专题01 三角形初步、命题（期中复习讲义）八年级数学上学期新教材浙教版

专题01 三角形初步、命题（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 三角形的分类 掌握三角形按照叫分类的方式 基础常考点，一般出现在小题 构成三角形的条件 掌握三角形三边的数量关系 基础考点，常在小题出现 三角形三边关系的应用 能利用三角形三边关系进行简单应用推理 基础考点，一般与绝对值化简结合 做三角形的高 掌握三角形高的做法 基础考点，一般以选择题为主 三角形高的计算 掌握通过高计算角度或面积 高频考点，一般与三角形内角和结合 根据三角形中线求边长 掌握三角形中线计算边长的方法 常结合勾股定理、等腰 / 直角三角形性质，多以填空、选择或几何计算题形式出现 根据三角形中线求面积 能运用中线分三角形为等面积两部分、重心性质求面积 多为填空、选择题，难度偏低至中等。 三角形内角和的应用 掌握利用内角和 180° 求未知角、判断三角形形状 基础高频考点，贯穿填空、选择、证明题 三角形折叠的角度问题 托折叠轴对称性（对应角相等），结合内角和 / 外角定理求角度 中档题，多在填空或几何解答题中出现 命题的判断 识别语句是否为命题（含 “判断” 意味）及拆分 “题设 - 结论” 结构 基础题，多以填空、选择题考查，占分较少 命题真假的判断 依据定义、定理判断命题真假 常结合三角形、平行线等性质，以填空、选择题为主，难度中等 举反例证明假命题 针对假命题构造 “符合题设但不符合结论” 的具体例子 多在填空或几何解答题小问中考查 三角形外角的性质 用 “外角 = 不相邻两内角和”“外角 > 不相邻内角” 求角、比大小 高频考点，贯穿各类几何题，难度简单至中等 知识点01 三角形的定义 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形． （1）三角形的基本元素： ①三角形的边：即组成三角形的线段； ②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角； ③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点. （2）三角形的定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”. （3）三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，注意单独的△没有意义；△ABC的三边可以用大写字母AB、BC、AC来表示，也可以用小写字母a、b、c来表示，边BC用a表示，边AC、AB分别用b、c表示． 知识点02 三角形的内角和 三角形的内角和为180°． 注意：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题： ①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数； ②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数； ③求一个三角形中各角之间的关系． 知识点03 三角形的分类 按角分类： 注意： ①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形; ②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形. 知识点04 三角形的三边关系 三角形任意两边之和大于第三边. 要点： （1）理论依据：两点之间线段最短. （2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形． （3）证明线段之间的不等关系． 知识点05 三角形的三条重要线段 三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我们以后深入研究三角形的一些特征起着很大的帮助作用，因此，我们需要从不同的角度弄清这三条线段，列表如下： 线段名称 三角形的高 三角形的中线 三角形的角平分线 文字语言 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段． 三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段． 三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段． 图形语言 作图语言 过点A作AD⊥BC于点D． 取BC边的中点D，连接AD． 作∠BAC的平分线AD，交BC于点D． 标示图形 符号语言 1．AD是△ABC的高． 2．AD是△ABC中BC边上的高． 3．AD⊥BC于点D． 4．∠ADC＝90°，∠ADB＝90°． (或∠ADC＝∠ADB＝90°) 1．AD是△ABC的中线． 2．AD是△ABC中BC边上的中线． 3．BD＝DC＝BC 4．点D是BC边的中点． 1．AD是△ABC的角平分线． 2．AD平分∠BAC，交BC于点D． 3．∠1＝∠2＝∠BAC． 知识点06 三角形的外角 1．定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图，∠ACD是△ABC的一个外角. 要点归纳： (1)外角的特征：①顶点在三角形的一个顶点上； ②一条边是三角形的一边；③另一条边是三角形某条边的延长线． （2）三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角．所以三角形共有六个外角，通常每个顶点处取一个外角，因此，我们常说三角形有三个外角． 2．性质： （1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． （2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角． 要点归纳：三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度及与角有关的推理论证明经常使用的理论依据．另外，在证角的不等关系时也常想到外角的性质． 3.三角形的外角和： 三角形的外角和等于360°. 要点归纳：因为三角形的每个外角与它相邻的内角是邻补角，由三角形的内角和是180°，可推出三角形的三个外角和是360°． 知识点07 命题 一般地，判断某一件事情的句子叫命题．正确的命题叫做真命题；不正确的命题叫做假命题． 命题通常由条件、结论两个部分组成，条件是已知事项，结论是由已知事项得到的事项.通常命题可以写成“如果……那么……”的形式，其中以“如果“开始的部分是条件，”那么“后面的部分是结论. 注意：命题属于判断句或陈述句，是对一件事情作出判断，与判断的正确与否没有关系．当证明一个命题是假命题时只要举出一个反例就可以． 题型一 三角形的分类 解｜题｜技｜巧 按角分类的本质是判断 “最大角的度数范围”，无需逐一分析所有角，直接聚焦最大角即可： 若最大角＜90° → 锐角三角形（其余两角必为锐角）； 若最大角 = 90° → 直角三角形（勾股定理逆定理可辅助验证）； 若最大角＞90° 且＜180° → 钝角三角形（其余两角必为锐角）。 关键逻辑：三角形内角和为 180°，若最大角是锐角，另外两个角必然也是锐角；若最大角是直角或钝角，不可能再出现第二个直角 / 钝角（否则内角和会超过 180°）。 【典例1】如图，三角形有一部分被遮挡，我们可以判定此三角形的类型为（　　） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定 【变式1】如图，一张三角形纸片被不小心撕掉一个角，则这个三角形是（　　） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形 【变式2】（24-25八年级上·浙江杭州·期末）有若干个三角形，这些三角形的所有内角中，有个直角，个钝角，个锐角，则在这些三角形中锐角三角形有（　　） A．个 B．个 C．个或个 D．个 【变式3】在中，，则这个三角形是：（   ） A．锐角三角形 B．等腰三角形 C．钝角三角形 D．含角的直角三角形 题型二 构成三角形的条件 解｜题｜技｜巧 任意两边之和＞第三边对于任意三角形的三边 a、b、c，必须满足以下 3 个不等式： a + b > c a + c > b b + c > a 【典例1】（24-25八年级上·浙江金华·期中）下列长度的三条线段（单位：），能组成三角形的是（   ） A．2，2，5 B．2，4，6 C．3，6，7 D．4，7，13 【变式1】（24-25八年级上·浙江宁波·期中）下列长度的三条线段（单位：cm）能组成三角形的是（     ） A．4，5，9 B．9，15，8 C．