专题05 相似三角形（期中真题汇编，贵州专用）九年级数学上学期北师大版

专题04 相似三角形 7 大高频考点概览 考点01比例线段【常考点】 考点02 相似图形的性质 考点03 平行线分线段成比例 考点04 黄金分割【常考点】 考点05 图形的位似 考点06 相似三角形的性质与判定【高频考点、难点】 考点07 相似三角形的应用 地 城 考点01 比例线段【常考点】 一、单选题 1．(24-25九上·贵州铜仁江口县·期中)已知a，b，c，d是比例线段，若，，，则d的长可能是（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 2．(24-25九上·贵州贵阳第十九中学·期中)下列四组线段中，不是成比例线段的是（    ） A．，，， B． C．，，， D． 3．(24-25九上·贵州六盘水·期中)下列四条线段中，能成为成比例线段的是（　　） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 4．(24-25九上·贵州铜仁碧江区·期中)在比例尺为的铜仁交通游览图上，乌江特大桥长约，它的实际长度约为（   ） A． B． C． D． 地 城 考点02 相似图形的性质 一、填空题 1．(24-25九上·贵州铜仁石阡县·期中)如图，五边形与五边形相似，且周长之比为．若．则的长为 ． 2．(24-25九上·贵州贵阳第十九中学·期中)如图，四边形四边形，若 ，则 度． 地 城 考点3 平行线分线段成比例 一、单选题 1．(24-25九上·贵州六盘水·期中)如图，，，，则的长是（　　） A．6 B．8 C．12 D．20 2．(24-25九上·贵州铜仁碧江区·期中)如图，线段，相交于点，，若，，，则的长是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．(24-25九上·贵州铜仁碧江区·期中)随着铜仁市旅游业蓬勃发展，某旅投公司修建了许多特色房屋，如图所示，阳光通过窗口射到室内，在地面上留下宽的亮区，已知亮区到窗口下的墙脚的距离，窗口高，那么窗口底部离地面的高度为（   ） A． B． C． D． 4．(24-25九上·贵州遵义第五十五中学·)如图，在正方形中，，，，分别为各边上的点，，连接，，，，交点分别为，，，．如果四边形的面积为，那么正方形的边长是（   ） A． B．10 C．12 D． 二、填空题 4．(24-25九上·贵州铜仁碧江区·期中)如图，已知，两条对应边，在同一条直线上，为上一点，，连接，分别交，于点，，其中，则阴影部分面积为 ． 三、解答题 5．(24-25九上·贵州铜仁石阡县·期中)如图，已知，它们依次交直线m，n于点A，B，C和点D，E，F，且，．求，的长． 地 城 考点04 黄金分割 【常考点】 一、单选题 1．(24-25九上·贵州铜仁印江土家族苗族自治县·期中)已知点是线段的黄金分割点，那么的长是（    ） A． B． C． D． 14．(24-25九上·贵州贵阳第十九中学·期中)如果点C 是线段的一个黄金分割点，那么下列线段的比值一定不可能为的 是（    ） A． B． C． D． 15．(24-25九上·贵州铜仁碧江区·期中)鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如图，是的黄金分割点，若线段的长为，则的长为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 2．(24-25九上·贵州铜仁碧江区第十一中学·期中)已知 ，则点H是的黄金分割点（）， ． 一、填空题地 城 考点05 用树状图或列表法求概率 1．(24-25九上·贵州贵阳南明区北京师范大学贵阳附属学校·期中)如图，在平面直角坐标系的第一象限内，与关于原点O位似，点的坐标为，点的坐标为，则 ． 30．(24-25九上·贵州贵阳南明区北京师范大学贵阳附属学校·期中)如图，三个顶点坐标分别为，，． (1)以原点为位似中心，在第二象限内，将放大为原来的倍，得到，画出； (2)连接，，求的面积． 地 城 考点06 相似三角形的性质与判定【高频考点、难点】 一．单选题 1．(24-25九上·河北保定易县·期末)如图，，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（   ） A． B． C． D． 2．(24-25九上·贵州铜仁石阡县·期中)如图，在矩形中，M是边的中点，，垂足为N，连接，给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 二、填空题 3．(24-25九上·贵州贵阳第十九中学·期中)在正方形中，点E是的中点，连接，过B点作交于点F， 连接，若 ， 则的长为 三解答题 4．(24-25九上·贵州铜仁沿河土家族自治县·期中)如图所示，在的正方形方格中，和的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上． (1)填空：________，________； (2)判断与是否相似？