27.1.2.1 圆的对称性 课件-2025-2026学年华东师大版数学九年级下册

该初中数学课件聚焦“圆心角、弧、弦之间的关系”，从同圆探究入手，结合旋转不变性引出定理，再拓展至等圆验证，通过“同圆或等圆”前提构建知识支架，帮助学生逐步理解定理及推论的逻辑脉络。 其亮点在于以“探究新知”“辨一辨”培养数学眼光（几何直观），典例精析与能力提升题发展数学思维（推理意识），关系结构图强化数学语言（模型意识），助力学生构建知识网络，教师可高效教学，提升学生应用与创新能力。

第 1 页：封面 标题：27.1.2.1 圆的对称性 副标题：从直观操作到性质应用的深度探究 落款：初中数学教研组 第 2 页：学习目标与知识衔接 一、学习目标 理解圆的两种对称性（轴对称性、中心对称性），能通过折叠、旋转操作验证对称性 掌握圆的轴对称性相关性质（垂径定理的预备知识）和中心对称性的核心特征 能运用圆的对称性解决简单的线段相等、弧相等问题，培养直观想象与逻辑推理能力 二、知识衔接（回顾旧知） 上节课核心：圆的基本元素（圆心、半径、直径、弦、弧、圆心角），明确 “同圆或等圆中半径相等、直径相等”； 思考提问：圆作为特殊的平面图形，是否具有对称性？若有，它的对称形式与之前学过的等腰三角形、平行四边形有何不同？ 第 3 页：一、圆的轴对称性（对折重合） 1. 轴对称性的验证（动手操作） 操作步骤： 取一张圆形纸片，在圆上任意画一条直径\( AB \)； 将圆形纸片沿着直径\( AB \)所在直线对折； 观察结果：对折后，圆的左右两部分完全重合，说明圆是轴对称图形； 关键结论：圆有无数条对称轴，每一条对称轴都经过圆心（即 “直径所在的直线是圆的对称轴”）。 2. 轴对称性的几何表述 若直线\( l \)是\( \odot O \)的对称轴，则直线\( l \)必经过圆心\( O \)； 反过来，经过圆心\( O \)的任意一条直线，都是\( \odot O \)的对称轴（如直径\( CD \)、\( EF \)所在直线，均为对称轴）； 图形示意：画一个\( \odot O \)，标注多条经过圆心的直线（直径所在直线），用虚线表示对折重合的痕迹，直观展示 “无数条对称轴”。 3. 轴对称性的初步应用（线段与弧的关系） 性质推导：若将\( \odot O \)沿直径\( AB \)对折，圆上任意一点\( P \)会与另一点\( P' \)重合（对称点），则： 线段\( OP = OP' \)（半径相等）； 弦\( AP = AP' \)，弦\( BP = BP' \)； 弧\( \frown{AP} = \frown{AP'} \)，弧\( \frown{BP} = \frown{BP'} \)； 核心结论：垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧（垂径定理的简化表述，为后续详细学习铺垫）； 图形示意：画\( \odot O \)及直径\( AB \)，作弦\( CD \perp AB \)于点\( M \)，标注对折后\( C \)与\( D \)重合，\( M \)为\( CD \)中点，\( \frown{AC} = \frown{AD} \)，\( \frown{BC} = \frown{BD} \)。 第 4 页：二、圆的中心对称性（旋转重合） 1. 中心对称性的验证（动手操作） 操作步骤： 取一张圆形纸片，标记圆心\( O \)； 将圆形纸片绕圆心\( O \)顺时针（或逆时针）旋转\( 180^\circ \)； 观察结果：旋转后，圆上任意一点都能与圆上另一点完全重合，说明圆是中心对称图形； 关键结论：圆的对称中心就是圆心\( O \)（唯一的对称中心）。 2. 中心对称性的延伸（旋转任意角度的性质） 进一步操作：将圆形纸片绕圆心\( O \)旋转任意一个角度\( \alpha \)（如\( 30^\circ \)、\( 90^\circ \)、\( 120^\circ \)）； 观察结果：无论旋转多少度，圆都能与自身完全重合（这种性质称为 “旋转不变性”）； 核心结论：圆绕圆心旋转任意角度，都能与自身重合，这是圆特有的性质（区别于平行四边形 “旋转\( 180^\circ \)重合”）； 图形示意：画\( \odot O \)，标注圆上一点\( A \)，绕\( O \)旋转\( 60^\circ \)后得到点\( A_1 \)，旋转\( 120^\circ \)后得到点\( A_2 \)，展示\( A \)、\( A_1 \)、\( A_2 \)均在圆上，圆的形状位置不变。 3. 中心对称性的几何应用（圆心角、弧、弦的关系） 性质推导：若将\( \odot O \)绕圆心\( O \)旋转\( 180^\circ \)，圆心角\( \angle AOB \)会与\( \angle A'OB' \)重合（\( A' \)、\( B' \)为\( A \)、\( B \)的对称点），则： 圆心角\( \angle AOB = \angle A'OB' \)； 弧\( \frown{AB} = \frown{A'B'} \)； 弦\( AB = A'B' \)； 核心结论：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等（为后续圆心角定理铺垫）； 图形示意：画\( \odot O \)，作两个相等的圆心角\( \angle AOB = \angle COD \)，标注旋转后\( OA \)与\( OC \)重合，\( OB \)与\( OD \)重合，故\( \frown{AB} = \frown{CD} \)，\( AB = CD \)。 第 5 页：三、两种对称性的对比与总结 1. 对称性特征对比表 对称性类型 对称形式 对称中心 / 对称轴 关键性质 适用场景 轴对称性 对折重合（直线对称） 无数条对称轴（直径所在直线） 对称轴必过圆心；垂直于弦的直径平分弦与弧 解决弦的中点、弧的相等问题 中心对称性 旋转\( 180^\circ \)重合 1 个对称中心（圆心\( O \)） 旋转任意角度与自身重合；等圆心角对等弧、等弦 解决圆心角、弧、弦的数量关系问题 2. 对称性的核心关联 两种对称性均围绕 “圆心” 展开：轴对称性的对称轴过圆心，中心对称性的对称中心是圆心； 利用对称性可快速推导圆的重要性质（垂径定理、圆心角定理），是后续学习圆的计算与证明的基础； 图形示意：将两种对称性的图形合并，标注对称轴（过圆心的直线）和对称中心（圆心），直观展示 “圆心是对称性的核心”。 第 6 页：四、易错点解析与实例辨析 1. 易错点警示 易错点 1：误将 “直径” 当作对称轴 —— 圆的对称轴是 “直径所在的直线”，而非 “直径本身”（直径是线段，对称轴是直线）； 易错点 2：认为圆的对称轴只有有限条 —— 圆有无数条对称轴，所有经过圆心的直线都是对称轴； 易错点 3：忽略 “同圆或等圆” 前提 —— 中心对称性中 “等圆心角对等弧、等弦” 的性质，仅在同圆或等圆中成立（不同圆的半径不同，无法直接比较）； 易错点 4：混淆 “旋转不变性” 与 “中心对称性”—— 中心对称性是 “旋转\( 180^\circ \)重合”，而旋转不变性是 “旋转任意角度重合”，后者范围更广。 2. 实例辨析（判断对错并说明理由） 圆的对称轴是直径（×，对称轴是直径所在的直线，不是直径线段）； 圆有无数条对称轴，每一条都经过圆心（√，符合轴对称性特征）； 将圆绕圆心旋转\( 90^\circ \)，圆会与自身重合（√，圆具有旋转不变性）； 两个不同的圆，若圆心角相等，则所对的弧也相等（×，需 “同圆或等圆” 前提，不同圆半径不同，弧长不同）。 第 7 页：五、例题讲解与应用 例题 1：利用轴对称性求线段长度 已知\( \odot O \)的半径为\( 5 \, \text{cm} \)，直径\( AB \perp \)弦\( CD \)于点\( M \)，且\( OM = 3 \, \text{cm} \)，求弦\( CD \)的长度。 解：1. 连接\( OC \)（半径），则\( OC = 5 \, \text{cm} \)； 2. 由圆的轴对称性（垂径定理），\( AB \perp CD \)且\( AB \)是直径，故\( CM = MD = \frac{1}{2}CD \)（直径平分弦）； 3. 在\( \text{Rt}\triangle OMC \)中，由勾股定理：\( CM^2 + OM^2 = OC^2 \)； 代入数据：\( CM^2 + 3^2 = 5^2 \)→\( CM^2 = 16 \)→\( CM = 4 \, \text{cm} \)； 4. 故\( CD = 2CM = 8 \, \text{cm} \)。 例题 2：利用中心对称性判断弧的关系 在\( \odot O \)中，圆心角\( \angle AOB = 60^\circ \)，将\( \odot O \)绕圆心\( O \)旋转\( 180^\circ \)，得到\( \angle A'OB' \)（\( A' \)、\( B' \)为\( A \)、\( B \)的对称点），判断弧\( \frown{AB} \)与弧\( \frown{A'B'} \)的关系，并说明理由。 解：1. 由圆的中心对称性，旋转\( 180^\circ \)后，点\( A \)与\( A' \)重合，点\( B \)与\( B' \)重合； 2. 故圆心角\( \angle AOB = \angle A'OB' = 60^\circ \)（重合的角相等）； 3. 在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，因此\( \frown{AB} = \frown{A'B'} \)。 第 8 页：课堂练习（分层设计） 一、基础题 圆是轴对称图形，它的对称轴是______；圆也是中心对称图形，它的对称中心是______（答案：直径所在的直线；圆心）； 若\( \odot O \)的半径为\( 6 \, \text{cm} \)，一条直径垂直于弦\( EF \)，垂足为\( N \)，且\( ON = 3 \, \text{cm} \)，则弦\( EF \)的长度为______（答案：\( 6\sqrt{3} \, \text{cm} \)）； 下列说法错误的是（ ）（答案：B） A. 经过圆心的直线是圆的对称轴 B. 圆的对称轴是直径 C. 圆绕圆心旋转\( 180^\circ \)能与自身重合 D. 同圆中，等圆心角对等弦 二、提升题 如图，在\( \odot O \)中，\( AB \)是直径，\( CD \)是弦，且\( AB \parallel CD \)，若\( \frown{AC} = 60^\circ \)，求\( \frown{CD} \)的度数（答案：\( 60^\circ \)，提示：利用轴对称性，\( \frown{AC} = \frown{BD} = 60^\circ \)，圆周角为\( 360^\circ \)，故\( \frown{CD} = 360^\circ - 180^\circ - 60^\circ - 60^\circ = 60^\circ \)）； 利用圆的对称性说明 “为什么车轮设计成圆形，行驶时车身保持平稳”（答案：车轮圆心到地面距离始终等于半径，半径不变，故车身平稳）。 第 9 页：课堂小结与作业布置 一、课堂小结 圆的两种对称性： 轴对称性：无数条对称轴（直径所在直线），核心是 “对折重合”，衍生 “垂径定理” 初步性质； 中心对称性：1 个对称中心（圆心），核心是 “旋转\( 180^\circ \)重合”，延伸 “旋转不变性”，衍生 “等圆心角对等弧、等弦” 性质； 关键关联：两种对称性均以 “圆心” 为核心，是推导圆后续性质的基础； 思想方法：通过直观操作（折叠、旋转）验证对称性，培养 “从具体到抽象” 的几何思维。 二、作业布置 必做：教材中 “圆的对称性” 基础习题，完成 2 道利用轴对称性求弦长的题目； 选做：设计一个实验，验证 “圆绕圆心旋转任意角度都能与自身重合”，并记录实验步骤与观察结果。 2025-2026学年华东师大版数学九年级下册【示范课精品课件】 授课教师： . 班 级： . 时 间： . 27.1.2.1 圆的对称性 第27章 圆 a i T u j m i a N g 熊宝宝要过生日了！要把蛋糕平均分成四块，你会分吗？ 情境引入 问题1 圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是 什么？你能找到多少条对称轴？ 问题2 你是怎么得出结论的？ 圆的对称性： 圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线. 用折叠的方法 ● O 探究归纳 圆的对称性 探究新知 问题3 将圆绕圆心旋转 180° 后，得到的图形与原图形重合吗？由此你得到什么结论呢？ 我们探索发现圆是一个旋转对称图形，绕圆心旋转 180 度还是多少度后，它都能与自身重合， 对称中心即为圆心. . O A B 180° 探究新知 圆是旋转对称图形，具有旋转不变性. 探究归纳 O α · 探究新知 在同圆中探究 C · O A B D 由圆的旋转不变性，我们发现： 在⊙O中，如果∠AOB= ∠COD， 那么， ，弦AB = 弦CD 在⊙O中，如果∠AOB = ∠COD，那么， 与 ，弦 AB 与弦 CD 有怎样的数量关系？ 圆心角、弧、弦之间的关系 探究新知 在同一个圆中，如果圆心角相等，那么它们所对弧相等，所对的弦相等． ①∠AOB = ∠COD ③AB = CD 要点归纳 弧、弦与圆心角的关系定理 A B O D C ② 探究新知 想一想：定理“在同圆或等圆中，如果圆心角相等，那么它们所对弧相等，所对的弦相等”中，可否把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？ 不可以，如图. A B O D C 探究新知 在同一个圆中，如果弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等． 弧、弦与圆心角关系定理的推论 要点归纳 在同一个圆中，如果弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等． 探究新知 如图，在等圆中，如果圆心角∠AOB ＝∠CO′D，你发现的等量关系是否依然成立？ 在等圆中探究 O′ · O A B · C D 通过平移和旋转将两个等圆变成同一个圆，我们发现：如果∠AOB =∠CO′D，那么 ，弦 AB = 弦 CD. 归纳 探究新知 如果弧相等 那么 弧所对的圆心角相等 弧所对的弦相等 如果弦相等 那么 弦所对应的圆心角相等 弦所对应的优弧相等 弦所对应的劣弧相等 如果圆心角相等 那么 圆心角所对的弧相等 圆心角所对的弦相等 在同圆或等圆中 题设 结论 探究新知 关系结构图 温馨提示：一条弦对应两条弧，由弦相等得到弧相等时需要区分优弧和劣弧. 在同圆或等圆中 探究新知 (3) 圆心角相等，所对的弦相等. （ ） (2) 等弧所对的弦相等. （ ） (1) 等弦所对的弧相等. （ ） × × √ 判断正误： 辨一辨 探究新知 典例精析 关系定理及推论的运用 解： ∵ · A O B C D E 例1 如图，AB 是⊙O 的直径， ∠COD = 35°，求∠AOE 的度数． ∴∠BOC =∠COD =∠DOE = 35°. ∴∠AOE = 180° - 3×35° = 75°. 探究新知 ∴ AB = AC，△ABC 是等腰三角形. 又∵∠ACB = 60°， ∴△ABC 是等边三角形，AB = BC = CA. ∴∠AOB =∠BOC =∠AOC. A B C O 方法总结：弧、圆心角、弦之间等量关系的灵活转化是解决圆相关问题的重要法宝. 例2 如图，在☉O 中， = ，∠ACB = 60°， 求证：∠AOB =∠BOC =∠AOC. 证明：∵ = ， 探究新知 填一填： 如图，AB、CD 是⊙O 的两条弦． (1) 如果 AB = CD，那么_________，______________． (2) 如果 ，那么_________，_____________． (3) 如果∠AOB = ∠COD， 那么__________，_________． · C A B D O AB = CD AB = CD ∠AOB = ∠COD ∠AOB = ∠COD 针对训练 课堂练习 (4) 如果 AB = CD，OE⊥AB 于 E，OF⊥CD 于 F，OE 与 OF 相等吗？为什么？ 解：OE = OF. 理由如下： ∵△OAB 和△OCD 均为等腰三角形 OE⊥AB，OF⊥CD， ∴ AE = AB，CF = CD. 又∵ AB = CD， ∴ AE = CF. 又∵ OA = OC， ∴ Rt△AOE≌Rt△COF(H.L.) ∴OE = OF. · C A B D E F O 课堂练习 1. 如果两个圆心角相等，那么 ( ) A．这两个圆心角所对的弦相等 B．这两个圆心角所对的弧相等 C．这两个圆心角所对的弦和弧分别相等 D．以上说法都不对 2. 弦长等于半径的弦所对的圆心角等于 °. D 60 课堂练习 3. 如图，已知 AB、CD 为⊙O 的两条弦， 求证：AB＝CD. C A B D O . 课堂练习 A B C D E O 能力提升： 4. 如图，在☉O 中，∠COD = 2∠AOB，那么 = 2 成立吗？CD = 2AB 呢？如果成立，请说明理由；如 果不成立，那它们之间的关系又是什么？ 解： = 2 成立，CD = 2AB 不成立. 理由如下：取 的中点 E，连接 OE， CE，DE，那么∠AOB =∠COE =∠DOE. 所以 = = ， = 2 ，AB = CE = DE. 在△CDE 中，CE + DE > CD，故 CD ＜ 2AB. 课堂练习 返回 1．下列说法中，不正确的是(　　) A．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形 B．圆绕着它的圆心旋转任意角度，都能与它自身重合 C．圆的对称轴有无数条，对称中心只有一个 D．圆的每一条直径都是它的对称轴 D 考试考法 2．如图，在⊙O中，弦AB＝CD，图中的线段、圆心角、劣弧分别具有相等关系的量(不包含AB＝CD)共有(　　) A．10组 B．7组 C．6组 D．5组 返回 A 考试考法 返回 C 3．如图，已知A，B，C，D是圆上的点，AD＝BC，AC，BD交于点E，则下列结论正确的是(　　) A．AB＝AD B．BE＝CD C．AC＝BD D．BE＝AD 考试考法 返回 考试考法 返回 【答案】 B 考试考法 5. 如图，三圆同心于O，AB＝6 cm，CD⊥AB于O，则图中阴影部分的面积为________cm2. 返回 考试考法 6. [教材P45习题T4]如图，AB是⊙O的直径，AC，CD，DE，EF，FB都是⊙O的弦，且AC＝CD＝DE＝EF＝FB，求∠AOC与∠COF的度数． 考试考法 返回 考试考法 弧、弦、圆心角的关系定理及推论 在同圆或等圆中 应用提醒 ①要注意前提条件； ②要灵活转化. 圆心角 概念：顶点在圆心的角 课堂小结 必做作业：从教材习题中选取； 选做作业：完成练习册本课时的习题. 作业 谢谢观看！ 4. [教材P39练习T1 ]如图，在⊙O中，＝，∠A＝30°，则∠B＝(　　) A．150° B．75° C．60° D．15° 【点拨】∵＝，∴AB＝AC，∴∠B＝∠C. ∵∠A＝30°，∴∠B＝∠C＝×(180°－30°)＝75°.故选B. π 【解】∵AC＝CD＝DE＝EF＝FB， ∴∠AOC＝∠COD＝∠DOE＝∠EOF＝∠FOB. ∵AB是⊙O的直径，∴∠AOB＝180°， ∴∠AOC＝×180°＝36°，∠COF＝×180°＝108°. $