专题02 反比例函数七大常考题型（高效培优期中专项训练）数学沪科版九年级上册

专题02 反比例函数七大常考题型（高效培优期中专项训练） 考点01 已知比例系数求特殊图形的面积 考点02 根据图形面积求比例系数 考点03反比例函数图象综合判断 考点04 反比例函数与几何综合 考点05反比例函数实际应用 考点06求直线围成的图形面积 考点07 反比例函数与相似三角形综合 考点01 已知比例系数求特殊图形的面积 1．（24-25九年级上·安徽淮北·期中）如图，已知函数的图象经过直角三角形的斜边的中点，且与直角边相交于点．若的坐标为，则的面积为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 2．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）如图是双曲线和双曲线的图象，设点在上，轴于点，交于点，轴于点，交于点，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 3．（22-23九年级上·安徽合肥·期中）如图，反比例函数（）的图象上有一点，轴于点，点在轴上，则的面积为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 4．（22-23九年级上·安徽·期中）如图，在反比例函数的图象上有一动点，连接，的图象经过的中点，过点作轴交函数的图象于点，连接，则的面积为（    ）    A．4 B．3 C． D． 5．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）如图，点A是反比例函数的图象上一点，过点A作垂直于轴，C，D在轴上，，则平行四边形的面积是（     ） A．3 B．6 C．12 D．24 6．（22-23九年级上·安徽滁州·期中）如图，已知，，，…，…是轴上的点，且，分别过点，，，…，，…作轴的垂线交反比例函数的图象于点，，，…，，过点作于点，过点作于点，…，记的面积为，的面积为，的面积为．则 ． 考点02 根据图形面积求比例系数 7．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，的顶点分别在坐标轴和反比例函数的图象上，并且的面积为6，则k的值为（   ） A．6 B． C．3 D． 8．（24-25九年级上·安徽马鞍山·期中）如图，点在双曲线上，点在双曲线上，轴，点是轴上一点，连接、，若的面积是4，则的值（    ） A． B．7 C． D． 9．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，A是双曲线上的一点，点C是的中点，过点C作y轴的垂线，垂足为D，交双曲线于点B，且的面积是3，则（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 10．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，矩形中，点B在反比例函数的图象上，与反比例函数交于点D，若的面积为2，则k的值是 ． 11．（23-24九年级上·安徽马鞍山·期末）如图，过反比例函数图象上的一点作轴的平行线交反比例函数于点．连接、．若，则的值为 ． 考点03反比例函数图象综合判断 12．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）如图，同一平面直角坐标系中，抛物线与双曲线的图象大致为（   ） A． B． C． D． 13．（24-25九年级上·安徽安庆·期中）如图所示，一次函数与反比例函数的图象在第二象限内有两个交点，如图所示，则二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 14．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）在同一平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 考点04一次函数与反比例函数的交点问题 15．（24-25九年级上·安徽亳州·期中）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点．在轴上有一点，使的值最小，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 16．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）如图，直线与双曲线交于点，作轴于点．平移直线使其经过点，得到直线，与双曲线交于点，作轴于点．作轴，交直线于点，反比例函数的图象是一条经过点的双曲线．则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 17．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴交于A，B两点，且与反比例函数的图象交于点C，D，则的面积为 ． 18．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）如图，已知反比例函数与一次函数的图象交于点、，且，则的值为 ． 19．（24-25九年级上·安徽亳州·期中）如图，反比例函数的图象与等边的边，分别交于点（点不与点重合）．若于点，则的边长为 ． 20．（24-25九年级上·安徽六安·期中）如图，反比例函数与一次函数的图象交于，两点，一次函数的图象经过点．点为轴上一动点，当的周长最小时，点的坐标是 ． 21．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点． (1)求该正比例函数和反比例函数的表达式； (2)若正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点，则m的值为______； (3)直接写出不等式组的解集为______． 考点04 反比例函数与几何综合 22．（23-24九年级上·安徽滁州·期中）如图，直线与双曲线交于两点，轴于点，连接交轴于点．下列结论：①；②的面积为定值；③是的中点；④．其中正确的结论有（    ）    A．个 B．个 C．个 D．个 23．（23-24九年级上·安徽滁州·期中）如图，等腰直角和正方形上点B、D在函数的图象上，点A、C均在x轴上，则的长度为（　　） A． B． C． D．3 24．（23-24九年级上·安徽安庆·期中）如图，在中，，，轴，点D是的中点，点C、D在的图象上，则k的值为（　　） A． B． C． D． 25．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）如图，反比例函数（）的图象与矩形在第一象限相交于，两点，，连接，，，若的面积为12，则的值为 ． 26．（22-23九年级上·安徽滁州·期中）如图，正方形的边在x轴的正半轴上，，．反比例函数的图象与边交于点E，与边交于点F．已知，则等于 27．（23-24九年级上·安徽宿州·期中）如图，点A在直线上，轴于点B，点C在线段上，以为边作正方形，点D恰好在反比例函数（k为常数，）第一象限的图象上，连接． （1）若，，则 ； （2）若，则 ． 28．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）如图，直线与双曲线交于点A，点是直线上一点，且． （1） ； （2）过点B作轴于点C，作交双曲线于点D，过点D作于点E，则 ． 29．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）已知是直线上两点，分别过点和点作轴，和分别交双曲线于点和点，连接． （1）直线和双曲线的交点坐标为 ； （2）若，则的值为 ． 考点05反比例函数实际应用 30．(2024-2025学年九年级上安徽省蚌埠市五河县九年级联考期中 )很多学生由于用眼不科学，导致视力下降，需要佩戴眼镜．研究发现，近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例函数关系，其函数图象如图所示． (1)当近视眼镜的度数是200度时，镜片焦距是多少米？ (2)明明原来佩戴275度的近视眼镜，经过一段时间的矫正治疗并注意用眼健康，复查验光后，所配镜片的焦距调整到了0.4米，则明明的眼镜度数下降了多少度？ 31．(2024--2025学年九年级上安徽省安庆市怀宁县期中)某学校教室饮水机4分钟就可以将的饮用水加热到．此后停止加热，水温开始下降．如图所示，已知整个下降过程中水温与通电时间成反比例关系． (1)求y与x的函数解析式； (2)学生饮用水时必须在水从加热到，然后降温到方可使用．求从饮水机加热开始，到可以饮用需要等待多长时间？ 32．（2024--2025学年九年级上安徽省六安市金安区智恒学校期中 ）研究表明，科学家发现人的眼疲劳系数y与睡眠时间t之间的函数关系如图所示．其中，当睡眠时间在时，眼疲劳系数y是睡眠时间t的反比例函数；当睡眠时间在时，眼疲劳系数y是睡眠时间t的一次函数，且当睡眠时间达到6小时后，眼疲劳系数为0，根据图象回答下列问题： (1)求眼疲劳系数y关于睡眠时间t之间的函数关系式； (2)小明睡眠了小时后，再连续睡眠了4小时，此时他的眼疲劳系数恰好减少了4，求t的值． 33．（2024-2025学年九年级上安徽省天长市铜城中学期中）通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标数随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标数y随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示，当和时，图象是线段：当时，图象是双曲线的一部分，根据函数图象回答下列问题： (1)求注意力指标数y随时间x（分钟）的函数表达式； (2)已知为了让学生在听数学综合题讲解时能完全理解和接受，注意力指标不低于30，而张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要8分钟，则这节课张老师至多能讲解几道数学综合题能让学生完全理解和接受． 34．（2024-2025学年九年级上安徽省合肥市五十中学天鹅湖校区期中）某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的压强是气体体积的反比例函数，其图象如图所示，点在该图象上． (1)求该函数的表达式； (2)当气球内的体积小于时气球将爆炸，为了安全起见，气体的压强不大于多少？ 考点06求直线围成的图形面积 35．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，已知一次函数与反比例函数的图象交于点，．    (1)求，的值． (2)求的面积． (3)观察函数图象，当时，直接写出的取值范围． 36．（24-25九年级上·安徽淮北·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于、两点，与轴相交于点，已知点的坐标为． (1)求反比例函数的解析式； (2)点为反比例函数图象上任意一点，若，求点的坐标； (3)直接写出不等式的解集． 37．（24-25九年级上·安徽马鞍山·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限内的A、B两点，与y轴交于点C，过点A作轴，垂足为M，，点B的纵坐标为． (1)求反比例函数表达式和一次函数的解析式； (2)直接写出当时，自变量的取值范围； (3)连接、，求的面积； 38．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）如图，已知一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数的图象交于点和两点． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)根据图象，求出使反比例函数的值大于一次函数的值的的取值范围； (3)点在反比例函数（）的图象上，若，求点的坐标． 39．（24-25九年级上·安徽安庆·期中）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和． (1)求一次函数的表达式和m值 (2)请根据图象，直接写出不等式的解集； (3)点P是线段上一点，过点P作轴于点D，连接，若的面积为S，则S的最小值为______． 40．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数的图象交于，两点，点的横坐标为，轴，垂足为，连接． (1)求的值； (2)的面积； (3)直接写出时的取值范围． 41．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，两点，与轴相交于点． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)若点与点关于轴对称，求的面积； (3)根据图象直接写出不等式的解集． 42．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点． (1)求反比例函数的解析式； (2)根据图象直接写出满足时x的取值范围． (3)连接并延长交的另一支于点C，连接，求的面积． 43．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，点A的横坐标是2，点B的纵坐标是．    (1)求反比例函数的表达式； (2)根据图象写出x取何值时，； (3)求的面积． 44．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，． (1)求反比例函数的表达式； (2)直接写出关于的不等式的解集：___________； (3)连接，，求的面积． 45．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）如图，直线与双曲线相交于点和点，直线与轴、轴分别交于点，点． (1)求，，的值； (2)的面积为 ； (3)直接写出不等式的解集： ． 考点07 反比例函数与相似三角形综合 46．（24-25九年级上·安徽安庆·期中）如图，已知双曲线和，直线与双曲线交于点，将直线向下平移与双曲线交于点，与轴交于点，与双曲线交于点，， ，则的值为（ ） A． B． C． D． 47．（24-25九年级上·安徽安庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，的边在x轴上，顶点D在y轴的正半轴上，点C在第一象限，将沿y轴翻折，使点A落在x轴上的点E处，点B恰好为的中点，与交于点F．若反比例图象经过点C，且的面积为2， （1）的面积为 ；（2）k的值为 ． 48．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，反比例函数的图象分别交矩形的边、于点D、E，，，则 ；连接．若把沿翻折，点B恰好落在x轴上的点F处，则k的值为 ． 49．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，矩形的两个顶点A、B都在反比例函数的图象上，经过原点O，对角线垂直于x轴，垂足为E，已知点A的坐标为． (1)求直线和反比例函数的解析式； (2)求B到的距离； (3)直接写出长． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 反比例函数七大常考题型（高效培优期中专项训练） 考点01 已知比例系数求特殊图形的面积 考点02 根据图形面积求比例系数 考点03反比例函数图象综合判断 考点04 反比例函数与几何综合 考点05反比例函数实际应用 考点06求直线围成的图形面积 考点07 反比例函数与相似三角形综合 考点01 已知比例系数求特殊图形的面积 1．（24-25九年级上·安徽淮北·期中）如图，已知函数的图象经过直角三角形的斜边的中点，且与直角边相交于点．若的坐标为，则的面积为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积、求反比例函数解析式 【分析】本题考查了反比例函数系数k值的几何意义，熟练掌握反比例函数系数k值的几何意义是关键．根据中点求出点D坐标，得到反比例函数解析式，根据k值的几何意义解答即可． 【详解】解：∵D是的中点，且的坐标为， ∴， ∵点D在反比例函数图象上， ∴， ∴反比例函数解析式为， ∴， 故选：C． 2．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）如图是双曲线和双曲线的图象，设点在上，轴于点，交于点，轴于点，交于点，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用网格求三角形面积、已知比例系数求特殊图形的面积 【分析】本题主要考查了反比例函数系数的几何意义，三角形的面积公式等知识点，熟练掌握反比例函数系数的几何意义是解题的关键． 根据已知条件求出矩形的面积，以及的面积与的面积，用矩形的面积减去两个三角形的面积就是四边形的面积． 【详解】解：设点的坐标为， 的解析式为， ， 则， 设点的坐标为， 的解析式为， ， 则， 设点的坐标为， 的解析式为， ， 则， ， 故选：C． 3．（22-23九年级上·安徽合肥·期中）如图，反比例函数（）的图象上有一点，轴于点，点在轴上，则的面积为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积 【分析】设P的坐标是，则，中，边上的高长度等于，根据的面积即可求解． 【详解】∵反比例函数（）的图象上有一点， ∴设P的坐标是， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于．本知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注． 4．（22-23九年级上·安徽·期中）如图，在反比例函数的图象上有一动点，连接，的图象经过的中点，过点作轴交函数的图象于点，连接，则的面积为（    ）    A．4 B．3 C． D． 【答案】D 【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积 【分析】设 ，则的中点为 即可求得 表示出的坐标， 即可表示出，利用三角形面积公式求得 【详解】∵动点在反比例函数的图象上, ∴设 ，则的中点为 ， 的图象经过点， ， ， ∵过点作轴交函数的图象于点, ∴的纵坐标 把 代入得, ， ， ， 故选:. 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征和反比例函数系数的几何意义，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会构建一次函数确定交点坐标. 5．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）如图，点A是反比例函数的图象上一点，过点A作垂直于轴，C，D在轴上，，则平行四边形的面积是（     ） A．3 B．6 C．12 D．24 【答案】B 【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积 【分析】作于，根据四边形为平行四边形得轴，则可判断，根据反比例函数的几何意义得到，据此即可得到答案． 【详解】解：过点作于，如图， 四边形为平行四边形， 轴， ， ， ， 故选B． 【点睛】本题考查了反比例函数系数的几何意义，解题的关键是掌握从反比例函数图象上任意一点向轴和轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为． 6．（22-23九年级上·安徽滁州·期中）如图，已知，，，…，…是轴上的点，且，分别过点，，，…，，…作轴的垂线交反比例函数的图象于点，，，…，，过点作于点，过点作于点，…，记的面积为，的面积为，的面积为．则 ． 【答案】 【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积 【分析】设，，，…，对应的x值为 …B点对应y值为 …，根据比例函数表示出y值，即可得到三角形面积规律，求解即可． 【详解】解：设，，，…，对应的x值为 …B点对应y值为，由题意可得， ∵， ∴ … ， ∴ ，，，… ∴ ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查反比例函数上点规律问题，解题的关键是找到三角形高的规律关系． 考点02 根据图形面积求比例系数 7．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，的顶点分别在坐标轴和反比例函数的图象上，并且的面积为6，则k的值为（   ） A．6 B． C．3 D． 【答案】A 【知识点】根据矩形的性质与判定求面积、根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】本题主要考查了反比例函数k值的意义，过点C作轴于点E，证明四边形为矩形，得出，求出结果即可． 【详解】解：过点C作轴于点E，如图所示： 则， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∵反比例函数图象在第一象限， ∴． 故选：A． 8．（24-25九年级上·安徽马鞍山·期中）如图，点在双曲线上，点在双曲线上，轴，点是轴上一点，连接、，若的面积是4，则的值（    ） A． B．7 C． D． 【答案】C 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，反比例函数的图象，连接，设与轴交点为，得到，再利用反比例函数系数的几何意义，得到，，然后根据列方程求出的值，再结合函数图象即可得到答案，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，设与轴交点为， ∵轴， ∴轴，， ∵点在双曲线上，点在双曲线上， ∴，， ∴， 解得， ∵双曲线分布在二、四象限， ∴， ∴， 故选：． 9．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，A是双曲线上的一点，点C是的中点，过点C作y轴的垂线，垂足为D，交双曲线于点B，且的面积是3，则（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【知识点】根据三角形中线求面积、根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】本题考查了三角形中线的性质，反比例函数的的几何意义，掌握反比例函数的几何意义是解题的关键． 根据点C是的中点，根据三角形中线的可得，进而可得，根据点B在双曲线上，轴，以及，进而即可求解． 【详解】解：点C是的中点， ∴， ∴ ∴ 点B在双曲线上，轴， ∴ 双曲线经过第一象限 故选：B． 10．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，矩形中，点B在反比例函数的图象上，与反比例函数交于点D，若的面积为2，则k的值是 ． 【答案】2 【知识点】根据矩形的性质求面积、根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】此题考查了矩形的性质、反比例函数的图象和性质．先求出的面积为，则可得的面积为，设点D的坐标是，，根据与反比例函数交于点D，即可得到． 【详解】解：∵矩形中，点B在反比例函数的图象上， ∴矩形的面积为， ∴的面积为， ∵的面积为2， ∴的面积为， 设点D的坐标是， ∴， ∴， ∵与反比例函数交于点D， ∴， 故答案为：2 11．（23-24九年级上·安徽马鞍山·期末）如图，过反比例函数图象上的一点作轴的平行线交反比例函数于点．连接、．若，则的值为 ． 【答案】 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】本题考查了反比例函数的的几何意义，令交轴于，由题意可，求出，即可得解． 【详解】解：如图：令交轴于， ∵点在反比例函数上，且轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 考点03反比例函数图象综合判断 12．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）如图，同一平面直角坐标系中，抛物线与双曲线的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】反比例函数、二次函数图象综合判断 【分析】本题考查了二次函数的图象和双曲线的图象，先根据抛物线图象确定a与0的大小，再判断双曲线图象是否满足条件即可． 【详解】解：， ∴对称轴为， A、由抛物线图象可知，对称轴，所以双曲线的图象应该在第一、三象限，故选项A符合题意； B、由抛物线图象可知，所以双曲线的图象应该在第二、四象限，故选项B不符合题意； C、由抛物线图象可知，对称轴，故选项C不符合题意； D、由抛物线图象可知，所以双曲线的图象应该在第一、三象限，故选项D不符合题意； 故选：A． 13．（24-25九年级上·安徽安庆·期中）如图所示，一次函数与反比例函数的图象在第二象限内有两个交点，如图所示，则二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】二次函数图象与各项系数符号、一次函数与反比例函数图象综合判断 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，掌握函数图象与系数的关系是解题关键．根据一次函数与反比例函数的图象，得到，，，从而得到二次函数的开口方向、对称轴以及与轴交点，再根据当时，一次函数图象在反比例函数图象上方，得出，即可确定图象． 【详解】解：由函数图象可知，，，， 二次函数的图象开口向上，对称轴在轴左侧，与轴交点在正半轴， 当时，一次函数图象在反比例函数图象上方， 当时，，即， A选项图象符合题意， 故选：A． 14．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）在同一平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】一次函数与反比例函数图象综合判断 【分析】本题考查的是反比例函数及一次函数图象，解题的关键是先根据反比例函数所在的象限判断出的符号，再根据一次函数的性质进行解答．分别根据反比例函数及一次函数图象的特点对四个选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A．由反比例函数的图象在一、三象限可知，，，一次函数的图象应该经过一、二、四象限，故本选项不符合题意； B．由反比例函数的图象在一、三象限可知，，，一次函数的图象应该经过一、二、四象限，故本选项符合题意； C．由反比例函数的图象在二、四象限可知，，，一次函数的图象应该经过一、三、四象限，故本选项不符合题意； D由反比例函数的图象在二、四象限可知，，，一次函数的图象应该经过一、三、四象限，故本选项不符合题意； 故选：B． 考点04一次函数与反比例函数的交点问题 15．（24-25九年级上·安徽亳州·期中）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点．在轴上有一点，使的值最小，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求一次函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题、求反比例函数解析式、坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，一次函数与反比例函数的综合，线段和的最小值，解题的关键是正确做出辅助线． 把点代入一次函数，即可得出，再把点坐标代入反比例函数，即可得出，两个函数解析式联立求得点坐标；作点作关于y轴的对称点，连接，交y轴于点，此时的值最小，然后求出的解析式，即可求得． 【详解】解：把点代入一次函数， 得， 解得， ， 点代入反比例函数，得， ∴反比例函数的表达式， 两个函数解析式联立列方程组得， 解得：， ， 作点作关于y轴的对称点，交y轴于点，连接，交y轴于点， 此时的值最小， ， ， 设直线的解析式为， 把和代入得，， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴取得最小值时，． 故选：D． 16．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）如图，直线与双曲线交于点，作轴于点．平移直线使其经过点，得到直线，与双曲线交于点，作轴于点．作轴，交直线于点，反比例函数的图象是一条经过点的双曲线．则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知两点坐标求两点距离、求一次函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题、求反比例函数解析式 【分析】设，得，，确定直线的解析式为，联立，得，，设，得，继而得到，，可判断A；根据，，点、在双曲线上，推出，，可判断B；根据两点间距离求出，，可判断C；求出，，可判断D． 【详解】解：设， ∵直线与双曲线交于点， ∴， ∵轴， ∴， 设直线的解析式为，过点， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 联立， ∴，即， 解得：或（负值不符合题意，舍去） ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∵轴，交直线于点，设， ∴， ∵点在直线：和反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴， A．∵，， ∴，该选项结论正确，故此选项不符合题意； B．∵，， 又∵，， ∵点、在双曲线上， ∴， ∴， ∴，该选项结论正确，故此选项不符合题意； C．∵，，， ∴， ， ∴，该选项结论错误，故此选项符合题意； D．∵，，， ∴，， ∴，该选项结论正确，故此选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法确定函数解析式，平移的性质，函数图象上点的坐标特征，坐标与图形，两点间距离，等积变换等知识点．利用联立方程组求函数图象的交点坐标是解题的关键． 17．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴交于A，B两点，且与反比例函数的图象交于点C，D，则的面积为 ． 【答案】8 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题．根据题意求出，及的面积即可解决问题． 【详解】解：由方程得， ，， 将代入得，． 将代入得，， 所以点D的坐标为，点C的坐标为． 将代入得，， 所以点B的坐标为． 将代入得，， 所以点A的坐标为， 则， ， ， 所以． 故答案为：8． 18．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）如图，已知反比例函数与一次函数的图象交于点、，且，则的值为 ． 【答案】 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】此题考查了反比例函数和一次函数交点问题，先由一次函数的图象与轴正半轴交于点，求出，则有，再根据即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵一次函数的图象与轴正半轴交于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 19．（24-25九年级上·安徽亳州·期中）如图，反比例函数的图象与等边的边，分别交于点（点不与点重合）．若于点，则的边长为 ． 【答案】 【知识点】求一次函数解析式、含30度角的直角三角形、一次函数与反比例函数的交点问题、等边三角形的性质 【分析】分别过点作的垂线，垂足分别为，设，由正三角形的性质求出和的坐标，进而得到的解析式，联合反比例函数解析式求出点的坐标，进而得到的长度，得到的长度，再利用含角的直角三角形的性质得到，进而得到，再用含角的直角三角形的性质得，进而求出的横坐标，根据点的坐标求出解析式，结合反比例函数的图象，交于点，得到，将点的横坐标代入解方程即可求解． 【详解】解：分别过点作的垂线，垂足分别为，如下图 设， 是正三角形， ，， ，， ， ． 设的解析式为， ， ， 的解析式为：. 反比例函数的图象交于点， ， 解得， ， ， ． 在中，， ， ， ． 在中，， ， ， ， 即点的横坐标为． 设的解析式为， 将点两点坐标代入得， 解得， 的解析式为：。 反比例函数的图象，交于点， ， 整理得， 将点的横坐标代入得 ， 整理得， 解得，（与矛盾，舍去）， 的边长为． 故答案为：． 【点晴】本题主要考查了等边三角形的性质，含角的直角三角形性质，一次函数解析式的求法，勾股定理，一次函数与反比例函数交点坐标的求法，作出辅助线，构建含角的直角三角形是解答关键． 20．（24-25九年级上·安徽六安·期中）如图，反比例函数与一次函数的图象交于，两点，一次函数的图象经过点．点为轴上一动点，当的周长最小时，点的坐标是 ． 【答案】 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解、求一次函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题、求反比例函数解析式 【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，轴对称的性质，解方程组即可确定的坐标，进而求得的值，解求得点的坐标，根据轴对称的性质求得直线的解析式，从而求得点的坐标，求得交点坐标是解题的关键． 【详解】解：由解得， ， 反比例函数经过点， ， 反比例函数的解析式为， 解， 得， 经检验是原方程的解， 当时，， ， 如图，作点关于轴的对称点，连接，交轴于，此时的周长最小， ， ， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 令，则， 点的坐标为， 故答案为：． 21．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点． (1)求该正比例函数和反比例函数的表达式； (2)若正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点，则m的值为______； (3)直接写出不等式组的解集为______． 