7，15，8 D．2，5，8 【变式2】（24-25八年级上·浙江温州·期中）四根木棒的长度分别为，，，．从中取三根，使它们首尾顺次相接组成一个三角形．则下列取法中不能组成一个三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式3】（24-25八年级上·浙江温州·期中）下列长度的线段中，能与长为和的两条线段组成三角形的是（    ） A． B． C． D． 题型三 三角形三边关系的应用 解｜题｜技｜巧 一、已知两边长，求第三边的取值范围 已知三角形两边长为 a、b（设a≥b），第三边长为 c，则三边关系可转化为 “两边之差＜第三边＜两边之和”（a - b < c < a + b），需同时结合 “第三边为正数”（实际解题中通常隐含）。 应用思路确定已知两边的大小：设较长边为 a，较短边为 b；列不等式：根据 “两边之差＜第三边＜两边之和”，得 \(a - b < c < a + b\)；结合实际条件：若题目要求 “第三边为整数”“第三边为偶数” 等，进一步缩小范围。 二、含三角形三边的绝对值化简 对于任意含三角形三边的绝对值表达式，按以下步骤化简： 1.明确条件：确定表达式中的 a、b、c 是三角形的三边（隐含a > 0、b > 0、c > 0，且满足三边关系）； 2.拆分绝对值：将表达式中的每个绝对值单独拎出，分析其内部式子的结构（是 “两边和 - 第三边” 还是 “一边 - 两边和”）； 3.判断符号：用三角形三边关系判断每个绝对值内式子的正负（正 / 负）； 4.去绝对值并化简：根据符号去掉绝对值符号（正不变、负变号），再合并同类项，得到最终结果。 【典例1】（22-23八年级上·浙江温州·期中）已知两条线段，，下列线段能和首尾相接组成三角形的是（    ） A． B． C． D． 【典例2】已知a，b，c为三角形的三边长，则的值（    ） A．可能是0 B．一定是负数 C．一定是正数 D．可能是正数，也可能是负数 【变式1】（24-25八年级上·浙江台州·期中）用13根等长火柴棒拼成一个三角形，火柴棒不允许剩余、重叠和折断，则能摆出不同的三角形个数是（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【变式2】已知的三边分别为a，b，c，化简： ． 【变式3】已知的三边，则化简的值是 ． 题型四 做三角形的高 【典例1】如图，在 中，边上的高为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级上·浙江嘉兴·期中）如图中，的边上的高线是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·浙江金华·期中）如图，在中，，点D在线段上，，垂足为E，则的边上的高是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（20-21八年级上·浙江台州·期中）画中边上的高，下列画法中正确的是（    ） A． B． C． D． 题型五 三角形高有关的计算 【典例1】如图，在中，，，点在边上，作于、于，若，的面积为，则的长为 ． 【变式1】如图，中，是边上的高线，是一条角平分线，它们相交于点P． (1)已知，求的度数； (2)求与之间满足的数量关系． 【变式2】（22-23八年级上·浙江·期中）如图，分别是的高线和角平分线，且，，求的度数． 题型六 根据三角形中线求边长 解｜题｜技｜巧 1.识别中线属性：判断题目是否涉及中线的中点、中线长、重心，明确已知条件； 2.选择工具： 已知中线长 + 两边→用中线长公式； 已知中线 + 边长关系→设未知数 + 中线长公式； 已知重心→用重心 2:1 比例求中线长，再用中线长公式； 3.辅助线补充：若条件分散，用 “倍长中线法” 构造全等三角形，集中边长； 4.验证合理性：求出边长后，验证是否满足三角形三边关系（任意两边之和 > 第三边），排除无效解。 易｜错｜点｜拨 1.中线长公式对应错误：混淆 “中线对应的对边”（如将 BC 的中线对应 AB 边），导致公式代入错误； 2.重心比例记反：将 “AG:GD=2:1” 记为 “1:2”，导致中线长计算错误； 【典例1】（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，，，为中线，则与的周长之差的值为 ． 【变式1】（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）如图，已知为的中线，，，的周长为，则的周长为 ． 【变式2】如图，中，，是边上的中线．若的周长为35，则的周长是 ．    【变式3】（22-23八年级上·浙江杭州·期中）已知等腰三角形的底边长为，一腰上的中线把其周长分成的两部分的差为，则腰长为 ． 题型七 根据三角形中线求面积 解｜题｜技｜巧 1.识别中线与面积的关联： 若已知一条中线→优先用 “中线分面积为 2 个相等小三角形”； 若已知多条中线→用 “重心分 6 个等面积小三角形” 或 “重心到边的距离与原高的关系”； 若已知中线和边长→用 “倍长中线构造平行四边形”。 2.求关键量（底 / 高）： 若已知中线是高（如等腰、直角三角形）→直接用中线作为高，求底； 若已知重心→利用 “重心到边的距离 = 原高的 1/3” 求原高； 若构造平行四边形→利用平行四边形面积与原三角形的 2 倍关系。 3.计算面积： 直接用公式：S =×底×高；间接用倍数关系： 小三角形面积 ×2（或 6）= 原三角形面积。 【典例1】（24-25八年级上·浙江金华·期中）如图，已知的面积为，点分别在边，上，且，，与相交于点F，若的面积为3，则图中阴影部分的面积为（   ） A．7 B．8 C．9 D． 【变式1】（23-24八年级上·浙江宁波·期中）如图所示，在中，已知点，，分别为边，，的中点，且，则等于（   ）． A．8 B．9 C．10 D．11 【变式2】（24-25八年级上·浙江台州·期中）如图，是的中线，是的中线，是的中线，若的面积为4，则的面积为 ． 题型八 三角形内角和的应用 【典例1】（19-20八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，，平分交于D，作交于E，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级上·浙江温州·期中）在中，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图， 度． 题型九 三角形折叠的角度问题 解｜题｜技｜巧 1.标对应关系：在图中明确折叠前后的对应点（如 A→A'）、对应角（如∠A=∠A'）、对应边（如 AD=A'D），用符号标注（如∠1=∠2）。 2.找已知角关联： 若有特殊三角形（等腰、直角）→用 “三线合一”“两锐角互余”； 若有平行线→用 “同位角 / 内错角相等”； 若有外部点→用 “外角定理”； 角度较多时→设未知数（如设∠CDE=x），利用 “内角和 180°” 或 “平角 180°” 列方程。 3.验证合理性：求出角度后，检查是否满足 “对应角相等”“内角和为 180°”，排除矛盾解（如负角度、角度超 180°）。 易｜错｜点｜拨 1.对应角识别错误：将 “非对应角” 当成相等角（如折叠后∠ADE≠∠CDE，除非特殊情况），需严格按 “重合部分” 判断对应角。 2.忽略平角 / 周角：折叠后常形成平角（如 DE 在 AC 上，∠AED+∠CED=180°），忘记用平角关系列方程，导致角度漏算。 3.外角定理误用：混淆 “内角” 与 “外角”，如误将 “外角 = 相邻两内角和”（正确：外角 = 不相邻两内角和），导致推导错误。 【典例1】如图，把三角形纸片折叠，使得点，点都与点重合，折痕分别为，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24八年级上·浙江台州·期中）如图，在中，，，，将沿折叠，点B的对应点是点，则的度数是 ．    【变式2】（22-23八年级上·浙江嘉兴·期中）在中，，D为边上一点，将三角形沿折叠，使落在边上，点C与点E重合，若为直角三角形，则的度数为 ． 题型十 命题的判断 【典例1】（24-25八年级上·浙江嘉兴·期中）下列语句不是命题的是（   ） A．对顶角相等 B．同旁内角互补 C．垂线段最短 D．在线段上取点C，使 【变式1】（23-24八年级上·浙江温州·期中）下列语句中，不是命题的是（    ） A．x一定小于吗? B．两点之间线段最短 C．等腰三角形是轴对称图形 D．对顶角相等 【变式2】（23-24八年级上·浙江绍兴·期中）下列语句中，不是命题的是(   ) A．两点之间线段最短 B．不平行的两条直线只有一个交点 C．与y的差等于吗？ D．相等的角是对顶角 题型十一 命题真假的判断 【典例1】（24-25八年级上·浙江杭州·期中）下列命题是真命题的为（    ） A．