4.2 对数与对数函数（题型专练）数学人教B版2019必修第二册

4.2 对数与对数函数 题型一 对数的概念与求值 1．（25-26高一上·全国·课前预习）使式子有意义的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数的底大于零且不等于1，真数大于零列出不等式组，解不等式组即可. 【详解】由对数的概念得，解得或， 故的取值范围是. 故选：D. 2．（24-25高一上·全国·周测）对数式中实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数函数的定义和性质，得到关于的不等式组，求解即可得到答案. 【详解】由对数式有意义得 解得. 故选：C. 题型二 对数运算 1．（24-25高一上·北京大兴·期末）方程的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据真数大于零解得或，再将1转化为，即可解得，都使得方程有意义，即可知正确选项. 【详解】由题意，，解得或， 由，得，则，解得，所以方程的解集为. 故选：D. 2．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）计算（    ） A．7 B．9 C．10 D．20 【答案】D 【分析】利用指数运算及对数的定义计算得解. 【详解】. 故选：D 题型三 指数式与对数式的互化 1．（25-26高三上·天津红桥·开学考试）已知 则 ． 【答案】1 【分析】根据指数与对数的关系，将指数式转化为对数式，再利用对数的运算性质进行计算。 【详解】由可得， 所以，. 故答案为：1. 2．（24-25高一下·福建泉州·开学考试）求下列各式中的值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)或； (2)； (3)． 【分析】（1）根据条件，利用特殊的对数值，得到，即可求解； （2）根据条件，利用特殊的对数值及对数的定义，得到，且不为，即可求解； （3）根据条件，利用特殊的对数值及对数的定义，即可求解. 【详解】（1）因为，所以，解得或. （2）因为，所以，解得或， 当时，，不符合题意， 当时，，所以. （3）因为，所以，所以，故． 题型四 对数式的化简与求值 1．（24-25高一下·广西南宁·阶段练习）计算下列各式： (1)； (2). 【答案】(1)8； (2)0. 【知识点】对数的运算、指数式与对数式的互化、指数幂的运算 【分析】（1）利用指数运算法则及指数式与对数式的互化关系计算. （2）利用对数运算法则计算得解. 【详解】（1）. （2）. 2．（25-26高一上·全国·单元测试）求解下列问题： (1)在①，②中任选一个求值； (2)已知，，试用a，b表示． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）根据对数的运算性质求解即可； （2）结合换底公式及对数的运算性质求解即可. 【详解】（1）选①，原式 ． 选②，原式 ． （2）因为， 所以． 3．（2025高一·全国·专题练习）求值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2)2 (3)2 【分析】（1）注意到同一对数式中底数和真数互为倒数，进而利用这一关系求解即可； （2）方法一：逆用对数运算性质，化为对数单项式即可求解； 方法二：正用对数运算性质，统一真数即可求解； （3）注意到各对数式底数均不相同，运用换底公式消除底数的差异即可求解. 【详解】（1）原式． （2）方法一：原式． 方法二：原式 ． （3）原式． 题型五 恒等式的证明 1.．（22-23高一·全国·随堂练习）已知：，求证：． 【答案】证明见详解 【分析】将指数式化为对数式，再结合对数运算以及换底公式运算分析证明. 【详解】设，显然， 则，可得， 所以. 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）（1）利用关系式证明换底公式：； （2）利用（1）中的换底公式求值：； （3）利用（1）中的换底公式证明：． 【答案】（1）证明见解析；（2）8；（3）证明见解析； 【分析】（1）由题设条件结合对数的运算证明即可； （2）利用换底公式证明即可； （3）利用换底公式证明即可. 【详解】解答：（1）证明： 设，则，化为， 又，所以； （2）解：； （3）证明： ． 所以． 题型六 对数函数的判断与求值 1．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知函数，则（   ） A．0 B．1 C．2 D． 【答案】A 【分析】根据分段函数解析式计算可得. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：A 2．（2023高一上·上海·专题练习）下列函数中，哪些是对数函数？ (1)； (2) (3)； (4)； (5)． 