26.2.2.2二次函数y＝a(x－h)2的图象与性质 课件-2025-2026学年华东师大版（2012）数学九年级下册

第 1 页：封面 标题：26.2.2.2 二次函数 \( y = a(x - h)^2 \) 的图象与性质 副标题：—— 从平移变换看二次函数的位置变化 落款：初中数学教研组 第 2 页：学习目标 能通过描点法或平移法画出 \( y = a(x - h)^2 \) 的图象 理解 \( y = a(x - h)^2 \) 与 \( y = ax^2 \) 的图象关系（平移规律） 掌握 \( y = a(x - h)^2 \) 的开口、顶点、对称轴、增减性等性质 体会数形结合与转化思想 第 3 页：复习回顾（衔接旧知） 上节课知识回顾：二次函数 \( y = ax^2 \) 的性质 性质 当 \( a > 0 \) 时 当 \( a < 0 \) 时 开口方向 向上 向下 顶点坐标 \( (0, 0) \) \( (0, 0) \) 对称轴 y 轴（\( x = 0 \)） y 轴（\( x = 0 \)） 增减性（右半侧） y 随 x 增大而增大 y 随 x 增大而减小 思考提问 若在解析式中加入常数 \( h \)，变为 \( y = a(x - h)^2 \)，图象会发生什么变化？ 第 4 页：探究 1：描点法画图象（以具体函数为例） 任务：画出 \( y = 2x^2 \) 与 \( y = 2(x - 1)^2 \) 的图象 列表取值（选取 x=-2,-1,0,1,2） | x | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | |------|----|----|----|----|----| | \( y = 2x^2 \) | 8 | 2 | 0 | 2 | 8 | | \( y = 2(x - 1)^2 \) | 18 | 8 | 2 | 0 | 2 | 描点连线：在同一坐标系中描点，画出两条抛物线 直观观察：两条抛物线形状相同，位置不同 第 5 页：探究 2：图象的平移规律 对比分析：\( y = 2x^2 \) 与 \( y = 2(x - 1)^2 \) 顶点变化：从 \( (0, 0) \) 移到 \( (1, 0) \) 平移方向：向右平移 1 个单位 拓展验证：\( y = 2x^2 \) 与 \( y = 2(x + 2)^2 \) 顶点变化：从 \( (0, 0) \) 移到 \( (-2, 0) \) 平移方向：向左平移 2 个单位 总结平移规律 \( y = a(x - h)^2 \) 的图象可由 \( y = ax^2 \) 的图象： 当 \( h > 0 \) 时，向右平移 \( |h| \) 个单位 当 \( h < 0 \) 时，向左平移 \( |h| \) 个单位 口诀：左加右减（针对括号内 \( x \) 的变化） 第 6 页：核心性质归纳（分两类情况） 性质维度 当 \( a > 0 \) 时 当 \( a < 0 \) 时 开口方向 向上（与 \( y = ax^2 \) 一致） 向下（与 \( y = ax^2 \) 一致） 顶点坐标 \( (h, 0) \)（最低点） \( (h, 0) \)（最高点） 对称轴 直线 \( x = h \)（垂直于 x 轴） 直线 \( x = h \)（垂直于 x 轴） 函数最值 当 \( x = h \) 时，\( y_{\text{æ��å°�}} = 0 \) 当 \( x = h \) 时，\( y_{\text{æ��大}} = 0 \) 增减性 - \( x < h \) 时，y 随 x 增大而减小；- \( x > h \) 时，y 随 x 增大而增大 - \( x < h \) 时，y 随 x 增大而增大；- \( x > h \) 时，y 随 x 增大而减小 第 7 页：关键结论与易错点 关键结论 \( a \) 的作用：仅决定开口方向和大小，与位置无关 \( h \) 的作用：仅决定抛物线左右位置（顶点横坐标），与开口无关 图象形状：与 \( y = ax^2 \) 全等，仅位置不同 易错点警示 混淆平移方向：如 \( y = 3(x + 4)^2 \) 是由 \( y = 3x^2 \) 向左平移 4 个单位（而非向右） 误认对称轴：对称轴是直线 \( x = h \)，而非点 \( (h, 0) \) 第 8 页：例题讲解（巩固应用） 例题：已知二次函数 \( y = - (x - 3)^2 \) 它的图象是由 \( y = -x^2 \) 经过怎样的平移得到的？ 