26.2.2用树状图法求概率 课件-2025-2026学年沪科版（2012）数学九年级下册

该初中数学课件围绕树状图法求概率展开，从“汉字听写大赛选派学生”的实际问题引入，通过抛掷硬币等简单试验逐步深入，结合合作探究和知识要点，搭建从具体到抽象的学习支架，帮助学生掌握树状图的画法、步骤及多因素概率问题的解决方法。 其亮点是以生活情境（如选学生、摸球、旅游选景点）为载体，培养学生用数学眼光观察现实世界的能力。通过分步引导画树状图有序列举结果，发展推理意识，如三辆车行驶方向问题中清晰呈现27种结果。采用合作探究与典例精析结合的方法，学生能提升抽象能力和应用意识，教师可借助系统结构和丰富实例提高教学效率。

第 1 页：封面页 标题：26.2.2 用树状图法求概率 副标题：人教版初中数学九年级上册 | 树状图构建・结果列举・概率计算 配图：左侧为 “两次摸球的树状图完整示意图（标注分支与结果）”，右侧为 “树状图法解题步骤流程图” 落款：授课教师 / 日期 第 2 页：学习目标与知识衔接 1. 前置回顾（26.2.1 核心关联点） 概率基本公式：\(P(A)=\frac{\text{äº�件}A\text{å��å�«ç��ç­�å�¯è�½ç»�æ��æ�°}}{\text{æ��æ��ç­�å�¯è�½ç»�æ��ç��æ�»æ�°}}\)； 适用局限：上节课的直接列举法仅适用于 “一步随机事件”（如单次摸球、单次掷骰子），多步事件易出现结果重复或遗漏。 2. 本课时学习目标 知识目标：理解树状图法的原理，掌握用树状图列举多步随机事件所有等可能结果的方法，能结合概率公式计算目标事件的概率。 能力目标：能根据事件步数（两步、三步）正确绘制树状图，通过结果分析提升 “有序列举、不重不漏” 的逻辑思维能力。 素养目标：体会树状图法在复杂事件中的直观性优势，培养严谨的数学思维，理解 “有序列举” 对概率计算准确性的重要性。 第 3 页：情境导入・为何需要树状图法？ 认知冲突展示（配图对比）： 一步事件（简单）：从装有 2 个红球（R）、1 个白球（W）的袋子中摸 1 个球，结果仅 3 种（R₁、R₂、W），直接列举即可； 两步事件（复杂）：从同一袋子中 “摸出 1 个球后放回，再摸 1 个球”，可能结果有多少种？直接列举易漏 “R₁→R₂”“R₂→R₁” 等结果。 思考提问： 多步随机事件的结果如何做到 “不重复、不遗漏” 地列举？（树状图可按 “步骤分支” 有序呈现） 树状图的 “分支” 和 “终点” 分别对应事件的什么特征？（分支对应每一步的可能结果，终点对应所有步骤的组合结果） 第 4 页：核心概念・树状图法的原理与结构 1. 树状图法的定义 树状图法是通过 “树状分支” 的形式，有序列举多步随机事件所有等可能结果的方法，因图形像树枝分叉而得名。 2. 树状图的基本结构（以 “两步摸球” 为例，配标注图） 第一步（初始分支）：对应事件的第一步操作（如第一次摸球），从起点出发，每一条分支代表第一步的一种可能结果（如 R₁、R₂、W）； 第二步（次级分支）：在第一步每一条分支的末端，延伸出第二步操作的所有可能结果（如第一次摸 R₁后，第二次仍可能摸 R₁、R₂、W）； 终点（结果）：每一条次级分支的末端为一个 “完整结果”（如 R₁→R₁、R₁→R₂、R₁→W），所有终点的数量即为 “所有等可能结果的总数”。 3. 核心优势 有序性：按 “步骤先后” 分支，避免结果重复（如先 R₁后 R₂与先 R₂后 R₁会作为两个不同终点）； 直观性：图形化呈现所有结果，清晰易数，减少遗漏； 通用性：适用于两步、三步甚至更多步的随机事件（如 “三次掷硬币”“两次抽卡再放回”）。 第 5 页：核心模块 1・两步随机事件的树状图应用（重点） 1. 典型场景 1：“放回型” 两步事件（摸球后放回） 例题：不透明袋子中有 2 个红球（R₁、R₂）和 1 个白球（W），从中随机摸出 1 个球后放回，再摸 1 个球，求 “两次都摸到红球” 的概率。 解题步骤： 画树状图（分步画图）： 第一步（第一次摸球）：3 条分支（R₁、R₂、W）； 第二步（第二次摸球）：因放回，每一条第一步分支后均延伸 3 条分支（R₁、R₂、W）； 终点结果：共 3×3=9 种等可能结果（R₁→R₁、R₁→R₂、R₁→W、R₂→R₁、R₂→R₂、R₂→W、W→R₁、W→R₂、W→W）。 找目标事件结果：“两次都摸到红球” 的结果有 4 种（R₁→R₁、R₁→R₂、R₂→R₁、R₂→R₂）。 算概率：\(P(\text{两次é�½çº¢ç��})=\frac{\text{ç�®æ �ç»�æ��æ�°}}{\text{æ�»ç»�æ��æ�°}}=\frac{4}{9}\)。 2. 典型场景 2：“不放回型” 两步事件（摸球后不放回） 例题：同上袋子，摸出 1 个球后不放回，再摸 1 个球，求 “两次都摸到红球” 的概率。 解题关键差异： 第二步分支数减少：因不放回，第一次摸出 R₁后，第二次只剩 R₂、W（2 条分支）； 总结果数：3×2=6 种（R₁→R₂、R₁→W、R₂→R₁、R₂→W、W→R₁、W→R₂）； 目标结果数：2 种（R₁→R₂、R₂→R₁）； 概率：\(P(\text{两次é�½çº¢ç��})=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\)。 3. 两步事件树状图总结 事件类型 分支特点 总结果数计算 示例总结果数 放回型 每一步分支数相同（结果可重复） 第一步分支数 × 第二步分支数（分步乘法计数原理） 3×3=9 不放回型 后续步骤分支数比前一步少 1（结果不重复） 第一步分支数 ×（第一步分支数 - 1） 3×2=6 第 6 页：核心模块 2・三步随机事件的树状图应用（拓展） 1. 典型场景：三次掷硬币 例题：连续掷 3 次均匀硬币，求 “恰好两次正面朝上” 的概率。 解题步骤： 画树状图： 第一步（第一次掷）：2 条分支（正、反）； 第二步（第二次掷）：每条分支后延伸 2 条分支（正、反），共 2×2=4 条二级分支； 第三步（第三次掷）：每条二级分支后延伸 2 条分支（正、反），共 4×2=8 种总结果。 列总结果：正正正、正正反、正反正、正反反、反正正、反正反、反反正、反反反（共 8 种）。 找目标结果：“恰好两次正面朝上” 的结果有 3 种（正正反、正反正、反正正）。 算概率：\(P(\text{æ�°å¥½ä¸¤æ¬¡æ­£é�¢})=\frac{3}{8}\)。 2. 关键提醒 三步及以上事件的树状图，需严格按 “步骤顺序” 分支，每一步的分支数由 “当前剩余可能结果数” 决定（放回则不变，不放回则递减）； 总结果数可通过 “分步乘法计数原理” 快速计算（如 n 步，每步 k 种结果，总结果数 = kⁿ，放回型），再用树状图验证是否一致。 第 7 页：核心模块 3・树状图法解题的通用步骤 1. 四步解题法（配流程图） 定事件：明确随机事件的 “步骤数”（两步、三步）和 “每一步的可能结果”（如摸球的颜色、掷骰子的点数）； 画树状图： 从左到右，按步骤顺序画分支，第一步结果为一级分支，第二步结果为二级分支，以此类推； 标注每一条分支的结果（如 R₁、正、1 点）； 数结果： 数出树状图中 “终点” 的总数（所有等可能结果数 N）； 数出目标事件 A 包含的终点数（目标结果数 M）； 算概率：代入概率公式\(P(A)=\frac{M}{N}\)，化简结果（若为分数，需约分为最简形式）。 2. 易错点专项指导 分支标注错误：未区分 “相同类型但不同个体” 的结果（如红球 R₁、R₂，误标为 “红、红”，导致结果重复计数）； 结果数错数：漏数或重复数终点（可通过 “分步乘法计数原理” 先算总数，再核对树状图）； 目标事件判断错误：混淆 “至少”“恰好”“都” 等关键词（如 “至少一次红球”≠“两次都红球”，需仔细审题）。 第 8 页：典例精讲・复杂场景的树状图应用 例题：综合型两步事件（不同类型结果） 同时掷两枚均匀骰子，求 “两枚骰子的点数之和为 7” 的概率。 