内错角相等 B．周长相等的两个三角形全等 C．若，则 D．若，则 【变式1】（24-25八年级上·浙江宁波·期中）下列命题中，真命题是（    ） A．若，则 B．任何一个角都比它的余角小 C．一个锐角与一个钝角的和等于一个平角 D．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 题型十二 举反例证明假命题 【典例1】（23-24八年级上·浙江杭州·期末）能说明命题“”是假命题的一个反例是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（21-22八年级上·浙江温州·期中）可以用来说明“，则”是假命题的反例是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式2】（20-21八年级上·浙江金华·期末）对于命题“若，则小明想举一个反例说明它是一个假命题，则符合要求的反例可以是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25八年级上·浙江杭州·期中）对于命题“如果与互补，那么”，能说明这个命题是假命题的反例是（   ） A．， B．， C．， D．， 题型十三 三角形外角的性质 【典例1】如图，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点在的延长线上，点、分别为直角顶点，且，，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·浙江杭州·期中）已知：如图，中，，，点D是边上的一点（不与B，C点重合），作，交于点E． (1)当时，求的度数； (2)当是等腰三角形时， ①求的度数； ②求的面积． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期中）如图，已知的面积为12，点，分别为，边上的中点，则的面积为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（24-25八年级上·浙江·期中）若等腰三角形的两条边长分别是8和16，则它的周长是（   ） A．40 B．32 C．32或40 D．24 3．（24-25七年级下·浙江嘉兴·期中）下列说法正确的是（    ） A．相等的角是对顶角 B．连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 C．垂直于同一条直线的两条直线平行 D．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 4．如图，，，则∠B= ° 5．已知a，b，c是三角形的三边长，化简： ． 6．（24-25八年级上·浙江金华·期中）给出下列命题：①直角都相等；②若且，则；③一个角的补角大于这个角．其中为真命题的有 ．（填写序号） 7．如图，在中，是高，是角平分线，它们相交于点O，． (1)若，求的度数； (2)求的度数． 8．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期中）如图，正方形网格图中，每个小方格（都为正方形）的边长为1．的三个顶点都在格点上， (1)画出的中线； (2)求的面积． 期中重难突破练（测试时间：15分钟） 1．（18-19八年级上·浙江宁波·期末）要说明命题“若，则”是假命题，能举的一个反例是（　　） A． B． C． D． 2．如图，是的中线，是的中点，连接，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）在△ABC中，如果，则 °． 4．（24-25七年级下·浙江温州·期中）如图，，点在线段上，分别交，于点，点在线段上，于点，的角平分线与的角平分线交于点，若，则的度数是 ． 5．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）如图，在三角形中，分别把其余的两个角平均分成两份，则 °． 6．当三角形中一个内角α是另一个内角γ的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．若“特征三角形”中三个角分别为α、β、γ，且，则角β的取值范围是 ． 7．如图，点C在线段上，且平分，，点E在上，若，，，则的度数为 ． 8．如图，在中，，点为的中点，边的垂直平分线交，，于点，，，连接． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，求的度数． 9．如图，∠B＝30°，∠C＝50°，AD平分∠BAC，求∠DAC与∠ADB的度数． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 三角形初步、命题（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 三角形的分类 掌握三角形按照叫分类的方式 基础常考点，一般出现在小题 构成三角形的条件 掌握三角形三边的数量关系 基础考点，常在小题出现 三角形三边关系的应用 能利用三角形三边关系进行简单应用推理 基础考点，一般与绝对值化简结合 做三角形的高 掌握三角形高的做法 基础考点，一般以选择题为主 三角形高的计算 掌握通过高计算角度或面积 高频考点，一般与三角形内角和结合 根据三角形中线求边长 掌握三角形中线计算边长的方法 常结合勾股定理、等腰 / 直角三角形性质，多以填空、选择或几何计算题形式出现 根据三角形中线求面积 能运用中线分三角形为等面积两部分、重心性质求面积 多为填空、选择题，难度偏低至中等。 三角形内角和的应用 掌握利用内角和 180° 求未知角、判断三角形形状 基础高频考点，贯穿填空、选择、证明题 三角形折叠的角度问题 托折叠轴对称性（对应角相等），结合内角和 / 外角定理求角度 中档题，多在填空或几何解答题中出现 命题的判断 识别语句是否为命题（含 “判断” 意味）及拆分 “题设 - 结论” 结构 基础题，多以填空、选择题考查，占分较少 命题真假的判断 依据定义、定理判断命题真假 常结合三角形、平行线等性质，以填空、选择题为主，难度中等 举反例证明假命题 针对假命题构造 “符合题设但不符合结论” 的具体例子 多在填空或几何解答题小问中考查 三角形外角的性质 用 “外角 = 不相邻两内角和”“外角 > 不相邻内角” 求角、比大小 高频考点，贯穿各类几何题，难度简单至中等 知识点01 三角形的定义 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形． （1）三角形的基本元素： ①三角形的边：即组成三角形的线段； ②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角； ③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点. （2）三角形的定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”. （3）三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，注意单独的△没有意义；△ABC的三边可以用大写字母AB、BC、AC来表示，也可以用小写字母a、b、c来表示，边BC用a表示，边AC、AB分别用b、c表示． 知识点02 三角形的内角和 三角形的内角和为180°． 注意：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题： ①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数； ②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数； ③求一个三角形中各角之间的关系． 知识点03 三角形的分类 按角分类： 注意： ①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形; ②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形. 知识点04 三角形的三边关系 三角形任意两边之和大于第三边. 要点： （1）理论依据：两点之间线段最短. （2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形． （3）证明线段之间的不等关系． 知识点05 三角形的三条重要线段 三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我们以后深入研究三角形的一些特征起着很大的帮助作用，因此，我们需要从不同的角度弄清这三条线段，列表如下： 线段名称 三角形的高 三角形的中线 三角形的角平分线 文字语言 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段． 三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段． 三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段． 图形语言 作图语言 过点A作AD⊥BC于点D． 取BC边的中点D，连接AD． 作∠BAC的平分线AD，交BC于点D． 标示图形 符号语言 1．AD是△ABC的高． 2．AD是△ABC中BC边上的高． 3．AD⊥BC于点D． 4．∠ADC＝90°，∠ADB＝90°． (或∠ADC＝∠ADB＝90°) 1．AD是△ABC的中线． 2．AD是△ABC中BC边上的中线． 3．BD＝DC＝BC 4．点D是BC边的中点． 1．AD是△ABC的角平分线． 2．AD平分∠BAC，交BC于点D． 3．∠1＝∠2＝∠BAC． 知识点06 三角形的外角 1．定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图，∠ACD是△ABC的一个外角. 要点归纳： (1)外角的特征：①顶点在三角形的一个顶点上； ②一条边是三角形的一边；③另一条边是三角形某条边的延长线． （2）三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角．所以三角形共有六个外角，通常每个顶点处取一个外角，因此，我们常说三角形有三个外角． 2．性质： （1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． （2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角． 要点归纳：三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度及与角有关的推理论证明经常使用的理论依据．另外，在证角的不等关系时也常想到外角的性质． 3.三角形的外角和： 三角形的外角和等于360°. 要点归纳：因为三角形的每个外角与它相邻的内角是邻补角，由三角形的内角和是180°，可推出三角形的三个外角和是360°． 知识点07 命题 一般地，判断某一件事情的句子叫命题．正确的命题叫做真命题；不正确的命题叫做假命题． 命题通常由条件、结论两个部分组成，条件是已知事项，结论是由已知事项得到的事项.通常命题可以写成“如果……那么……”的形式，其中以“如果“开始的部分是条件，”那么“后面的部分是结论. 注意：命题属于判断句或陈述句，是对一件事情作出判断，与判断的正确与否没有关系．当证明一个命题是假命题时只要举出一个反例就可以． 题型一 三角形的分类 解｜题｜技｜巧 按角分类的本质是判断 “最大角的度数范围”，无需逐一分析所有角，直接聚焦最大角即可： 若最大角＜90° → 锐角三角形（其余两角必为锐角）； 若最大角 = 90° → 直角三角形（勾股定理逆定理可辅助验证）； 若最大角＞90° 且＜180° → 钝角三角形（其余两角必为锐角）。 关键逻辑：三角形内角和为 180°，若最大角是锐角，另外两个角必然也是锐角；若最大角是直角或钝角，不可能再出现第二个直角 / 钝角（否则内角和会超过 180°）。 【典例1】如图，三角形有一部分被遮挡，我们可以判定此三角形的类型为（　　） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的分类，根据直角三角形，锐角三角形以及钝角单脚的定义分析即可． 【详解】解∶ 已知此三角形露出的一个角是锐角． 对于锐角三角形，它的三个角都是锐角所以仅一个锐角不能确定它就是锐角三角形． 对于直角三角形，除了一个直角外，另外两个角是锐角，所以仅一个锐角也不能排除它是直角三角形． 对于钝角三角形，除了一个钝角外，另外两个角是锐角，所以仅一个锐角同样不能排除它是钝角三角形． 因此，仅根据露出的这一个锐角，这个三角形可能是锐角三角形，也可能是直角三角形，还可能是钝角三角形，此三角形的类别无法确定． 故选：D 【变式1】如图，一张三角形纸片被不小心撕掉一个角，则这个三角形是（　　） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形 【答案】D 【分析】本题考查等腰三角形的分类和三角形的内角和，现根据三角形的内角和求出另一个角的度数，然后根据三角形的分类解题即可． 【详解】解：三角形的另一个角的度数为， ∴这个三角形是等腰三角形， 故选：D． 【变式2】（24-25八年级上·浙江杭州·期末）有若干个三角形，这些三角形的所有内角中，有个直角，个钝角，个锐角，则在这些三角形中锐角三角形有（　　） A．个 B．个 C．个或个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和定理，先根据三角形内角的概念求出三角形的总数，再根据直角三角形和钝角三角形的个数，即可求解． 【详解】解：∵这些三角形的所有内角中，有个直角，个钝角，个锐角， ∴共有个三角形，且有个直角三角形，个钝角三角形， ∴有个锐角三角形， 故选：B． 【变式3】在中，，则这个三角形是：（   ） A．锐角三角形 B．等腰三角形 C．钝角三角形 D．含角的直角三角形 【答案】D 【分析】此题考查了三角形的内角和定理以及三角形的分类．解题关键在于利用内角和定理进行计算．先由，可得，，再根据三角形的内角和是，列方程求得三个内角的度数，即可判断三角形的形状． 【详解】解：∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴，， ∴是直角三角形． 故选：D． 题型二 构成三角形的条件 解｜题｜技｜巧 任意两边之和＞第三边对于任意三角形的三边 a、b、c，必须满足以下 3 个不等式： a + b > c a + c > b b + c > a 【典例1】（24-25八年级上·浙江金华·期中）下列长度的三条线段（单位：），能组成三角形的是（   ） A．2，2，5 B．2，4，6 C．3，6，7 D．4，7，13 【答案】C 【分析】此题考查了三角形三边关系，关键是三角形三边关系的熟练掌握．只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形． 【详解】解：A、，不能组成三角形，故此选项错误，不符合题意； B、，不能组成三角形，故此选项错误，不符合题意； C、，能组成三角形，故此选项正确，符合题意； D、，不能组成三角形，故此选项错误，不符合题意； 故选：C． 【变式1】（24-25八年级上·浙江宁波·期中）下列长度的三条线段（单位：cm）能组成三角形的是（     ） A．4，5，9 B．9，15，8 C．7，15，8 D．2，5，8 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键．根据三边形的三边关系进行判断即可． 【详解】解：，不能构成三角形，故选项A错误； ，可以构成三角形，故选项B正确； ，不能构成三角形，故选项C错误； ，不能构成三角形，故选项D错误； 故选B． 【变式2】（24-25八年级上·浙江温州·期中）四根木棒的长度分别为，，，．从中取三根，使它们首尾顺次相接组成一个三角形．则下列取法中不能组成一个三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的三边关系的应用，熟练掌握三角形的三边关系是解题关键．根据三角形的三边关系定理逐项判断即可得． 【详解】解：A、因为，所以长度为，，的三根木棒能组成一个三角形，则此项不符合题意； B、因为，所以长度为，，的三根木棒能组成一个三角形，则此项不符合题意； C、因为，所以长度为，，的三根木棒不能组成一个三角形，则此项符合题意； D、因为，所以长度为，，的三根木棒能组成一个三角形，则此项不符合题意； 故选：C． 【变式3】（24-25八年级上·浙江温州·期中）下列长度的线段中，能与长为和的两条线段组成三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查构成三角形的条件，根据三角形的三边关系，求出能够构成三角形的第三边的取值范围，进行判断即可． 【详解】解：设能与长为和的两条线段组成三角形的第三条线段的长为， 则：， ∴， 故能与长为和的两条线段组成三角形的是； 故选B． 题型三 三角形三边关系的应用 解｜题｜技｜巧 一、已知两边长，求第三边的取值范围 已知三角形两边长为 a、b（设a≥b），第三边长为 c，则三边关系可转化为 “两边之差＜第三边＜两边之和”（a - b < c < a + b），需同时结合 “第三边为正数”（实际解题中通常隐含）。 应用思路确定已知两边的大小：设较长边为 a，较短边为 b；列不等式：根据 “两边之差＜第三边＜两边之和”，得 \(a - b < c < a + b\)；结合实际条件：若题目要求 “第三边为整数”“第三边为偶数” 等，进一步缩小范围。 二、含三角形三边的绝对值化简 对于任意含三角形三边的绝对值表达式，按以下步骤化简： 1.明确条件：确定表达式中的 a、b、c 是三角形的三边（隐含a > 0、b > 0、c > 0，且满足三边关系）； 2.拆分绝对值：将表达式中的每个绝对值单独拎出，分析其内部式子的结构（是 “两边和 - 第三边” 还是 “一边 - 两边和”）； 3.判断符号：用三角形三边关系判断每个绝对值内式子的正负（正 / 负）； 4.去绝对值并化简：根据符号去掉绝对值符号（正不变、负变号），再合并同类项，得到最终结果。 【典例1】（22-23八年级上·浙江温州·期中）已知两条线段，，下列线段能和首尾相接组成三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边确定出第三条线段长度的取值范围，进而即可求解，掌握三角形三边关系是解题的关键． 【详解】解：设第三条线段的长为， 由三角形的三边关系得，， 即， ∴和首尾相接组成三角形的是， 故选：． 【典例2】已知a，b，c为三角形的三边长，则的值（    ） A．可能是0 B．一定是负数 C．一定是正数 D．可能是正数，也可能是负数 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形三边关系及因式分解，熟练掌握三角形三边关系及因式分解是解题的关键；由三角形三边关系可知，由可进行判断式子的正负性，进而问题可求解． 【详解】解：由三角形三边关系可知， ∴， ∴， ∴的值一定是负数； 故选：B． 【变式1】（24-25八年级上·浙江台州·期中）用13根等长火柴棒拼成一个三角形，火柴棒不允许剩余、重叠和折断，则能摆出不同的三角形个数是（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是三角形三边的关系，若三条线段能够构成三角形需满足：任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.熟记定理是解题的关键. 可以把三角形的周长看作13，再根据三角形三边的关系应满足：任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，从一条边有1根开始，逐渐增多即可得出结论. 【详解】解：∵三角形两边之和大于第三边， ∴只能有5种答案，即①1、6、6；②2、5、6；③3、5、5；④4、4、5；④3、4、6． 故选：C． 【变式2】已知的三边分别为a，b，c，化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的化简、三角形的三边关系，利用绝对值的性质正确化简是解题的关键．根据三角形的三边关系可得，，再根据绝对值的性质化简即可． 【详解】解：∵a，b，c是的三边， ∴，， ∴，， ∴ ． 故答案为：． 【变式3】已知的三边，则化简的值是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，绝对值，掌握三角形的三边关系和绝对值是解题的关键．先根据三角形的三边关系判断出，的值的情况，再去绝对值计算即可． 【详解】解：∵在中，，, ，， ． 故答案为：． 题型四 做三角形的高 【典例1】如图，在 中，边上的高为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形的概念及三角形的高，熟练掌握三角形高的定义是解题的关键，根据三角形边上高的定义即可判定，从而得到答案． 【详解】解：根据高的定义：边上的高，垂足应在边上，或线段的延长线或反向延长线上，且经过顶点， 符合条件的是， 故选：D． 【变式1】（24-25八年级上·浙江嘉兴·期中）如图中，的边上的高线是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查三角形的高，根据从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高解答， 【详解】解：因为点到边的垂线段是，所以边上的高是， 故选：B． 【变式2】（24-25八年级上·浙江金华·期中）如图，在中，，点D在线段上，，垂足为E，则的边上的高是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形的高线．正确理解三角形高线的定义是解决此题的关键．根据三角形高的定义作答即可． 【详解】解：经过三角形一个顶点，向它的对边作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高． ∵， ∴， ∴是的边上的高线． 故选：C． 【变式3】（20-21八年级上·浙江台州·期中）画中边上的高，下列画法中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作哪一条边上的高，即从所对的顶点向这条边或这条边的延长线作垂线即可．本题是一道作图题，本题考查了三角形的高线，是基础知识要熟练掌握． 【详解】解：依题意，过点作边所在直线的垂线段， ∴A选项的作图满足条件， 故选：A． 题型五 三角形高有关的计算 【典例1】如图，在中，，，点在边上，作于、于，若，的面积为，则的长为 ． 【答案】 【分析】此题考查三角形的面积，解题关键在于作辅助线和利用面积公式计算．连接，根据列式计算即可得解． 【详解】解：如图，连接， ，，，的面积为， ， 即， 解得：， 故答案为：． 【变式1】如图，中，是边上的高线，是一条角平分线，它们相交于点P． (1)已知，求的度数； (2)求与之间满足的数量关系． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查三角形的外角性质，三角形的内角和定理，解答的关键是结合图形分析清楚各角之间的关系． （1）由题意可得，再由三角形的外角性质求得，由角平分线的定义得，最后利用三角形的内角和即可求的度数； （2）由题意可得，再由三角形的外角性质求得，由角平分线的定义得，最后利用三角形的内角和即可求的度数． 【详解】（1）解：是边上的高线， ， 是的外角，， ， 平分， ， ； （2）解：，理由如下： 是边上的高线， ， 是的外角， ， 平分， ， ； 即． 【变式2】（22-23八年级上·浙江·期中）如图，分别是的高线和角平分线，且，，求的度数． 【答案】 【分析】根据三角形的内角和定理得到的度数，再利用角平分线的性质可求出，而，利用进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的高， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，解答本题的关键是熟练掌握三角形的内角和为．也考查了三角形的高线与角平分线的性质． 题型六 根据三角形中线求边长 解｜题｜技｜巧 1.识别中线属性：判断题目是否涉及中线的中点、中线长、重心，明确已知条件； 2.选择工具： 已知中线长 + 两边→用中线长公式； 已知中线 + 边长关系→设未知数 + 中线长公式； 已知重心→用重心 2:1 比例求中线长，再用中线长公式； 3.辅助线补充：若条件分散，用 “倍长中线法” 构造全等三角形，集中边长； 4.验证合理性：求出边长后，验证是否满足三角形三边关系（任意两边之和 > 第三边），排除无效解。 易｜错｜点｜拨 1.中线长公式对应错误：混淆 “中线对应的对边”（如将 BC 的中线对应 AB 边），导致公式代入错误； 2.重心比例记反：将 “AG:GD=2:1” 记为 “1:2”，导致中线长计算错误； 【典例1】（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，，，为中线，则与的周长之差的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的中线，熟练掌握三角形中线的定义是解题的关键． 根据三角形中线的定义得到，再根据三角形周长公式计算即可． 【详解】解：∵为的中线， ∴， ∵， ∴与的周长之差为：， 故答案为： ． 【变式1】（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）如图，已知为的中线，，，的周长为，则的周长为 ． 【答案】22 【分析】本题考查了三角形的中线，熟练掌握中线的定义是解题的关键； 根据中线的定义得到，然后根据的周长可得，然后计算的周长即可. 【详解】解：∵为的中线， ∴， 又∵的周长为，， ∴， ∴的周长为， 故答案为：22. 【变式2】如图，中，，是边上的中线．若的周长为35，则的周长是 ．    【答案】29 【分析】本题考查了三角形的中线：三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．根据中线的定义得出以及利用周长的定义求出是解题的关键． 【详解】解：∵是边上的中线， ∴， ∵的周长为35，， ∴， ∴， ∵， ∴的周长． 故答案为：． 【变式3】（22-23八年级上·浙江杭州·期中）已知等腰三角形的底边长为，一腰上的中线把其周长分成的两部分的差为，则腰长为 ． 【答案】/16厘米 【分析】设腰长为，分腰长和腰长的一半长的和和腰长的一半和底边长的和进行讨论求解即可． 【详解】解：设腰长为，依题意得， 当腰长和腰长的一半长的和比腰长的一半和底边长的和大时， ， 解得， 当腰长的一半和底边长的和比腰长和腰长的一半长的和大时， ， 解得， 因为，所以不符合题意舍弃． 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的中线，等腰三角形的性质，掌握相关知识并分情况讨论是解题的关键． 题型七 根据三角形中线求面积 解｜题｜技｜巧 1.识别中线与面积的关联： 若已知一条中线→优先用 “中线分面积为 2 个相等小三角形”； 若已知多条中线→用 “重心分 6 个等面积小三角形” 或 “重心到边的距离与原高的关系”； 若已知中线和边长→用 “倍长中线构造平行四边形”。 2.求关键量（底 / 高）： 若已知中线是高（如等腰、直角三角形）→直接用中线作为高，求底； 若已知重心→利用 “重心到边的距离 = 原高的 1/3” 求原高； 若构造平行四边形→利用平行四边形面积与原三角形的 2 倍关系。 3.计算面积： 直接用公式：S =×底×高；间接用倍数关系： 小三角形面积 ×2（或 6）= 原三角形面积。 【典例1】（24-25八年级上·浙江金华·期中）如图，已知的面积为，点分别在边，上，且，，与相交于点F，若的面积为3，则图中阴影部分的面积为（   ） A．7 B．8 C．9 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形面积的计算，和三角形中线的性质，作出正确的辅助线是解此题的关键．连接，由与等高，，可得到．又因为与等底等高，故可得，从而，又与等底等高，即可得出阴影部分的面积． 【详解】连接， ，的面积为3 ， ，的面积为， ， ， 与等底等高， ， 图中阴影部分的面积为9， 故选：C． 【变式1】（23-24八年级上·浙江宁波·期中）如图所示，在中，已知点，，分别为边，，的中点，且，则等于（   ）． A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的面积，三角形的中线，熟练掌握三角形中线的性质是解题的关键．根据三角形中线的性质得出，，，，即可求出△的面积，再根据三角形中线的性质即可求出阴影部分的面积． 【详解】解：点为边的中点， ，， 点为边的中点， ，， ， 点为边的中点， ， 故选：． 【变式2】（24-25八年级上·浙江台州·期中）如图，是的中线，是的中线，是的中线，若的面积为4，则的面积为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了三角形的中线的性质，根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形依次求解即可． 【详解】解：是的中线， ， 是的中线， ， 是的中线， ， 的面积为 的面积是， 故答案为：． 题型八 三角形内角和的应用 【典例1】（19-20八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，，平分交于D，作交于E，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先求出，根据平分交于D，得，又因为，，进行列式计算，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分交于D， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 【变式1】（24-25八年级上·浙江温州·期中）在中，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形内角和定理的应用，根据三角形内角和为，已知两个角的度数，第三个角可通过180°减去已知两角的和求得． 【详解】解：在中，已知，根据三角形内角和定理，得： ， 故选：C． 【变式2】如图， 度． 【答案】 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理，如图，连连接，记、的交点为， 先证明，再利用三角形的内角和定理可得答案．作出合适的辅助线构建三角形是解本题的关键． 【详解】解：如图，连接，记、的交点为， ，，， ， ， ， 故答案为：． 题型九 三角形折叠的角度问题 解｜题｜技｜巧 1.标对应关系：在图中明确折叠前后的对应点（如 A→A'）、对应角（如∠A=∠A'）、对应边（如 AD=A'D），用符号标注（如∠1=∠2）。 2.找已知角关联： 若有特殊三角形（等腰、直角）→用 “三线合一”“两锐角互余”； 若有平行线→用 “同位角 / 内错角相等”； 若有外部点→用 “外角定理”； 角度较多时→设未知数（如设∠CDE=x），利用 “内角和 180°” 或 “平角 180°” 列方程。 3.验证合理性：求出角度后，检查是否满足 “对应角相等”“内角和为 180°”，排除矛盾解（如负角度、角度超 180°）。 易｜错｜点｜拨 1.对应角识别错误：将 “非对应角” 当成相等角（如折叠后∠ADE≠∠CDE，除非特殊情况），需严格按 “重合部分” 判断对应角。 2.忽略平角 / 周角：折叠后常形成平角（如 DE 在 AC 上，∠AED+∠CED=180°），忘记用平角关系列方程，导致角度漏算。 3.外角定理误用：混淆 “内角” 与 “外角”，如误将 “外角 = 相邻两内角和”（正确：外角 = 不相邻两内角和），导致推导错误。 【典例1】如图，把三角形纸片折叠，使得点，点都与点重合，折痕分别为，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形内角和定理、折叠的性质，由三角形内角和定理得出，由折叠的性质可得：，，从而得出，即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， 由折叠的性质可得：，， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 【变式1】（23-24八年级上·浙江台州·期中）如图，在中，，，，将沿折叠，点B的对应点是点，则的度数是 ．    【答案】/164度 【分析】此题考查了三角形的内角和为180度，平行线的性质，折叠的性质：折叠前后对应角相等． 先求出的度数，再根据平行线的性质求出，最后根据折叠的性质得出，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵沿折叠得到， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2】（22-23八年级上·浙江嘉兴·期中）在中，，D为边上一点，将三角形沿折叠，使落在边上，点C与点E重合，若为直角三角形，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】分两种情形：或，分别求解即可． 【详解】解：当时，, 当时，, 综上所述，的度数为或, 故答案为：或． 【点睛】本题考查轴对称的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 题型十 命题的判断 【典例1】（24-25八年级上·浙江嘉兴·期中）下列语句不是命题的是（   ） A．对顶角相等 B．同旁内角互补 C．垂线段最短 D．在线段上取点C，使 【答案】D 【分析】本题考查了命题的定义，正确记忆判断事物的语句叫命题是解题关键．根据命题的定义分别进行判断即可． 【详解】解：、对顶角相等是命题，故本选项不符合题意； 、同旁内角互补是命题，故本选项不符合题意； 、垂线段最短是命题，故本选项不符合题意； 、在线段上取点C，使为描述性语言，不是命题，故本选项符合题意； 故选：． 【变式1】（23-24八年级上·浙江温州·期中）下列语句中，不是命题的是（    ） A．x一定小于吗? B．两点之间线段最短 C．等腰三角形是轴对称图形 D．对顶角相等 【答案】A 【分析】本题考查的是命题的概念，判断一件事情的语句，叫做命题，根据命题的概念判断即可． 【详解】解：A、一定小于吗？，不是命题，符合题意； B、两点之间线段最短，是命题，不符合题意； C、等腰三角形是轴对称图形，是命题，不符合题意； D、对顶角相等，是命题，不符合题意； 故选：A． 【变式2】（23-24八年级上·浙江绍兴·期中）下列语句中，不是命题的是(   ) A．两点之间线段最短 B．不平行的两条直线只有一个交点 C．与y的差等于吗？ D．相等的角是对顶角 【答案】C 【分析】本题考查了命题的定义，根据命题的定义对四个语句进行判断． 【详解】解：A、两点之间线段最短是命题，不符合题意； B、不平行的两条直线有一个交点是命题，不符合题意； C、与y的差等于吗？不是命题，符合题意； D、相等的角是对顶角，是命题，不符合题意； 故选：C． 题型十一 命题真假的判断 【典例1】（24-25八年级上·浙江杭州·期中）下列命题是真命题的为（    ） A．内错角相等 B．周长相等的两个三角形全等 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查判断命题的真假，解题的关键是根据相关知识对命题进行分析判断； 利用平行线的性质、全等三角形的判定、等式的性质及不等式的性质，逐一进行判断即可． 【详解】A． 两直线平行，内错角相等，所以，原命题是假命题，故该选项不符合题意； B． 周长相等的两个三角形不一定全等，例如，一个边长为 3、4、5 的三角形和一个边长为 4、4、4 的三角形，它们的周长都是 12，但它们不是全等三角形，所以，原命题是假命题，故该选项不符合题意； C． 若，两边同时平方可得，该命题是真命题，故该选项符合题意； D． 若，则x可以是大于 0 的数，也可以是小于 0 的数（例如时，），所以，原命题是假命题，故该选项不符合题意． 故选：C． 【变式1】（24-25八年级上·浙江宁波·期中）下列命题中，真命题是（    ） A．若，则 B．任何一个角都比它的余角小 C．一个锐角与一个钝角的和等于一个平角 D．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 【答案】D 【分析】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理. 根据一元一次方程的解法、余角、角的和差、平行线的判定逐项进行判断即可. 【详解】解：A.若，则，故选项是假命题； B. 任何一个角不一定都比它的余角小，故选项是假命题； C. 一个锐角与一个钝角的和不一定等于一个平角，故选项是假命题； D. 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，故选项是真命题； 故选：D． 题型十二 举反例证明假命题 【典例1】（23-24八年级上·浙江杭州·期末）能说明命题“”是假命题的一个反例是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了命题与定理的知识．根据题意，只要举例说明0的平方等于0即可． 【详解】解：A、当时，，不能说明是假命题，不符合题意； B、当时，，能说明是假命题，符合题意； C、当时，，不能说明是假命题，不符合题意； D、当时，，不能说明是假命题，不符合题意； 故选：B． 【变式1】（21-22八年级上·浙江温州·期中）可以用来说明“，则”是假命题的反例是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】此题主要考查了利用举例法证明一个命题错误，要说明“若，则”是假命题，通过满足但的例子逐一排除即可，理解题意是解题关键． 【详解】解：、∵，， ∴，，此时，不满足，不符合题意； 、∵，， ∴，，满足， ∵， ∴成立，不是反例，排除，不符合题意； 、∵，， ∴ ，，此时，不满足，排除，不符合题意； 、∵，， ∴，，满足， ∵，∴不成立，符合反例条件，符合题意； 故选：． 【变式2】（20-21八年级上·浙江金华·期末）对于命题“若，则小明想举一个反例说明它是一个假命题，则符合要求的反例可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了举反例说明一个命题是假命题．举反例说明一个命题是假命题时，所举的例子必须符合命题的条件，但是不符合命题的结论． 【详解】解：A选项：，，其中，不符合命题的条件，所以不符合要求，故A选项不符合题意； B选项：，，其中，并且，即，这个例子不能说明命题是假命题，故B选项不符合题意； C选项：，，其中，并且，即，这个例子不能说明命题是假命题，故C选项不符合题意； D选项：，，其中，并且，即，这个例子能说明命题是假命题，故D选项符合题意． 故选：D． 【变式3】（24-25八年级上·浙江杭州·期中）对于命题“如果与互补，那么”，能说明这个命题是假命题的反例是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】此题考查的知识点是命题与定理，理解能说明它是假命题的反例的含义是解决本题的关键． 说明某命题为假命题，可举反例，但反例要满足命题的条件，不符合结论．再根据选项解答即可． 【详解】解：A、不满足条件“与互补”，也不满足结论，故A选项不符合题意； B、不满足条件“与互补”，也不满足结论，故B选项不符合题意； C、满足条件“与互补”，不满足结论“”， 故C选项符合题意； D、不满足条件“与互补”， 也不满足结论，故D选项不符合题意； 故选：C． 题型十三 三角形外角的性质 【典例1】如图，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查等边对等角，三角形的内角和定理与三角形的外角，根据等边对等角，结合三角形的外角的性质以及三角形的内角和定理，进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选A． 【变式1】如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点在的延长线上，点、分别为直角顶点，且，，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题关键．由两直线平行，同旁内角互补，可得，再结合三角形外角的性质，即可求出的度数． 【详解】解：，， ， ，， ，， ， ， 故选：A． 【变式2】（24-25八年级上·浙江杭州·期中）已知：如图，中，，，点D是边上的一点（不与B，C点重合），作，交于点E． (1)当时，求的度数； (2)当是等腰三角形时， ①求的度数； ②求的面积． 【答案】(1)； (2)①的度数为或；②的面积为或． 【分析】（1）由，得到，根据，求得，于是得到； （2）①②分三种情况：根据点D不能与B点重合，于是得到不能成立；当为腰，即时；当为腰，即时，分别讨论并求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵点D不能与B点重合， ∴不能成立， 当为腰时，即，如图： ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分， ∵，， ∴，， ∴． ∴； 当为腰，过点D作， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，且， ∴， 在和中， ∴ ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 综上所述，当是等腰三角形时， ①∠BAD的度数为或； ②△ADE的面积为或． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，三角形的面积公式，三角形外角的性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期中）如图，已知的面积为12，点，分别为，边上的中点，则的面积为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题主要考查了与三角形中线有关的面积问题，熟知三角形中线平分三角形面积是解题的关键．根据三角形中线平分三角形面积，得到，即可得到答案． 【详解】解：∵点，分别为，边上的中点， ∴，， ∵的面积为12， ∴， 故选：A． 2．（24-25八年级上·浙江·期中）若等腰三角形的两条边长分别是8和16，则它的周长是（   ） A．40 B．32 C．32或40 D．24 【答案】A 【分析】本题考查等腰三角形的性质和三角形的三边关系．分两种情况：当8为腰长时，不符合三角形三边关系，该三角形不存在；当16为腰长时，符合三角形三边关系，即而可以求出周长． 【详解】解：分两种情况： 当8为腰长时， ∵，不符合三角形三边关系， ∴该三角形不存在； 当16为腰长时， ∵，符合三角形三边关系， ∴该三角形周长为：； 故选：A． 3．（24-25七年级下·浙江嘉兴·期中）下列说法正确的是（    ） A．相等的角是对顶角 B．连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 C．垂直于同一条直线的两条直线平行 D．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 【答案】B 【分析】本题考查对顶角、垂线段性质、平行线判定，熟练掌握定义是解题关键.根据对顶角、垂线段性质、平行线判定及同位角性质逐一分析即可. 【详解】A. 相等的角不一定是对顶角，例如两直线平行时的同位角也相等，故A错误； B. 直线外一点与直线上各点的连线中，垂线段最短，此为垂线段最短性质，故B正确； C. 同一平面内垂直于同一直线的两直线才平行，未限定同一平面，故C错误； D.仅当两直线平行时，同位角才相等，故D错误. 故选:B. 4．如图，，，则∠B= ° 【答案】 【分析】根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和这一性质即可求解． 【详解】 ，， ． 故答案为： 【点睛】本题主要考查三角形的外角的性质，熟悉性质是解题的关键． 5．已知a，b，c是三角形的三边长，化简： ． 【答案】 【分析】本题主要考查三角形三边关系和绝对值的化简，熟练掌握三角形三边关系（两边之和大于第三边、两边之差小于第三边）以及绝对值的性质（正数的绝对值是本身，负数的绝对值是其相反数）是解题的关键． 利用三角形三边关系判断绝对值内式子的正负，再根据绝对值的性质化简． 【详解】解：∵、、是三角形的三边长， 根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边， ， ， ， ∵正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数， ． 故答案为：． 6．（24-25八年级上·浙江金华·期中）给出下列命题：①直角都相等；②若且，则；③一个角的补角大于这个角．其中为真命题的有 ．（填写序号） 【答案】①②/②① 【分析】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．根据直角的定义对①进行判断；根据有理数的性质对②进行判断；根据补角的定义对③进行判断． 【详解】解：直角都相等，所以①正确； 若且，则，所以②正确； 一个角的补角不一定大于这个角，所以③错误． 故答案为①②． 7．如图，在中，是高，是角平分线，它们相交于点O，． (1)若，求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形的内角和是是解题的关键． （1）先根据是高，得出的度数，再由得出的度数，由是的平分线得出的度数，由即可得出结论； （2）由得出的度数，再由、是角平分线可得出的度数，由三角形内角和等于即可求解． 【详解】（1）解：是高，， ， ， ， 是的平分线， ， ； （2）解：， ， 、是角平分线， ， ． 8．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期中）如图，正方形网格图中，每个小方格（都为正方形）的边长为1．的三个顶点都在格点上， (1)画出的中线； (2)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)2.5 【分析】此题考查了画三角形中线以及性质，利用割补法求三角形面积， （1）根据三角形中线的定义画出图形； （2）求出的面积，然后根据三角形中线的性质可得结论． 【详解】（1）如图，线段即为所求； （2）∵的面积 ∵是的中线， ∴的面积． 期中重难突破练（测试时间：15分钟） 1．（18-19八年级上·浙江宁波·期末）要说明命题“若，则”是假命题，能举的一个反例是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作为反例，要满足条件但不能得到结论，然后根据这个要求对各选项进行判断即可． 【详解】解：A．时．满足，则，不能作为反例，错误； B．时．满足，则，不能作为反例，错误； C．时．满足，则，不能作为反例，错误； D．时，,但，能作为反例，正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了命题与定理；熟记：要判断一个命题是假命题，举出一个反例就可以． 2．如图，是的中线，是的中点，连接，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形中线及面积计算，解题的关键是掌握：三角形的中线平分三角形的面积． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴． 故选：B． 3．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）在△ABC中，如果，则 °． 【答案】40 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，掌握三角形的内角和等于是解题的关键． 先根据角的比设出各角的度数，再利用三角形的内角和定理列方程求解即可． 【详解】解：∵， 设， ∵， ∴． ∴． ∴． 故答案为：40． 4．（24-25七年级下·浙江温州·期中）如图，，点在线段上，分别交，于点，点在线段上，于点，的角平分线与的角平分线交于点，若，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质及角平分线的定义，熟知平行线的性质及角平分线的定义是解题的关键．延长交于点，令的度数为，用分别表示出和，据此得出的度数，再结合求出的值，进一步得出的度数，据此求出的度数即可． 【详解】解：延长交于点， 令的度数为， ． 平分， ． ， ，． ， ∴， ， ． 平分， ， ． ， ． ， ∴， ． ， ． 故答案为：． 5．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）如图，在三角形中，分别把其余的两个角平均分成两份，则 °． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握三角形内角和定理． 利用三角形内角和定理及角平分线的定义，逐步进行求解即可． 【详解】解：由三角形的内角和定理得， ， ∵把平均分成两份， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 6．当三角形中一个内角α是另一个内角γ的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．若“特征三角形”中三个角分别为α、β、γ，且，则角β的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是三角形内角和定理，掌握三角形内角和等于是解题的关键．分、两种情况，根据三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：当时，， 解得，， 则， 当时，， 解得，， 则， 则角的取值范围是， 故答案为：． 7．如图，点C在线段上，且平分，，点E在上，若，，，则的度数为 ． 【答案】/63度 【分析】根据平行线的性质及角平分线定义求出，，根据题意，设，则，在中，，从而有，解得，最后由，求得的值． 本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，综合运用题设条件是解题的关键． 【详解】解：， ， 平分， ， ∵， ， 设，则， ， ， 在中，， 又，， ， ，，，， ， ， 解得：， ， 故答案为： 8．如图，在中，，点为的中点，边的垂直平分线交，，于点，，，连接． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定及性质、线段垂直平分线的性质、三角形的内角和定理和外角的性质． （1）连接，根据线段垂直平分线的性质，先求得，根据等腰三角形三线合一的性质，求得即可． （2）根据等腰三角形三线合一的性质，可求得，根据三角形内角和定理可求得的度数，结合即可求得答案． 【详解】（1）证明：连接， 为线段的垂直平分线， ． ，点为的中点， 为线段的垂直平分线． ． ． ∴为等腰三角形； （2）解：，点为的中点， 为的平分线． ． ． ． ∵为等腰三角形， ． ． 9．如图，∠B＝30°，∠C＝50°，AD平分∠BAC，求∠DAC与∠ADB的度数． 【答案】， 【分析】根据三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义求出，根据三角形的外角性质求出． 【详解】解：，， ， 平分， ， ． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $