27.1.2.2垂径定理 课件-2025-2026学年华东师大版（2012）数学九年级下册

该初中数学课件聚焦垂径定理及其推论，通过赵州桥主桥拱半径计算等实际问题导入，从定理内容到“知二推三”推论探究，再到弦长、半径等计算应用，搭建基本图形、辅助线方法及数量关系公式等学习支架。 其亮点在于以数学眼光观察现实问题，用赵州桥实例激发探究欲，通过“条件互换”推理培养数学思维，结合弓形高双解等题例强化模型意识。采用探究式教学与方法归纳，学生能提升几何直观和推理能力，教师可借助分层作业设计提高教学效率。

第 1 页：封面 标题：27.1.2.2 垂径定理 副标题：基于圆的轴对称性的核心定理探究 落款：初中数学教研组 第 2 页：学习目标与知识衔接 一、学习目标 理解垂径定理的推导过程（基于圆的轴对称性），能准确表述定理的文字与几何语言 掌握垂径定理的推论（“知二推三” 逻辑），能灵活运用定理及推论解决弦长、半径、圆心到弦距离的计算问题 培养利用圆的对称性分析几何问题的能力，提升逻辑推理与计算素养 二、知识衔接（回顾旧知） 上节课核心：圆的轴对称性 —— 直径所在直线是对称轴，垂直于弦的直径平分弦与弧（初步性质）； 思考提问：若一条直线经过圆心且垂直于弦，它除了平分弦，还能平分弦所对的弧吗？反过来，若一条直线平分弦（非直径），它是否垂直于弦且经过圆心？（引出定理推导）。 第 3 页：一、垂径定理的推导（基于轴对称性） 1. 实验操作验证 操作步骤： 画一个\( \odot O \)，任作一条弦\( CD \)（非直径），取圆心\( O \)，过\( O \)作\( AB \perp CD \)于点\( M \)（\( AB \)为直径）； 将\( \odot O \)沿直径\( AB \)所在直线对折； 观察结果： 弦\( CD \)与自身重合，故\( CM = MD \)（弦被平分）； 弧\( \frown{CD} \)与自身重合，故\( \frown{AC} = \frown{AD} \)（优弧被平分）、\( \frown{BC} = \frown{BD} \)（劣弧被平分）； 图形示意：标注\( \odot O \)、直径\( AB \perp CD \)于\( M \)，用虚线标注对折重合痕迹，明确\( CM=MD \)、\( \frown{AC}=\frown{AD} \)、\( \frown{BC}=\frown{BD} \)。 2. 定理的文字表述 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。 关键词解析： “垂直于弦”：直线与弦的夹角为\( 90^\circ \)； “直径”：直线需经过圆心（核心条件，若仅垂直于弦但不经过圆心，无法平分弧）； “平分弦”：弦被直线分成两段相等的线段； “平分弦所对的两条弧”：弦所对的优弧和劣弧分别被平分。 第 4 页：二、垂径定理的几何语言与图形要素 1. 几何语言表述（规范格式） 如图，在\( \odot O \)中： 已知条件（定理的 “因”）： \( AB \)是\( \odot O \)的直径（\( AB \)过圆心\( O \)）； \( AB \perp CD \)于点\( M \)； 结论（定理的 “果”）： \( CM = MD \)（平分弦）； \( \frown{AC} = \frown{AD} \)（平分弦所对的优弧）； \( \frown{BC} = \frown{BD} \)（平分弦所对的劣弧）； 符号表示：\( \because \text{ABæ�¯}\odot O\text{ç��ç�´å¾�ï¼�AB}\perp\text{CDäº�M} \quad \therefore \text{CM=MDï¼�}\frown{AC}=\frown{ADï¼�}\frown{BC}=\frown{BD} \) 2. 定理的图形要素（“五要素”） 垂径定理涉及 5 个核心要素： 过圆心（直线经过圆心）； 垂直于弦（直线与弦垂直）； 平分弦（直线平分弦）； 平分弦所对的优弧； 平分弦所对的劣弧； 核心逻辑：“知二推三”—— 只要知道其中 2 个要素，就能推出另外 3 个要素（需注意：若 “平分弦” 的弦是直径，则 “垂直于弦” 和 “过圆心” 不一定成立，如两条直径互相平分但不一定垂直）。 第 5 页：三、垂径定理的推论（“知二推三” 拓展） 1. 常见推论（结合图形表述） 已知要素（2 个） 可推出的要素（3 个） 图形示意 1. 过圆心；2. 平分弦（非直径） 3. 垂直于弦；4. 平分弦所对优弧；5. 平分弦所对劣弧 直线\( AB \)过\( O \)，平分弦\( CD \)（非直径）→\( AB \perp CD \)，\( \frown{AC}=\frown{AD} \)等 1. 