解：向右平移 3 个单位 说出其开口方向、顶点坐标和对称轴 解：开口向下，顶点坐标 \( (3, 0) \)，对称轴直线 \( x = 3 \) 当 \( x \) 为何值时，y 随 x 的增大而增大？ 解：当 \( x < 3 \) 时，y 随 x 增大而增大 第 9 页：课堂练习（分层设计） 基础题 将 \( y = 4x^2 \) 向左平移 2 个单位，得到的函数解析式为______（答案：\( y = 4(x + 2)^2 \)） 函数 \( y = -5(x - 1)^2 \) 的顶点坐标是______，对称轴是______（答案：(1,0)；x=1） 提升题 已知抛物线 \( y = a(x - h)^2 \) 开口向上，对称轴 x=-1，顶点在 x 轴上，求其解析式的一个可能形式（答案：如 \( y = 2(x + 1)^2 \)） 第 10 页：课堂小结与作业布置 小结 平移规律：左加右减，形状不变 核心性质：顶点 (h,0)，对称轴 x=h，开口由 a 定 思想方法：数形结合、类比转化 作业 必做：教材习题中相关基础题 选做：探究 \( y = 2(x - 1)^2 \) 与 \( y = 2(x + 1)^2 \) 的图象关系 2025-2026学年华东师大版数学九年级下册【示范课精品课件】 授课教师： . 班 级： . 时 间： . 26.2.2.2二次函数y＝a(x－h)2的 图象与性质 第26章　二次函数 a i T u j m i a N g 复习引入 情景导入 a,k的符号 a>0，k>0 a>0，k<0 a<0，k>0 a<0，k<0 图象 开口方向 对称轴 顶点坐标 函数的增减性 最值 向上 向下 y 轴（直线 x = 0 ） y 轴（直线 x = 0） （0，k） （0，k） 当x<0时，y随x增大而减小；当x>0时，y随x增大而增大. 当x<0时，y随x增大而增大；当x>0时，y随x增大而减小. x = 0 时，y最小值 = k x = 0 时，y最大值 = k 问题1 说说二次函数 y = ax2 + k (a≠0) 的图象特征. 课堂练习 问题2 二次函数 y = ax2 + c (a≠0) 与 y = ax2 的图象有何关系？ 二次函数 y = ax2 + c (a≠0) 的图象可以由 y = ax2 (a≠0)的图象平移得到： 当 c ＞ 0 时，向上平移 c 个单位长度得到； 当 c ＜ 0 时，向下平移 -c 个单位长度得到. 问题3 函数 的图象，能否由函数 的 图象平移得到？ 形状开口均相同，应该也能. 课堂练习 互动探究 引例：在如图所示的坐标系中，画出二次函数 与 的图象． 解：先列表： x ··· −3 −2 −1 0 1 2 3 ··· ··· ··· ··· ··· 二次函数 y = a(x - h)2 (a ≠ 0) 的图象和性质 课堂练习 x y −4 −3 −2 −1 O 1 2 3 4 1 2 3 4 5 6 描点、连线，画出这两个函数的图象 课堂练习 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 向上 向上 y 轴 直线 x = 2 (0，0) (2，0) 根据所画图象，填写下表： 课堂练习 x ··· −3 −2 −1 0 1 2 3 ··· ··· ··· ··· ··· −2 −4.5 −2 0 0 −2 −2 −4.5 −8 −8 -2 2 -2 -4 -6 4 -4 O x y 试一试 画出二次函数 的图象，并考察它们的开口方向、对称轴和顶点． 课堂练习 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 向下 直线 x = -1 (−1，0) 直线 x = 0 直线 x = 1 向下 向下 (0，0) (1，0) 想一想：通过上述例子，得出函数 y = a(x - h)2 的图象特征和性质是什么？ -2 2 -2 -4 -6 4 -4 O x y 课堂练习 二次函数 y = a(x - h)2 (a≠0) 的性质 y=a(x-h)2 a＞0 a＜0 开口方向 对称轴 顶点坐标 最值 增减性 知识要点 向上 向下 直线 x = h 直线 x = h (h，0) (h，0) 当 x = h 时，y最小值 = 0 当 x = h 时，y最大值 = 0 当 x＜h 时，y 随 x 的增大而减小；x＞h 时，y 随 x 的增大而增大. 当 x＜h 时，y 随 x 的增大而增大；x＞h 时，y随 x 的增大而减小. 课堂练习 若抛物线 y＝3(x＋ )2 的图象上有三个点A(－3 ，y1)，B(－1，y2)，C(0，y3)， 则 y1，y2，y3 的大小关系为___________． 练一练 y2＜y3＜y1 O -1 x y A′ C B 解析：如图所示.抛物线的对称轴为 x＝－ ， 当 x＞－ 时，y 随 x 的增大而增大. 点 A 在抛物线上的对称点 A′ 的 坐标为( ，y1)， 则根据图像可得 y2＜y3＜y1. 课堂练习 向右平移 1 个单位 向左平移 1 个单位 想一想 抛物线 ， 与抛物线 有什么关系？ O −2 2 -2 -4 -6 4 −4 x y 形状、大小、开口方向都相同，只是位置不同. 二次函数 y = ax2 与 y = a(x - h)2 (a≠0) 的关系 课堂练习 知识要点 二次函数 y = a(x±h)2 与 y = ax2 (a≠0) 的图象的关系 可以看作互相平移得到 (h > 0)： 左右平移规律： 自变量左加右减，括号外不变. 向右平移 h 个单位 y = a(x - h)2 向左平移 h 个单位 y = ax2 y = a(x + h)2 课堂练习 例1 抛物线 y＝ax2 向右平移 3 个单位长度后经过点 (－1，4)，求 a 的值和平移后的函数关系式． 解：抛物线 y＝ax2 向右平移 3 个单位长度后，得到的抛物线为 y＝a(x－3)2 ， 把 x＝－1，y＝4 代入，得 4＝a(－1－3)2，解得 ∴ 平移后的函数关系式为 y＝ (x－3)2. 方法总结：根据抛物线左右平移的规律，向右平移 3个单位后，a 不变，自变量 x 应“减去 3”；若向左平移 3 个单位，自变量 x 应“加上 3”，即“左加右减”. 课堂练习 将二次函数 y＝－2x2 的图象平移后，可得到二次函数 y＝－2(x＋1)2 的图象，平移的方法是(　　) A．向上平移 1 个单位　　B．向下平移 1 个单位 C．向左平移 1 个单位　　D．向右平移 1 个单位 解析：抛物线 y＝－2x2 的顶点坐标是(0，0)，抛物线 y＝－2(x＋1)2 的顶点坐标是(－1，0)．则由二次函数 y＝－2x2 的图象向左平移1个单位即可得到二次函数 y＝－2(x＋1)2 的图象．故选C. 练一练 C 课堂练习 1. 指出下列函数图象的开口方向，对称轴和顶点坐标. 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 向上 直线 x = 3 (3，0) 直线 x = 2 直线 x = 1 向下 向上 (2，0) (1，0) 课堂练习 2. 如果二次函数 y＝a(x﹣1)2 (a≠0) 的图象在它的对称轴右侧部分是上升的，那么 a 的取值范围是______． a＞0 3. 把抛物线 y = -x2 沿着 x 轴方向平移 3 个单位长度，那么平移后的抛物线解析式是 . y = -(x + 3)2 或 y = -(x - 3)2 4. 若 (- ，y1)，(- ，y2)，( ，y3) 为二次函数 y = (x - 2)2 图象上的三点，则 y1，y2 ，y3 的大小关系为_____________. y1 ＞y2 ＞ y3 课堂练习 5. 在同一坐标系中，画出函数 y＝2x2 与 y＝2(x - 2)2 的图象，并指出两个图象之间的平移关系． 解：图象如图. 函数 y= 2(x - 2)2 的图象可由函数 y= 2x2 的图象向右平移 2 个单位长度得到. y O x y = 2x2 2 课堂练习 返回 1. [教材P13练习T1]对于抛物线y＝2(x－1)2，下列说法正确的有(　　) ①开口向上；②顶点坐标为(0，－1)；③对称轴为直线x＝1；④与x轴的交点坐标为(1，0)． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 C 考试考法 19 返回 A 考试考法 20 返回 C 3．[2024德州期中]已知二次函数y＝3(x－a)2，当x＞2时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是(　　) A．a＜2 B．a≥2 C．a≤2 D．a≤－2 考试考法 21 A 返回 考试考法 22 5．将抛物线y＝ax2向左平移2个单位后， 得到的新抛物线经过点(－4，－4)，则a的值为________． 返回 －1 考试考法 23 返回 6. [教材P11例3]已知函数y＝(x－1)2的图象如图所示． (1)当－2≤x≤－1时，y的取值范围为________； (2)当0≤x≤3时，y的取值范围为_______． 4≤y≤9 0≤y≤4 考试考法 24 7．把抛物线y＝a(x－4)2向左平移6个单位后得到抛物线y＝－3(x－h)2.若抛物线y＝a(x－4)2的顶点为A，且与y轴交于点B，抛物线y＝－3(x－h)2的顶点是M. 考试考法 25 (1)求a，h的值； 【解】∵抛物线y＝a(x－4)2向左平移6个单位后得到抛物线y＝－3(x－h)2，∴a＝－3，4－6＝h，解得h＝－2. 考试考法 26 (2)求S△MAB的值． 返回 考试考法 27 考试考法 28 返回 【答案】 C 考试考法 9．[2024温州实验中学月考]已知二次函数y＝a(x－m)2(a＞0)的图象经过点A(－1，p)，B(3，q)，且p＜q，则m的值不可能为(　　) A．0 B．－2 C．－1 D．2 考试考法 30 平移规律： 自变量 左加右减， 括号外 保持不变. 复习y=ax2+k 探索 y =a(x±h)2的图象及性质 图象画法 图象的特征 描点法 平移法 开口方向及增减性 顶点坐标 对称轴 平移关系 直线 x = h (h，0) a>0，开口向上； a<0，开口向下. y = ax2 课堂小结 必做作业：从教材习题中选取； 选做作业：完成练习册本课时的习题. 作业 谢谢观看！ 2．顶点为(5，0)且开口方向、形状与函数y＝－x2的图象相同的抛物线是(　　) A．y＝－(x－5)2 B．y＝－x2－5 C．y＝－(x＋5)2 D．y＝(x＋5)2 4．若抛物线y＝2(x－1)2经过(m，n)和(m＋3，n)两点，则n的值为(　　) A. B．－ C．1 D．－ 【解】∵抛物线y＝－3(x－4)2的顶点为A，且与y轴交于点B，∴点A(4，0)，B(0，－48)． ∵抛物线y＝－3(x＋2)2的顶点是M， ∴M(－2，0)．∴S△MAB＝×|4－(－2)|×|－48|＝144. 8．[2024南京江宁区竹山中学模拟]如图，在平面直角坐标系中，过点A与x轴平行的直线交抛物线y＝(x＋1)2于点B，C，线段BC的长度为6，抛物线y＝－2x2＋b与y轴交于点A，则b＝(　　) A．1 B．4.5 C．3 D．6 【点拨】根据题意得，点A的坐标为(0，b)，设点C的坐标为(x1，b)，点B的坐标为(x2，b)， 对于抛物线y＝(x＋1)2，当y＝b时，有(x＋1)2＝b， 即x2＋2x＋1－3b＝0，∴x1＋x2＝－2，x1x2＝1－3b. ∵BC＝6，∴x1－x2＝6.∴(x1－x2)2＝36.∴(x1＋x2)2－4x1x2＝36.∴4－4(1－3b)＝36，解得b＝3，故选C. $