26.2.3用列表法求概率 课件-2025-2026学年沪科版（2012）数学九年级下册

该初中数学课件聚焦“用列表法求概率”核心知识点，从生活游戏情境（抛硬币决定观影）引入，通过“游戏公平吗”的问题引发思考，衔接概率计算方法，再以抛硬币、掷骰子等互动探究搭建从具体到抽象的学习支架，帮助学生理解列表法的适用场景和步骤。 其亮点在于以生活实例为载体，培养数学眼光（从游戏、乘车等情境抽象概率问题）和数学思维（通过列表法推理所有可能结果）。如例1掷骰子列表展示36种结果，例2对比有放回与无放回摸球的概率差异，变式练习强化推理意识。总结列举法前提与步骤，帮助学生形成模型意识，既激发学生兴趣，又为教师提供丰富案例和分层作业设计，提升教学效率。

第 1 页：封面页 标题：26.2.3 用列表法求概率 副标题：人教版初中数学九年级上册 | 表格构建・结果枚举・概率计算 配图：左侧为 “两次掷骰子的列表完整示意图（标注行、列与目标结果）”，右侧为 “列表法与树状图法适用场景对比表” 落款：授课教师 / 日期 第 2 页：学习目标与知识衔接 1. 前置回顾（26.2.2 核心关联点） 树状图法优势：适用于两步及以上随机事件，能直观呈现步骤分支； 树状图法局限：两步事件中若每步结果较多（如掷骰子每步 6 种结果），树状图分支会过于繁杂，易出现视觉混乱。 2. 本课时学习目标 知识目标：理解列表法的原理，掌握用表格有序列举两步随机事件所有等可能结果的方法，能结合概率公式准确计算目标事件概率，明确列表法与树状图法的适用场景差异。 能力目标：能根据两步事件的结果类型（如摸球颜色、掷骰子点数）正确构建表格，通过表格快速定位目标结果，提升 “有序枚举、高效计数” 的数学能力。 素养目标：体会列表法在两步复杂事件中的简洁性优势，培养灵活选择解题方法的思维，理解 “工具适配场景” 的数学应用逻辑。 第 3 页：情境导入・为何需要列表法？ 认知冲突展示（配图对比）： 树状图的局限：同时掷两枚骰子（每步 6 种结果），用树状图需先画 6 条一级分支，每条分支再延伸 6 条二级分支，共 36 条分支，视觉上交错繁杂，数结果时易出错； 列表法的优势：用表格的行表示第一枚骰子的结果（1-6），列表示第二枚骰子的结果（1-6），单元格直接呈现 “点数组合”，36 种结果清晰排列，目标结果一目了然。 思考提问： 列表法的 “行”“列”“单元格” 分别对应两步事件的什么要素？（行 = 第一步结果，列 = 第二步结果，单元格 = 两步结果的组合） 什么样的随机事件更适合用列表法求解？（仅两步事件，且每步结果数量较多时，列表法比树状图更简洁） 第 4 页：核心概念・列表法的原理与结构 1. 列表法的定义 列表法是通过构建 “二维表格”，将两步随机事件的第一步结果作为行、第二步结果作为列，在单元格中记录两步结果的组合，从而有序列举所有等可能结果的方法。 2. 列表法的基本结构（以 “两次掷骰子” 为例，配标注表格） 结构要素 具体含义 示例（掷两枚骰子） 行（横向） 对应事件的第一步操作的所有可能结果，每行标注一个结果 行标题：第一枚骰子的点数（1、2、3、4、5、6） 列（纵向） 对应事件的第二步操作的所有可能结果，每列标注一个结果 列标题：第二枚骰子的点数（1、2、3、4、5、6） 单元格 每个单元格对应 “某一行结果 + 某一列结果” 的组合，即一个完整的等可能结果 第 2 行第 3 列单元格：（2，3），表示 “第一枚 2 点，第二枚 3 点” 总结果数 表格的行数 × 列数（分步乘法计数原理），即单元格总数（不重复、不遗漏） 6 行 ×6 列 = 36 个单元格，对应 36 种等可能结果 3. 核心优势 简洁性：二维表格直观呈现所有结果，避免树状图分支交错的混乱； 高效性：快速定位目标结果（如 “点数之和为 7” 的结果，可直接找单元格中两数之和为 7 的组合）； 局限性：仅适用于两步随机事件，三步及以上事件无法用二维表格呈现，仍需树状图。 第 5 页：核心模块 1・两步随机事件的列表法应用（重点） 1. 典型场景 1：“放回型” 两步事件（结果可重复） 例题：不透明袋子中有 2 个红球（R₁、R₂）和 1 个白球（W），摸出 1 个球后放回，再摸 1 个球，求 “两次摸出的球颜色不同” 的概率。 解题步骤： 建表格： 行（第一步）：第一次摸球的结果（R₁、R₂、W），共 3 行； 列（第二步）：第二次摸球的结果（R₁、R₂、W），共 3 列； 单元格：记录两次结果的组合（如（R₁，R₂）表示 “第一次 R₁，第二次 R₂”）。 | 第一次 \ 第二次 | R₁ | R₂ | W | |---------------|----------|----------|----------| | R₁ | (R₁,R₁) | (R₁,R₂) | (R₁,W) | | R₂ | (R₂,R₁) | (R₂,R₂) | (R₂,W) | | W | (W,R₁) | (W,R₂) | (W,W) | | 4 | 5 | 6 | |---------------|----------|----------|----------|----------|----------|----------| | 正 | (正，1) | (正，2) | (正，3) | (正，4) | (正，5) | (正，6) | | 反 | (反，1) | (反，2) | (反，3) | (反，4) | (反，5) | (反，6) | 数结果： 总结果数：2×6=12 种； 目标结果（正 + 偶数）：(正，2)、(正，4)、(正，6)，共 3 种。 算概率：\(P(\text{æ­£ä¸�å�¶æ�°})=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}\)。 2. 关键提醒 当两步事件的 “结果类型不同”（如一步是硬币、一步是骰子），列表时需明确区分行和列对应的事件（通常将结果少的作为行，结果多的作为列，表格更紧凑）； 目标事件包含 “多个条件” 时（如 “正且偶数”），需在表格中同时满足所有条件的单元格，避免遗漏或误判。 第 7 页：核心模块 3・列表法与树状图法的对比与选择 1. 两种方法的核心差异 对比维度 列表法 树状图法 适用步数 仅两步随机事件 两步、三步及以上随机事件 结果呈现形式 二维表格（行 + 列 + 单元格） 分支图形（一级分支 + 次级分支 + 终点） 优势场景 两步事件且每步结果数量较多（如掷骰子） 多步事件或每步结果数量较少（如摸球） 视觉复杂度 简洁清晰，结果有序排列 多步或多结果时分支繁杂 计数效率 直接数单元格，目标结果易定位 需数终点，分支多时易漏数 2. 方法选择策略（配流程图） 判断事件步数： 三步及以上事件→ 必选树状图法； 两步事件→ 进入下一步判断； 判断每步结果数： 每步结果数较多（≥4 种，如掷骰子、抽卡片）→ 优选列表法； 每步结果数较少（≤3 种，如摸球、掷硬币）→ 列表法或树状图法均可（根据习惯选择）。 第 8 页：典例精讲・列表法的综合应用 例题：含 “关键词” 的两步事件概率计算 一个不透明的盒子里装有除数字外完全相同的 4 张卡片，分别标有数字 1、2、3、4，从盒子中随机抽取一张卡片，记下数字后放回，再抽取一张卡片，求 “两次抽取的数字之和大于 5” 的概率。 解题步骤： 建表格：行 = 第一次抽卡结果（1、2、3、4），列 = 第二次抽卡结果（1、2、3、4）； 第一次 \ 第二次 1 2 3 4 1 (1,1)=2 (1,2)=3 (1,3)=4 (1,4)=5 2 (2,1)=3 (2,2)=4 (2,3)=5 (2,4)=6 3 (3,1)=4 (3,2)=5 (3,3)=6 (3,4)=7 4 (4,1)=5 (4,2)=6 (4,3)=7 (4,4)=8 数结果： 总结果数：4×4=16 种； 目标结果（和大于 5）：和为 6、7、8 的组合，共 (2,4)、(3,3)、(3,4)、(4,2)、(4,3)、(4,4)，共 6 种； 算概率：\(P(\text{å��大äº�5})=\frac{6}{16}=\frac{3}{8}\)。 第 9 页：课堂练习・分层巩固 基础题： （1）从数字 1、2、3 中随机取一个数，放回后再取一个数，用列表法求 “两次取出的数之积为 3 的倍数” 的概率。（答案：\(\frac{5}{9}\)，总结果 9 种，目标结果 5 种：(1,3)、(2,3)、(3,1)、(3,2)、(3,3)） （2）不透明袋子中有 1 红（R）、1 黄（Y）、1 蓝（B）3 个球，不放回摸两次，用列表法求 “第一次摸红球、第二次摸蓝球” 的概率。（答案：\(\frac{1}{6}\)，总结果 6 种，目标结果 1 种：(R,B)） 中档题： 同时掷两枚均匀骰子，用列表法求 “两枚骰子的点数之差的绝对值小于 2” 的概率。（答案：\(\frac{16}{36}=\frac{4}{9}\)，总结果 36 种，目标结果：点数相同（6 种）或差 1（10 种），共 16 种） 提升题： 甲、乙两人玩 “猜数字” 游戏，甲从 1、2、3 中选一个数字，乙也从 1、2、3 中选一个数字，若两人所选数字相同，则甲获胜；若数字不同，则乙获胜。用列表法判断游戏是否公平（公平标准：双方获胜概率相等）。（答案：不公平，甲获胜概率\(\frac{3}{9}=\frac{1}{3}\)，乙获胜概率\(\frac{6}{9}=\frac{2}{3}\)） 第 10 页：课堂小结与作业布置 小结： 列表法核心：用二维表格有序列举两步随机事件的所有等可能结果，行 = 第一步结果，列 = 第二步结果，单元格 = 结果组合； 方法对比：两步多结果事件选列表法（简洁），多步事件选树状图法（通用）； 解题步骤：建表格→ 填结果→ 数总数与目标数→ 代公式算概率，注意放回与不放回的表格差异（不放回需剔除重复单元格）。 作业： 基础作业：教材习题 26.2 第 7、8 题（两步事件列表法求解）； 拓展作业：设计一个 “两步随机事件”（如两次抽牌），分别用列表法和树状图法计算同一目标事件的概率，对比两种方法的效率； 实践作业：模拟 “同时掷两枚骰子” 试验，重复 36 次，记录 “点数之和为 6” 的次数，计算频率，与列表法求得的概率（\(\frac{5}{36}\)）对比，观察频率与概率的关系。 2025-2026学年沪科版数学九年级下册【示范课精品课件】 授课教师： . 班 级： . 时 间： . 26.2.3用列表法求概率 第26章 概率初步 a i T u j m i a N g 我们在日常生活中经常会做一些游戏，游戏规则制定是否公平，对游戏者来说非常重要，其实这是一个游戏双方获胜概率大小的问题. 思考：求概率大小有什么方法呢？ 情境引入 情景导入 做一做：小明、小凡和小颖都想去看周末电影，但只有一张电影票.三人决定一起做游戏，谁获胜谁就去看电影.游戏规则如下：连续抛掷两枚均匀的硬币，若两枚正面朝上，则小明获胜；若两枚反面朝上，则小颖获胜；若一枚正面朝上、一枚反面朝上，则小凡获胜. 问题引入 这个游戏公平吗？ 情景导入 互动探究 问题1 同时掷两枚硬币，试求下列事件的概率： (1) 两枚硬币朝上的面一样； (2) 一枚硬币正面朝上，一枚硬币反面朝上. 开始 正 反 正 反 正 反 P (朝上的面一样) = P (朝上的面不一样) = 还有别的方法求下列事件的概率吗？ 用列表法求概率 探究新知 第 1 枚硬币 第2枚硬币 反 正 正 反 正 正 反 正 正 反 反 反 还可以列表求概率！ 探究新知 问题2 怎样列表格？ 一个因素所包含的可能情况 另一个因素所包含的可能情况 两个因素所组合的所有可能情况数，即 n. 列表法中表格构造特点： 说明：如果第一个因素包含 2 种情况，第二个因素包含 3 种情况，那么所有情况数 n = 2×3 = 6. 探究新知 典例精析 例1 同时抛掷 2 枚均匀的骰子一次，骰子各面上的点数分别是 1，2，···，6. 试分别计算如下事件的概率. (1)抛出的点数之和等于8； (2)抛出的点数之和等于12. 分析：首先要弄清楚一共有多少个可能结果.第1枚骰子可能掷出 1，2，···，6 中的每一种情况，第2枚骰子也可能掷出 1，2，···，6 中的每一种情况. 用“列表法”表示出所有可能的结果如下： 探究新知 第2枚 骰子 第1枚骰子 结 果 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,2) (5,2) (6,2) (4,3) (5,3) (6,3) (4,4) (5,4) (6,4) (4,5) (5,5) (6,5) (4,6) (5,6) (6,6) 探究新知 解：从上表可以看出，同时抛掷两枚骰子一次，所有可能出现的结果有 36 种. 由于骰子是均匀的，所以每个结果出现的可能性相等. (1)抛出点数之和等于 8 的结果有 (2,6),(3,5),(4,4), (5,3) 和 (6,2) 这 5 种，所以抛出的点数之和等于 8 的这个事件发生的概率为 (2)抛出点数之和等于 12 的结果仅有 (6,6) 这 1 种，所以抛出的点数之和等于 12 的这个事件发生的概率为 探究新知 当一次试验要涉及两个因素（例如掷两枚骰子）并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能结果，通常采用列表法. 归纳总结 探究新知 例2 一只不透明的袋子中装有 1 个白球和 2 个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，记录下颜色后放回袋中并搅匀，再从中任意摸出一个球，两次都摸出红球的概率是多少？ 1 2 探究新知 结果 第一次 第二次 解：利用表格列出所有可能的结果： 白 红1 红2 白 红1 红2 （白，白） （白，红1） （白，红2） （红1，白） （红1，红1） （红1，红2） （红2，白） （红2，红1） （红2，红2） 探究新知 变式：一只不透明的袋子中装有 1 个白球和 2 个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，记录下颜色后不再放回袋中，再从中任意摸出一个球，两次都摸出红球的概率是多少？ 1 2 探究新知 解：利用表格列出所有可能的结果： 白 红1 红2 白 红1 红2 （白，红1） （白，红2） （红1，白） （红1，红2） （红2，白） （红2，红1） 结果 第一次 第二次 探究新知 例3 同时掷两个质地均匀的骰子，计算下列事件的概率：（1）两个骰子的点数相同； （2）两个骰子的点数之和 是 9； （3）至少有一个骰子的点 数为 2. 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 第 一 个 第 二 个 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3) (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5) (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6) 探究新知 解：由列表得，同时掷两个骰子，可能出现的结果有 36 个，它们出现的可能性相等. （1）满足两个骰子的点数相同（记为事件 A）的结果有 6 个，则 P (A) = = ． （2）满足两个骰子的点数之和是 9（记为事件 B）的结果有 4 个，则 P (B) = = ． （3）满足至少有一个骰子的点数为 2（记为事件 C）的结果有 11 个，则 P(C) = ． 探究新知 当一次试验所有可能出现的结果较多时，用表格比较方便！ 真知灼见源于实践 探究新知 想一想：什么时候用“列表法”方便，什么时候用“树状图”方便？ 当一次试验涉及两个因素时，且可能出现的结果较多时，为不重复不遗漏地列出所有可能的结果，通常用列表法. 当一次试验涉及 3 个或 3 个以上的因素时，列表法就不方便了，为不重复不遗漏地列出所有可能的结果，通常用树状图法. 探究新知 例4 甲、乙两人要去风景区游玩，仅知道每天开往风景区有 3 辆汽车，并且舒适程度分别为上等、中等、下等 3 种，当不知道怎样区分这些车，也不知道它们会以怎样的顺序开来. 于是他们分别采用了不同的乘车办法：甲乘第 1 辆开来的车，乙不乘第 1 辆车，并且仔细观察第 2 辆车的情况，如果第 2 辆车的舒适程度比第 1 辆好，他就上第 2 辆车；如果第 2 辆不比第 1 辆好，他就上第 3 辆车. 试问甲、乙两人的乘车办法，哪一种更有利于乘上舒适度较好的车？ 探究新知 故乙的办法有利于乘上舒适度好的车. 解：易知 3 辆车开来的先后顺序有如下 6 种可能的情况： (上中下)， (上下中)， (中上下)， (中下上)， (下上中)， (下中上). 假定 6 种顺序出现的可能性相同， 在各种可能顺序之下，甲、乙两人分别乘坐的车列表如下： 顺序 甲 乙 上中下 上下中 中上下 中下上 下上中 下中上 上 下 上 中 中 上 中 上 下 上 下 中 甲乘到上、中、下等车的概率都是 ； 乙乘到上等车的概率是 ，乘到下等汽车的概率只有 探究新知 1. 小明与小红玩一次“石头、剪刀、布”游戏，则小明 赢的概率是 ( ) 2. 某次考试中，每道单项选择题一般有 4 个选项，某同学有两道题不会做，于是他以“抓阄”的方式选定其中一个答案，则该同学的这两道题全对的概率是 ( ) B D A. B. C. D. A. B. C. D. 课堂练习 3. 如果有两组牌，它们的牌面数字分别是 1，2，3，那么从每组牌中各摸出一张牌. （1）摸出两张牌的数字之和为 4 的概率为多少？ （2）摸出两张牌的数字相等的概率为多少？ 课堂练习 3 2 （3,2） （3,3） （2,3） （1,3） （2,2） （1,2） （3,1） （2,1） （1,1） 1 3 2 1 第二张牌 的牌面数字 第一张牌的 　牌面数字 解：（1）P (数字之和为 4) = . （2）P (数字相等) = . 课堂练习 4. 在 6 张卡片上分别写有 1 ~ 6 的整数，随机地抽取一张后放回，再随机地抽取一张，那么第一次取出的数字能够整除第二次取出的数字 的概率是多少？ 1 2 3 4 5 6 1 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) 2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) 3 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3) 4 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) 5 (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5) 6 (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6) 第 一 张 第 二 张 解：由列表得，两次抽取卡片后可能出现的等可能性结果有 36 个. 满足第一次取出的数字能够整除第二次取出的 课堂练习 数字（记为事件 A）的结果有 14 个，则 P(A) = = ． 课堂练习 考试考法 26 【点拨】将步行、乘公交车、骑自行车三种出行方式分别记作事件：A，B，C，根据题意列表如下： 小明 A B C 小芳 A AA AB AC B BA BB BC C CA CB CC 返回 【答案】 C 考试考法 2．[2024·合肥模拟]在一次数学课上，老师利用光的三原色设计了一个“配紫色”游戏，如图所示是一个可以自由转动的转盘，转盘被分成三个大小一样的扇形，分别对应红、绿、蓝三种颜色，转动转盘 两次，记下两次指针指向的区域(若指针 指向扇形分界线，则需要重新转动)， 考试考法 28 考试考法 29 返回 【点拨】列表如下：   红 绿 蓝 红 (红，红) (红，绿) (红，蓝) 绿 (绿，红) (绿，绿) (绿，蓝) 蓝 (蓝，红) (蓝，绿) (蓝，蓝) 【答案】 A 考试考法 3．[2024·临沂二模]“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”，小文购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大暑”四张邮票中的两张送给好朋友小乐．小文将它们背面朝上放在桌面上(邮票背面完全相同)，让小乐从中随机抽取一张(有放回)， 考试考法 31 考试考法 【点拨】将“立春”“立夏”“秋分”“大暑”的邮票分别记为A，B，C，D.根据题意，列表如下：   A B C D A (A，A) (A，B) (A，C) (A，D) B (B，A) (B，B) (B，C) (B，D) C (C，A) (C，B) (C，C) (C，D) D (D，A) (D，B) (D，C) (D，D) 考试考法 返回 【答案】 D 考试考法 考试考法 35 【点拨】列表如下：   甲 乙 丙 丁 甲   (甲，乙) (甲，丙) (甲，丁) 乙 (乙，甲)   (乙，丙) (乙，丁) 丙 (丙，甲) (丙，乙)   (丙，丁) 丁 (丁，甲) (丁，乙) (丁，丙)   考试考法 返回 【答案】 A 考试考法 5．物理变化和化学变化的区别在于是否有新物质的生成．某学习小组在延时课上制作了A，B，C，D四张卡片，四张卡片除图片内容不同外，其他没有区别，放置于暗箱中摇匀． (1)小临从四张卡片中随机抽取一张，抽中C卡片的概率是________； 考试考法 38 列举法 基本步骤 前提条件 常用方法 直接列举法 列表法 画树状图法 列举 (列表或画树状图)； 确定 m、n 值，代入概率公式计算 确保试验中每种结果出现的可能性大小相等 涉及一个因素时直接利用公式计算 涉及两个或两个以上的因素 涉及两个因素且可能出现的结果数较多 课堂小结 必做作业：从教材习题中选取； 选做作业：完成练习册本课时的习题. 作业 谢谢观看！ 1. 随着环保意识的不断增强，越来越多的人开始选择低碳节能的出行方式．小明、小芳两人从步行、乘公交车、骑自行车三种出行方式中任选一种去图书馆，则他们选择同一种出行方式的概率为(　　) A. B. C. D. 由表格可知选择同一种出行方式的概率为＝.故选C. 如果转出的两种颜色分别是红色和蓝色，则可以配成紫色．若转动2次转盘，恰好可以配成紫色的概率是(　　) A. B. C. D. 由表格可知，共有9种等可能的结果，转出的两种颜色分别是红色和蓝色的结果有2种，∴转动2次转盘，恰好可以配成紫色的概率为.故选A. 再从中随机抽取一张，则小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是(　　) A. B. C. D. 由表格可知，共有16种等可能的结果，其中抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的结果有2种， 故其概率为＝.故选D. 4． 某校八年级3班承担下周学校升旗任务，老师从备选的甲、乙、丙、丁四名同学中，选择两名担任升旗手，则甲、乙两名同学同时被选中的概率是(　　) A. B. C. D. 由列表可知，共有12种等可能的结果，其中甲、乙两名同学同时被选中的结果有2种，则甲、乙两名同学同时被选中的概率是＝.故选A. $