=一子二次项系数化为1，得-3江=-2.配方，得2-3江十 (受)=-2+（受）(-)=子由此可得x-名=士安=2=1.6D 能力提升 7.D8.D9.二10.解：A-B=(2x2-4x-1)-(x2-6x-6)=2x2-4x-1-x2+ 6x十6=x2+2x+5=(x十1)2+4.(x+1)2≥0，.(x+1)2+4>0,.A-B>0, ∴.A>B 思维拓展 11.解：(1)，x2+2y-2xy-10y+25=0,.x2-2xy+y+y-10y十25=0，.(x y)2+(y-5)2=0.:(x-y)≥0，(y-5)2≥0，∴.(x-y)2=0,(y-5)2=0,∴.x-y= 0,y-5=0,.x=5,y=5;(2).a2+b-2a-6b+10=0,.a2-2a+1+-6b+9= 0,.(a-1)2十(b-3)2=0.(a-1)2≥0，(b-3)2≥0，.(a-1)2=0,(b-3)2=0,.a -1=0,b-3=0,a=1,b=3,.3-1<c<3十1，.2<c<4.c是正整数，c=3, a=1,b=3,c=3,∴△ABC是等腰三角形. 21.2.2公式法 新知梳理 ①b一4ac两个不等的两个相等的无②b2一4ac≥0 例题引路 【例1】解：(1)a=2,b=3,c=-4,△=-4ac=32一4×2×(-4)=41>0，方程有两个 不等的实数根；(2)方程化为5x2一7x十5=0，a=5,b=一7，c=5,△=b一4ac=(-7)2 4×5×5=-51<0,方程无实数根.【例2】解：a=1,b=1,c=一1.△=-4ac=12 4×1X(-1)=5>0.方程有两个不等的实数根x=b士不-4=1±5 2a 2×1 15,即=1+5 2 ,m=15 2 基础过关 1.442.A3.C4.C5.C6.解：(1)a=1,b=-6,c=4.△=-4ac= （一6)2-4×1×4=20>0.方程有两个不等的实数根x=二b±4@c= 2a 第2页（共72页） -（-6)±20=3±5，即=3+5，x=3-5;(2)a=2,b=-22,c=1.△=6- 2×1 4如c=(-22)2-4×2X1=0.方程有两个相等的实数根x=,=一之= -22_N2 2a2×22 能力提升 7.C8一冬98或910，解：使方程有两个不相等的实数根，且a=1∴4=6 4ac=6-4c>0,即b>4c,∴.②③均可.选②解方程，则这个方程为x2十3x十1=0，a= 1,6=3c=1x=b士4ac=-3±5,1=二3+5，=二325：选⊙解 2a 2 2 2 方程，则这个方程为x2十3x-1=0,a=1,b=3,c=-1,x=一b±厅4ac= 2a -3去区，.x=二3+压，，=二3，压.11.解：1)△=(2m)-4×1×(m 2 2 2 一2)=4m2一4m十8=8>0，.无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)方程有一个根为3，∴32十6m十m2-2=0.整理，得m2十6m=-7..22十12m +2043=2(m2+6m)+2043=2×(-7)+2043=-14+2043=2029. 思维拓展 12.解：(1)△ABC是等腰三角形.理由如下：把x=一1代入原方程，得2a十c-4b十2a 一c=0,.4a-4b=0,∴.a=b,.△ABC是等腰三角形；(2)当△ABC是等边三角形时， a=b=c,.原方程可化为(2a十a)x2十4ax十2a-a=0,∴.3ax2十4ax十a=0.又.a> 0.3x2+4红十1=0,4=4-4X3X1=4>0.x=二4±4=2±即=-1， 2×3 3 1 x2=一3 21.2.3因式分解法 新知梳理 ①一元一次方程②两个一次因式的积 例题引路 【例1】解：(1)移项，得x2-2x=0.因式分解，得x(x-2)=0.于是得x=0,或x-2=0, x1=0,x2=2;(2)移项，得2(x-1)2+x-1=0.因式分解，得(x-1)[2(x-1)十1]=0， (x-1D(2x-1)=0.于是得x-1=0,或2x-1=0,=1,=号.【例2】解：10移 项，得x2十2x=323.配方，得x2十2x十12=323十12，(x十1)2=324.由此可得x十1= ±18，x1=-19,2=17;(2)移项，得7x(3-x)+2(3-x)=0.因式分解，得(3-x)(7x +2)=0.于是得8-=0，或7z十2=0=3=-号. 基础过关 1.C2.(1)72(2)x1=0,x2=13.解：(1)移项，得x2十3x=0.因式分解，得x(x 十3)=0.于是得x=0,或x十3=0，x1=0,x2=-3;(2)因式分解，得(x-5)2=0.于是 得x-5=0,x1=x2=5.4.A5.解：(1)原方程可变形为x(x十4)-(x十4)=0.因式 分解，得(x十4)(x-1)=0,于是得x十4=0，或x-1=0,x1=-4,x2=1;(2)移项，得 x2-4x=-1.配方，得x2-4x十22=-1十22，(x-2)2=3.由此可得x-2=±3，x =2十√3，x2=2-√5.6.未考虑x-7=0x=7 能力提升 7.D8.B9.B10.1011.解：(1)移项，得3x2-6x=2.二次项系数化为1，得x2 2x=号配方，得-2x十1=号+1，(x-1)=号由此可得x-1=士压。 3x1=1 十=1-5，(2移项，得5g一2》+2一2》=0因式分解，得：一25： -2)+2]=0,c-2)6x-8)=0.于是得x-2=0,或5x-8=0,4=24=号 思维拓展 12.解：(1)y2-5y十4=0(2)(x2十y2+3)2-7x2-7y2-3=26,.(x2十y2+3)2 7x2-7y2-29=0,.(x2+y2十3)2-7(x2十y2+3)-8=0.设x2+y2+3=m,则原方 程可变为m2-7m-8=0,解得m1=8,2=-1.当m=8时，x2十y2+3=8,x2十y2= 5.当m=-1时，x2十y2十3=-1，x2十y2=-4.-4<0,x2十y≥0，.此种情况不 成立.故x2十y的值为5；(3)设x2十x=a,则原方程可化为a2-4a-12=0,解得a1= 第3页（共72页）