27.2.2 直线与圆的位置关系 课件-2025-2026学年华东师大版数学九年级下册

该初中数学课件聚焦“直线与圆的位置关系”核心知识点，以生活情境（太阳与地平线）和动手操作（移动圆块）导入，引导学生从公共点个数探究位置关系，逐步过渡到用圆心到直线的距离d与半径r的数量关系判断，通过表格对比、判一判辨析等支架构建定义与数量关系的知识脉络。 其亮点在于融合情境探究与逻辑推理，以太阳地平线情境和圆块移动操作培养数学眼光，通过“公共点个数→d变化→d与r关系”问题链发展数学思维，借助表格梳理、符号语言（d<r等）及分层例题助力数学表达。学生能直观理解知识本质，教师可利用丰富练习与变式题高效教学。

第 1 页：封面 标题：27.2.2 直线与圆的位置关系 副标题：从公共点识别到数量关系判定的深度探究 落款：初中数学教研组 第 2 页：学习目标与知识衔接 一、学习目标 理解直线与圆的三种位置关系（相离、相切、相交），能通过公共点个数直观识别 掌握直线与圆位置关系的判定方法（圆心到直线的距离与半径的数量关系），能双向转化应用 理解切线的定义与性质，能解决直线与圆位置关系的判定、半径范围求解等问题，深化数形结合思想 二、知识衔接（回顾旧知，引出新知） 上节课核心：点与圆的位置关系通过 “点到圆心的距离\( d \)” 与 “半径\( r \)” 的数量关系判定（\( d < r \)内、\( d = r \)上、\( d > r \)外）； 思考提问：平面内，直线与圆的位置关系有哪些？能否类比点与圆的判定方法，用 “距离” 与 “半径” 的关系精准判定直线与圆的位置？（引出课题）。 第 3 页：一、直线与圆的三种位置关系（图形直观） 1. 位置关系分类及定义 根据直线与圆的公共点个数，直线与圆有三种位置关系，结合图形特征定义如下： 位置关系 公共点个数 图形特征 定义表述 特殊名称（若有） 相离 0 个 直线与圆没有公共点，直线在圆外 平面内，直线与圆没有公共点，称为直线与圆相离 —— 相切 1 个 直线与圆有且只有一个公共点 平面内，直线与圆有且只有一个公共点，称为直线与圆相切 公共点：切点；直线：切线 相交 2 个 直线与圆有两个公共点，直线穿过圆 平面内，直线与圆有两个公共点，称为直线与圆相交 直线：割线；公共点：交点 2. 图形示意与标注 画一个以\( O \)为圆心、\( r \)为半径的圆，分别画出三条直线： 直线\( l_1 \)（相离）：与圆无公共点，标注 “无公共点，相离”； 直线\( l_2 \)（相切）：与圆有 1 个公共点\( T \)，标注 “切点\( T \)，切线\( l_2 \)”； 直线\( l_3 \)（相交）：与圆有 2 个公共点\( Aã��B \)，标注 “交点\( Aã��B \)，割线\( l_3 \)”； 直观展示三种位置关系的差异，强调 “公共点个数” 是核心识别依据。 第 4 页：二、直线与圆位置关系的判定方法（数量关系） 1. 核心概念：圆心到直线的距离 定义：从圆心\( O \)向直线\( l \)作垂线，垂足为\( P \)，则线段\( OP \)的长度称为 “圆心到直线的距离”，记为\( d \)（即\( d = OP \)）； 图形示意：对三种位置关系的直线，分别画出圆心到直线的垂线段\( OP \)，标注\( d \)，明确 “距离是垂线段长度，非任意线段长度”。 2. 数量关系判定依据 类比点与圆的判定逻辑，直线与圆的位置关系可通过 “圆心到直线的距离\( d \)” 与 “圆的半径\( r \)” 的数量关系双向判定，实现 “形” 与 “数” 的精准对应： 位置关系 数量关系（\( d \)与\( r \)） 判定逻辑 相离 \( d > r \) 若圆心到直线的距离大于半径，则直线与圆相离；反之亦然 相切 \( d = r \) 若圆心到直线的距离等于半径，则直线与圆相切；反之亦然 相交 \( d < r \) 若圆心到直线的距离小于半径，则直线与圆相交；反之亦然 3. 符号表示与几何语言 设\( \odot O \)的半径为\( r \)，圆心\( O \)到直线\( l \)的距离为\( d \)，则： 直线\( l \)与\( \odot O \)相离 \( \iff d > r \)； 直线\( l \)与\( \odot O \)相切 \( \iff d = r \)； 直线\( l \)与\( \odot O \)相交 \( \iff d < r \)； （符号 “\( \iff \)” 表示双向等价，既可用距离判位置，也可用位置判距离关系） 4. 实例验证（基础判定） 例 1：已知\( \odot O \)的半径\( r = 4 \, \text{cm} \)，圆心\( O \)到直线\( l \)的距离\( d \)分别为以下值，判断直线\( l \)与\( \odot O \)的位置关系： \( d_1 = 3 \, \text{cm} \)：\( 3 < 4 \)→直线\( l \)与\( \odot O \)相交； \( d_2 = 4 \, \text{cm} \)：\( 4 = 4 \)→直线\( l \)与\( \odot O \)相切； \( d_3 = 5 \, \text{cm} \)：\( 5 > 4 \)→直线\( l \)与\( \odot O \)相离。 第 5 页：三、切线的定义与性质（重点突破） 1. 切线的定义（回顾与深化） 直线与圆相切时，该直线称为圆的切线，唯一的公共点称为切点； 关键特征：切线与圆仅有一个公共点，且圆心到切线的距离等于半径（\( d = r \)）。 2. 切线的重要性质（核心定理） 性质 1：圆的切线垂直于过切点的半径。 几何语言：如图，若直线\( l \)是\( \odot O \)的切线，切点为\( T \)，则\( OT \perp l \)（\( OT \)为半径）； 证明思路：反证法 —— 假设\( OT \)不垂直于\( l \)，则圆心\( O \)到\( l \)的距离\( d < OT = r \)，直线与圆相交（与相切矛盾），故\( OT \perp l \)； 图形示意：画切线\( l \)与切点\( T \)，连接\( OT \)，标注 “\( OT \perp l \)”，强调 “过切点” 是前提（非过圆心的任意半径都垂直于切线）。 性质 2：经过圆心且垂直于切线的直线，必经过切点； 性质 3：经过切点且垂直于切线的直线，必经过圆心； 应用：已知切线和圆心 / 切点，可通过 “垂直” 关系确定切点 / 圆心位置（如：已知切线\( l \)和圆心\( O \)，作\( OT \perp l \)，则\( T \)为切点）。 第 6 页：四、直线与圆位置关系的应用（分层实例） 1. 应用 1：判定直线与圆的位置关系 例 2：在平面直角坐标系中，\( \odot O \)的圆心为原点\( (0,0) \)，半径\( r = 5 \)，直线\( l \)的解析式为\( 3x + 4y - 25 = 0 \)，判断直线\( l \)与\( \odot O \)的位置关系（提示：用点到直线的距离公式计算\( d \)）。 解：1. 计算圆心\( O(0,0) \)到直线\( l \)的距离\( d \)： 点\( (x_0,y_0) \)到直线\( Ax + By + C = 0 \)的距离公式为\( d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \)； 代入得\( d = \frac{|3 \times 0 + 4 \times 0 - 25|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{25}{5} = 5 \)； 2. 比较\( d \)与\( r \)：\( d = 5 = r \)→直线\( l \)与\( \odot O \)相切。 2. 应用 2：求圆的半径范围 例 3：已知直线\( l \)到圆心\( O \)的距离\( d = 6 \, \text{cm} \)，若直线\( l \)与\( \odot O \)相交，求\( \odot O \)半径\( r \)的取值范围。 解：由 “相交\( \iff d < r \)”，得\( 6 < r \)，又\( r > 0 \)，故\( r > 6 \, \text{cm} \)。 3. 应用 3：切线性质的应用 例 4：如图，\( AB \)是\( \odot O \)的切线，切点为\( B \)，\( OA \)交\( \odot O \)于点\( C \)，若\( OA = 10 \, \text{cm} \)，\( OC = 6 \, \text{cm} \)，求\( AB \)的长度。 解：1. 由切线性质，\( OB \perp AB \)（\( OB \)为半径，\( OB = OC = 6 \, \text{cm} \)）； 2. 在\( \text{Rt}\triangle OAB \)中，由勾股定理：\( AB^2 + OB^2 = OA^2 \)； 3. 代入数据：\( AB^2 + 6^2 = 10^2 \)→\( AB^2 = 64 \)→\( AB = 8 \, \text{cm} \)。 第 7 页：五、易错点解析与避坑技巧 1. 常见易错点 易错点 1：混淆 “圆心到直线的距离” 与 “圆心到直线上某点的距离”—— 判定依据是 “垂线段长度\( d \)”，而非 “圆心到直线上任意点的距离”（例：直线上某点到圆心距离小于半径，但直线可能与圆相离）； 易错点 2：切线性质应用遗漏 “过切点”—— 误将 “圆的切线垂直于任意半径” 当作性质，实际仅垂直于 “过切点的半径”； 易错点 3：坐标系中距离计算错误 —— 未掌握点到直线的距离公式，或代入时符号处理失误（如忽略绝对值，导致\( d \)为负数）； 易错点 4：单向判定思维 —— 只记住 “\( d < r \)则相交”，忽略 “相交则\( d < r \)” 的反向逻辑，导致半径范围求解漏条件。 2. 避坑技巧 “双核心锁定法”：遇直线与圆位置关系，立刻锁定 “圆心到直线的距离\( d \)” 和 “半径\( r \)”，优先计算\( d \)； “切线性质口诀记”：记 “切线垂直过切半径，过心垂直必过切，过切垂直必过心”，明确三个条件的关联； “距离公式熟应用”：牢记点\( (x_0,y_0) \)到直线\( Ax + By + C = 0 \)的距离公式\( d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \)，注意绝对值和根号； “范围双向验”：求半径范围时，先根据位置关系列不等式，再补充 “\( r > 0 \)”，确保范围完整（如相离时\( r < d \)且\( r > 0 \)）。 第 8 页：课堂练习（分层设计） 一、基础题 已知\( \odot O \)的半径\( r = 7 \, \text{cm} \)，圆心到直线\( l \)的距离\( d = 5 \, \text{cm} \)，则直线\( l \)与\( \odot O \)的位置关系是______（答案：相交）； 若直线\( l \)与\( \odot O \)相切，且\( \odot O \)的半径\( r = 9 \, \text{mm} \)，则圆心到直线\( l \)的距离\( d = \)______（答案：9 mm）； 如图，\( PA \)是\( \odot O \)的切线，切点为\( A \)，\( PO = 13 \)，\( OA = 5 \)，则\( PA = \)______（答案：12，提示：用勾股定理）。 二、提升题 已知直线\( 2x - y + 1 = 0 \)到圆心\( (0,0) \)的距离\( d = \frac{\sqrt{5}}{5} \)，若直线与圆相交，求圆半径\( r \)的取值范围（答案：\( r > \frac{\sqrt{5}}{5} \)）； 证明：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心（提示：反证法，假设直线不经过圆心，推出与 “\( d = r \)” 矛盾）。 第 9 页：课堂小结与作业布置 一、课堂小结 三种位置关系：相离（\( d > r \)，0 个公共点）、相切（\( d = r \)，1 个公共点，切线 + 切点）、相交（\( d < r \)，2 个公共点，割线 + 交点）； 核心判定：以 “圆心到直线的距离\( d \)” 与 “半径\( r \)” 的数量关系为依据，双向等价； 切线性质：切线垂直于过切半径，过心 / 过切垂直切线的直线必过切 / 过心； 思想方法：数形结合（图形与数量转化）、类比思想（类比点与圆的判定逻辑）、反证法（证明切线性质）。 二、作业布置 必做：教材中 “直线与圆的位置关系” 基础习题，完成 2 道判定题、1 道切线性质应用题； 选做：在平面直角坐标系中，\( \odot P \)的圆心为\( (2,3) \)，直线\( y = x + 1 \)与\( \odot P \)相切，求\( \odot P \)的半径（提示：用点到直线的距离公式计算\( d = r \)）。 2025-2026学年华东师大版数学九年级下册【示范课精品课件】 授课教师： . 班 级： . 时 间： . 27.2.2 直线与圆的位置关系 第27章 圆 a i T u j m i a N g 点和圆的位置关系有几种？ d < r d = r d > r 用数量关系如何来判断呢？ (设 OP = d ) 知识回顾 (1) 点在圆内 (2) 点在圆上 (3) 点在圆外 r d r r P P P O O O d d 情景导入 观赏视频 点击视频开始播放 情景导入 问题1 如果我们把太阳看成一个圆，地平线看成一条直线，那你能根据直线和圆的公共点个数想象一下，直线和圆有几种位置关系吗？ 用定义判断直线与圆的位置关系 探究新知 问题2 请同学在纸上画一条直线 l，把圆块的边缘看作圆，在纸上移动圆块，你能发现直线和圆的公共点个数的变化情况吗？公共点个数最少时有几个？最多时有几个？ l 0 2 ● ● ● 探究新知 图形 公共点个数 直线与圆的 位置关系 公共点名称 直线名称 2 个 交点 割线 1 个 切点 切线 0 个 相离 相切 相交 位置关系 公共点个数 填一填 探究新知 直线与圆最多有两个公共点. （ ） ② 若直线与圆相交，则直线上的点都在圆上. （ ） ③ 若 A 是☉O 上一点，则直线 AB 与☉O 相切. （ ） ④ 若 C 为☉O 外一点，则过点 C 的直线与☉O 相交或相离. （ ） ⑤ 直线 a 和☉O 有公共点，则直线 a 与☉O 相交.（ ） √ × × × × 判一判 探究新知 问题1 刚才同学们用圆块移近直线的过程中，除了发现公共点的个数发生了变化外，还有什么量也在改变？它与圆的半径有什么样的数量关系呢？ 相关知识： 点到直线的距离是指从直线外一点 (A) 到直线 (l ) 的垂线段 (OA) 的长度. l A O 圆心到直线的距离在 发生变化； 首先距离大于半径， 而后距离等于半径， 最后距离小于半径. 用数量关系判断直线与圆的位置关系 探究新知 怎样用圆心到直线的距离 d 来判定直线 l 与 ⊙O 的位置关系呢？ O 思考： d l 探究新知 直线和圆相交 d < r 直线和圆相切 d = r 直线和圆相离 d > r r d ∟ r d ∟ r d 数形结合： 位置关系 数量关系 用圆心 O 到直线的距离 d 与圆的半径 r 的大小来判定： O O O 直线与圆的位置关系 的性质与判定的区别： 位置关系 数量关系. 公共点个数 要点归纳 探究新知 直线和圆有唯一的公共点（即直线和圆相切）时，这条直线叫做圆的切线（如图直线 l），这个唯一的公共点叫做切点（如图点 A）. A l O 要点归纳 探究新知 1. 已知圆的半径为 6 cm，设直线和圆心的距离为 d. (3) 若 d = 8 cm，则直线与圆______，直线与圆有____个公共点. (2) 若 d = 6 cm，则直线与圆______，直线与圆有____个公共点； (1) 若 d = 4 cm，则直线与圆　　　，直线与圆有____个公共点； 相交 相切 相离 2 1 0 练一练 探究新知 (3) 若 AB 和⊙O 相交，则 . 2. 已知⊙O 的半径为 5 cm，圆心 O 与直线 AB 的距离为 d，根据条件填写 d 的范围： (1) 若 AB 和⊙O 相离，则 ； (2) 若 AB 和⊙O 相切，则 ； d ＞5 cm d = 5 cm 0 cm≤d＜5 cm 探究新知 例1 在Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 3 cm，BC = 4 cm，以 C 为圆心，r 为半径的圆与直线 AB 有怎样的位置关系？