【答案】(1)不是对数函数 (2)不是对数函数 (3)不是对数函数 (4)不是对数函数 (5)是对数函数 【分析】利用对数函数的定义判断. 【详解】（1）该函数解析式中真数不是自变量，不是对数函数． （2）该函数解析式中对数式后加2，所以不是对数函数． （3）该函数解析式中真数为，不是，系数不为1，故不是对数函数． （4）该函数解析式中底数是自变量，并非常数，所以不是对数函数． （5）该函数解析式中底数是6，真数为，符合对数函数的定义，故是对数函数． 题型七 对数函数的解析式与求值 1．（24-25高一上·福建福州·阶段练习）已知函数，若图象过点，则的值为（    ） A．－2 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】首先代入点求函数的解析式，再求函数值. 【详解】由条件可知，，得， 所以. 故选：B 2．（24-25高一下·山东潍坊·开学考试）已知，则 . 【答案】 【分析】利用换元法即可得到函数解析式. 【详解】令，因为，则， ，，， 则. 故答案为：. 题型八 对数（型）函数的定义域 1．（25-26高一上·新疆·期中）函数的定义域是 . 【答案】且 【分析】根据函数的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可. 【详解】根据函数，可列出不等式组，得，解得且， 故函数的定义域为且. 故答案为：且. 2．（24-25高一下·贵州毕节·期末）函数的定义域为 . 【答案】 【分析】根据具体函数定义域的求法直接可得解. 【详解】由已知， 则， 解得或， 即函数的定义域为， 故答案为：. 题型九 根据对数（型）函数的定义域求参数（范围） 1．（24-25高一上·江苏连云港·阶段练习）已知函数的定义域是，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意解决一元二次不等式恒成立问题，根据对数函数和二次函数的性质求得结果即可． 【详解】由题意可得在上恒成立， 时，不等式为，恒成立； 时，应满足 解得， 综上知，的取值范围是． 故答案为：． 2．（20-21高一下·上海·课后作业）若函数定义域为R，求实数a的取值范围. 【答案】 【分析】要使的定义域为R，则对任意的实数x都有恒成立，则有，求解即可. 【详解】由题意可得，要使的定义域为R，则对任意的实数x都有恒成立， 故有，解得， 即实数a的取值范围为. 题型十 对数函数图象过定点问题 1．（25-26高一上·全国·单元测试）若函数（且）的图象恒过定点，且点在指数函数的图象上，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数函数恒过定点分析得出点坐标，再设指数函数，代入点即可得出结果． 【详解】由对数函数恒过定点得函数恒过定点，设指数函数（且），则，故． 故选：A． 2．（24-25高一上·全国·课前预习）已知函数（，）的图象恒过定点，若点也在函数的图象上，则 ． 【答案】 【分析】通过对数函数的性质求出定点的坐标，再将点坐标代入函数求出的值，最后把代入得出结果. 【详解】对于函数，因为恒成立. 令，解得 把代入函数，解得. 所以函数过定点. ，. 故. 所以． 故答案为：. 题型十一 对数（型）函数图象的判断 1．（24-25高一上·广东茂名·期末）如图，①②③④中不属于函数的一个是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】根据对数函数的图象性质与底数之间的关系判断即可. 【详解】根据题意函数中两个底数，图象单调递增，故③，④满足题意. 根据增长规律，“在定点右边，顺时针底数越来越大”，知道③对应，④对应. 由于函数，则它与关于x轴对称，且①与④关于x轴对称.故函数图象为①. 则②不属于函数的一个. 故选：B. 2．（24-25高一上·全国·课前预习）函数与的图象只可能是下图中的（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】由一次函数图象得出的取值范围，利用对数函数的图象和性质逐项判断可得. 【详解】A中，由的图象知，则为增函数，A错； B中，由的图象知，则为减函数，B错； C中，由的图象知，则为减函数，所以C对； D中，由的图象知，此时无意义，D错． 故选：C. 3．（24-25高一上·福建泉州·期末）函数的图象可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求函数的定义域，再取特殊值即可求解. 【详解】令，由或， 所以的定义域为，故可以排除AB选项， 令有，故C错误，D正确. 故选：D. 题型十二 对数函数图象的应用 1．（24-25高一上·山东日照·阶段练习）如图，函数的图象为折线，且线段的中点坐标为，则不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】先作函数图象，再求交点，最后根据图象确定解集. 【详解】根据题意有：， 在同一坐标中作出函数与的图象: 当时，，所以与的交点为， 由图可有的解集为：. 故答案为： 2．（24-25高一上·黑龙江牡丹江·期中）若函数的图象经过第一、二、三象限，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据底数大于1的对数函数的性质，得出满足条件的图象只需满足即可得解. 【详解】根据对数函数的性质可知，函数在定义域上单调递增， 要使函数的图象经过第一、二、三象限， 则，即，所以， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 3．（25-26高一上·全国·课后作业）当时，不等式恒成立，则a的取值范围是 ． 【答案】 【详解】设，要使当时，不等式恒成立，只需在上的图象在在上的图象的下方即可，所以．当时，如图所示，要使在区间上，的图象在的图象下方，只需，即，即，解得． 题型十三 求对数（型）函数在区间的值域 1．（24-25高一上·上海长宁·期末）对数函数在区间上的最大值比最小值大2，则实数为 ． 【答案】 【分析】根据对数函数的单调性，结合已知列出方程，求解即可得出答案. 【详解】由已知可得，对数函数在区间上单调递增. 又对数函数在区间上的最大值比最小值大2， 所以，解得. 故答案为：. 2．（2025·河南·三模）函数的定义域为 ，值域为 . 【答案】 【分析】先求证恒成立，即可由得出定义域，再化简即可求出值域. 【详解】因为，所以恒成立， 由，得，则的定义域为， ，故的值域为. 故答案为：； 3．（25-26高一上·全国·课堂例题）函数，当时，求该函数的值域. 【答案】 【分析】根据对数的运算性质，结合换元法、对数的单调性，二次函数的性质，即可进行求解. 【详解】由， 令，则有， 因为，所以，因此， 所以函数的值域为. 题型十四 根据对数（型）函数的值域求参数 1．（24-25高一下·四川南充·期中）已知函数的值域为的值域为，则（   ） A．0 B．1 C．3 D．5 【答案】A 【分析】由指数函数的单调性可得函数的值域为，可得的值，再结合对数函数的单调性得的最小值为9，从而可得的值，即可得解． 【详解】因为，所以， 即函数的值域为，所以， 因为的值域为， 所以的最小值为9，所以，解得， 所以． 故选：A． 2．（24-25高一下·上海·阶段练习）已知常数且，若函数的定义域和值域都是，则 ． 【答案】 【分析】分、两种情况讨论，结合函数的单调性计算可得. 【详解】若，则在上单调递增， 则，解得； 若，则在上单调递减， 又当时，所以函数在上的值域不可能为，故舍去； 综上可得. 故答案为： 3．（2025高一·全国·专题练习）已知函数的值域为，则函数的定义域为 . 【答案】 【分析】首先由的值域为求出函数的定义域，进而求得的定义域. 【详解】因为的值域为，可得，即， 所以的定义域为， 故函数应满足，即， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 题型十五 对数（型）函数的单调性判断与单调区间 1．（24-25高一上·广东广州·期末）下列函数中，在区间上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据基本初等函数的单调性即可求解ABC，根据指数型复合函数的单调性即可求解D. 【详解】对于A, 在单调递增，故A错误， 对于B，在上单调递减，B正确， 对于C，在单调递增，故C错误， 对于D，在单调递增，在单调递减，故D错误， 故选：B 2．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数的图象如图所示，则函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复合函数的单调性法则，结合图象找出使得函数单调递减以及满足对应的的取值范围即可． 【详解】因为在上为减函数， 所以只要求得的单调递减区间，且即可． 由图可知，使得函数单调递减且满足的的取值范围是和． 因此，函数的单调递增区间为． 故选：C. 3．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）函数的单调递减区间为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，求出函数的定义域，再利用二次函数、对数函数单调性，结合复合函数单调性求出递减区间. 【详解】由，即，解得，则函数的定义域为， 令，函数在上单调递增，在上单调递减， 而函数在上单调递减，所以的单调递减区间为. 故选：B 题型十六 比较函数值的大小 1．（24-25高一下·四川南充·期中）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先分别求出的值，再根据对数函数与指数函数的单调性判断、的取值范围，最后比较、、的大小． 【详解】根据对数恒等式（），可得． 对于对数函数，因为底数，所以该函数在上单调递增． 又因为，，且，所以，即． 对于指数函数，因为底数，所以该函数在上单调递增． 又因为，所以． 由以上分析可知，即． 故选：B． 2．（24-25高一上·北京·期中）比较，，的大小关系，结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数函数，对数函数的性质，在中插入中间值进行比较. 【详解】根据指数函数的性质知， 因为是增函数，所以，故； 因为是减函数，所以， 于是，即. 故选：B. 3．（24-25高一下·河南新乡·期末）若实数a，b，c满足，则a，b，c的大小关系不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意分别写出a，b，c的表达式，画出图象比较即可. 【详解】令，则． 函数的大致图象如图所示． 当时，，即； 当时，，即； 当时，，即； 当时，，即． 故选：C. 题型一 由对数（型）函数的单调性求参数 1．（25-26高一上·全国·课后作业）若函数在区间（2,4）上单调递增，则的取值范围是（    ） A．（0,2） B． C． D． 【答案】C 【分析】利用复合函数的单调性及对数函数的定义域计算即可． 【详解】因为在区间（2,4）上单调递增， 底数，函数在定义域上单调递减， 则可得在区间（2,4）上单调递减且恒为正， 所以且，所以. 故选：C． 2．（24-25高一上·山西太原·期末）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】要使在上单调递增，需要在上也单调递增且在上恒成立.我们将分情况讨论的取值范围. 【详解】当时，此时，这是一个一次函数，其斜率，函数在上单调递减，不满足在上单调递增的条件，所以. 当时，对于二次函数，其对称轴为. 要使在上单调递增，则对称轴，即. 同时，要使在上恒成立，即当时，， 解不等式，得到，即.综合起来，. 当时，二次函数的图象开口向下，在上不可能单调递增，所以这种情况不符合要求. 综上，实数的取值范围是. 故选；C. 3．（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）函数与在区间上的单调性相同，则实数a的取值范围是 【答案】 【分析】根据指、对数函数单调性运算求解即可. 【详解】因为在区间上单调递减， 若函数与在区间上的单调性相同， 则，解得， 所以实数a的取值范围为. 故答案为：. 题型二 应用对数函数的单调性解不等式 1．（24-25高一下·甘肃平凉·阶段练习）已知函数在上单调递增，且，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由分段函数的单调性结合指数和对数函数的单调性求出a，再由单调性解抽象函数不等式即可. 【详解】因为函数在上单调递增， 则，所以， 又，所以，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：C 2．（24-25高一上·全国·课前预习）已知，则x的取值范围为 ； 【答案】 【分析】根据对数函数的单调性解不等式即可. 【详解】函数在上为减函数， 由得解得， 即的取值范围是． 故答案为： 3．（25-26高一上·云南·期中）已知函数是指数函数. (1)求的表达式； (2)判断的奇偶性，并加以证明； (3)解不等式：. 【答案】(1) (2)是奇函数，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据指数函数的定义可求出，写出函数表达式. （2）根据奇函数的定义证明即可. （3）利用单调性解不等式并注意真数大于0即可. 【详解】（1）依题意，，解得或， 而，故， 所以. （2）由（1）知，定义域为R，， 所以函数是奇函数. （3）不等式化为， 因此，解得， 所以不等式的解集为. 题型三 对数函数的最值问题 1．（24-25高一下·上海·期中）已知函数有最小值，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】需要分别分析函数在不同区间上的情况，通过比较确定的取值范围. 【详解】分析时函数的最小值： 对于函数，将其进行配方可得. 因为，所以当时，取得最小值，此时在这个区间内取得最小值.   分析时函数存在最小值的条件： 当时，. 因为函数有最小值，且时最小值为，所以当时，的最小值要大于等于. 又因为对数函数在上单调递增，所以. 要使存在最小值，则，即，解得.   故答案为：. 2．（24-25高一下·北京·期中）已知函数的图象过点，其中. (1)求及的值； (2)求证：，都有； (3)记函数在上的最大值为，当最小时，求的值. 【答案】(1)，; (2)证明见解析 (3). 【分析】（1）由，及函数解析式即可求解； （2）由和两段讨论即可求证； （3）构造，求得其最值，进而可求解. 【详解】（1）由图象过点， 可得：，解得：， ; （2）由（1）， 当时，，∴， 当时，，∴， 综上，，都有. （3）设，则， ∵在单调递增，且在处取最大值1， 在单调递增，且在处取最小值1， ∴在单调递增，值域为，故, ∴当时，此时，故， 当时，此时不存在， ∴当最小时，. 题型四 对数（型）函数单调性、奇偶性等综合问题 1．（24-25高一上·重庆沙坪坝·期末）已知定义在上的奇函数满足，且时，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】推导出函数的周期为，可得出，结合题中函数的解析式计算可得结果. 【详解】由题知，，则，则函数为周期函数，且其周期为， 因为， ， 因为，则，所以， 所以． 故选：B. 2．（24-25高一上·宁夏石嘴山·期末）已知，，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数解析式可得为偶函数且在上单调递增，由对数运算计算可得结果. 【详解】易知定义域为， 由可知为偶函数， 则， 当时，有，故在上单调递增， 而， 又，即，因此， 故选：A． 3．（25-26高一上·全国·单元测试）已知（，且）． (1)判断的奇偶性； (2)若在区间内的最大值为2，求． 【答案】(1)是偶函数 (2) 【分析】（1）根据函数奇偶性的定义判断即可； （2）根据复合函数的单调性，结合题设讨论求解即可. 【详解】（1）由题意得解得， 则的定义域为，关于原点对称， 且， 所以是偶函数． （2）， ①当时，函数在上单调递增， 则在区间内的最大值为2可转化为在区间内的最大值为， 因为在区间单调递减， 所以， 解得（负值舍会），与矛盾，舍去； ②时，函数在上单调递减， 则在区间内的最大值为2可转化为在区间内的最小值为， 因为在区间单调递减， 所以，解得（负值舍会），满足． 综上，． 4．（24-25高一下·上海·阶段练习）已知函数（且）. (1)讨论的奇偶性与单调性； (2)若不等式的解集为，求的值. 【答案】(1)是奇函数；单调性见解析 (2)或 【分析】（1）先求得复合型对数函数的定义域，再运用奇偶性的定义判断的奇偶性；利用复合函数的单调性判断的单调性，从而得解； （2）利用（1）中结论，分类讨论并转化的等价条件，从而得解. 【详解】（1）对于， 有，解得，故的定义域为， 又 ，故是奇函数； 因为， 易得在上单调递增， 所以当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减； （2）由（1）知，当时，在上单调递增，且为奇函数， 则等价于，即， 则，得； 当时，在上单调递减，且为奇函数， 则等价于，即， 则，得； 综上，或. 1．（24-25高一上·湖南常德·期末）已知正数满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】化简原等式为，构造函数，再根据函数的单调性即可得答案. 【详解】由， 可得， 构造函数， 因为都是增函数， 所以在上递增， 则，且， 所以， 又在单调递增， 所以，故， 故选：C. 2．（24-25高一下·湖北·阶段练习）已知函数的值域为，其中且，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别计算分段函数在每段上的值域，再取并集，根据并集为即可求出范围. 【详解】因在上单调递增，故， 若，则在上单调递减， 因，故， 此时不满足值域为； 若，则在上单调递增， 因，故， 若值域为，则，即， 综上，实数a的取值范围是. 故选：A 3．（24-25高一上·云南红河·期末）已知函数，存在实数且，对于上任意不相等的两个实数，都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造新函数，得到单调性，列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】对于上任意不相等的两实数，都有， 即对于上任意不相等的两实数，都有， 令，所以是在上的增函数，且 ， 所以，所以， 故由题意可知，存在，使得， 所以，且的最大值为， 所以. 故选：D. 4．（多选）（24-25高一下·广西桂林·开学考试）如图，这是函数和的大致图象，其中，图象中在点处形成了4条曲线，从左至右分别记为，则（    ） A．是函数的图象 B．是函数的图象 C．是函数的图象 D．是函数的图象 【答案】BC 【分析】中，令，解得或，同理中，令，解得或，故，再图象中，画出，确定是函数的图象，是函数的图象. 【详解】中，令，则， ，若，则，，解得， 若，则，，解得， 同理中，令，则， ，若，则，，解得， 若，则，，解得， 因为，所以， 作出直线，如下： 显然，是函数的图象，是函数的图象. 故选；BC 5．（多选）（24-25高一上·福建厦门·期末）已知函数，则（   ）． A．的定义域为 B．在区间单调递增 C．的图象关于对称 D． 【答案】ABD 【分析】选项A由对数函数的定义域即可判断；选项B，由复函函数的单调性满足“同增异减”即可判断；选项C，由于，则可判断的正误；选项，结合选项的结论可得，则选项的正误可判断. 【详解】选项A：的定义域为，选项A正确； 选项B：当时，， 因为在区间单调递增， 根据复合函数单调性，所以在区间单调递增，选项B正确； 选项C：， 所以的图象关于点对称，选项C错误； 选项D：由C可知， 所以，即， 因为，所以， 当时，， 因为在为增函数且恒成立， 所以在区间单调递增， 所以， 即，选项D正确． 故选：ABD． 6．（多选）（24-25高一上·江苏连云港·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】构造函数函数，可得函数在是增函数，从而可得，再对选项中结论逐一分析即可. 【详解】对于A，因为，由对数函数的定义域可得， ，，A正确； 对于BD，， 即， 构造函数， 因为在都是增函数， 所以函数在是增函数， 由可得， ，，B错误，D正确， 对于C，因为，，C正确， 故选：ACD. 【点睛】关键点睛：本题解题的关键是构造函数，利用该函数的单调性得到. 7．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数．若，且的值域为，则实数的值为 ． 【答案】0 【分析】令，由题意函数的值域为，则的值域包含，分，求的值域，即可求解． 【详解】令的值域为，则的值域包含． ①当时，，其值域为，满足题意； ②当时，令，函数转化为函数，其图象开口向下， 则的值域为，不满足题意．所以， 故答案为：0． 8．（2025·北京海淀·一模）已知函数（且）．若的值域为，则的一个取值为 ；若的值域为，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】第一空：由时， 的值域为，得到当时需满足求解即可；第二空：由时， 的值域为，得到当时需满足求解即可. 【详解】第一空：当时，易知的值域为， 若的值域为， 则当时，的最大值需满足小于或等于2， 因为在上单调递增， 故需满足：即， 解得：，故的一个取值为； 第二空：当时，易知的值域为， 若的值域为， 则需满足当时，的最小值需满足小于或等于2， 又在上单调递增， 则需满足即， 解得：， 所以的取值范围是. 故答案为：， 9．（23-24高一上·上海青浦·期中）已知为正实数， (1)若，求证:； (2)若，不等式，对任意实数均成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取对数表示，利用换底公式及对数运算法则证明即可； （2）利用均值不等式求出的最小值，解不等式即可求解. 【详解】（1）令且， 则，，， 所以， ， 故成立. （2）由（1）知，，即， 所以， 当且仅当时，即时等号成立， 由恒成立知，成立， 即，解得. 10．（2025高一·全国·专题练习）已知函数． (1)若的定义域为，求实数的取值范围； (2)若的值域为，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意得到在上恒成立，再分类讨论求解即可； （2）根据题意得到的值域必须包含，再分类讨论求解即可. 【详解】（1）函数的定义域为， 则在上恒成立， 当时，恒成立，符合题意； 当时，有，解得． 所以实数的取值范围为． （2）函数的值域为， 则的值域必须包含， 当时，，不符合题意； 当时，有，解得. 所以实数的取值范围为． 11．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数． (1)求的单调区间； (2)若，且，求的取值范围． 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为． (2)． 【分析】（1）对函数进行分段即可得到单调区间； （2）由可得，然后换元根据双勾函数单调性求值域即可. 【详解】（1）函数的定义域为． 当时，；当时，． 又在上单调递增， 故的单调递增区间为，单调递减区间为． （2）的图象如下：    因为且，所以，由图可得，， 所以． 故， 由对勾函数在上单调递减，得， 所以的取值范围是． 12．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知函数． (1)当时，求的最小值； (2)若在上单调递增，求的取值范围． (3)设，若对于任意，存在，使得不等式成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）当时，分析函数的单调性，可求得函数的最小值； （2）利用复合函数的单调性可知，内层函数在上为增函数，且，可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围； （3）由题意可知，对任意的恒成立，可得出对任意的恒成立，参变量分离可得出，利用基本不等式可求得实数的取值范围. 【详解】（1）当时，， 对任意的，恒成立，此时，函数的定义域为， 因为内层函数的减区间为，增区间为， 外层函数为增函数， 由复合函数的单调性可知，函数的减区间为，增区间为， 故. （2）令，因为外层函数在定义域上为增函数，且函数在上单调递增， 则内层函数在上为增函数，且， 即，解得. 因此，实数的取值范围是. （3）对于任意，存在，使得不等式成立， 则对任意的恒成立， 因为， 当时，，故当时，即当时，函数取最小值， 即， 所以，对任意的恒成立， 由可得，参变量分离得， 因为，由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时等号成立，则， 因此，实数的取值范围是. 【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1），； （2），； （3），； （4），. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.2 对数与对数函数 题型一 对数的概念与求值 1．（25-26高一上·全国·课前预习）使式子有意义的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·全国·周测）对数式中实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型二 对数运算 1．（24-25高一上·北京大兴·期末）方程的解集为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）计算（    ） A．7 B．9 C．10 D．20 题型三 指数式与对数式的互化 1．（25-26高三上·天津红桥·开学考试）已知 则 ． 2．（24-25高一下·福建泉州·开学考试）求下列各式中的值： (1)； (2)； (3)． 题型四 对数式的化简与求值 1．（24-25高一下·广西南宁·阶段练习）计算下列各式： (1)； (2). 2．（25-26高一上·全国·单元测试）求解下列问题： (1)在①，②中任选一个求值； (2)已知，，试用a，b表示． 3．（2025高一·全国·专题练习）求值： (1)； (2)； (3)． 题型五 恒等式的证明 1．（22-23高一·全国·随堂练习）已知：，求证：． 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）（1）利用关系式证明换底公式：； （2）利用（1）中的换底公式求值：； （3）利用（1）中的换底公式证明：． 题型六 对数函数的判断与求值 1．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知函数，则（   ） A．0 B．1 C．2 D． 2．（2023高一上·上海·专题练习）下列函数中，哪些是对数函数？ (1)； (2) (3)； (4)； (5)． 题型七 对数函数的解析式与求值 1．（24-25高一上·福建福州·阶段练习）已知函数，若图象过点，则的值为（    ） A．－2 B．2 C． D． 2．（24-25高一下·山东潍坊·开学考试）已知，则 . 题型八 对数（型）函数的定义域 1．（25-26高一上·新疆·期中）函数的定义域是 . 2．（24-25高一下·贵州毕节·期末）函数的定义域为 . 题型九 根据对数（型）函数的定义域求参数（范围） 1．（24-25高一上·江苏连云港·阶段练习）已知函数的定义域是，则实数的取值范围是 ． 2．（20-21高一下·上海·课后作业）若函数定义域为R，求实数a的取值范围. 题型十 对数函数图象过定点问题 1．（25-26高一上·全国·单元测试）若函数（且）的图象恒过定点，且点在指数函数的图象上，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·全国·课前预习）已知函数（，）的图象恒过定点，若点也在函数的图象上，则 ． 题型十一 对数（型）函数图象的判断 1．（24-25高一上·广东茂名·期末）如图，①②③④中不属于函数的一个是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 2．（24-25高一上·全国·课前预习）函数与的图象只可能是下图中的（   ） A．   B．   C．   D．   3．（24-25高一上·福建泉州·期末）函数的图象可以是（    ） A． B． C． D． 题型十二 对数函数图象的应用 1．（24-25高一上·山东日照·阶段练习）如图，函数的图象为折线，且线段的中点坐标为，则不等式的解集是 ． 2．（24-25高一上·黑龙江牡丹江·期中）若函数的图象经过第一、二、三象限，则实数a的取值范围为 . 3．（25-26高一上·全国·课后作业）当时，不等式恒成立，则a的取值范围是 ． 题型十三 求对数（型）函数在区间的值域 1．（24-25高一上·上海长宁·期末）对数函数在区间上的最大值比最小值大2，则实数为 ． 2．（2025·河南·三模）函数的定义域为 ，值域为 . 3．（25-26高一上·全国·课堂例题）函数，当时，求该函数的值域. 题型十四 根据对数（型）函数的值域求参数 1．（24-25高一下·四川南充·期中）已知函数的值域为的值域为，则（   ） A．0 B．1 C．3 D．5 2．（24-25高一下·上海·阶段练习）已知常数且，若函数的定义域和值域都是，则 ． 3．（2025高一·全国·专题练习）已知函数的值域为，则函数的定义域为 . 题型十五 对数（型）函数的单调性判断与单调区间 1．（24-25高一上·广东广州·期末）下列函数中，在区间上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数的图象如图所示，则函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）函数的单调递减区间为（　　） A． B． C． D． 题型十六 比较函数值的大小 1．（24-25高一下·四川南充·期中）已知，，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·北京·期中）比较，，的大小关系，结果为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·河南新乡·期末）若实数a，b，c满足，则a，b，c的大小关系不可能是（    ） A． B． C． D． 题型一 由对数（型）函数的单调性求参数 1．（25-26高一上·全国·课后作业）若函数在区间（2,4）上单调递增，则的取值范围是（    ） A．（0,2） B． C． D． 2．（24-25高一上·山西太原·期末）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）函数与在区间上的单调性相同，则实数a的取值范围是 题型二 应用对数函数的单调性解不等式 1．（24-25高一下·甘肃平凉·阶段练习）已知函数在上单调递增，且，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·全国·课前预习）已知，则x的取值范围为 ； 3．（25-26高一上·云南·期中）已知函数是指数函数. (1)求的表达式； (2)判断的奇偶性，并加以证明； (3)解不等式：. 题型三 对数函数的最值问题 1．（24-25高一下·上海·期中）已知函数有最小值，则实数的取值范围为 ． 2．（24-25高一下·北京·期中）已知函数的图象过点，其中. (1)求及的值； (2)求证：，都有； (3)记函数在上的最大值为，当最小时，求的值. 题型四 对数（型）函数单调性、奇偶性等综合问题 1．（24-25高一上·重庆沙坪坝·期末）已知定义在上的奇函数满足，且时，，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·宁夏石嘴山·期末）已知，，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·全国·单元测试）已知（，且）． (1)判断的奇偶性； (2)若在区间内的最大值为2，求． 4．（24-25高一下·上海·阶段练习）已知函数（且）. (1)讨论的奇偶性与单调性； (2)若不等式的解集为，求的值. 1．（24-25高一上·湖南常德·期末）已知正数满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·湖北·阶段练习）已知函数的值域为，其中且，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·云南红河·期末）已知函数，存在实数且，对于上任意不相等的两个实数，都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（多选）（24-25高一下·广西桂林·开学考试）如图，这是函数和的大致图象，其中，图象中在点处形成了4条曲线，从左至右分别记为，则（    ） A．是函数的图象 B．是函数的图象 C．是函数的图象 D．是函数的图象 5．（多选）（24-25高一上·福建厦门·期末）已知函数，则（   ）． A．的定义域为 B．在区间单调递增 C．的图象关于对称 D． 6．（多选）（24-25高一上·江苏连云港·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数．若，且的值域为，则实数的值为 ． 8．（2025·北京海淀·一模）已知函数（且）．若的值域为，则的一个取值为 ；若的值域为，则的取值范围是 ． 9．（23-24高一上·上海青浦·期中）已知为正实数， (1)若，求证:； (2)若，不等式，对任意实数均成立，求实数的取值范围. 10．（2025高一·全国·专题练习）已知函数． (1)若的定义域为，求实数的取值范围； (2)若的值域为，求实数的取值范围． 11．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数． (1)求的单调区间； (2)若，且，求的取值范围． 12．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知函数． (1)当时，求的最小值； (2)若在上单调递增，求的取值范围． (3)设，若对于任意，存在，使得不等式成立，求的取值范围． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $