精品解析：江苏省江安高级中学2025-2026学年高一上学期学情调研一数学试题

安中学高一年级第一学期学情调研一 数学试题 一、单项选择题（本大题所给出的四个选项中有且仅有一个选项是正确的，共8小题，每小题5分，共计40分．） 1. 若集合，，且，则满足条件的实数的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据并运算结果，可得或，结合集合的性质，即可求得，从而进行选择. 【详解】因为集合，，且， 故可得或，解得或或， 当时，集合不满足互异性，故舍去； 当或时，满足题意. 故满足条件的的个数有个. 故选：C. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分、必要条件的知识确定正确答案. 【详解】由解得； 由解得； 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 3. 下列一定正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】A 【解析】 【分析】利用不等式的性质即可判断求解. 【详解】因为，因为，故，，即，所以，故A正确； 由，得，不一定为1，故B错误； 若，无意义，故C错误； 若，，故D错误． 故选:A. 4. 已知命题，，若命题p是假命题，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求得命题的否定，结合不等式恒成立，求解即可. 【详解】命题，是假命题， ，恒成立是真命题； 当时，恒成立， 当时，需，，解得， 当时，，不可能满足恒成立， 综上可得a的取值范围为. 故选：. 5. 设集合，其中为自然数集，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】化简集合，结合子集的定义即可判断A：求得，即可判断B，C；结合，，即可判断D． 【详解】解：集合，， 对于A，由子集的定义知：，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，因为，，故不成立，故D错误． 故选：C 6. 命题，“关于x的方程的根为正实数”为真命题的一个必要不充分条件是，（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据方程的根为正实数，求得，即可根据真子集关系求解. 【详解】关于x的方程的根为正实数， 则需满足或，解得， 因此“关于x的方程的根为正实数”为真命题的一个必要不充分条件设为， 则， 结合选项可知满足， 故选：B 7. 已知关于x的不等式的解集为，其中，则的最小值为（ ） A. 4 B. C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可知：，m是方程的两根，利用韦达定理可得，再利用基本不等式求最值即可. 【详解】由题意可知：，m是方程的两根，且， 则，可得，， 则，当且仅当时取等号， 所以的最小值为2. 故选：C. 8. 若，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】，再利用基本不等式即可得出答案. 【详解】解： ， 当且仅当时，取等号， 所以的最小值为. 故选：C. 二、多项选择题（本大题所给出的四个选项中有多个选项是正确的，共3小题，每小题6分，共18分） 9. 下列命题中假命题有（ ） A. “”是“”的必要条件 B. “”是“不等式在上恒成立”的充要条件 C. 的最小值是2 D. 的最小值为5 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质可对A判断求解；根据一元二次不等式的性质，以及充要条件的判定，可对B判断；利用基本不等式取等条件可对C判断；当时，，即可对D判断. 【详解】A：根据不等式基本性质的可乘性得当时，若，不一定有，故A为假命题，符合题意； B：充分性：当时，不等式恒成立，故充分性成立； 必要性：当不等式在上恒成立，即，得，故必要性成立； 综上所述：“”是“不等式在上恒成立”的充要条件为真命题，不符合题意； C：因为，所以， 当且仅当，即时取等号，但，所以等号取不到，故最小值不是，故C为假命题，符合题意； D：当时，，故D为假命题，符合题意； 故选：ACD. 10. 若对于任意，不等式恒成立，则实数的值可能是（） A. 2 B. 4 C. D. 5 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解集与的关系即可求解． 【详解】由得，解得， 故不等式对于任意恒成立， 则且，进而得 故均符合， 故选：BCD 11. 已知且，则下列不等式恒成立的是（ ） A. 的最小值为2 B. 的最小值为 C. 的最大值为1 D. 的最大值为2 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，结合基本不等式分析判断；对于B，由化简后利用基本不等式判断；对于C，利用基本不等式分析判断，对于D，对平方后利用基本不等式分析判断. 【详解】对于A，， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为2，故A正确； 对于B， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为，故B错误； 对于C，，故，当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为1，故C正确； 对于D，，故， 当且仅当时，等号成立，所以的最大值为2，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 不等式的解集是_______． 【答案】或， 【解析】 【分析】将分式不等式转化为一元二次不等式即可求解. 【详解】因为，所以，即，即， 所以，解得或， 故原不等式的解集为或， 故答案为：或 13. 已知命题p:“，一元二次不等式”是真命题，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】由题意，结合二次函数性质可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】已知命题，一元二次不等式是真命题. 则，则有，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 14. 若对于任意的实数，恒成立，则实数的最大值是________，此时________． 【答案】 ①. 4 ②. ． 【解析】 【分析】先根据基本不等式得到；再利用一次基本不等式即可求解． 【详解】因为，所以； 所以． （当且仅当时取等号） ∴，此时． 故答案为：4；． 四、解答题（本大题共5小题，第15小题13分，第16~17题每小题15分，第18~19题每小题17分，共77分．） 15. 已知集合，. （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）. （2）或. 【解析】 【分析】（1）根据元素与集合的关系建立方程，求解即可； （2）由已知得，分为，分别求解即可. 【小问1详解】 解：由得，即， 解得； 【小问2详解】 解：因为，所以， 由知可能为； ①当=，即无解，所以， 解得； ②当，即有两个等根为0，所以依据韦达定理知所以无解； ③当，即有两个等根为，所以依据韦达定理知所以无解； ③当，即有两个根为0，，所以依据韦达定理知解得； 综上，或. 16. 计算或化简． （1）化简：； （2）计算：； （3）已知，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）（2）利用指数幂的运算性质可化简所求代数式； （3）利用平方关系可求出、，再利用立方和公式可求得所求代数式的值. 【小问1详解】 原式. 【小问2详解】 原式. 【小问3详解】 对两边平方，得，可得， 再对两边平方，得，所以，， 所以，. 则. 17. 已知不等式的解集为或． （1）求实数a，b的值； （2）解关于x的不等式． 【答案】（1） （2）时，不等式的解集为时，不等式的解集为时，不等式的解集为时，不等式的解集为时，不等式的解集为 【解析】 【分析】（1）根据韦达定理可解； （2）根据m的范围分类讨论可得. 【小问1详解】 因为不等式的解集为或 所以，且的两根为 所以，所以 【小问2详解】 即 ①若，则 ②若，则或 ③若， 当即时， 当即时，无解 当即时， 综上所述：时，不等式的解集为 时，不等式的解集为 时，不等式的解集为 时，不等式的解集为 时，不等式的解集为 18. 设命题p：关于x的不等式有解，命题q：关于x的方程有两个不相等的负数根. （1）若命题q为真命题，求实数m的范围： （2）若命题p和命题q中至少有一个是真命题，求实数m的范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设关于x的方程两根为，根据根的判别式和韦达定理得到不等式，求出答案； （2）求出命题p为真命题，需满足，结合（1）可得当命题p和命题q均为假命题时，，从而得到结论. 【小问1详解】 设关于x的方程两根为， 故，解得， 故实数m的范围为； 【小问2详解】 命题p：关于x的不等式有解， 若，则，解得，满足要求； 若，则需或，解得或， 综上，命题p为真命题，需满足， 当命题p和命题q均为假命题时，需，解得， 所以若命题p和命题q中至少有一个是真命题，则. 19. 已知正数、满足. （1）求的最小值； （2）求的最小值； （3）求的最小值. 【答案】（1）最小值为；（2）最小值为；（3）最小值为. 【解析】 【分析】（1）本题首先可根据得出、、，然后将转化为，通过基本不等式即可得出结果； （2）本题可将转化为，然后通过基本不等式即可得出结果； （3）本题可将转化为，然后通过基本不等式即可得出结果. 【详解】，即，，，，， （1）因为、是正数， 所以，当且仅当时等号成立， 故的最小值为. （2）因为，，所以，， 则， 当且仅当、时等号成立， 故的最小值为. （3）因为，，， 所以 ， 当且仅当、时等号成立， 故的最小值为. 【点睛】易错点睛： 利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足“一正二定三相等”： （1）“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安中学高一年级第一学期学情调研一 数学试题 一、单项选择题（本大题所给出的四个选项中有且仅有一个选项是正确的，共8小题，每小题5分，共计40分．） 1. 若集合，，且，则满足条件的实数的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 下列一定正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. 已知命题，，若命题p是假命题，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 设集合，其中为自然数集，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 命题，“关于x的方程的根为正实数”为真命题的一个必要不充分条件是，（ ） A. B. C. D. 7. 已知关于x的不等式的解集为，其中，则的最小值为（ ） A. 4 B. C. 2 D. 1 8. 若，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题所给出的四个选项中有多个选项是正确的，共3小题，每小题6分，共18分） 9. 下列命题中假命题有（ ） A. “”是“”的必要条件 B. “”是“不等式在上恒成立”的充要条件 C. 的最小值是2 D. 的最小值为5 10. 若对于任意，不等式恒成立，则实数的值可能是（） A. 2 B. 4 C. D. 5 11. 已知且，则下列不等式恒成立的是（ ） A. 的最小值为2 B. 的最小值为 C. 的最大值为1 D. 的最大值为2 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 不等式的解集是_______． 13. 已知命题p:“，一元二次不等式”是真命题，则实数的取值范围是______. 14. 若对于任意的实数，恒成立，则实数的最大值是________，此时________． 四、解答题（本大题共5小题，第15小题13分，第16~17题每小题15分，第18~19题每小题17分，共77分．） 15. 已知集合，. （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的取值范围. 16. 计算或化简． （1）化简：； （2）计算：； （3）已知，求的值． 17. 已知不等式的解集为或． （1）求实数a，b的值； （2）解关于x的不等式． 18. 设命题p：关于x的不等式有解，命题q：关于x的方程有两个不相等的负数根. （1）若命题q为真命题，求实数m的范围： （2）若命题p和命题q中至少有一个是真命题，求实数m的范围. 19. 已知正数、满足. （1）求的最小值； （2）求的最小值； （3）求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $