26.2.2.1二次函数y＝ax2＋k的图象与性质 课件-2025-2026学年华东师大版数学九年级下册

该初中数学课件聚焦二次函数\(y = ax^2 + k\)的图象与性质，通过复习旧知（6个二次函数实例回顾开口方向等）和情境提问（函数图象画法）搭建学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于以探究活动为主线，通过列表描点画图象、表格对比性质等方式，培养学生抽象能力和几何直观，结合“数”“形”角度分析平移关系，发展推理意识与模型意识。例题与分层练习结合，助力学生理解应用，教师可高效开展教学。

# 二次函数 \( y = ax^2 + k \) 的图象与性质 二次函数 \( y = ax^2 + k \)（其中 \( a eq 0 \)，\( a \)、\( k \) 为常数）是二次函数的基础形式之一，其图象和性质可通过与最简单的二次函数 \( y = ax^2 \) 对比分析，核心是“平移变换”对图象和性质的影响。 ## 一、图象形状与平移规律 ### 1. 图象形状：抛物线 \( y = ax^2 + k \) 的图象仍是**抛物线**，其形状由系数 \( a \) 决定，与 \( y = ax^2 \) 的抛物线“全等”（即开口大小、宽窄完全相同），仅位置不同。 ### 2. 平移规律：上下平移 \( y = ax^2 + k \) 的图象是由 \( y = ax^2 \) 的图象**上下平移 \( |k| \) 个单位**得到的，平移方向由 \( k \) 的符号决定： - 当 \( k > 0 \) 时，向上平移 \( k \) 个单位； - 当 \( k < 0 \) 时，向下平移 \( |k| \) 个单位（或说向上平移 \( k \) 个单位）。 **示例**： - \( y = 2x^2 + 3 \)：由 \( y = 2x^2 \) 向上平移 3 个单位； - \( y = -x^2 - 4 \)：由 \( y = -x^2 \) 向下平移 4 个单位。 ## 二、核心性质（分 \( a > 0 \) 和 \( a < 0 \) 两类） \( y = ax^2 + k \) 的性质可从“开口方向、顶点坐标、对称轴、最值、增减性”五个维度分析，具体如下表： | 性质维度 | 当 \( a > 0 \) 时 | 当 \( a < 0 \) 时 | |------------------|----------------------------------|----------------------------------| | **开口方向** | 向上 | 向下 | | **顶点坐标** | \( (0, k) \)（抛物线的最高点） | \( (0, k) \)（抛物线的最低点） | | **对称轴** | y 轴（即直线 \( x = 0 \)） | y 轴（即直线 \( x = 0 \)） | | **函数最值** | 当 \( x = 0 \) 时，\( y_{\text{最小}} = k \) | 当 \( x = 0 \) 时，\( y_{\text{最大}} = k \) | | **增减性** | - 当 \( x < 0 \)（对称轴左侧）时，\( y \) 随 \( x \) 的增大而减小；<br>- 当 \( x > 0 \)（对称轴右侧）时，\( y \) 随 \( x \) 的增大而增大 | - 当 \( x < 0 \)（对称轴左侧）时，\( y \) 随 \( x \) 的增大而增大；<br>- 当 \( x > 0 \)（对称轴右侧）时，\( y \) 随 \( x \) 的增大而减小 | ## 三、关键结论与易错点 ### 1. 关键结论 - \( a \) 的作用：仅决定抛物线的**开口方向和开口大小**（\( |a| \) 越大，开口越窄；\( |a| \) 越小，开口越宽），与位置无关； - \( k \) 的作用：仅决定抛物线的**上下位置**（即顶点的纵坐标），与开口方向、大小无关； - 无论 \( a \)、\( k \) 取何值（\( a eq 0 \)），抛物线的对称轴始终是 **y 轴**，顶点始终在 **y 轴上**。 ### 2. 易错点 - 混淆平移方向：若 \( k = -2 \)，易误将 \( y = ax^2 - 2 \) 看作“向上平移 2 个单位”，实际应为“向下平移 2 个单位”； - 忽视 \( a eq 0 \)：若 \( a = 0 \)，函数会退化为一次函数 \( y = k \)（常数函数），不再是二次函数，图象也从抛物线变为水平直线。 ## 四、实例分析（以具体函数为例） 以 \( y = 2x^2 + 1 \) 和 \( y = -x^2 - 2 \) 为例，对比性质： | 函数 | \( y = 2x^2 + 1 \)（\( a=2>0 \)，\( k=1 \)） | \( y = -x^2 - 2 \)（\( a=-1<0 \)，\( k=-2 \)） | |--------------------|--------------------------------------------|---------------------------------------------| | 图象来源 | \( y=2x^2 \) 向上平移 1 个单位 | \( y=-x^2 \) 向下平移 2 个单位 | | 开口 | 向上，开口较窄（\( |a|=2 \) 较大） | 向下，开口较宽（\( |a|=1 \) 较小） | | 顶点 | \( (0,1) \)（最低点） | \( (0,-2) \)（最高点） | | 最值 | 最小值 \( 1 \)（\( x=0 \) 时） | 最大值 \( -2 \)（\( x=0 \) 时） | | 增减性（\( x>0 \)） | \( y \) 随 \( x \) 增大而增大 | \( y \) 随 \( x \) 增大而减小 | 通过以上分析，可快速掌握 \( y = ax^2 + k \) 的本质——它是 \( y = ax^2 \) 的“上下平移版”，核心性质仅需在 \( y = ax^2 \) 的基础上，结合 \( k \) 的平移作用即可推导。 2025-2026学年华东师大版数学九年级下册【示范课精品课件】 授课教师： . 班 级： . 时 间： . 26.2.2.1二次函数y＝ax2＋k的 图象与性质 第26章　二次函数 a i T u j m i a N g 已知二次函数 ① y = -x2； ② y = x2； ③ y = 15x2； ④ y = -4x2； ⑤ y = - x2； ⑥ y = 4x2. (1)其中开口向上的有 (填题号)； (2)其中开口向下，且开口最大的是 (填题号)； (3)当自变量由小到大变化时，函数值先逐渐变大，然后逐渐变小的有 (填题号). ②③⑥ ⑤ ①④⑤ 复习引入 情景导入 这个函数的图象是如何画出来的？ 情境引入 x y O 情景导入 例1 在同一直角坐标系中，画出二次函数 与 的图象. 探究归纳 解：先列表： x ··· －3 －2 －1 0 1 2 3 ··· ··· ··· ··· ··· 二次函数 y=ax2+k 的图象与性质 探究新知 x y -4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 1 2 3 4 5 6 描点、连线，画出这两个函数的图象： 探究新知 观察与思考 抛物线 ， 的开口方向、对称轴和顶点各是什么？ 抛物线 开口方向 顶点坐标 对称轴 向上 向上 （0，0） （0，1） y 轴 y 轴 想一想：通过上述例子，你能得出函数 y = ax2 + k(a＞0)的性质是什么？ 探究新知 做一做 在同一坐标系内画出 下列二次函数的图象： 2 y -2 -2 4 2 -4 x O 二次函数y=ax2+k的图象和性质(a＜0) 探究新知 根据图象回答下列问题： (1) 图象的形状都是 ； (2) 三条抛物线的开口方向______； (3) 对称轴都是__________； (4) 从上往下三个顶点坐标分别是 _____________________； 抛物线 向下 直线 x = 0 (0，0) (0，2) ( 0，-2) 探究新知 (5) 顶点都是最____点，对应函数都有最____值，从上而下最大值分别为______、_______﹑_______； (6) 对应函数的增减性都相同： ____________________________ ____________________________. 高 大 y = 0 y = -2 y = 2 对称轴左侧 y 随 x 增大而增大， 对称轴右侧 y 随 x 增大而减小 探究新知 二次函数 y = ax2 + k（a ≠ 0）的性质 y = ax2 + k a＞0 a＜0 开口方向 向上 向下 对称轴 y 轴 y 轴 顶点坐标 （0，k） （0，k） 最值 当 x = 0 时，y最小值 = k 当 x = 0 时，y最大值 = k 增减性 当 x＜0 时，y 随 x 的增大而减小；x＞0 时，y 随 x 的增大而增大 当 x＞0 时，y 随 x 的增大而减小；x＜0 时，y 随 x 的增大而增大 知识要点 探究新知 例2 已知二次函数 y＝ax2 + c，当 x 取 x1，x2 (x1 ≠ x2) 时函数值相等，则当 x＝x1 + x2 时，其函数值为_____. 解析：由二次函数 y＝ax2 + c 图象的对称性可知，x1，x2 必然关于 y 轴对称，即 x1 + x2＝0. 把 x＝0 代入二次函数关系式，即得所求函数值. c 【方法总结】二次函数 y＝ax2 + c 的图象关于 y 轴对称，因此左右两部分折叠可以重合，函数值相等的两点的对应横坐标互为相反数. 探究新知 探究归纳 做一做：在同一直角坐标系中，画出二函数 y = 2x2 + 1 与 y = 2x2 - 1 的图象． 解：先列表： x ··· －2 －1.5 －1 0 1 1.5 2 ··· y = 2x2＋1 ··· ··· y = 2x2－1 ··· ··· 9 5.5 3 1 3 5.5 9 7 3.5 1 -1 1 3.5 7 二次函数 y = ax2 + c 的图象及平移 探究新知 4 x y O －2 2 2 4 6 －4 8 10 －2 y = 2x2＋1 y = 2x2－1 (1) 抛物线 y = 2x2+1，y = 2x2-1 的开口方向、对称轴和顶点各是什么？ y = 2x2 向上 (0，0) y轴 y = 2x2＋1 y = 2x2－1 二次函数 开口方向 顶点坐标 对称轴 向上 向上 (0，1) (0，-1) y轴 y轴 探究新知 (2) 抛物线 y = 2x2+1，y = 2x2-1与抛物线 y = 2x2 有什么关系？ 4 x y O －2 2 2 4 6 －4 8 10 －2 y = 2x2＋1 y = 2x2－1 可以发现，把抛物线 y = 2x2 向 平移 1 个单位长度，就得到抛物线 ；把抛物线 y = 2x2 向 平移 1 个单位长度，就得到抛物线 y = 2x2 - 1. 下 y = 2x2+1 上 探究新知 解析式 y = 2x2 y = 2x2 + 1 y = 2x2 - 1 + 1 - 1 点的坐标 函数对应值表 x … … y = 2x2 - 1 … … y = 2x2 … … y = 2x2 + 1 … … 4.5 -1.5 3.5 5.5 -1 2 1 3 x 2x2 2x2 - 1 (x, ) (x, ) (x, ) 2x2 - 1 2x2 2x2 + 1 从“数”的角度探究 2x2 + 1 二次函数 y = ax2 + k 的图象与平移 探究新知 y = 2x2 + 1 y = 2x2 - 1 可以发现，把抛物线 y = 2x2 向 平移 1 个单位长度，就得到抛物线 ；把抛物线 y = 2x2 向 平移 1 个单位长度，就得到抛物线 y = 2x2 - 1. 下 y = 2x2 + 1 上 从“形”的角度探究 4 x y O -2 2 2 4 6 -4 8 10 -2 探究新知 二次函数 y = ax2 + k 的图象可以由 y = ax2 的图象平移得到： 当 k＞0 时，向上平移 k 个单位长度得到； 当 k＜0 时，向下平移 -k 个单位长度得到. 二次函数 y = ax2 与 y = ax2 + k (a ≠ 0) 的图象的关系 上下平移规律： 平方项不变，常数项上加下减. 知识要点 探究新知 二次函数 y＝－3x2＋1 的图象是将(　　) A．抛物线 y＝－3x2 向左平移 3 个单位得到 B．抛物线 y＝－3x2 向左平移 1 个单位得到 C．抛物线 y＝3x2 向上平移 1 个单位得到 D．抛物线 y＝－3x2 向上平移 1 个单位得到 练一练 D 探究新知 想一想 1. 画抛物线 y = ax2 + k 的图象有几步？ 2. 抛物线 y = ax2 + k 中的 a 决定什么？k 决定什么？它的对称轴是什么？顶点坐标怎样表示？ 第一种方法：平移法，两步即第一步画 y = ax2 的图象，再向上（或向下）平移 |k| 个单位. 第二种方法：描点法，三步即列表、描点和连线. a 决定开口方向和大小；k 决定顶点的纵坐标； 对称轴：y 轴；顶点坐标：(0，k ). 探究新知 解：抛物线 y＝x2－4 中，令 y＝0，得 x＝±2， 即 A 点的坐标为 (-2，0)，B点的坐标为 (2，0)， ∴ AB＝4. 设 P 点纵坐标为 b. ∵ S△PAB＝4， ∴ ×4|b|＝4，解得 b＝±2. 当 b＝2 时，令 x2 - 4＝2，解得 x＝± ； 当 b＝-2 时，令 x2 - 4＝-2，解得 x＝± . 故 P 点坐标为 ( ，2)或(- ，2)或( ，-2)或(- ，-2). 例3 如图，抛物线 y＝x2－4 与 x 轴交于 A、B 两点，点P 为抛物线上一点，且 S△PAB＝4，求 P 点的坐标． 探究新知 1. 将抛物线 y = 2x2 向下平移 4 个单位，就得到抛物线 ___________． 2. 填表： y = 2x2 - 4 函数 开口方向 顶点 对称轴 有最高/低点 y = 3x2 y = 3x2 + 1 y = -4x2 - 5 向上 向上 向下 (0，0) (0，1) (0，-5) y 轴 y 轴 y 轴 有最低点 有最低点 有最高点 课堂练习 3. 