【答案】(1)， (2) (3) 【知识点】求一次函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题、求反比例函数解析式 【分析】本题考查了正比例函数与反比例函数的图象与性质，熟练掌握正比例函数与反比例函数的性质是解题关键． （1）把代入正比例函数与反比例函数的解析式求解可得； （2）先求出m的值，然后把B点坐标代入反比例函数解析式即可； （3）根据函数的图象回答即可． 【详解】（1）解：把代入和得： ，， 解得：，， ∴解析式为，； （2）把代入得：， 故答案为：； （3）由图象可得不等式组的解集为为， 故答案为：． 考点04 反比例函数与几何综合 22．（23-24九年级上·安徽滁州·期中）如图，直线与双曲线交于两点，轴于点，连接交轴于点．下列结论：①；②的面积为定值；③是的中点；④．其中正确的结论有（    ）    A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【知识点】反比例函数与几何综合 【分析】本题主要考查反比例函数与图形的综合，掌握反比例图象的性质，几何图形面积的计算方法是解题的关键． 如图所示，过点作轴于点，根据直线与双曲线交于两点，设，，根据题意可求出，，根据勾股定理定理可判定结论①；根据全等三角形可得，可判定结论②；根据平行线分线段成比例可判定结论③；根据几何图形面积的计算方法可判定结论④． 【详解】解：如图所示，过点作轴于点，    ∵两点在双曲线的图象上，轴于点，轴于点， ∴设，，则，， ∵两点在直线的图象上， ∴，， ∴， ∴，则， ∴， ∴，即， ∵， ∴，故结论①正确； 根据上述证明可得，在中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴的面积为定值，故结论②正确； 由上述证明可知，，即点是的中点， ∵轴于点， ∴轴，即， ∴， ∴点是的中点，故结论③正确； ∵轴于点， ∴，且是中点， ∴， ∴，且， ∴，故结论④错误； 综上所述，正确的有①②③，共个， 故选：． 23．（23-24九年级上·安徽滁州·期中）如图，等腰直角和正方形上点B、D在函数的图象上，点A、C均在x轴上，则的长度为（　　） A． B． C． D．3 【答案】B 【知识点】反比例函数与几何综合、根据正方形的性质求线段长 【分析】本题主要考查了反比例函数图像的性质以及等腰直角三角形的性质，利用数形结合是解题的关键．设点，将点代入解析式求出，设点的纵坐标为，得出横坐标为，代入解析式即可求出答案． 【详解】解：等腰直角， ， 设点，将点代入解析式， ， ， ， 正方形，设点的纵坐标为， ， ， 将点代入解析式， ， ． 故选B． 24．（23-24九年级上·安徽安庆·期中）如图，在中，，，轴，点D是的中点，点C、D在的图象上，则k的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】坐标与图形、反比例函数与几何综合 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，坐标与图形性质，设，根据题意，由于点C、D在的图象上，即可得到，解得． 【详解】解：设，根据题意， ∵点D是的中点， ∴， ∵点C、D在的图象上， ∴， 解得， ∴， 故选：D． 25．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）如图，反比例函数（）的图象与矩形在第一象限相交于，两点，，连接，，，若的面积为12，则的值为 ． 【答案】 【知识点】根据矩形的性质求线段长、反比例函数与几何综合 【分析】本题考查了反比例函数与几何的综合问题，反比例函数图象上的点的坐标特征，利用割补法求解是解题的关键．先表示，再由建立方程求解． 【详解】解：∵， ∴，则， ∵四边形是矩形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：或（舍）， 故答案为：16． 26．（22-23九年级上·安徽滁州·期中）如图，正方形的边在x轴的正半轴上，，．反比例函数的图象与边交于点E，与边交于点F．已知，则等于 【答案】2 【知识点】反比例函数与几何综合、根据正方形的性质求线段长 【分析】本题主要考查了反比例函数图像上的点的坐标特征，正方形的性质，坐标与图形，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 根据正方形的性质得到，而，则，可得到E点坐标为，从而确定，再根据F点的纵坐标为4，且F在反比例函数上，得到F点的横坐标为6，由此求解即可． 【详解】解：∵四边形为正方形，且，． ∴， ∵， ∴， ∴E点坐标为， 把E点坐标代入反比例函数， 得， ∴ 又∵F点的纵坐标为4，且F点在反比例函数的图像上， ∴，解得 ∴F点的横坐标为6， ∴． 故答案为：2． 27．（23-24九年级上·安徽宿州·期中）如图，点A在直线上，轴于点B，点C在线段上，以为边作正方形，点D恰好在反比例函数（k为常数，）第一象限的图象上，连接． （1）若，，则 ； （2）若，则 ． 【答案】 16 14 【知识点】反比例函数与几何综合、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】（1）根据，可以计算出点的坐标为，进而计算出的值； （2）设正方形的边长为，，则，，利用等腰直角三角形的性质得，，点在反比例函数的图象上，，可得，再代入计算． 【详解】解：（1）∵点A在直线上，， ∴，即， ，， ，点的横坐标为：， 点的坐标为：， ． 故答案为：16； （2）设正方形的边长为，， 则，， ，， 点在反比例函数的图象上，， ，即， ， 故答案为：14． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，正方形的性质，勾股定理，平方差公式，等腰直角三角形的判定和性质． 28．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）如图，直线与双曲线交于点A，点是直线上一点，且． （1） ； （2）过点B作轴于点C，作交双曲线于点D，过点D作于点E，则 ． 【答案】 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、反比例函数与几何综合 【分析】本题考查平行线分线段成比例，求反比例函数的解析式，等腰直角三角形的判定与性质，先根据平行线分线段成比例，求出点A的坐标即可得到，然后判断是等腰直角三角形，设，根据勾股定理和因式分解解题即可． 【详解】解：过点A作轴于点F， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴点A的坐标为， ∴， ∴反比例函数解析式为， ∵，， ∴， 设，则， 即点D的坐标为， ∴， ∴， 故答案为：，． 29．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）已知是直线上两点，分别过点和点作轴，和分别交双曲线于点和点，连接． （1）直线和双曲线的交点坐标为 ； （2）若，则的值为 ． 【答案】 8 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题、用勾股定理解三角形、反比例函数与几何综合 【分析】本题考查正比例函数与反比例函数的综合问题，几何与反比例函数综合问题，运用数形结合思想解题是解题的关键． （1）令解得，舍去负值并计算出y值即可得解； （2）延长和分别交轴于点和点，设， ．同理设，则．利用得出，运用勾股定理求出，，从而代入中整体代换消去字母得解． 【详解】解：（1）根据题意，得， 解得或(舍去)， 则， 直线和双曲线的交点坐标为． （2）如图，延长和分别交轴于点和点． 则，，即和都是等腰直角三角形． 设，则， ． 同理设，则， ． 又， ，两边同时平方，得， 即． 在中，， 同理， ， 故答案为：（1）；（2）8． 考点05反比例函数实际应用 30．(2024-2025学年九年级上安徽省蚌埠市五河县九年级联考11月期中 )很多学生由于用眼不科学，导致视力下降，需要佩戴眼镜．研究发现，近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例函数关系，其函数图象如图所示． (1)当近视眼镜的度数是200度时，镜片焦距是多少米？ (2)明明原来佩戴275度的近视眼镜，经过一段时间的矫正治疗并注意用眼健康，复查验光后，所配镜片的焦距调整到了0.4米，则明明的眼镜度数下降了多少度？ 【答案】(1)0.5米 (2)25度 【知识点】实际问题与反比例函数、求反比例函数解析式 【分析】本题考查用待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数的应用，（1）利用待定系数法求得反比例函数解析式为，再把代入求解即可； （2）把代入，求得，再作差即可求解． 【详解】（1）解：设近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）反比例函数解析式为， 由图可得，当时，， ∴， ∴反比例函数解析式为， 当时，， 答：当近视眼镜的度数是200度时，镜片焦距是0.5米． （2）解：当时，， ∴（度）， 答：明明的眼镜度数下降了25度． 31．(2024--2025学年九年级上安徽省安庆市怀宁县期中)某学校教室饮水机4分钟就可以将的饮用水加热到．此后停止加热，水温开始下降．如图所示，已知整个下降过程中水温与通电时间成反比例关系． (1)求y与x的函数解析式； (2)学生饮用水时必须在水从加热到，然后降温到方可使用．求从饮水机加热开始，到可以饮用需要等待多长时间？ 【答案】(1) (2)从饮水机加热开始，到可以使用需要等待 【知识点】从函数的图象获取信息、求一次函数解析式、其他问题(一次函数的实际应用)、实际问题与反比例函数 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的应用，理解题意，掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．注意数形结合思想的应用． （1）分两种情况：①当时，②当时，利用待定系数法即可求出与的函数解析式； （2）令（1）中求得的函数解析式，求出的值即为需要等待的时间． 【详解】（1）解：①当时 根据图象设， 其图象过点，则   解得： ∴， ②当时 ∵整个下降过程中y与通电时间x成反比例关系， ∴可设整个下降过程中水温， 其图象过点， ∴，解得， ∴； 综上，y与x的函数解析式为：． （2）解：依题意，令，得，解得， 答：从饮水机加热开始，到可以使用需要等待10min． 32．（2024--2025学年九年级上安徽省六安市金安区智恒学校期中 ）研究表明，科学家发现人的眼疲劳系数y与睡眠时间t之间的函数关系如图所示．其中，当睡眠时间在时，眼疲劳系数y是睡眠时间t的反比例函数；当睡眠时间在时，眼疲劳系数y是睡眠时间t的一次函数，且当睡眠时间达到6小时后，眼疲劳系数为0，根据图象回答下列问题： (1)求眼疲劳系数y关于睡眠时间t之间的函数关系式； (2)小明睡眠了小时后，再连续睡眠了4小时，此时他的眼疲劳系数恰好减少了4，求t的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】一次函数与反比例函数的实际应用 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的综合应用，解题的关键是仔细读题，求出函数解析式． （1）根据图像经过点和点，利用待定系数法求出反比例函数解析式和一次函数解析式即可； （2）分当，即时，当，即时，两种情况根据眼疲劳系数恰好减少了4，列出方程即可求解． 【详解】（1）解：当睡眠时间不大于4小时（）时，眼睛疲劳系数是睡眠时间的反比例函数． 设这个反比例函数表达式为， ∵图像经过点， ∴． 解得． ∴眼眼疲劳系数与睡眠时间之间的函数表达式为； 当时，设眼睛疲劳系数与睡眠时间之间的函数表达方式为， ∵图像经过点和， ∴， ∴解得， ∴眼睛疲劳系数与睡眠时间之间的函数表达式是； 综上所述，； （2）解：∵， ∴， 当，即时， ∵小明睡眠了小时后，再连续睡眠了4小时，此时他的眼疲劳系数恰好减少了4， ∴， 解得：或（舍去）； 当，即时， ∵小明睡眠了小时后，再连续睡眠了4小时，此时他的眼疲劳系数恰好减少了4， ∴， 解得：（舍去）； 综上所述，． 33．（2024-2025学年九年级上安徽省天长市铜城中学期中）通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标数随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标数y随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示，当和时，图象是线段：当时，图象是双曲线的一部分，根据函数图象回答下列问题： (1)求注意力指标数y随时间x（分钟）的函数表达式； (2)已知为了让学生在听数学综合题讲解时能完全理解和接受，注意力指标不低于30，而张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要8分钟，则这节课张老师至多能讲解几道数学综合题能让学生完全理解和接受． 【答案】(1) (2)这节课张老师至多能讲解道数学综合题能让学生完全理解和接受． 【知识点】从函数的图象获取信息、其他问题(一次函数的实际应用)、实际问题与反比例函数 【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的应用，运用待定系数法求解出相关函数表达式以及正确的理解图象是解题的关键． （1）根据待定系数法求解即可； （2）当时，，解得，当时，，解得，根据图象可知，注意力指标不低于的时间为分钟，再根据讲解一道数学综合题需要8分钟即可得到答案． 【详解】（1）解：当时，图象是双曲线的一部分，图象经过点， 设， 则，解得， ∴； 当时，， ∴， ∴， 当时，图象是线段，则该段函数是一次函数，点， 设， 则，解得， ∴； 当时，， ∴注意力指标数y随时间x（分钟）的函数表达式为 （2）解：当时，， 解得，， 当时，， 解得，， 根据图象可知，注意力指标不低于的时间为（分钟）， ∵， ∴这节课张老师至多能讲解道数学综合题能让学生完全理解和接受． 34．（2024-2025学年九年级上安徽省合肥市五十中学天鹅湖校区（期中））某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的压强是气体体积的反比例函数，其图象如图所示，点在该图象上． (1)求该函数的表达式； (2)当气球内的体积小于时气球将爆炸，为了安全起见，气体的压强不大于多少？ 【答案】(1)函数关系式为 (2)为了安全起见，气体的压强不大于 【知识点】实际问题与反比例函数、求反比例函数解析式 【分析】本题考查了反比例函数的应用， （1）设与的函数关系式为，将点代入求解即可； （2）根据题意可得体积小于时，气球将爆炸，代入函数解析式求解即可． 【详解】（1）解：设与的函数关系式为，    则  ，解得， ∴函数关系式为． （2）当气球内的体积小于时，气球爆炸， ∴时，， 解得 故为了安全起见，气体的压强不大于． 考点06求直线围成的图形面积 35．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，已知一次函数与反比例函数的图象交于点，．    (1)求，的值． (2)求的面积． (3)观察函数图象，当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2)8 (3)或 【知识点】求一次函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题、求反比例函数解析式 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式、坐标与图形，利用数形结合思想求解是解答的关键． （1）先求得A、B坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）先求得一次函数图象与y轴的交点坐标，再利用坐标与图形性质和三角形的面积公式求解即可； （3）根据图象，求得一次函数的图象位于反比例函数的图象下方部分的点的横坐标的取值范围即可求解． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过点，， ∴，则，， ∴， ∵一次函数的图象点，， ∴， 解得，； （2）解：由（1）知，， 当，，则一次函数的图象与y轴的交点坐标为， ∵，， ∴的面积为； （3）解：根据图象，当或时，一次函数的图象位于反比例函数的图象下方， ∴当时，x的取值范围为或． 36．（24-25九年级上·安徽淮北·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于、两点，与轴相交于点，已知点的坐标为． (1)求反比例函数的解析式； (2)点为反比例函数图象上任意一点，若，求点的坐标； (3)直接写出不等式的解集． 【答案】(1) (2)点的坐标为或 (3)或 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题、求反比例函数解析式 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数综合； （1）根据点在直线上，得出进而将点坐标代入反比例函数解析式，待定系数法求解析式，即可； （2）将反比例函数解析式和一次函数解析式联立方程组得，，得出点坐标为，根据，建立方程，求得点纵坐标为9或，进而代入反比例函数，求得纵坐标，即可求解； （3）根据函数图象，即可求解． 【详解】（1）解：因为点在直线上，所以，解得． 故点坐标为． 将点坐标代入反比例函数解析式得，， 所以反比例函数的解析式为． （2）将反比例函数解析式和一次函数解析式联立方程组得，， 解得或． 故点坐标为． 又，即， 所以， 故点纵坐标为9或． 将代入得，． 将代入得，． 所以点的坐标为或． （3）根据函数图象可知，不等式的解集为：或． 37．（24-25九年级上·安徽马鞍山·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限内的A、B两点，与y轴交于点C，过点A作轴，垂足为M，，点B的纵坐标为． (1)求反比例函数表达式和一次函数的解析式； (2)直接写出当时，自变量的取值范围； (3)连接、，求的面积； 【答案】(1)； (2)或； (3)4 【知识点】求直线围成的图形面积、求一次函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题、求反比例函数解析式 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）运用待定系数法求出反比例函数解析式，即可得出点的坐标，再根据待定系数法求解即可得出一次函数的解析式； （2）根据函数图象即可得解； （3）先求出得到，再根据计算即可得解． 【详解】（1）解：∵轴，垂足为M，，， ∴， 把代入反比例函数，可得， 解得：， ∴反比例函数的解析式为； 令，则， ∴， 把，代入一次函数可得， 解得：， ∴一次函数的解析式为； （2）解：由图象可得：当时，自变量的取值范围为或； （3）解：在中，令，则，即， ∴， ∴． 38．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）如图，已知一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数的图象交于点和两点． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)根据图象，求出使反比例函数的值大于一次函数的值的的取值范围； (3)点在反比例函数（）的图象上，若，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)或 【知识点】求一次函数解析式、因式分解法解一元二次方程、一次函数与反比例函数的交点问题、求反比例函数解析式 【分析】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，坐标与图形性质，待定系数法求函数解析式，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （1）先用待定系数法求出一次函数解析式，然后再求出点坐标，最远求出反比例函数解析式即可； （2）先求出点M的坐标，找出反比例函数图象位于一次图象上方时的范围即可； （3）先求出，得出，设点坐标为，得出，求出c即可得出答案． 【详解】（1）解：一次函数（）的图象经过点和点， ， 解得， 一次函数的表达式是； 在一次函数的图象上， ，解得， 点的坐标为， 点在反比例函数（）的图象上， ， ， 反比例函数表达式为； （2）解：解方程组， 得或， 点坐标为， 点坐标为， 由图象可知，当或时，反比例函数的值大于一次函数的值； （3）解：点坐标为，点坐标为， ， ， ， 点在反比例函数的图象上， 设点坐标为， ， 解得， 点坐标为或． 39．（24-25九年级上·安徽安庆·期中）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和． (1)求一次函数的表达式和m值 (2)请根据图象，直接写出不等式的解集； (3)点P是线段上一点，过点P作轴于点D，连接，若的面积为S，则S的最小值为______． 【答案】(1)； (2)或 (3) 【知识点】求直线围成的图形面积、求一次函数解析式、一次函数与反比例函数图象综合判断、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】（1）将代入得b，即得一次函数的解析式为，将代入一次函数解析式得m； （2）求出，由图可得，根据直线在双曲线上方的部分的自变量的范围即的解集，即可求解； （3）由点P是线段上一点，可设，且，可得，根据二次函数的性质即可求得最小值． 【详解】（1）解：一次函数图象过点， ， 解得， 一次函数解析式是 在一次函数的图象上， ， ， （2）有（1）得点， 由图可得，一次函数与反比例函数的交点分别为点和， 则得解集为：或，； （3）∵点是线段上一点，设， ∴， ∴， ∵且， ∴当或时，有最小值，且最小值是． 故答案：. 40．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数的图象交于，两点，点的横坐标为，轴，垂足为，连接． (1)求的值； (2)的面积； (3)直接写出时的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3) 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题、求反比例函数解析式 【分析】本题主要考查待定系数法求函数解析式及函数的交点问题，熟练掌握一次函数和反比例函数的性质是解题的关键． （1）把点横坐标代入正比例函数可求得点坐标，代入反比例函数解析式可求得，可求得反比例函数解析式； （2）根据反比例函数的对称性得出点的坐标，再利用三角形的面积公式解答即可； （3）根据数形相结合即可求解． 【详解】（1）解：∵点在正比例函数上，且点的横坐标为， 把代入中，得到， ∴点坐标为， ∵点在反比例函数图象上， 将代入到反比例函数得， ； （2）解：∵， ∴反比例函数的表达式为， ∵正比例函数与反比例函数都是关于原点成中心对称图形， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴对应的函数图像反比例函数在正比例函数上方，且在第一象限， ∵， ∴由图可得当时，． 41．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，两点，与轴相交于点． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)若点与点关于轴对称，求的面积； (3)根据图象直接写出不等式的解集． 【答案】(1)一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为； (2) (3)不等式的解集为或． 【知识点】求一次函数解析式、一次函数与反比例函数图象综合判断、一次函数与反比例函数的交点问题、求反比例函数解析式 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，掌握待定系数法求函数解析式的一般步骤、利用数形结合的思想求不等式的解集是解题的关键． （1）利用待定系数法求解反比例函数解析式，再求出点B的坐标，再用待定系数法求出一次函数表达式即可； （2）分别求出C，D的坐标，再求出点到的距离，根据三角形面积公式计算即可； （3）根据图象求解即可． 【详解】（1）解：反比例函数的图象经过点， ， 点在上， ， ． 把，坐标代入，则， 解得， 一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为； （2）解：由（1）知直线，， 直线交轴于， ， ，关于轴对称， ， ， 轴，． 点到的距离为． ． （3）解：根据图象得：不等式的解集为或． 42．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点． (1)求反比例函数的解析式； (2)根据图象直接写出满足时x的取值范围． (3)连接并延长交的另一支于点C，连接，求的面积． 【答案】(1) (2)或 (3)8 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题、一次函数与反比例函数的其他综合应用、求反比例函数解析式 【分析】本题考查一次函数和反比例函数的交点问题，用待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积等知识点的综合运用，主要考查数形结合思想的运用． （1）由反比例函数的性质可得，求解即可求出函数的解析式； （2）根据函数的图象和A、B的坐标即可得出答案； （3）过C点作轴，交直线于D，求出D的坐标，即可求得，然后根据 即可求出答案． 【详解】（1）解：由题意得，解得， ， 即反比例函数的解析式为； （2）解：∵， ∴， 由图象和两函数交点坐标，可知， 不等式的解集为：或； （3）解：如图，过点C作x轴的平行线交直线于点D， 由反比例函数图象的中心对称性质可知， ∵，在一次函数的图象上， ，解得， ∴直线解析式为：， 当时，， ∴， 43．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，点A的横坐标是2，点B的纵坐标是．    (1)求反比例函数的表达式； (2)根据图象写出x取何值时，； (3)求的面积． 【答案】(1) (2)或 (3)6 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题、求反比例函数解析式 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题、待定系数法求一次函数解析式、三角形面积公式，求出A、B、C三点的坐标是解此题的关键． （1）先根据点A的横坐标是2，点B的纵坐标是，求出，，再利用待定系数法进行计算即可得出反比例函数的表达式； （2）由，，结合函数图象即可得出答案； （3）先求出点C的坐标，从而得出，再根据进行计算即可． 【详解】（1）解：在中令，则；令，则， ∴， 将代入，得， 即反比例函数的表达式为. （2）解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于，， ∴由图象可得：当或时，； （3）解：在中，当时，， ∴， ∴， ∴． 44．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，． (1)求反比例函数的表达式； (2)直接写出关于的不等式的解集：___________； (3)连接，，求的面积． 【答案】(1) (2)或 (3)12 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题、求反比例函数解析式 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合问题，求反比例函数关系式， 对于（1），分别将两个点的坐标代入一次函数关系式，可求出两个点的坐标，再将点A代入反比例函数关系式可得答案； 对于（2），根据反比例函数图象在一次函数的图象上方，可得自变量取值范围； 对于（3），先求出直线与坐标轴的交点坐标，再根据大三角形的面积减去两个小三角形的面积得出答案． 【详解】（1）∵点在一次函数的图象上， ∴， 解得， ∴点． ∵反比例函数经过点， ∴， ∴反比例函数关系式为； （2）当或时． 故答案为：或； （3）如图所示，当时，，所以点； 当时，，所以点． ∴， ∴． 45．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）如图，直线与双曲线相交于点和点，直线与轴、轴分别交于点，点． (1)求，，的值； (2)的面积为 ； (3)直接写出不等式的解集： ． 【答案】(1)的值为1，的值为8，的值为 (2)6 (3)或 【知识点】求一次函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题、求反比例函数解析式 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数交点问题，待定系数法求函数解析式，熟练掌握以上知识点，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）利用待定系数法求出双曲线解析式，从而得出，再利用待定系数法求出一次函数解析式即可得解； （2）先求出点的坐标，从而得出，再由计算即可得解； （3）根据函数图象即可得解． 【详解】（1）解：∵双曲线经过点， ∴， ∴， ∴双曲线， 将代入得， ∴， ∴， 将，代入得：， 解得：， ∴； （2）解：在中，当时，，即， ∴， ∴； （3）解：由图象可得：不等式的解集为或． 考点07 反比例函数与相似三角形综合 46．（24-25九年级上·安徽安庆·期中）如图，已知双曲线和，直线与双曲线交于点，将直线向下平移与双曲线交于点，与轴交于点，与双曲线交于点，， ，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积、求反比例函数解析式、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，相似三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 连接，，作于，于，则，由平移性质可知，故有，通过求出，，证明，则，则，然后利用反比例函数比例系数的几何意义即可求解． 【详解】解：连接，，作于，于， ∴， ∴， 由平移性质可知：， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：． 47．（24-25九年级上·安徽安庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，的边在x轴上，顶点D在y轴的正半轴上，点C在第一象限，将沿y轴翻折，使点A落在x轴上的点E处，点B恰好为的中点，与交于点F．若反比例图象经过点C，且的面积为2， （1）的面积为 ；（2）k的值为 ． 【答案】 18 48 【知识点】利用平行四边形的性质求解、反比例函数与几何综合、根据图形面积求比例系数（解析式）、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查的是平行四边形的性质，反比例函数的应用，相似三角形判定和性质，作，延长交于点H，设，，由翻折的性质得：，根据全等三角形性质得，结合题意可得，，由平行四边形性质得，，，，根据相似三角形判定和性质得，即可求出的面积从而得，由三角形面积公式得，即，将点坐标代入反比例函数解析式即可求得k值． 【详解】解：作，延长交于点H，如图，设，， ∵中，，， ∴， 依题意可得：， ∴， ∴， ∵为中点， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵的面积为2， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴即， ∴， ∵在反比例函数上， ∴． 故答案为：18，48． 48．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，反比例函数的图象分别交矩形的边、于点D、E，，，则 ；连接．若把沿翻折，点B恰好落在x轴上的点F处，则k的值为 ． 【答案】 6 【知识点】用勾股定理解三角形、反比例函数与几何综合、矩形与折叠问题、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题是反比例函数综合题，考查了反比例函数的图象和性质，矩形与折叠，相似三角形的判定和性质，利用数形结合的思想解决问题是关键．过D作于点H，设，则，．根据反比例函数解析式，得到，，进而得到，，由翻折的性质得：，，证明，得到，求出的值，即可得到k的值． 【详解】解：过D作于点H，如图， ∵沿翻折，点B恰好落在x轴上的点F处， ∴， ∵四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴设，则，． ∵，反比例函数， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 由翻折的性质得：，， ∴，， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 解得：， ∴， 故答案为：6，． 49．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，矩形的两个顶点A、B都在反比例函数的图象上，经过原点O，对角线垂直于x轴，垂足为E，已知点A的坐标为． (1)求直线和反比例函数的解析式； (2)求B到的距离； (3)直接写出长． 【答案】(1)直线的解析式为；反比例函数的解析式为 (2)2 (3) 【知识点】反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式，相似三角形的判定与性质，中心对称图形的性质，正确地求出函数的解析式是解题的关键． （1）设直线的解析式为，把点A的坐标代入，即可得到结论； （2）根据中心对称的性质，再求出B到的距离即可； （3）根据勾股定理得到，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：设直线的解析式为， 把点A的坐标代入得， ∴直线的解析式为； 把代入得， ∴， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：∵点A的坐标为， 根据中心对称可得， ∴B到的距离为； （3）解：∵， ∴， ∵对角线垂直于x轴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $