26.2.2.4二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质课件-2025-2026学年华东师大版（2012）数学九年级下册

第 1 页：封面 标题：26.2.2.4 二次函数 \( y = ax^2 + bx + c \) 的图象与性质 副标题：二次函数一般式的深度探究 落款：初中数学教研组 第 2 页：学习目标与知识衔接 一、学习目标 掌握将二次函数一般式 \( y = ax^2 + bx + c \) 转化为顶点式的方法（配方） 理解并掌握 \( y = ax^2 + bx + c \) 的开口、顶点、对称轴、最值及增减性 能运用一般式解决实际问题，深化数形结合思想 二、知识衔接（回顾顶点式） 二次函数顶点式：\( y = a(x - h)^2 + k \)，顶点坐标\( (h, k) \)，对称轴直线\( x = h \) 思考：一般式 \( y = ax^2 + bx + c \)（\( a eq 0 \)）无法直接读出顶点和对称轴，如何通过转化获取这些关键信息？ 第 3 页：探究 1：一般式转化为顶点式（配方过程） 一、配方步骤（以 \( y = ax^2 + bx + c \) 为例） 提取二次项系数：针对含\( x \)的项，提取\( a \)，得\( y = a\left(x^2 + \frac{b}{a}x\right) + c \) 配方（补全完全平方式）：在括号内加、减一次项系数一半的平方\( \left(\frac{b}{2a}\right)^2 \)，得\( y = a\left[x^2 + \frac{b}{a}x + \left(\frac{b}{2a}\right)^2 - \left(\frac{b}{2a}\right)^2\right] + c \) 整理为顶点式：括号内化为完全平方式，去括号并合并常数项，得\( y = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + \frac{4ac - b^2}{4a} \) 二、对应顶点式要素 对比顶点式 \( y = a(x - h)^2 + k \)，可得： 对称轴：直线 \( x = -\frac{b}{2a} \) 顶点坐标：\( \left(-\frac{b}{2a}, \frac{4ac - b^2}{4a}\right) \) 示例：将 \( y = 2x^2 - 4x + 1 \) 化为顶点式 提取系数：\( y = 2(x^2 - 2x) + 1 \) 配方：\( y = 2[(x^2 - 2x + 1) - 1] + 1 = 2(x - 1)^2 - 2 + 1 \) 整理：\( y = 2(x - 1)^2 - 1 \)，顶点\( (1, -1) \)，对称轴\( x = 1 \) 第 4 页：探究 2：一般式的核心性质（分 \( a > 0 \) 和 \( a < 0 \)） 性质维度 当 \( a > 0 \) 时 当 \( a < 0 \) 时 开口方向 向上（与顶点式一致，由\( a \)符号决定） 向下（与顶点式一致，由\( a \)符号决定） 顶点坐标 \( \left(-\frac{b}{2a}, \frac{4ac - b^2}{4a}\right) \)（最低点） \( \left(-\frac{b}{2a}, \frac{4ac - b^2}{4a}\right) \)（最高点） 对称轴 直线 \( x = -\frac{b}{2a} \) 直线 \( x = -\frac{b}{2a} \) 函数最值 当 \( x = -\frac{b}{2a} \) 时，\( y_{\text{æ��å°�}} = \frac{4ac - b^2}{4a} \) 当 \( x = -\frac{b}{2a} \) 时，\( y_{\text{æ��大}} = \frac{4ac - b^2}{4a} \) 增减性 - 当 \( x < -\frac{b}{2a} \)（对称轴左侧）时，\( y \) 随 \( x \) 增大而减小；- 当 \( x > -\frac{b}{2a} \)（对称轴右侧）时，\( y \) 随 \( x \) 增大而增大 - 当 \( x < -\frac{b}{2a} \)（对称轴左侧）时，\( y \) 随 \( x \) 增大而增大；- 当 \( x > -\frac{b}{2a} \)（对称轴右侧）时，\( y \) 随 \( x \) 增大而减小 第 5 页：关键结论与易错点解析 一、关键结论 系数作用： \( a \)：决定开口方向（正向上、负向下）和开口大小（\( |a| \)越大，开口越窄）； \( b \)：与\( a \)共同决定对称轴位置（\( x = -\frac{b}{2a} \)），单独无意义； \( c \)：抛物线与\( y \)轴交点的纵坐标（交点坐标\( (0, c) \)）； 判别式\( \Delta = b^2 - 4ac \)：决定抛物线与\( x \)轴交点个数（\( \Delta > 0 \)有 2 个交点，\( \Delta = 0 \)有 1 个交点，\( \Delta < 0 \)无交点）。 转化价值：将一般式化为顶点式，可更便捷地分析顶点、对称轴和最值，为解决最值问题（如利润、面积最值）奠定基础。 二、易错点警示 配方错误：配方时易漏乘二次项系数\( a \)，如将\( y = 2x^2 - 4x + 1 \)误配为\( (2x - 1)^2 + 0 \)，需牢记 “先提系数，再配方”； 对称轴公式混淆：误将对称轴记为\( x = \frac{b}{2a} \)，忽略负号，需强化 “\( x = -\frac{b}{2a} \)” 的记忆； 最值计算偏差：计算顶点纵坐标\( \frac{4ac - b^2}{4a} \)时，易颠倒分子顺序（写成\( \frac{b^2 - 4ac}{4a} \)），需注意配方过程中的常数项整理。 第 6 页：例题讲解（分层应用） 例题 1：基础应用（分析一般式性质） 已知二次函数 \( y = -x^2 + 2x + 3 \)（\( a = -1 \)，\( b = 2 \)，\( c = 3 \)），回答下列问题： 求开口方向、对称轴及顶点坐标； 解：\( a = -1 < 0 \)，开口向下； 对称轴\( x = -\frac{2}{2 \times (-1)} = 1 \)； 顶点纵坐标\( \frac{4 \times (-1) \times 3 - 2^2}{4 \times (-1)} = \frac{-12 - 4}{-4} = 4 \)，顶点\( (1, 4) \)； 求函数的最大值及此时\( x \)的值； 解：当\( x = 1 \)时，\( y_{\text{æ��大}} = 4 \)； 当\( x \)为何值时，\( y \)随\( x \)增大而减小？ 解：当\( x > 1 \)（对称轴右侧）时，\( y \)随\( x \)增大而减小。 例题 2：进阶应用（实际最值问题） 某商店销售某种商品，每件成本为 30 元，每件售价\( x \)元（\( 30 \leq x \leq 60 \)），每天销售量\( y \)件与售价\( x \)的关系为\( y = -2x + 120 \)，求每天的最大利润\( W \)（利润 = 每件利润 × 销售量）。 解：1. 列利润表达式：\( W = (x - 30)y = (x - 30)(-2x + 120) = -2x^2 + 180x - 3600 \)； 2. 分析二次函数：\( a = -2 < 0 \)，利润有最大值，对称轴\( x = -\frac{180}{2 \times (-2)} = 45 \)（在\( 30 \leq x \leq 60 \)范围内）； 3. 求最大值：\( W_{\text{æ��大}} = -2 \times 45^2 + 180 \times 45 - 3600 = 450 \)（元）； 答：当售价为 45 元时，每天最大利润为 450 元。 第 7 页：课堂练习（巩固提升） 一、基础题 二次函数 \( y = 3x^2 - 6x + 2 \) 的对称轴是______，顶点坐标是______，当\( x = \)时，\( y \)有最______值为（答案：直线\( x = 1 \)；\( (1, -1) \)；1；小；-1）； 若二次函数 \( y = x^2 + bx + 4 \) 的对称轴为直线\( x = 2 \)，则\( b = \)______（答案：-4）。 二、提升题 已知二次函数 \( y = ax^2 + bx + c \) 的图象过点\( (0, 1) \)、\( (1, 3) \)、\( (-1, 1) \)，求该函数解析式，并判断其与\( x \)轴是否有交点（答案：解析式\( y = x^2 + x + 1 \)，\( \Delta = 1 - 4 = -3 < 0 \)，无交点）。 第 8 页：课堂小结与作业布置 一、课堂小结 转化方法：一般式通过配方转化为顶点式，核心是 “提系数、补全平方、整理常数”； 核心性质：开口看\( a \)，对称轴\( x = -\frac{b}{2a} \)，顶点\( \left(-\frac{b}{2a}, \frac{4ac - b^2}{4a}\right) \)，最值由\( a \)和顶点纵坐标决定； 实际应用：利用一般式解决利润、面积等最值问题，需先建立函数模型，再结合性质求解。 二、作业布置 必做：教材中对应基础习题，将 3 个一般式转化为顶点式并分析性质； 选做：某长方形场地周长为 20 米，设长为\( x \)米，求面积\( S \)与\( x \)的函数关系，并求最大面积。 2025-2026学年华东师大版数学九年级下册【示范课精品课件】 授课教师： . 班 级： . 时 间： . 26.2.2.4二次函数y＝ax2＋bx＋c的 图象与性质 第26章　二次函数 a i T u j m i a N g 复习引入 y=a(x-h)2+k a＞0 a＜0 开口方向 顶点坐标 对称轴 增减性 最值 向上 向下 (h，k) (h，k) x = h x = h 当 x＜h 时，y 随着 x 的增大而减小；当 x＞h 时 y 随着 x 的增大而增大. 当 x＜h 时，y 随着 x 的增大而增大；当 x＞h 时，y 随着 x 的增大而减小. x = h 时，y最小值 = k x = h 时，y最大值 = k 抛物线 y = a(x - h)2 + k 可以看作由抛物线 y = ax2 经过平移得到 顶点坐标 对称轴 最值 y = -2x2 y = -2x2 - 5 y = -2(x + 2)2 y = -2(x + 2)2 - 4 y = (x - 4)2 + 3 y = -x2 + 2x y = 3x2 + x - 6 (0，0) y 轴 0 (0，-5) y 轴 -5 (-2，0) 直线 x = -2 0 (-2，-4) 直线 x = -2 -4 (4，3) 直线 x = 4 3 ? ? ? ? ? ? 情景导入 合作探究 我们已经知道 y =a(x-h)2+k 的图象和性质，能否利用这些知识来讨论 的图象和性质？ 问题1 怎样将 化成 y=a(x-h)2+k 的形式？ 二次函数 y=ax2+bx+c的图象和性质 探究新知 配方 想一想：配方的方法及步骤是什么？ 探究新知 配方 你知道是怎样配方的吗？ (1)“提”：提出二次项系数； (2)“配”：括号内配成完全平方； (3)“化”：化成顶点式. 提示:配方后的关系式通常称为配方式或顶点式. 探究新知 问题2 你能说出 的对称轴及顶点坐标吗？ 答：对称轴是直线 x = 6，顶点坐标是（6，3）. 问题3 二次函数 可以看作是由 怎样平移得到的？ 答：平移方法1： 先向上平移 3 个单位，再向右平移 6 个单位得到的； 平移方法2： 先向右平移 6 个单位，再向上平移 3 个单位得到的. 探究新知 问题4 如何用描点法画二次函数 的图象？ … … … … 9 8 7 6 5 4 3 x 解：先利用图形的对称性列表 7.5 5 3.5 3 3.5 5 7.5 5 10 x y 5 10 然后描点画图，得到图象 如右图. O 探究新知 问题5 结合二次函数 的图象，说出其增减性. 5 10 x y 5 10 x=6 当 x＜6 时，y 随 x 的增大而减小； 当 x＞6 时，y 随 x 的增大而增大. O 探究新知 例1 画出函数 的图象，并说明这个函数具有哪些性质. x ··· -2 -1 0 1 2 3 4 ··· y ··· ··· -6.5 -4 -2.5 -2 -2.5 -4 -6.5 解: 函数 通过配方可得 ， 先列表： 典例精析 探究新知 2 x y -2 O 4 -2 -4 -4 -6 -8 然后描点、连线，得到图象如下图. 由图象可知，这个函数具有如下性质： 当 x＜1 时，函数值 y 随x 的增大而增大； 当 x＞1 时，函数值 y 随x 的增大而减小； 当 x = 1 时，函数取得最大值，最大值 y = -2. 探究新知 求二次函数 y = 2x2 - 8x + 7 图象的对称轴和顶点坐标. 因此，二次函数 y = 2x2 - 8x + 7 图象的对称轴是直线 x = 2，顶点坐标为(2，-1). 解： 练一练 探究新知 我们如何用配方法将一般式 y = ax2+bx+c(a≠0)化成顶点式 y = a(x-h)2+k？ 将一般式y=ax2+bx+c化成顶点式y=a(x-h)2+k 探究新知 y = ax² + bx + c 探究新知 要点归纳 二次函数 y=ax2+bx+c的图象和性质 1.一般地，二次函数 y = ax2 + bx + c 的可以通过配方化成 y = a(x - h)2 + k 的形式，即 因此抛物线 y = ax2 + bx + c 的顶点坐标是 对称轴是直线 探究新知 (1) x y O 如果 a > 0，当 x < 时，y 随 x 的增大而减小； 当 x > 时，y 随 x 的增大而增大；当 x = 时，函数达到最小值，最小值为 . 二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象和性质 探究新知 (2) x y O 如果 a < 0，当 x < 时， y 随 x 的增大而增大； 当 x > 时，y 随 x 的增大而减小；当 x = 时，函数值达到最大，最大值为 . 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 探究新知 例2 已知二次函数 y =－x2＋2bx＋c，当 x＞1 时，y 的值随 x 值的增大而减小，则实数 b 的取值范围是( ) A．b≥－1 B．b≤－1 C．b≥1 D．b≤1 解析：由题设可知， 当 x＞1 时，y 的值随 x 值的增大而减小， ∴抛物线 y =－x2＋2bx＋c 的对称轴应在直线 x = 1 的 左侧，而抛物线 y=－x2＋2bx＋c的对称轴 ，即 b≤1，故选 D. D 探究新知 填一填 顶点坐标 对称轴 最值 y = -x2 + 2x y = -2x2 - 1 y = 9x2 + 6x - 5 (1，1) x = 1 最大值 1 (0，-1) y 轴 最大值 -1 最小值 -6 ( ，-6) 直线 x = 探究新知 合作探究 问题1 一次函数 y = kx + b 的图象如下图所示，请根据一次函数图象的性质填空： x y O y=k1x+b1 x y O y=k3x+b3 y=k2x+b2 k1 ___ 0 b1 ___ 0 k3 ___ 0 b3 ___ 0 ＜ ＞ ＞ ＜ k2 ___ 0 b2 ___ 0 ＞ ＞ 二次函数的图象与系数的关系 探究新知 x y O 问题2 二次函数 的图象如下图所示，请根据二次函数的性质填空： a1 ___ 0 b1___ 0 c1___ 0 a2___ 0 b2___ 0 c2___ 0 ＞ ＞ ＞ ＞ ＜ ＝ 开口向上，a＞0 对称轴在 y 轴左侧， 对称轴在 y 轴右侧， x=0 时，y=c 探究新知 x y O a3___ 0 b3___ 0 c3___ 0 a4___ 0 b4___ 0 c4___ 0 ＜ ＝ ＞ ＜ ＞ ＜ 开口向下，a＜0 对称轴是 y 轴， 对称轴在 y 轴右侧， x =0时，y =c. 探究新知 二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象与 a、b、c 的关系 字母符号 图象的特征 a＞0 开口_____________________ a＜0 开口_____________________ b=0 对称轴为_____轴 a、b 同号 对称轴在 y 轴的____侧 a、b 异号 对称轴在 y 轴的____侧 c=0 经过原点 c＞0 与 y 轴交于_____半轴 c＜0 与 y 轴交于_____半轴 向上 向下 y 左 右 正 负 要点归纳 探究新知 例3 已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a－b＜0；③4a－2b＋c＜0；④(a＋c)2＜b2. 其中正确的个数是 (　　) A．1　　　B．2　　　　C．3　　　D．4 D 【解析】由图象开口向下可得 a＜0， 由对称轴在 y 轴左侧可得 b＜0， 由图象与 y 轴交于正半轴可得 c＞0， 则 abc＞0，故①正确； 由对称轴 x >－1可得 2a－b＜0，故②正确； 探究新知 则(a＋b＋c)(a－b＋c)＜0， 即(a＋c)2－b2＜0，可得(a＋c)2＜b2， 故④正确．故正确的结论是①②③④. 选 D. 由图象上横坐标为 x＝－2 的点在第三象限 可得 4a－2b＋c＜0，故③正确； 由图象上 x＝1 的点在第四象限得 a＋b＋c＜0， 由图象上 x＝－1 的点在第二象限得 a－b＋c＞0， 探究新知 练一练 二次函数 的图象如图，反比例函数 与正比例函数 在同一坐标系内的大致图象是（ ） 解析：由二次函数的图象得知a＜0，b＞0.故反比例函数的图象在二、四象限， 正比例函数的图象经过一、三象限. 故选C. C 探究新知 1.已知二次函数 y=ax2+bx+c 的 x、y的部分对应值如下表： x -1 0 1 2 3 y 5 1 -1 -1 1 A. y 轴 B.直线 x= C. 直线 x = 2 D.直线 x= 则该二次函数图象的对称轴为( ) D 课堂练习 O y x –1 –2 3 2.已知二次函数 y = ax2 + bx + c (a≠0) 的图象如图所示，则下列结论： (1) a、b 同号； (2) 当 x = –1 和 x = 3 时，函数值相等； (3) 4a + b = 0； (4) 当 y = –2 时，x 的值只能取 0； 其中正确的是 . 直线 x = 1 （2） 课堂练习 3.如图是二次函数 y = ax2 + bx + c (a≠0) 图象的一部分，x= -1是对称轴，有下列判断：①b-2a=0；②4a-2b+c<0；③a-b+c= -9a；④若 (-3，y1)，( ，y2) 是抛物线上两点，则 y1 > y2.其中正确的是( ) A．①②③　　 B．①③④ C．①②④　 D．②③④ x y O 2 x= -1 B 课堂练习 4.根据公式确定下列二次函数图象的对称轴、顶点坐标： 直线 x = 3 直线 x = 8 直线 x = 1.25 直线 x = 0.5 课堂练习 返回 1．[2024南阳模拟]下列关于二次函数y＝－x2＋4x＋3的说法正确的是(　　) A．该函数图象的开口向上　 B．该函数图象的顶点坐标为(2，3)　 C．当x＜2时，y随x的增大而减小　 D．该函数的最大值为7 D 考试考法 31 2．[2023河南]二次函数y＝ax2＋bx的图象如图所示，则一次函数y＝ax＋b的图象一定不经过(　　) A．第一象限 B．第二象限　 C．第三象限 D．第四象限 C 返回 考试考法 32 2 3．将抛物线y＝ax2＋bx＋3向下平移5个单位后，经过点(－2，4)，则6a－3b－7＝________. 【点拨】抛物线y＝ax2＋bx＋3向下平移5个单位后得到y＝ax2＋bx＋3－5＝ax2＋bx－2， 把点(－2，4)的坐标代入y＝ax2＋bx－2， 得4＝a×(－2)2－2b－2，即2a－b＝3， ∴6a－3b－7＝3(2a－b)－7＝3×3－7＝2. 返回 考试考法 33 考试考法 34 考试考法 返回 考试考法 5．[2024德州期中]已知：二次函数y＝x2＋4x＋3. (1)求出该函数图象的顶点坐标； 【解】y＝x2＋4x＋3＝(x＋2)2－1， ∴该函数图象的顶点坐标为 (－2，－1)． 考试考法 37 (2)在如图的网格中画出该函数的大致图象； 【解】函数图象如图所示． 考试考法 38 返回 (3)求当－4≤x≤2时，函数y的取值范围． 【解】易得当x＝－2时，函数y取最小值－1， 当x＝－4时，y＝3，当x＝2时，y＝15， ∴当－4≤x≤2时，函数y的取值范围为－1≤y≤15. 考试考法 39 考试考法 40 【答案】 A 返回 考试考法 7．[2024北京海淀区期中]已知P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是抛物线y＝ax2－4ax上的两点，下列命题正确的是(　　) A．若|x1－2|＞|x2－2|，则y1＞y2　 B．若y1＞y2，则|x1－2|＞|x2－2|　 C．若y1＝y2，则x1＝x2　 D．若|x1－2|＝|x2－2|，则y1＝y2 考试考法 42 考试考法 【答案】 D 返回 当y1＝y2时，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)关于抛物线对称轴对称或重合，∴选项C错误，不符合题意． 若|x1－2|＝|x2－2|，则P1(x1，y1)，P2(x2，y2)到对称轴距离相等，∴y1＝y2.选项D正确，符合题意．故选D. 考试考法 顶点： 对称轴： y=ax2+bx+c（a ≠0) (一般式) 配方法 公式法 (顶点式) 课堂小结 必做作业：从教材习题中选取； 选做作业：完成练习册本课时的习题. 作业 谢谢观看！ 4． [2024苏州]二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象过点A(0，m)，B(1，－m)，C(2，n)，D(3，－m)，其中m，n为常数，则的值为________． － 【点拨】将点A(0，m)，B(1，－m)，D(3，－m)的坐标代入y＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 得∴ ∴y＝mx2－mx＋m. 把点C(2，n)的坐标代入y＝mx2－mx＋m， 得n＝×22m－m×2＋m， ∴n＝－m.∴＝＝－. 6．[2024泸州]已知二次函数y＝ax2＋(2a－3)x＋a－1(x是自变量)的图象经过第一、二、四象限，则实数a的取值范围为(　　) A．1≤a< B．0＜a< C．0＜a< D．1≤a< 【点拨】∵图象经过第一、二、四象限， ∴a－1≥0，Δ＝(2a－3)2－4a(a－1)＞0，－>0，a>0.∴1≤a<.故选A. 【点拨】∵y＝ax2－4ax， ∴抛物线对称轴为直线x＝－＝2. 当a＜0时，若|x1－2|＞|x2－2|，则y1＜y2， ∴选项A错误，不符合题意． 当a＜0时，若y1＞y2，则|x1－2|＜|x2－2|， ∴选项B错误，不符合题意． $