解题步骤： 定事件：两步事件（掷第一枚骰子、掷第二枚骰子），每步有 6 种结果（1-6 点），放回型（两枚骰子独立，结果可重复）； 画树状图： 第一步（第一枚）：6 条分支（1、2、3、4、5、6）； 第二步（第二枚）：每条分支后延伸 6 条分支（1-6），总结果数 = 6×6=36 种； 找目标结果：点数之和为 7 的结果有 6 种（1→6、2→5、3→4、4→3、5→2、6→1）； 算概率：\(P(\text{å��为7})=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}\)。 第 9 页：课堂练习・分层巩固 基础题： （1）从 1、2、3 三个数字中随机取一个数，放回后再取一个数，用树状图法求 “两次取出的数之和为 4” 的概率。（答案：\(\frac{3}{9}=\frac{1}{3}\)，总结果 9 种，目标结果 3 种：1→3、2→2、3→1） （2）不透明袋子中有 1 红 1 白 2 个球，不放回摸两次，求 “第一次摸红、第二次摸白” 的概率。（答案：\(\frac{1}{2}\)，总结果 2 种，目标结果 1 种：红→白） 中档题： 三张卡片分别写有数字 1、2、3，将卡片洗匀后随机抽取一张，记下数字后放回，再抽取一张，求 “两次抽取的数字之积为偶数” 的概率。（答案：\(\frac{5}{9}\)，总结果 9 种，目标结果 5 种：1→2、2→1、2→2、2→3、3→2） 提升题： 甲、乙、丙三人依次投篮，甲投中的概率为\(\frac{1}{2}\)，乙投中的概率为\(\frac{1}{3}\)，丙投中的概率为\(\frac{1}{4}\)，用树状图法求 “三人中恰好两人投中” 的概率。（答案：\(\frac{1}{4}\)，总结果 8 种，目标结果 2 种：甲中乙中丙不中、甲中乙不中丙中、甲不中乙中丙中，计算得概率\(\frac{3}{24}=\frac{1}{8}\)？ 修正：树状图分支为甲（中 / 不中）→乙（中 / 不中）→丙（中 / 不中），总结果 8 种，目标结果 3 种：中中不、中不中、不中中，概率\(\frac{3}{8}\)，需结合概率乘法计算） 第 10 页：课堂小结与作业布置 小结： 树状图法核心：按步骤有序列举多步随机事件的所有等可能结果，解决 “直接列举易漏 / 重复” 的问题； 关键差异：放回型事件每步分支数相同，不放回型分支数递减； 解题步骤：定事件→画树状图→数结果→算概率，需注意分支标注、结果计数、目标事件判断。 作业： 基础作业：教材习题 26.2 第 5、6 题（两步事件树状图求解）； 拓展作业：设计一个 “三步随机事件”（如三次抽牌），用树状图法计算某目标事件的概率； 实践作业：模拟 “两次掷硬币” 试验，重复 20 次，记录 “两次都正面” 的次数，计算频率，与树状图法求得的概率（\(\frac{1}{4}\)）对比，观察频率是否接近概率。 2025-2026学年沪科版数学九年级下册【示范课精品课件】 授课教师： . 班 级： . 时 间： . 26.2.2用树状图法求概率 第26章 概率初步 a i T u j m i a N g 某校举办“汉字听写”大赛，现要从 A、B 两位男生和 C、D 两位女生中，选派学生代表本班参加大赛．如果随机选派两位学生参赛，求四人中恰好选派一男一女两位同学参赛的概率． 问题引入 情景导入 问题1 抛掷一枚均匀的硬币，出现正面向上的概率是多少？ P (正面向上) = 问题2 同时抛掷两枚均匀的硬币，出现两者都正面向上的概率是多少？ 可能出现的结果有 (反，反) P (正面向上) = 还有别的方法求问题 2 的概率吗？ (正，正) (正，反) (反，正) 合作探究 利用画树状图法求概率 探究新知 同时抛掷两枚均匀的硬币，出现正面向上的概率是多少？ 开始 第 2 枚 第 1 枚 正 反 正 反 正 反 结果 (反，反） (正，正） (正，反） (反，正） P (正面向上) = 列树状图法求概率 探究新知 树状图的画法 一个试验 第一个因素 第二个因素 若一个试验中涉及两个因素，第一个因素中有 2 种可能情况，第二个因素中有 3 种可能的情况， A B 1 2 3 1 2 3 则其树状图如图所示. 等可能的结果总数 n = 6 树状图法：按事件发生的次序，列出事件可能出现的结果 知识要点 探究新知 问题 见教材 P99 例 5. 尝试用树状图法列出小明和小华所玩游戏中所有可能出现的结果，并求出事件 A，B，C 的概率. A：“小明胜” B：“小华胜” C：“平局” 合作探究 探究新知 解: 小明 小华 结果 开始 共有 9 种可能的结果，而且它们出现的可能性相等. 探究新知 因此，P(A) = 事件 C 发生的所有可能结果： （石头，石头）（剪刀，剪刀）（布，布）. 事件 A 发生的所有可能结果： （石头，剪刀）（剪刀，布）（布，石头）； 事件 B 发生的所有可能结果： （石头，剪刀）（剪刀，布）（布，石头）； P(B) = P(C) = 探究新知 画树状图求概率的基本步骤： 方法归纳 （1）明确一次试验的几个步骤和顺序； （2）画树状图列举一次试验的所有可能结果； （3）数出随机事件 A 包含的结果数 m，试验的所有可能结果数 n； （4）用概率公式进行计算. 探究新知 典例精析 例1 某班有 1 名男生、2 名女生在校文艺演出中获演唱奖，另有 2 名男生、2 名女生获演奏奖. 从获演唱奖和演奏奖的学生中各任选一人去领奖，求两人都是女生的概率. 解：设两名领奖学生都是女生的事件为 A，两种奖项各任选 1 人的结果用“树状图”来表示如下： 探究新知 开始 获演唱奖的 获演奏奖的 男 女'' 女' 女1 男2 男1 女2 女1 男2 男1 女1 男2 男1 女2 女2 共有 12 种等可能的结果，其中 2 名都是女生的结果有 4 种，所以事件 A 发生的概率为 P(A) = . 计算等可能情形下概率的关键是确定所有可能性相等的结果总数 n 和事件 A 发生的结果总数 m，“树状图”能帮助我们有序的思考，不重复，不遗漏地求出 n 和 m. 探究新知 例2 甲、乙、丙三人做传球的游戏，开始时，球在甲手中，每次传球，持球的人将球任意传给其余两人中的一人，如此传球三次. (1) 写出三次传球的所有可能结果 (即传球的方式)； 探究新知 解： 第二次 第三次 结果 开始：甲 共有 8 种可能的结果，每种结果出现的可能性相同. 乙 丙 第一次 甲 甲 丙 乙 甲 甲 丙 丙 乙 乙 乙 丙 (丙，乙，丙) (乙，甲，丙) (乙，丙，甲) (乙，丙，乙) (丙，甲，乙) (丙，甲，丙) (丙，乙，甲) (乙，甲，乙) 探究新知 解：传球三次后，球又回到甲手中，事件 A 发生可能出现的结果有（乙，丙，甲），（丙，乙，甲）2 种. (2) 指定事件 A：“传球三次后，球又回到甲的手中”， 写出 A 发生的所有可能结果； (3) 求 P (A). 解：P (A) = . 探究新知 练一练 1. 经过某十字路口的汽车,可能直行，也可能向左转或向右转. 如果这三种可能性大小相同，求三辆汽车经过这个十字路口时，下列事件的概率： （1）三辆车全部继续直行； （2）两车向右，一车向左； （3）至少两车向左. 课堂练习 第一辆 左 右 左 右 第二辆 直 直 左 右 直 左 右 直 共有 27 种行驶方向 (1) P (全部继续直行) = ； (2) P (两车向右，一车向左) = ； (3) P (至少两车向左) = 左直右 第三辆 左直右 左直右 左直右 左直右 左直右 左直右 左直右 左直右 课堂练习 2. 现在学校决定由甲同学代表学校参加全县的诗歌朗诵比赛，甲同学有 3 件上衣，分别为红色 (R)、黄色 (Y)、蓝色 (B)，有 2 条裤子，分别为蓝色 (B) 和棕色 (b)．甲同学想要穿蓝色上衣和蓝色裤子参加比赛，你知道甲同学任意拿出 1 件 上衣和 1 条裤子， 恰好是蓝色上衣和 蓝色裤子的概率是 多少吗？ 上衣： 裤子： 课堂练习 解:“树状图”如右： 开始 上衣 裤子 所有可能出现的结果 每种结果的出现是等可能的. “取出 1 件蓝色上衣和 1 条蓝色裤子”记为事件 A，那么事件 A 发生的概率是 P (A)＝ . 课堂练习 1. a、b、c、d 四本不同的书放入一个书包，至少放一 本，最多放 2 本，共有 种不同的放法. 2. 三女一男四人同行，从中任意选出两人，其性别不 同的概率为 ( ) 3. 在一个不透明的布袋中装有 2 个白球和 n 个黄球，它 们除颜色外，其余均相同，若从中随机摸出一个球， 摸到黄球的概率为 ，则 n = . 10 C 8 A. B. C. D. 课堂练习 4. 在一个不透明的袋子里，装有三个分别写有数字 6， -2，7 的小球，它们的形状、大小、质地等完全相同. 先从袋子里随机取出一个小球，记下数字后放回袋子 里，摇匀后再随机取出一个小球，记下数字. 请你用 列表或画树状图的方法求下列事件的概率. （1）两次取出的小球上的数字相同； （2）两次取出的小球上的数字之和大于 10. 6 -2 7 课堂练习 (1)两次取出的小球上的数字相同的可能性只有 3 种， 所以 P (数字相同) = (2)两次取出的小球上的数字之和大于 10 可能性只有 4 种，所以 P (数字之和大于10) = 解：根据题意，画出树状图如下： 第一个数字 第二个数字 6 6 -2 7 -2 6 -2 7 7 6 -2 7 课堂练习 5. 现有 A、B、C 三盘包子，已知 A 盘中有两个酸菜包和一个糖包，B 盘中有一个酸菜包和一个糖包和一个韭菜包，C 盘中有一个酸菜包和一个糖包以及一个馒头.老师就爱吃酸菜包，如果老师从每个盘中各选一个包子(馒头除外)，那请你帮老师算算选的包子全部是酸菜包的概率是多少. A B C 课堂练习 解：根据题意，画出树状图如下： 由树状图得，所有可能出现的结果有 18 种，它们出现的可能性相等.选的包子全部是酸菜包有 2 种，所以选的包子全部是酸菜包的概率是 A 盘 B 盘 C 盘 酸 酸 糖 韭 酸 糖 酸 酸 糖 韭 酸 糖 酸 糖 酸 糖 糖 酸 糖 韭 酸 糖 酸 糖 酸 糖 酸 酸 酸 酸 糖 酸 酸 糖 酸 酸 糖 酸 糖 酸 糖 糖 酸 韭 酸 酸 韭 糖 酸 酸 酸 酸 酸 糖 酸 糖 酸 酸 糖 糖 酸 韭 酸 酸 韭 糖 糖 酸 酸 糖 酸 糖 糖 糖 酸 糖 糖 糖 糖 韭 酸 糖 韭 糖 课堂练习 6. 甲、乙、丙三个盒子中分别装有大小、形状、质地相同的小球若干，甲盒中装有 2 个小球，分别写有字母 A 和 B；乙盒中装有 3 个小球，分别写有字母 C、D 和 E；丙盒中装有 2 个小球，分别写有字母 H 和 I. 现要从 3 个盒子中各随机取出 1 个小球． I H D E C A B 甲 乙 丙 课堂练习 (1) 取出的 3 个小球中恰好有 1 个，2 个，3 个写有元音 字母的概率各是多少？ 甲 乙 丙 A C D E H I H I H I B C D E H I H I H I B C H A C H A C I A D H A D I A E H A E I B C I B D H B D I B E H B E I 解：由树状图知所有可能出现的结果有 12 个，它们出现的可能性相等. 满足只有一个元音字母的结果有 5 个，则P (一个元音) = 课堂练习 编辑分数 25 满足三个全部为元音字母的结果有 1 个，则 P (三个元音) = 满足只有两个元音字母的结果有 4 个，则 P (两个元音) = = 甲 乙 丙 A C D E H I H I H I B C D E H I H I H I B C H A C H A C I A D H A D I A E H A E I B C I B D H B D I B E H B E I 课堂练习 (2) 取出的 3 个小球上全是辅音字母的概率是多少？ 解：满足全是辅音字母的结果有 2 个，则 P (三个辅音) = = . 甲 乙 丙 A C D E H I H I H I B C D E H I H I H I B C H A C H A C I A D H A D I A E H A E I B C I B D H B D I B E H B E I 课堂练习 编辑分数 27 1．[2024·重庆] 重庆是一座魔幻都市，有着丰富的旅游资源．甲、乙两人相约来到重庆旅游，两人分别从A，B，C三个景点中随机选择一个景点游览，甲、乙两人同时选择景点B的概率为________． 考试考法 28 返回 考试考法 考试考法 30 返回 【答案】 B 考试考法 31 考试考法 32 返回 【答案】 D 考试考法 33 考试考法 34 返回 【答案】 B 考试考法 35 5．吉林省以“绿水青山就是金山银山，冰天雪地也是金山银山”为指引，不断加大冰雪旅游的宣传力度，推出各种优惠活动，“小土豆”“小砂糖橘”等成为一道靓丽的风景线，某滑雪场为吸引游客，每天抽取一定数量的幸运游客，每名幸运游客可以从“滑雪”“滑雪圈”“雪地摩托”三个项目中随机抽取一个免费游玩． 考试考法 36 若三个项目被抽中的可能性相等，用画树状图的方法，求幸运游客小明与小亮恰好抽中同一个项目的概率． 【解】将抽中“滑雪”“滑雪圈”“雪地摩托”三个项目分别记为事件A，B，C，可画树状图为： 考试考法 37 返回 考试考法 38 树状图法求概率 步骤 用法 是一种解决试验有多步（或涉及多个因素）的好方法. 注意 弄清试验涉及因素的个数或试验步骤分几步； 在摸球试验一定要弄清“放回”还是“不放回”. 关键要弄清楚每一步有几种结果； 在树状图下面对应写着所有可能的结果，并找出事件所包含的结果数； 利用概率公式进行计算. 课堂小结 必做作业：从教材习题中选取； 选做作业：完成练习册本课时的习题. 作业 谢谢观看！ 【点拨】画树状图如下： 由图可知，共有9种等可能的结果，其中甲、乙两人同时选择景点B的结果有1种， ∴甲、乙两人同时选择景点B的的概率为. 2．将分别标有“最”“美”“韶”“关”四个汉字的小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字不同外其他完全相同，每次摸球前先搅匀，一次性随机摸出两个小球，摸出两个小球上的汉字可以组成“韶关”的概率是(　　) A. B. C. D. 【点拨】画树状图如下： 由树状图知，共有12种等可能的结果，其中两次摸出的球上的汉字能组成“韶关”的有2种结果， ∴两次摸出的球上的汉字能组成“韶关”的概率为＝.故选B. 3．[2024·河南]豫剧是国家级非物质文化遗产，因其雅俗共赏，深受大众喜爱．正面印有豫剧经典剧目人物的三张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这三张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，两次抽取的卡片正面相同的概率为(　　) A. B. C. D. 【点拨】把3张卡片分别记为A，B，C， 画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中两次抽取的卡片正面相同的结果有3种，∴两次抽取的卡片正面相同的概率为＝.故选D. 4．[2024·福建]哥德巴赫提出“每个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和”的猜想，我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．在质数2，3，5中，随机选取两个不同的数，其和是偶数的概率是(　　) A. B. C. D. 【点拨】画树状图如下： 由树状图可知，共有6种不同的结果，和是偶数的共有2种，故和是偶数的概率是＝.故选B. 由树状图可知共有9种等可能的结果，小明与小亮恰好抽中同一个项目的结果有3种， ∴幸运游客小明与小亮恰好抽中同一个项目的概率P＝＝. $