已知 (m，n) 在 y = ax2 + a (a≠0) 的图象上，则 (-m，n)____(填“在”或“不在”) y = ax2 + a (a 不为 0) 的图象上. 4. 若 y = x2 + (k - 2) 的顶点是原点，则 k____；若顶点位于 x 轴上方，则 k____；若顶点位于 x 轴下方，则 k . 在 = 2 ＞2 ＜2 课堂练习 5. 不画函数 y = -x2 和 y = -x2 + 1 的图象回答下面的问题： （1）抛物线 y = -x2 + 1 经过怎样的平移才能得到抛物线 y = -x2 ？ （2）对于函数 y = -x2 + 1，当 x 时，y 随 x 的增大而减小；当 x 时，函数 y 有最大值，最大值是 ；其图象与 y 轴的交点坐标是 ，与 x 轴的交点坐标是 . （3）试说出抛物线 y = x2 - 3 的开口方向、对称轴和顶点坐标. 向下平移 1 个单位. ＞0 = 0 1 (0，1) (-1，0)，(1，0) 开口向上，对称轴是 y 轴，顶点坐标 (0，-3). 课堂练习 能力提升 6. 对于二次函数 y = mxm2-m + 3，当 x＞0 时，y 随 x 的增大而增大，则 m =____. 7. 已知抛物线 y = (a - 2)x2 + a2 - 2 的最高点为 (0，2)，则 a =_____. 8. 抛物线 y = ax2 + c 与 x 轴交于A (-2，0)、B 两点，与 y 轴交于点 C (0，-4)，则△ABC 的面积是_____. 2 -2 8 课堂练习 9. 在同一直角坐标系中，一次函数 y＝ax＋k 和二次函数 y＝ax2＋k 的图象可能是 (　　) 方法总结：熟记一次函数 y＝kx＋b 在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质(开口方向、对称轴、顶点坐标等)是解决问题的关键． D 课堂练习 2．[2024广州期中]关于二次函数y＝－3x2＋5，下列说法中正确的是(　　) A．图象的开口向上　 B．当x＞－1时，y随x的增大而增大　 C．图象的顶点坐标是(0，5)　 D．当x＝0时，y有最小值是5 返回 C 考试考法 26 考试考法 27 【答案】 A 考试考法 考试考法 29 返回 返回 【答案】 D 考试考法 4．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2－b与y＝ax＋b(ab≠0)的图象大致为(　　) C 返回 考试考法 31 5．[2024东莞南城阳光实验中学一模]已知点(－4，y1)、(－1，y2)、(2，y3)都在函数y＝－x2＋1的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为_________． 返回 y2>y3>y1 考试考法 32 考试考法 33 (2)画出平移后的函数图象； x －4 －2 0 2 4 y －6 0 2 0 －6 其函数图象如图所示： 考试考法 34 返回 (3)直接写出平移后的函数的最大值或最小值及对应的x的值． 【解】平移后的函数的最大值为2，此时x＝0. 考试考法 35 二次函数 y = ax2 + k (a ≠ 0) 的图象和性质 图象 性质 与 y = ax2的关系 1. 开口方向由 a 的符号决定； 2. k 决定顶点位置；3. 对称轴是 y 轴 增减性结合开口方向和对称轴才能确定 平移|k|个单位： k 正→向上平移； k 负→向下平移 课堂小结 必做作业：从教材习题中选取； 选做作业：完成练习册本课时的习题. 作业 谢谢观看！ 3. 如图，两条抛物线y1＝－x2＋1，y2＝－x2－1与分别经过点(－2，－1)，(2，－3)，且平行于y轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为(　　) A．8 B．6 C．10 D．4 【点拨】∵两个二次函数表达式的二次项系数相同， ∴两条抛物线的形状完全相同． 由题意，得y1－y2＝－x2＋1－(－x2－1)＝2， ∴S阴影＝(y1－y2)×|2－(－2)|＝2×4＝8，故选A. [变式] 两条抛物线y1＝－x2＋b，y2＝－x2－b与分别经过点(－2，0)，(2，0)且平行于y轴的两条平行线围成的部分的面积为8，则b等于(　　) A．1 B．－3 C．4 D．－1或1 【点拨】∵两个二次函数表达式的二次项系数相同， ∴两条抛物线的形状完全相同． 由题意，得y1－y2＝－x2＋b－＝2b. ∴|2b|×|2－(－2)|＝8.∴|b|＝1.∴b＝±1.故选D. 6. [教材P10练习T1]把y＝－x2的图象向上平移2个单位． (1)求新图象的函数表达式、顶点坐标和对称轴； 【解】把y＝－x2的图象向上平移2个单位后得到新图象的函数表达式为y＝－x2＋2，所以它的顶点坐标是(0，2)，对称轴是直线x＝0，即y轴． 【解】由y＝－x2＋2，得 $