为什么？ (1) r = 2 cm；(2) r = 2.4 cm； (3) r = 3 cm． B C A 4 3 分析：要判定 AB 与⊙C 的位置关系，只要知道圆心 C 到 AB 的距离 d 与 r 的大小关系.已知 r，只需求出 C 到 AB 的距离 d. D 典例精析 探究新知 解：过 C 作 CD⊥AB，垂足为 D. 在△ABC 中， 根据三角形的面积公式有 即圆心 C 到 AB 的距离 d = 2.4 cm. (1) 当 r = 2 cm 时， 有 d > r， 因此⊙C 和 AB 相离； B C A 4 3 D d 注：斜边上的高等于两直角边长的乘积除以斜边长. 探究新知 (2) 当 r = 2.4 cm 时，有 d = r， 因此⊙C 和 AB 相切； B C A 4 3 D d (3) 当 r = 3 cm 时，有 d < r， 因此⊙C 和 AB 相交. B C A 4 3 D d 探究新知 变式题： 1. Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 3 cm，BC = 4 cm，以 C 为圆心画圆，当半径 r 为何值时，圆 C 与线段 AB 没有公共点？ 当 0 cm＜r＜2.4 cm 或 r＞4 cm 时， ⊙C 与线段 AB 没有公共点. A B C D 4 5 3 课堂练习 2. Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 3 cm，BC = 4 cm，以 C 为圆心画圆，当半径 r 为何值时，圆 C 与线段 AB 有一个公共点？当半径 r 为何值时，圆 C 与线段 AB 有两个公共点？ 当 r = 2.4 cm 或 3 cm＜r≤4 cm 时，⊙C 与线段 AB 有一个公共点； 当 2.4 cm＜r≤3 cm 时，⊙C 与线段AB 有两公共点. A B C D 4 5 3 3 课堂练习 例2 如图，Rt△ABC 的斜边 AB = 10 cm，∠A = 30°. (1) 以点 C 为圆心，当半径为多少时，AB 与☉C 相切？ (2) 以点 C 为圆心，半径 r 分别为 4 cm，5 cm 作两个圆，这两个圆与斜边 AB 分别有怎样的位置关系？ A C B 解：(1) 过点 C 作边 AB 上的高 CD. D ∵∠A = 30°，AB = 10 cm， 在Rt△BCD 中，有 当半径为 时，AB 与☉C 相切. 课堂练习 .O . O .O .O .O 1. 看图判断直线 l 与☉O 的位置关系： 相离 相交 相切 相交 ? 相交 l l l l l 课堂练习 2. 直线和圆相交，圆的半径为 r，且圆心到直线的距离 为 5，则有 ( ) A. r < 5 B. r > 5 C. r = 5 D. r ≥ 5 3. ☉O 的最大弦长为 8，若圆心 O 到直线 l 的距离为 d = 5， 则直线 l 与☉O ( ) A. 相交 B.相切 C. 相离 D.以上三种情况都有可能 B C 课堂练习 4. ☉O 的半径为 5，直线 l 上的一点到圆心 O 的距离是 5，则直线 l 与☉O 的位置关系是（ ） A. 相交或相切 B. 相交或相离 C. 相切或相离 D. 以上三种情况都有可能 A 课堂练习 解析：过点 A 作 AQ⊥MN 于Q，连接 AN，设半径为 r，由垂径定理有 MQ＝NQ，所以 AQ＝2，AN＝r，NQ＝4－r，利用勾股定理可以求出 NQ＝1.5，所以N 点坐标为(－1，－2)．故选 A. 5.如图，在平面直角坐标系中，⊙A 与 y 轴相切于原点 O，平行于 x 轴的直线交⊙A 于 M、N 两点．若点M 的坐标是(－4，－2)，则点 N 的坐标为(　) A．(－1，－2) B．(1，2) C．(－1.5，－2) D．(1.5，－2) A 课堂练习 拓展提升：已知⊙O 的半径 r = 7 cm，直线 l1∥l2，且 l1 与⊙O 相切，圆心 O 到 l2 的距离为 9 cm. 求 l1与 l2 的距离. O l1 l2 A B l2 （1）当 l2 与 l1 在圆的同侧时， m = 9 - 7 = 2 (cm)； （2）当 l2 与 l1 在圆的异侧时， m = 9 + 7 = 16 (cm). 解：设 l2 与 l1 的距离为 m，则 C 课堂练习 返回 1．已知⊙O的半径为5，圆心O到直线l的距离为3，则反映直线l与⊙O的位置关系的图形是(　　) B 考试考法 2．在平面直角坐标系中，以点(－3，4)为圆心，3为半径的圆(　　) A．与x轴相离，与y轴相切 B．与x轴相离，与y轴相交 C．与x轴相切，与y轴相交 D．与x轴相切，与y轴相离 A 返回 考试考法 返回 D 3．[2024周口期末]已知⊙O的半径是一元二次方程x2－7x＋12＝0的一个根，圆心O到直线l的距离d＝3，则直线l与⊙O的位置关系是(　　) A．相离 B．相切 C．相交 D．相交或相切 考试考法 4．已知∠AOB＝30°，M为OB上一点，且OM＝5 cm，若以M为圆心，r为半径作圆，那么：(1)当直线OA与⊙M相离时，r的取值范围是________；(2)当r＝________时，直线OA与⊙M相切；(3)当直线OA与⊙M有公共点时，r的取值范围是________． 考试考法 返回 考试考法 5. [教材P50练习T1] 如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm，以C为圆心，r为半径的圆与直线AB有何位置关系？为什么？ 考试考法 (1)r＝4 cm. 考试考法 返回 (2)r＝4.8 cm. (3)r＝6 cm. 【解】当r＝4.8 cm时，h＝r，则AB与⊙C相切． 当r＝6 cm时，r＞h，则AB与⊙C相交． 考试考法 返回 6．如图，已知点A，B在半径为1的⊙O上，∠AOB＝60°，延长OB至点C，过点C作直线OA的垂线记为l，则下列说法正确的是(　　) A．当BC等于0.5时，l与⊙O相离 B．当BC等于2时，l与⊙O相切 C．当BC等于1时，l与⊙O相交 D．当BC不为1时，l与⊙O不相切 D 考试考法 考试考法 考试考法 【答案】 C 考试考法 直线与圆的位置关系 定义 性质 判定 相离 相切 相交 公共点的个数 d 与 r 的数量关系 定义法 性质法 特别提醒：若图中没有 d 要先作出该垂线段 相离:0 个；相切:1 个；相交:2 个 相离：d > r 相切：d = r 相交：d < r 0个：相离；1个：相切；2个：相交 d > r：相离；d = r：相切；d < r：相交 课堂小结 必做作业：从教材习题中选取； 选做作业：完成练习册本课时的习题. 作业 谢谢观看！ 0＜r＜ r＝ r≥ 【点拨】作MN⊥OA于点N，如图， ∵∠AOB＝30°， ∴MN＝OM＝×5＝， ∴当直线OA与⊙M相离时，r的取值范围是0＜r＜； 当直线OA与⊙M相切时，r＝； 当直线OA与⊙M有公共点时，r的取值范围是r≥. 【解】∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm， ∴AB＝＝＝10(cm)． 设AB边上的高为h，则h·AB＝AC·BC，∴h＝＝4.8(cm)． (1)当r＝4 cm时，h＞r，则AB与⊙C相离． 7．如图，已知在▱ABCD中，AB＝5，BC＝8，cos B＝，点E是BC边上的动点，当以CE为半径的圆C与边AD不相交时，半径CE的取值范围是(　　) A．0＜CE≤8 　　 B．0＜CE≤5 C．0＜CE≤3或5＜CE≤8 　　 D．3＜CE≤5 【点拨】如图，过点A作AM⊥BC于点M， 过点C作CN⊥AD于点N， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB＝CD＝5.∴AM＝CN. ∵AB＝5，cos B＝＝，∴BM＝4. ∵BC＝8，∴CM＝4＝BM. ∵AM⊥BC，∴AC＝AB＝5. 由勾股定理得AM＝CN＝＝3， ∴当以CE为半径的圆C与边AD不相交时，半径CE的取值范围是0＜CE≤3或5＜CE≤8.故选C. $