一题多解探寻圆锥曲线压轴破解之策与算法优化（14）2025年武汉九调18题解几角平分线问题 讲义

解法探究:角平分线问题 问题:(2025武汉九调18)设抛物线E:y2=4x的焦点为F,过点P(3,0)的动直线1交 抛物线E于A,B两点,点T(2,2),若直线FT平分∠AFB,求直线1的斜率. B 解法一:(向量夹角公式) 设直线1:x=my+3,与抛物线方程y2=4x联立得y2-4my-12=0, 设A(x,1),B(x2,y2),则+y2=4m,y3=-12, FA=(x-1,y)=(my+2,y),FB=(x2-1,y2)=(my2+2,y2),FT=(L,2) 由题意:cos(FA,FT))=cos(FB,FT) p FA.FT FB.FT 即m+2y+2_m+2出+2 FAIFTFB‖FTI x+1 x2+1 即m+2y+2_m+2)+2 my+4 my2+4 去分母整理得(y2-y)(m+4)=0,得m=-4, 故直线:x=-4y+3,其斜率为-一 4 解法二:(角平分线定理) 1y 设直线:x=my+3,与抛物线方程y2=4x联立得y2-4my-12=0, 设A(x,),B(x2,y2),则y+2=4m,y2=-12, 延长FT交AB于点H,设H(x,y) 由题意得 =阳,即,即士4片 FBI BH x2+1y-y2 my2 +4 yo-y2 整理得[m(y+y2)+8]y-2yy2-4(y+y2)=0 解得y= -21m m2+2 x=my+3 4 又联立直线FT交AB的方程,即 y=2(x-1) 解得y%=1-2m 故2m 4 ,解得m=-4, m2+21-2m 故直线1:x=4y+3,其斜率为-} 4 解法三:(角平分线的向量表达) 设直线1:x=1y+3,与抛物线方程y2=4x联立得y2-4my-12=0, 设A(x1,y),B(x2,y2),则y+y2=4m,y2=-12, 由题意得:FT/( FA FB ),而 FAFB FA FB =,+点)=(25-少6+y++) FAFBIx+1'x+1x2+1'x2+1xx2+x+x2+1’xx2+x+x2+1 又FT=(1,2),所以》2+x2y+乃+y2=4(xx2-1) 而2=4x,22=4x2,代入化简得y22+yy2+4(+y2)=y2y22-16 即(yy2+4)y+2)=(yy2+4)yy2-4) 而yy2+4=-8≠0,故y+y2=y2-4,即4m=-16,得m=-4. 故直线1:x=-4y+3,其斜率为- 4 解法四:(向量夹角公式+多变量联动变换) 设A(x,),B(x2,2),则FA=(x-1,y),FB=(x2-1,2),FT=(1,2) 由题意:cos(aF)=cos(F历,F可),即.F可 FB.FT |FAFT1FB‖FT11 即5-1+2%=542少,变形为≤+0+20-)-+)+2%-D x+1 x3+1 x+1 x2+1 得121 x+1x2+1 上式表明点Q(-1,1)与点A(x,y),B(x2,y2)三点共线, 故kB=k阳=4 1 解法五:(到角公式) 设直线1:x=my+3,与抛物线方程y2=4x联立得y2-4my-12=0, 设A(x,y),B(x2,y2),则y+2=4m,y2=-12, kAr-ki=kre-kar 由题意可得:1+kk1+kkr 可e有2r22,入上式化简商 2m-1y+4(2m-1y+4=0 (m+2)y+2(m+2)y2+2 去分母整理得(2m-1)(m+2)yy2+(4m+3)y+2)+8=0 即(2m-1)(1m+2)(-12)+(4m+3)(4m)+8=0 整理得m2+3m-4=0 解得m=-4或m=1 故直线方程为x=-4y+3或x=y+3(依题意应舍去后者) 故直线1斜率为一4 1