并说明理由． 5．(24-25九上·贵州铜仁碧江区·期中)如图，在中，为边上一点，． (1)求证：； (2)若，求的长． 6．(24-25九上·贵州铜仁沿河土家族自治县·期中)如图，在四边形中，平分，，为的中点． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，，求的值． 7．(24-25九·贵州·期中)如图，在中，，点D是边上的一个动点，点E在上，点D在运动过程中始终保持．设的长为x（）． (1)求证：； (2)用含x的代数式表示的长； (3)在（2）的条件下，当时，求x的值． 8．(24-25九上·贵州贵阳南明区北京师范大学贵阳附属学校·期中)如图，在四边形中，，连接，过点A作，垂足为交于点，． (1)求证：； (2)若，请判断线段的数量关系，并证明你的结论； (3)在（2）的条件下，若，，求的长． 9．(24-25九上·贵州铜仁沿河土家族自治县·期中)【基础巩固】 （1）如图①，在中，D为上一点，．求证：． 【尝试应用】 （2）如图②，在平行四边形中，E为上一点，F为延长线上一点，．若，，求的长． 【拓展提高】 （3）如图③，在菱形中，E是上一点，F是内一点，，，，，，求菱形的边长． 10．(24-25九上·贵州铜仁石阡县·期中)（1）如图1，在和中，，，，连接，．求证：； （2）如图2，E为正方形外一点，连接，，，过点D作，垂足为F，连接．求的值； （3）如图3，A是内一点，H是上一点，，，，，．求的长． 11．(24-25九上·贵州铜仁碧江区第十一中学·期中)阅读以下材料： 【问题情境】如图1，在正方形中，E为边上一点，F为延长线上一点，且． （1）与之间有怎样的数量和位置关系？请说明理由； 【类比迁移】 （2）如图2，在矩形中，E是边上一点，将沿翻折得到，延长交延长线于点F．线段与具有怎样的数量和位置关系？请证明你的猜想； 【拓展提升】 （3）如图3，在菱形中，，E是上一点，绕点E顺时针旋转得绕点E顺时针旋转得，当时，求四边形的面积． 12．(24-25九上·贵州铜仁碧江区·期中)【综合与探究】 请阅读以下材料，完成相应的任务． 角平分线分线段成比例定理： 如图，在中，平分，则． 下面是这个定理的部分证明过程． 证明：如图，过作，交的延长线于点． ，，，， ， ① ，； (1)①处应该填__________； (2)在（1）的基础上，若，求． (3)如图3，是的角平分线，点在上，延长交于点，若，，，，求线段的长． 地 城 考点07 相似三角形的应用 一、解答题 1．(24-25九上·贵州铜仁石阡县·期中)如图，小丽要测量电视塔的高度．已知小丽的头顶A、标杆的顶点F与电视塔的顶端E在同一直线上，小丽的身高为，标杆的长为，且小丽与标杆的距离为，标杆与电视塔的距离为，，，，求电视塔的高的长． 2．(24-25九上·贵州遵义余庆县·期中)一块材料的形状是锐角三角形，边，高，把它加工成矩形零件如图，使矩形的一边在上，其余两个顶点分别在上．设，． （1） （用含的式子表示）； （2）这个矩形的最大面积是 ． 3．(24-25九上·贵州铜仁碧江区·期中)如图是某项目式学习小组的成员手持一把刻有厘米刻度的小尺测量旗杆高度的示意图，他站在距离旗杆大约的地方，手臂向前伸直并保持小尺垂直，观察到尺子上大约30个刻度完全遮挡了旗杆．已知该同学的臂长约为，求旗杆的大致高度． [思路引导] (1)臂长和人距旗杆底部的距离分别可看作和的对应高，则对应高之比等于__________． (2)求旗杆的大致高度． 4．(24-25九上·贵州铜仁碧江区·期中)如图，一次函数的图象与反比例函数（，）的图象相交于点，交轴于点，交轴于点． (1)_____． (2)判断线段与的数量关系． (3)点在一次函数的图象上，且横坐标为4，过点作轴的平行线，交反比例函数的图象于点，连接．求的面积． 5．(24-25九上·贵州贵阳第十九中学·期中)小明想测量电线杆的高度，他发现电线杆的影子正好落在坡面和地面上，已知和地面成角，，且此时刻得高的标杆在地面的影长为． (1)点D到地面的距离为 米 (2)求电线杆的高（结果保留根号） (3)若是在坡底下C处的一棵大树，树尖刚好落在光线上，在山坡上有一建筑物高，求此时它落在坡面上的影长 （结果保留根号）． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 相似三角形 7 大高频考点概览 考点01比例线段【常考点】 考点02 相似图形的性质 考点03 平行线分线段成比例 考点04 黄金分割【常考点】 考点05 图形的位似 考点06 相似三角形的性质与判定【高频考点、难点】 考点07 相似三角形的应用 地 城 考点01 比例线段【常考点】 一、单选题 1．(24-25九上·贵州铜仁江口县·期中)已知a，b，c，d是比例线段，若，，，则d的长可能是（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】D 【分析】此题考查了成比例线段的定义．由、、、四条线段是成比例线段，根据成比例线段的定义，可得，又由，，，即可求得的值． 【详解】解：∵、、、是成比例线段，，， ∴， 即， ∴． 故选：D． 2．(24-25九上·贵州贵阳第十九中学·期中)下列四组线段中，不是成比例线段的是（    ） A．，，， B． C．，，， D． 【答案】C 【分析】本题考查了成比例的线段，在四条线段中，如果其中的两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．根据成比例线段的定义逐项分析即可． 【详解】解：、，， ， 故本选项不符合题意； 、，， ， 故本选项不符合题意； 、，， ， 故本选项符合题意 、，， ， 故本选项不符合题意； 故选：． 3．(24-25九上·贵州六盘水·期中)下列四条线段中，能成为成比例线段的是（　　） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】B 【分析】本题考查了比例线段：判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系．根据比例线段的定义，分别计算各选项中最小的数与最大的数的积是否等于另外两个数的积可判断四条线段成比例． 【详解】解：A、，所以A选项不符合题意； B、，所以B选项符合题意； C、，所以C选项不符合题意； D、，所以D选项不符合题意； 故选：B． 4．(24-25九上·贵州铜仁碧江区·期中)在比例尺为的铜仁交通游览图上，乌江特大桥长约，它的实际长度约为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了比例线段，能够根据比例尺灵活计算，注意单位的换算问题， 根据实际距离图上距离除以比例尺．代值计算即可得出答案． 【详解】解：它的实际长度约为： ， 故选：C． 地 城 考点02 相似图形的性质 一、填空题 1．(24-25九上·贵州铜仁石阡县·期中)如图，五边形与五边形相似，且周长之比为．若．则的长为 ． 【答案】16 【分析】本题考查相似多边形的性质，掌握相似多边形的边长比等于周长比是解题关键．根据相似多边形的性质得出，再代入数据求解即可． 【详解】解：∵五边形与五边形相似，且周长之比为， ∴，即， 解得：． 故答案为：16． 2．(24-25九上·贵州贵阳第十九中学·期中)如图，四边形四边形，若 ，则 度． 【答案】130 【分析】本题主要考查了相似图形的性质，多边形的内角和定理，先根据四边形内角和定理求出，再根据相似图形的对应角相等得出答案． 【详解】解：∵， ∴． ∵四边形四边形， ∴． 故答案为：130． 地 城 考点3 平行线分线段成比例 一、单选题 1．(24-25九上·贵州六盘水·期中)如图，，，，则的长是（　　） A．6 B．8 C．12 D．20 【答案】B 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．由平行线分线段成比例定理得，即可得出结论． 【详解】， ， 即， 解得：， 故选择：B 2．(24-25九上·贵州铜仁碧江区·期中)如图，线段，相交于点，，若，，，则的长是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查平行线的性质、相似三角形的判定与性质，根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等，可得，则，由相似三角形的性质得，代入数值即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ，，， ， ， 故选：B． 3．(24-25九上·贵州铜仁碧江区·期中)随着铜仁市旅游业蓬勃发展，某旅投公司修建了许多特色房屋，如图所示，阳光通过窗口射到室内，在地面上留下宽的亮区，已知亮区到窗口下的墙脚的距离，窗口高，那么窗口底部离地面的高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的应用，由得到，进而得到，代入已知条件即可求解，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， 解得 故选：． 4．(24-25九上·贵州遵义第五十五中学·)如图，在正方形中，，，，分别为各边上的点，，连接，，，，交点分别为，，，．如果四边形的面积为，那么正方形的边长是（   ） A． B．10 C．12 D． 【答案】A 【分析】先证明四边形是平行四边形，利用平行线分线段成比例可得出，，证明得出，则可得出，同理，得出平行四边形是矩形，证明，得出，进而得出，得出矩形是正方形，在中，根据用正方形的面积公式得出，进而根据得出，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，，， ∵，，，分别为各边上的点，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 同理， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴， 同理， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，同理， ∴平行四边形是矩形， ∵，，， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴矩形是正方形， ∵四边形的面积为， ∴， ∴， ∵ ∴ 在中， 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，全等三角形判定与性质，平行线分线段成比例，勾股定理，正切的定义等知识，明确题意，灵活运用相关知识求解是解题的关键． 二、填空题 4．(24-25九上·贵州铜仁碧江区·期中)如图，已知，两条对应边，在同一条直线上，为上一点，，连接，分别交，于点，，其中，则阴影部分面积为 ． 【答案】7 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质以及平行线的判定和性质，根据题意得，则有，判定，有，设的高为h，则的高为，可知、和，即可求得阴影部分面积． 【详解】解：∵， ∴ ∵两条对应边，在同一条直线上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设中边上的高为h，则中边上的高为， 中边上的高为， ∵， ∴，， ∴， 则阴影部分面积为， 故答案为：7． 三、解答题 5．(24-25九上·贵州铜仁石阡县·期中)如图，已知，它们依次交直线m，n于点A，B，C和点D，E，F，且，．求，的长． 【答案】的长为6，的长为9 【分析】本题考查了平行线分线段成比例．熟练掌握平行线分线段成比例是解题的关键． 由，可得，即，由，计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得，， ∵，即， 解得，， ∴， ∴的长为6，的长为9． 地 城 考点04 黄金分割 【常考点】 一、单选题 1．(24-25九上·贵州铜仁印江土家族苗族自治县·期中)已知点是线段的黄金分割点，那么的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查黄金分割点的概念．根据黄金分割点的定义，知是较长线段；则，代入数据即可得出的长． 【详解】解：由于P为线段的黄金分割点，且是较长线段， 则． 故选：A． 14．(24-25九上·贵州贵阳第十九中学·期中)如果点C 是线段的一个黄金分割点，那么下列线段的比值一定不可能为的 是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了黄金分割比， 当时，，当时，，再逐项判断即可． 【详解】根据题意，可知分两种情况： 当时，，所以C，D正确； 当时，，所以A正确. 则． 所以B符合题意． 故选：B． 15．(24-25九上·贵州铜仁碧江区·期中)鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如图，是的黄金分割点，若线段的长为，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了黄金分割比例，熟知黄金分割比例是解题的关键．根据黄金分割的定义可得据此求解即可． 【详解】解：∵P是AB的黄金分割点，， ∴； 故选：A． 二、填空题 2．(24-25九上·贵州铜仁碧江区第十一中学·期中)已知 ，则点H是的黄金分割点（）， ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了黄金分割．熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键． 设，由，得，根据点H是的黄金分割点，得代入计算即得． 【详解】设， ∵， ∴， ∵点H是的黄金分割点（）， ∴， ∴， ∴， 解得， 经检验，都是原方程的根， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 一、填空题地 城 考点05 用树状图或列表法求概率 1．(24-25九上·贵州贵阳南明区北京师范大学贵阳附属学校·期中)如图，在平面直角坐标系的第一象限内，与关于原点O位似，点的坐标为，点的坐标为，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了位似图形的性质，根据位似图形相似及相似比即可得出结果，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵点的坐标为，点的坐标为， ∴与的位似比为， ∴， ∴， 故答案为：． 30．(24-25九上·贵州贵阳南明区北京师范大学贵阳附属学校·期中)如图，三个顶点坐标分别为，，． (1)以原点为位似中心，在第二象限内，将放大为原来的倍，得到，画出； (2)连接，，求的面积． 【答案】(1)画图见解析； (2)的面积为． 【分析】本题主要考查了画位似图形，求位似图形对应点的坐标，解题的关键在于熟知在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或． （）利用位似图形的性质，得出各对应点位置进而得出答案； （）直接求三角形面积即可． 【详解】（1）解：如图，将放大为原来的倍， ∴，，对应点坐标为，，， ∴即为所求； （2）解：如图， ∴的面积为． 地 城 考点06 相似三角形的性质与判定【高频考点、难点】 一．单选题 1．(24-25九上·河北保定易县·期末)如图，，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．根据相似三角形的判定：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似，逐项判断即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 、添加， ∴，原选项不符合题意； 、添加， ∴，原选项不符合题意； 、添加， ∴，原选项不符合题意； 、添加， ∴不能判定，原选项符合题意； 故选：． 2．(24-25九上·贵州铜仁石阡县·期中)如图，在矩形中，M是边的中点，，垂足为N，连接，给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、矩形的性质等知识点，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 先证明可得得到可证①④正确；由平行线性质可得、，可证可判定②；通过证明可得，可求，即可得可判定③． 【详解】解：∵在矩形中，， ∴， ∴， ∴M是边的中点， ， ∴， ，故①正确； ∴，故④正确； ∵四边形是矩形， ∴，，， ，， ∴，故②正确； ∵， ， ∵， ∴，且， ，且， ∴， ∴，即， ∴， ， ∴，故③错误． 综上的有①②④． 故选：B． 二、填空题 3．(24-25九上·贵州贵阳第十九中学·期中)在正方形中，点E是的中点，连接，过B点作交于点F， 连接，若 ， 则的长为 【答案】 【分析】本题主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识点，掌握相似三角形的判定与性质成为解题的关键． 如图：过点D作交于M，先证明，再结合已知条件可得，再证明可得，进而说明垂直平分，即，进而完成解答． 【详解】解：如图：过点D作交于M， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和和中， ∵， ∴， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴，即， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴，即． 故答案为：． 三解答题 4．(24-25九上·贵州铜仁沿河土家族自治县·期中)如图所示，在的正方形方格中，和的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上． (1)填空：________，________； (2)判断与是否相似？并说明理由． 【答案】(1)； (2)相似，理由见解析 【分析】（1）根据已知条件，结合网格可以求出的度数，根据和的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，利用勾股定理即可求出线段的长度． （2）根据相似三角形的判定定理：对应边成比例，夹角相等，即可证明与相似． 【详解】（1）， ； 故答案为：；． （2）相似，理由如下: ， 又， ． 【点睛】本题主要考查了勾股定理和相似三角形的判定，掌握相似三角形判定定理并根据图形得到两个三角形的边与边、角与角的关系是解题关键． 5．(24-25九上·贵州铜仁碧江区·期中)如图，在中，为边上一点，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的知识点是相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练的掌握相似三角形的判定与性质． （1）根据相似三角形的判定得出即可； （2）根据相似得出比例式，代入求出即可． 【详解】（1），， （2）， ， ，，． 6．(24-25九上·贵州铜仁沿河土家族自治县·期中)如图，在四边形中，平分，，为的中点． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，，求的值． 【答案】(1)详见解析． (2)详见解析． (3)． 【分析】本题考查了“内错角相等两直线平行”、角平分线的性质、“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”和相似三角形的判定及性质等知识点，理解并掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）先利用直角三角形斜边中线的性质得出，进而得出，根据角平分线性质得到，从而，再根据“内错角相等，两直线平行”即可得出结论； （2）先根据角平分线得出，进而判断出，根据相似三角形性质即可得出结论． （3）证，根据相似三角形性质可得：，即可得到． 【详解】（1）证明：∵在直角三角形中，为的中点， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴ ． （2）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ． （3）解：由（1）可得， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 7．(24-25九·贵州·期中)如图，在中，，点D是边上的一个动点，点E在上，点D在运动过程中始终保持．设的长为x（）． (1)求证：； (2)用含x的代数式表示的长； (3)在（2）的条件下，当时，求x的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质和判定， 对于（1），先根据三角形的外角的性质得，再根据两角相等的两个三角形相似得出答案； 对于（2），根据相似三角形的对应边成比例可得答案； 对于（3），将数值代入，再计算即可． 【详解】（1）∵， ∴． ∵， ∴， ∴． （2）∵， ∴， 即， ∴． （3）∵， ∴， 解得或． 8．(24-25九上·贵州贵阳南明区北京师范大学贵阳附属学校·期中)如图，在四边形中，，连接，过点A作，垂足为交于点，． (1)求证：； (2)若，请判断线段的数量关系，并证明你的结论； (3)在（2）的条件下，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据直角三角形两锐角互余结合，等量代换即可证明； （2）如图所示，过点B作，求出，然后证明，得到，然后等量代换得到，即可推出； （3）首先证明出，得到，，勾股定理求出，然后证明出，得到，然后代数求解即可． 【详解】（1）∵ ∴ ∵ ∴ ∵， ∴ ∴； （2），证明如下： 如图所示，过点B作 ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴，即 ∴； （3）∵，， ∴ ∴， ∵ ∵， ∴ ∴，即 ∴． 【点睛】此题考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，全等三角形的性质和判定，等角对等边等性质，解题的关键是掌握以上知识点． 9．(24-25九上·贵州铜仁沿河土家族自治县·期中)【基础巩固】 （1）如图①，在中，D为上一点，．求证：． 【尝试应用】 （2）如图②，在平行四边形中，E为上一点，F为延长线上一点，．若，，求的长． 【拓展提高】 （3）如图③，在菱形中，E是上一点，F是内一点，，，，，，求菱形的边长． 【答案】（1）详见解析 （2） （3） 【分析】本题主要考查平行四边形，菱形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）证明即可求解； （2）根据平行四边形的性质可得，可证，得到，代入计算即可求解； （3）如图，分别延长、相交与G，可证四边形是平行四边形，可证，得到，即 ，再证，得到，由此即可求解． 【详解】解：（1）证明：∵，， ∴， ∴； （2）∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）如图，分别延长、相交与G， ∵四边形是菱形， ∴即， 又∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即 ， 又， ∴，即， ∴ ， 又∵，， ∴， ∴， ∴菱形的边长为． 10．(24-25九上·贵州铜仁石阡县·期中)（1）如图1，在和中，，，，连接，．求证：； （2）如图2，E为正方形外一点，连接，，，过点D作，垂足为F，连接．求的值； （3）如图3，A是内一点，H是上一点，，，，，．求的长． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】（1）由题意可知和为等腰直角三角形，即可得出，，即可证明； （2）由题意可知为等腰直角三角形，连接，结合正方形的性质即得出，，可证，得出； （3）连接．由等腰三角三角形的性质可得出，结合题意可得出，即易证，得出，从而可求出，结合勾股定理可求出．又易证，得出，从而可证，即得出． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴和为等腰直角三角形， ∴，，， ∴，， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴，． 如图，连接， ∴在正方形中，， ∴，， ∴，， ∴， ∴； （3）解：如图，连接． ∵， ∴． ∵， ∴，即． ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，即． ∵，即， ∴， ∴． ∵， ∴，即． ∵， ∴． 【点睛】本题考查三角形相似的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，等腰三角形三线合一的性质，勾股定理，正方形的性质等知识．掌握三角形相似的判定定理和性质定理和正确作出辅助线构造相似三角形是解题关键． 11．(24-25九上·贵州铜仁碧江区第十一中学·期中)阅读以下材料： 【问题情境】如图1，在正方形中，E为边上一点，F为延长线上一点，且． （1）与之间有怎样的数量和位置关系？请说明理由； 【类比迁移】 （2）如图2，在矩形中，E是边上一点，将沿翻折得到，延长交延长线于点F．线段与具有怎样的数量和位置关系？请证明你的猜想； 【拓展提升】 （3）如图3，在菱形中，，E是上一点，绕点E顺时针旋转得绕点E顺时针旋转得，当时，求四边形的面积． 【答案】（1），理由见解析 （2），理由见解析 （3） 【分析】（1）延长交于点H，证明，得出，在利用三角形内角和定理证明出，即可解答； （2）延长交于点H，由折叠得，点D与点关于对称，得出，再证明，得出； （3）连接并延长交于点T，交于S，过E作于N，交的延长线于M，证明出，得到，，再证明，利用相似比求出，再求出，利用对角线互相垂直的四边形面积公式即可解答此问． 【详解】解：（1），理由如下： 如图1， 延长交于点H， ∵四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴ ，即； （2），理由如图下： 如图2， 延长交于H， ∵四边形是矩形， ∴， 由折叠得，点D与点关于对称， ∴，即， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即； （3）如图3，连接并延长交于点T，交于S，过E作于N，交的延长线于M， ∵四边形是菱形， ∴， 由旋转得， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了四边形的综合．矩形性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，旋转对称性质及勾股定理等知识，正确作出辅助线，是本题的解题关键． 12．(24-25九上·贵州铜仁碧江区·期中)【综合与探究】 请阅读以下材料，完成相应的任务． 角平分线分线段成比例定理： 如图，在中，平分，则． 下面是这个定理的部分证明过程． 证明：如图，过作，交的延长线于点． ，，，， ， ① ，； (1)①处应该填__________； (2)在（1）的基础上，若，求． (3)如图3，是的角平分线，点在上，延长交于点，若，，，，求线段的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据等角对等边即可得解； （2）由角平分线的性质得，设，则，，再根据相似三角形的判定及性质即可得解； （3）过点作，则 进而得，，设，根据角平分线性质及平行线分线段成比例定理得，解得，从而即可得解． 【详解】（1）解：证明：如图，过作，交的延长线于点． ， ，， ， ， ， ； 故答案为：； （2）解：是的平分线， ， ，， ； 设，则， ， ， ∴． （3）解：过点作， ∴ ， ， 设 是的角平分线 又 解得 ， ． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，平行线分线段成比例，相似三角形的判定及性质，等角对等边，熟练掌握行线分线段成比例及相似三角形的判定及性质是解题的关键． 地 城 考点07 相似三角形的应用 一、解答题 1．(24-25九上·贵州铜仁石阡县·期中)如图，小丽要测量电视塔的高度．已知小丽的头顶A、标杆的顶点F与电视塔的顶端E在同一直线上，小丽的身高为，标杆的长为，且小丽与标杆的距离为，标杆与电视塔的距离为，，，，求电视塔的高的长． 【答案】 【分析】本题考查平行线的判定和性质，三角形相似的判定和性质的应用．掌握三角形相似的判定定理和性质定理是解题关键．过点A作，交于点G，结合平行线的判定和平行线间的距离都相等可得出，，，从而可求出，又易证，得出，代入数据，即可求出，进而由求解即可． 【详解】解：如图，过点A作，交于点G． ∴． ∵，，， ∴，，， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 2．