垂直于弦；2. 平分弦 3. 过圆心；4. 平分弦所对优弧；5. 平分弦所对劣弧 直线\( AB \perp CD \)于\( M \)，\( CM=MD \)→\( AB \)过\( O \)，\( \frown{BC}=\frown{BD} \)等 1. 过圆心；2. 平分弦所对劣弧 3. 垂直于弦；4. 平分弦；5. 平分弦所对优弧 直线\( AB \)过\( O \)，\( \frown{BC}=\frown{BD} \)→\( AB \perp CD \)，\( CM=MD \)等 2. 关键提醒（“弦为直径” 的特殊情况） 若被平分的弦是直径（如\( CD \)是直径，直线\( AB \)平分\( CD \)），则直线\( AB \)不一定垂直于\( CD \)，也不一定平分\( CD \)所对的弧（例：两条互相平分的直径，夹角可不为\( 90^\circ \)）； 故推论中 “平分弦” 的前提是 “弦非直径”，此条件不可忽略。 第 6 页：四、垂径定理的核心应用（计算与证明） 1. 核心模型：“弦长、半径、弦心距” 的直角三角形 模型构建：过圆心\( O \)作弦\( CD \)的垂线，垂足为\( M \)，则\( OM \)为 “弦心距”（圆心到弦的距离），连接\( OC \)（半径\( r \)），则\( \triangle OMC \)为直角三角形，满足：\( r^2 = OM^2 + \left(\frac{CD}{2}\right)^2 \) 三量关系：已知任意两个量（\( r \)、\( OM \)、\( CD \)），可通过勾股定理求第三个量（垂径定理应用的核心公式）。 2. 分层例题解析 例题 1：基础计算（求弦长） 已知\( \odot O \)的半径\( r = 10 \, \text{cm} \)，圆心\( O \)到弦\( AB \)的距离\( OM = 6 \, \text{cm} \)，求弦\( AB \)的长度。 解：1. 由垂径定理，\( OM \perp AB \)→\( AM = MB = \frac{1}{2}AB \)； 2. 在\( \text{Rt}\triangle OMA \)中，\( OA^2 = OM^2 + AM^2 \)； 3. 代入数据：\( 10^2 = 6^2 + AM^2 \)→\( AM^2 = 64 \)→\( AM = 8 \, \text{cm} \)； 4. 故\( AB = 2AM = 16 \, \text{cm} \)。 例题 2：进阶计算（求半径） 一条公路的转弯处是一段圆弧（\( \odot O \)的一部分），测得圆弧的弦\( AB = 12 \, \text{m} \)，圆心\( O \)到弦\( AB \)的距离\( OM = 8 \, \text{m} \)，求这段圆弧所在圆的半径。 解：1. 由垂径定理，\( OM \perp AB \)→\( AM = \frac{1}{2}AB = 6 \, \text{m} \)； 2. 连接\( OA \)（半径\( r \)），在\( \text{Rt}\triangle OMA \)中，\( OA^2 = OM^2 + AM^2 \)； 3. 代入数据：\( r^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100 \)→\( r = 10 \, \text{m} \)； 答：这段圆弧所在圆的半径为 10 m。 例题 3：证明应用（证明弧相等） 如图，在\( \odot O \)中，\( AB \)是直径，\( CD \)是弦，\( AE \perp CD \)于\( E \)，\( BF \perp CD \)于\( F \)，求证：\( \frown{AC} = \frown{BD} \)。 证明：1. 过\( O \)作\( OM \perp CD \)于\( M \)； 2. 由垂径定理，\( OM \perp CD \)→\( \frown{CM} = \frown{DM} \)； 3. 因\( AE \perp CD \)、\( BF \perp CD \)、\( OM \perp CD \)，故\( AE \parallel OM \parallel BF \)； 4. 又\( OA = OB \)（半径相等），\( OM \)在\( AB \)与\( CD \)之间，故\( EM = FM \)（平行线分线段成比例）； 5. 因\( CM = DM \)、\( EM = FM \)，故\( CE = DF \)，结合\( OM \)平分弧\( CD \)，得\( \frown{AC} = \frown{BD} \)。 第 7 页：五、易错点解析与避坑技巧 1. 常见易错点 易错点 1：忽略 “直径过圆心” 条件 —— 误将 “垂直于弦的直线” 当作 “直径”，导致错误应用定理（例：仅直线\( AB \perp CD \)，未说明\( AB \)过圆心，不能直接得出\( CM=MD \)）； 易错点 2：忽略 “弦非直径” 前提 —— 推论中 “平分弦则垂直于弦” 仅适用于弦非直径的情况，若弦是直径，结论不成立； 易错点 3：计算时忘记 “弦长的一半”—— 直接用弦长代入勾股定理（例：误将\( AB = 12 \)代入\( r^2 = OM^2 + AB^2 \)，正确应为\( r^2 = OM^2 + (AB/2)^2 \)）； 易错点 4：混淆 “优弧” 与 “劣弧”—— 定理中 “平分弦所对的两条弧” 需明确优弧和劣弧，证明时不可遗漏。 2. 避坑技巧 “三问验证法”：应用定理前，先问 “直线过圆心吗？”“直线垂直于弦吗？”“弦是直径吗？”，确保条件满足； “画图标量法”：解题时先画出完整图形，标注半径、弦长、弦心距，明确直角三角形的三边（\( r \)、\( OM \)、\( CD/2 \)）； “推论口诀”：记 “过圆心、垂弦、平分弦（非直径）、平分优弧、平分劣弧 —— 知二推三，弦非直径是关键”。 第 8 页：课堂练习（分层设计） 一、基础题 已知\( \odot O \)的半径为\( 13 \, \text{cm} \)，弦\( AB = 24 \, \text{cm} \)，则圆心\( O \)到弦\( AB \)的距离为______（答案：5 cm）； 如图，\( \odot O \)中，\( AB \)是直径，\( CD \perp AB \)于\( M \)，若\( \frown{AC} = 50^\circ \)，则\( \frown{CD} = \)______（答案：\( 80^\circ \)，提示：\( \frown{AC}=\frown{AD}=50^\circ \)，\( \frown{CD}=180^\circ - 50^\circ - 50^\circ = 80^\circ \)）； 下列说法正确的是（ ）（答案：C） A. 垂直于弦的直线平分弦 B. 平分弦的直线垂直于弦 C. 垂直于弦的直径平分弦所对的弧 D. 平分弧的直线一定过圆心 二、提升题 已知\( \odot O \)的弦\( CD = 10 \, \text{cm} \)，直径\( AB \perp CD \)于\( M \)，若\( OM = 12 \, \text{cm} \)，求\( \odot O \)的半径（答案：13 cm，提示：\( r^2 = 12^2 + 5^2 = 169 \)→\( r = 13 \)）； 证明：在同圆中，若两条弦相等，则它们所对应的弦心距也相等（提示：过圆心作两条弦的垂线，用垂径定理和勾股定理证明）。 第 9 页：课堂小结与作业布置 一、课堂小结 垂径定理核心：垂直于弦的直径平分弦及弦所对的两条弧（基于圆的轴对称性）； 推论逻辑：“知二推三”（五要素：过圆心、垂弦、平分弦、平分优弧、平分劣弧），注意 “弦非直径” 前提； 解题关键：构建 “半径、弦心距、弦长一半” 的直角三角形，用勾股定理计算； 思想方法：数形结合（画图标量）、转化思想（将弦长问题转化为直角三角形计算）。 二、作业布置 必做：教材中垂径定理的基础计算题（2 道弦长计算、1 道半径计算）； 选做：某拱桥为圆弧形，跨度（弦长）为\( 37.4 \, \text{m} \)，拱高（圆心到弦的距离的补值，即\( r - OM \)）为\( 7.2 \, \text{m} \)，求拱桥所在圆的半径（结果保留一位小数）。 2025-2026学年华东师大版数学九年级下册【示范课精品课件】 授课教师： . 班 级： . 时 间： . 27.1.2.2垂径定理 第27章 圆 a i T u j m i a N g 问题：你知道赵州桥吗? 它的主桥是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为 37 m，拱高(弧的中点到弦的距离)为 7.23 m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？ 情境引入 情景导入 · O A B D P C 问题：如图，AB 是⊙O 的一条弦，直径 CD⊥AB，垂足为 P. 你能发现图中有哪些相等的线段和劣弧? 为什么? 线段：AP = BP 垂径定理及其推论 弧： 理由如下： 把圆沿着直径CD 折叠时，CD 两侧的两个半圆重合，点 A 与点 B 重合，AP 与BP 重合， 和 ， 与 重合． 探究新知 温馨提示：垂径定理是圆中一个重要的定理，三种语言要相互转化，形成整体，才能运用自如. 垂径定理 · O A B C D P 垂直于弦的直径平分弦，并且平分这条弦所对的两条弧. ∵ CD 是⊙O 的直径，CD⊥AB，(条件) 归纳总结 推导格式： ∴ AP = BP， (结论) 探究新知 想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？ 是 不是，因为没有垂直 是 不是，因为 CD 没有过圆心 A B O E A B D C O E A B O C D E O A B C 探究新知 垂径定理的几个基本图形： A B O C D E A B O E D A B O C 归纳总结 A B O D C 探究新知 如果把垂径定理 (垂直于弦的直径平分弦，并且平分这条弦所对的两条弧) 结论与题设交换一条，命题是真命题吗？ ①过圆心；②垂直于弦； ③平分弦； ④平分弦所对的优弧 ； ⑤平分弦所对的劣弧. 上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗？ 思考探索 探究新知 D O A B E C 举例证明其中一种组合方法. 已知: 求证： ① CD 是直径 ② CD⊥AB，垂足为 E ③ AE = BE 证明猜想 ④ 探究新知 如图，AB 是⊙O 的一条弦，直径 CD 平分弦 AB 于点 E. (1) CD⊥AB 吗？为什么？ (2) · O A B C D E 解：(1) 连接 AO、BO，则 AO = BO. 又∵ AE = BE， ∴∠AEO =∠BEO = 90°. ∴ CD⊥AB. 证明举例 ∴△AOE≌△BOE(SSS). (2) 由垂径定理可得 与 相等吗？ 与 相等吗？ 为什么？ 探究新知 思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？ 如果不能，请举出反例. 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧. 垂径定理的推论 · O A B C D 圆的两条直径是互相平分的. 归纳总结 特别说明： 探究新知 例1 如图，OE⊥AB于 E，若⊙O 的半径为 10 cm， OE = 6 cm，则 AB = cm. · O A B E 解析：连接 OA，∵ OE⊥AB， ∴ AB = 2AE = 16 cm. 16 一 垂径定理及其推论的计算 二 ∴ cm. 典例精析 探究新知 例2 如图，⊙O 的弦 AB＝8 cm ，直径 CE⊥AB 于 D，DC＝2 cm，求半径 OC 的长. · O A B E C D 解：连接 OA，∵ CE⊥AB 于 D， ∴ 设OC = x cm，则 OD = x - 2，根据勾股定理，得 解得 x = 5. 即半径 OC 的长为 5 cm. x2 = 42 + ( x - 2)2， 探究新知 证明：作直径 MN⊥AB，如图. ∵ AB∥CD，∴ MN⊥CD. 则 = ， = （垂直 平分弦的直径平分弦所对的弧）. ∴ － = － . ∴ = . 例3 已知：⊙O 中弦 AB∥CD，求证： = . . M C D A B O N 探究新知 解决有关弦的问题，经常过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，并构造半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件. 归纳总结 探究新知 试一试：根据所学新知，你能利用垂径定理求出引入中赵州桥主桥拱半径的问题吗? 垂径定理的实际应用 探究新知 解得 R ≈ 27.3. 即赵州桥主桥拱的半径约为 27.3 m. ∴ R2 = (R - 7.23)2 + 18.52， 解：如图，过桥拱所在圆的圆心 O 作 AB 的垂线，交 于点 C，交弦 AB 于点 D，则 CD = 7.23 m. 由垂径定理，得 AD = AB = 18.5 m， 设⊙O 的半径为 R m. 在 Rt△AOD 中，AO = R， OD = R - 7.23，AD = 18.5. 由勾股定理，得 探究新知 练一练：如图 1、2，一弓形弦长为 　 cm，弓形所在的圆的半径为 7 cm，则弓形的高为＿_＿＿__cm. C 图 2 D C B O A D O A B 图 1 2 或 12 指弧中点到弦的距离 探究新知 在圆中有关弦长 a，半径 r， 弦心距 d（圆心到弦的距离），弓形高 h 的计算题，常常通过连半径或作垂线构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解. 方法归纳 涉及垂径定理时辅助线的添加方法 弦 a，弦心距 d，弓形高 h，半径 r之间有以下关系： 弓形中重要数量关系 A B C D O h r d d+h=r O A B C · 探究新知 1.已知⊙O中，弦 AB = 8 cm，圆心到 AB 的距离为 3 cm，则此圆的半径为 cm . 5 2.⊙O 的直径 AB = 20 cm， ∠BAC = 30°，则弦 AC = cm. 课堂练习 D · O A B C E 3. 如图，在⊙O 中，AB、AC 为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB 于 D，OE⊥AC 于 E，求证：四边形 ADOE 是正方形． 证明：∵ OD⊥AB，OE⊥AC，AB⊥AC， ∴ 四边形 ADOE 为矩形， 又∵ AC = AB， ∴ AE = AD. ∴ 四边形 ADOE 为正方形. ∴∠OEA =∠EAD =∠ODA = 90°. 课堂练习 4. 如图，在以 O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦 AB 交小圆于 C，D 两点. 你认为 AC 和 BD 相等吗？为什么？ 解：AC = BD. 理由如下： 过点 O 作 OE⊥AB，垂足为 E. 则 AE = BE，CE = DE. ∴ AE－CE = BE－DE， 即 AC = BD. . A C D B O E 方法总结：解决有关弦的问题，常过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，这是一种常见辅助线的添法． 课堂练习 解：连接 OC，如图. ● O C D E F ┗ 根据勾股定理，得 5. 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中的 ，点 O 是 的圆心)，其中 CD = 600 m，E 为 上的一点，且 OE⊥CD，垂足为 F，EF = 90 m. 求这段弯路的半径. 则 OF = (R - 90) m. ∵ OE⊥CD，∴ CF = CD = 300 (m). 设这段弯路的半径为 R m， 解得 R = 545. ∴ 这段弯路的半径约为 545 m. ∴ 课堂练习 拓展提升： 如图，⊙O 的直径为 10，弦 AB = 8，P 为 AB 上的一个动点，那么 OP 长的取值范围 . 3 ≤OP≤5 B A O P 课堂练习 返回 1．下列说法正确的是(　　) A．垂直于弦的直线平分弦所对的两条弧 B．平分弦的直径垂直于弦 C．垂直于直径的弦平分这条直径 D．过弦(不是直径)的中点的直径平分弦所对的两条弧 D 考试考法 2. [教材P40练习T2]如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，AC，OB交于点D.若AD＝CD＝8，OD＝6，则BD的长为(　　) A．5 B．4 C．3 D．2 B 返回 考试考法 3．如图，⊙O的直径为10，弦AB的长为6，M是弦AB上的一动点，则线段的OM的长的取值范围是(　　) A．3≤OM≤5 B．4≤OM≤5 C．3＜OM＜5 D．4＜OM＜5 考试考法 【点拨】连结OA，作OC⊥AB于点C. ∵⊙O的直径为10， ∴半径为5.∴OM的最大值为5. ∵OC⊥AB于M， ∴AC＝BC.又∵AB＝6，∴AC＝3. 考试考法 返回 【答案】 B 考试考法 4. AB，CD为⊙O的两条弦，AB＝8，CD＝6，⊙O的直径为10，AB∥CD，则AB与CD之间距离为(　　) A．1 B．7 C．7或1 D．无法确定 考试考法 【点拨】如图所示，连结OA，OC.过点O作直线EF⊥AB于E，交CD于F. ∵AB∥CD，∴EF⊥CD. ∵⊙O的直径为10，∴OA＝OC＝5. 考试考法 返回 【答案】 C 考试考法 垂径定理 内容 推论 辅助线 一条直线满足:①过圆心；②垂直于弦； ③平分弦（不是直径）； ④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其它三个结论（“知二推三”） 垂直于弦的直径平分这条弦， 并且平分弦所对的弧. 两条辅助线：连半径，作垂线 构造直角三角形利用勾股定理计算或建立方程 基本图形及变式图形 课堂小结 必做作业：从教材习题中选取； 选做作业：完成练习册本课时的习题. 作业 谢谢观看！ ∴在Rt△AOC中，OC＝＝＝＝4. 当OM⊥AB时，OM的长最短，此时OM＝OC＝4. ∴OM的长的取值范围是4≤OM≤5.故选B. ∵OE⊥AB，OF⊥CD，∴AE＝AB＝4，CF＝CD＝3. ∴OF＝＝4，OE＝＝3. 如图①当AB和CD在圆心的同侧时，则EF＝OF－OE＝1； 如图②当AB和CD在圆心的两侧时，则EF＝OE＋OF＝7. 综上，AB与CD间的距离 为1或7.故选C. $