(24-25九上·贵州遵义余庆县·期中)一块材料的形状是锐角三角形，边，高，把它加工成矩形零件如图，使矩形的一边在上，其余两个顶点分别在上．设，． （1） （用含的式子表示）； （2）这个矩形的最大面积是 ． 【答案】 2400 【分析】（1）根据矩形的性质确定平行线，继而确定相似三角形，根据矩形性质，相似三角形的性质列比例式计算解答即可． （2）构造二次函数，利用二次函数最值解答即可． 本题考查了三角形相似的判定和性质，矩形的判定和性质，二次函数最值，熟练掌握性质，二次函数性质是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示， ∵矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，四边形是矩形， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． （2）解：矩形面积， 故当时， 此时矩形的面积最大，最大面积为． 故答案为：2400． 3．(24-25九上·贵州铜仁碧江区·期中)如图是某项目式学习小组的成员手持一把刻有厘米刻度的小尺测量旗杆高度的示意图，他站在距离旗杆大约的地方，手臂向前伸直并保持小尺垂直，观察到尺子上大约30个刻度完全遮挡了旗杆．已知该同学的臂长约为，求旗杆的大致高度． [思路引导] (1)臂长和人距旗杆底部的距离分别可看作和的对应高，则对应高之比等于__________． (2)求旗杆的大致高度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了相似三角形的应用． （1）证明，得到和的对应高之比等于； （2）先求得和的对应高分别为和，，根据，计算即可求解． 【详解】（1）解：由题意得和都垂直于地面， ∴， ∴， ∴和的对应高之比等于， 故答案为：； （2）解：由题意得和的对应高分别为即和，，即， ∴，即， ∴， 旗杆的大致高度为． 4．(24-25九上·贵州铜仁碧江区·期中)如图，一次函数的图象与反比例函数（，）的图象相交于点，交轴于点，交轴于点． (1)_____． (2)判断线段与的数量关系． (3)点在一次函数的图象上，且横坐标为4，过点作轴的平行线，交反比例函数的图象于点，连接．求的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将代入，可得一元一次方程，解方程即可求出的值； （2）过点作轴于点，先求出一次函数与轴的交点的坐标，进而可求得、的长，易证得，由相似三角形的性质可得，于是可得答案； （3）将点代入反比例函数（，）即可求出的值，将代入一次函数即可求得点的坐标，将代入反比例函数（）即可求得点的坐标，进而可求得的长，再利用三角形的面积公式即可求出的面积． 【详解】（1）解：将代入，可得： ， 解得：， 故答案为：； （2）解：，理由如下： 如图，过点作轴于点， ， ， 令，则， 解得：， 点坐标为， ， ， 轴， ， 由题意可知：， ， 又， ， ， ， ； （3）解：点在反比例函数（，）的图象上， ， ， 反比例函数的表达式为：（）， 将代入一次函数，得： ， 点的坐标为， 将代入反比例函数（），得： ， 点坐标为， ， ． 【点睛】本题主要考查了次函数与反比例函数的交点问题，解一元一次方程，已知两点坐标求两点距离，一次函数图象与坐标轴的交点问题，垂线的性质，对顶角相等，相似三角形的判定与性质，等式的性质，求一次函数的函数值，求反比例函数值，三角形的面积公式等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 5．(24-25九上·贵州贵阳第十九中学·期中)小明想测量电线杆的高度，他发现电线杆的影子正好落在坡面和地面上，已知和地面成角，，且此时刻得高的标杆在地面的影长为． (1)点D到地面的距离为 米 (2)求电线杆的高（结果保留根号） (3)若是在坡底下C处的一棵大树，树尖刚好落在光线上，在山坡上有一建筑物高，求此时它落在坡面上的影长 （结果保留根号）． 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用、直角三角形的性质等知识，掌握相似三角形的判定与性质成为解题的关键． （1）如图：延长交地面于M点，过D作垂直于的延长线于M，然后根据直角三角形的性质即可解答； （2）在求电线杆在地面的实际影长，然后根据影长与实物比即可求得电线杆的高度； （3）由题意得，然后根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：如图：延长交地面于M点，过D作垂直于的延长线于N， ∵， ∴． 故答案为：2． （2）解：由勾股定理得， ∵得高的标杆在地面的影长为， ∴， ∴的影长， ∴电线杆的高为． （3）解：由题意得∶，， ∴， ∴，即，解得：， 由题意可得：， ∴， ∴， ∴，即，解得：． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $