24.1.2垂直于弦的直径（教学设计 ）2025-2026学年人教版九年级数学上册

24.1.2 垂直于弦的直径 教学设计 一、内容和内容解析 1. 内容 本节课是人教版《义务教育教科书・数学》九年级上册第二十四章 “圆” 中 “24.1.2 垂直于弦的直径”，内容包括：圆的轴对称性、垂径定理的探索与证明、垂径定理的推论（“知二推三”）、垂径定理在实际问题中的应用（如求半径、弦长、弓形高等），以及辅助线的添加方法（连半径、作弦心距）。 1. 内容解析 从知识基础来看，学生已学习圆的基本概念（如弦、直径、弧等），本节课是圆的对称性的具体体现，也是后续学习圆的其他性质（如圆心角、圆周角）的基础。 垂径定理是圆的核心性质之一，其本质是 “圆的轴对称性” 的量化表达：垂直于弦的直径通过对称关系实现了 “弦的平分” 与 “弧的平分”。在应用中，垂径定理常与勾股定理结合，将圆的问题转化为直角三角形的计算问题，体现了 “数形结合” 的思想。 基于以上分析，本节课的教学重点为：掌握垂径定理及其推论，能应用垂径定理解决与弦、半径、弦心距相关的计算和实际问题。 二、目标和目标解析 1. 目标 经历 “折叠实验 — 猜想 — 证明” 的过程，探索并掌握垂径定理的内容及证明方法。 理解垂径定理的推论（“知二推三”），能辨析 “平分弦的直径垂直于弦” 的条件限制（弦不是直径）。 能运用垂径定理及勾股定理解决与圆相关的计算问题（如求半径、弦长、弓形高），并能解决简单实际问题（如管道直径、拱桥半径等）。 1. 目标解析 学生能通过折叠圆形纸片发现圆的轴对称性，进而猜想 “垂直于弦的直径平分弦及弦所对的弧”，并能结合等腰三角形性质完成证明。 学生能说出垂径定理的五个核心条件（过圆心、垂直于弦、平分弦、平分优弧、平分劣弧），并理解 “知二推三” 的逻辑关系；能举例说明 “平分弦（直径）的直径不一定垂直于弦”（如圆的两条直径互相平分但不一定垂直）。 学生能在具体问题中添加辅助线（连半径、作弦心距），构造直角三角形，利用 “半径 ²= 弦心距 ²+（半弦长）²” 的关系计算或建立方程，解决如 “已知弦长和弓形高求半径” 等问题。 三、教学问题诊断分析 九年级学生已具备一定的几何推理能力，但对 “对称性” 的数学表达（如折叠后重合的线段、弧的关系）仍需具象化引导；在以下方面可能存在困难： 理解垂径定理的 “双向性”：既需明确 “垂直于弦的直径” 是条件，“平分弦、平分弧” 是结论，也需掌握推论中 “知二推三” 的逻辑（如 “过圆心且平分弦” 可推出 “垂直于弦、平分弧”）。 辅助线的添加：学生可能难以想到 “连半径” 或 “作弦心距” 来构造直角三角形，导致无法将圆的问题转化为直角三角形计算。 实际问题的建模：如将 “管道积水深度” “拱桥跨度” 转化为 “弦长、弓形高、半径” 的几何模型，需突破抽象与具象的转化障碍。 基于以上分析，本节课的教学难点为：垂径定理推论的理解（“知二推三”）；辅助线的添加及实际问题的几何建模。 四、教学过程设计 （一）复习回顾 提问：圆的基本概念有哪些？（弦、直径、弧、优弧、劣弧等，结合图片回顾） 思考：圆是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？（引导学生猜想：圆是轴对称图形，对称轴是过圆心的直线） 【设计意图】回顾圆的基本概念，通过 “对称性” 的提问，为后续探索垂径定理铺垫认知基础。 （二）情境引入 展示问题：地震后圆柱形供水管道损坏，测得积水部分最大深度为 2cm， 水面宽度为 8cm，如何确定管道的直径？ 提问：这个问题本质上是已知什么量，求什么量？需要用到圆的什么性质？（已知弦长、弓形高，求圆的直径） 【设计意图】通过实际问题激发学生兴趣，明确本节课的学习目标 —— 利用圆的性质解决与弦、半径相关的问题。 （三）新知探究 1. 实验：探索圆的轴对称性 操作：让学生拿出圆形纸片，任意画一条直径，沿直径对折，观察折叠后两侧的半圆是否重合；再在圆上取一点 A，过 A 作直径的垂线，垂足为 M，观察折叠后 A 的对称点 A 是否在圆上。 发现：圆是轴对称图形，任意一条直径所在直线都是对称轴；圆上一点关于直径的对称点仍在圆实际问题 1. 猜想：垂径定理的内容 实际问题：如何证明圆是轴对称图形？ 几何问题：圆上任意一点关于直径所在直线 (对称轴) 的对称点也在圆上. 同学们在自己作的圆中按照如下步骤作图，并写出已知和证明： ① 任意作出一条直径 CD； ② 在⊙O 上任意选点 C，D 以外的点 A. ③ 过点 A 作 AA'⊥CD，交⊙O 于点 A'，垂足为 M，连接 OA，OA'. 观察：折叠后 AM 与 AM 重合，弧 AC 与弧 AC 重合，弧 AD 与弧 AD 重合。 猜想：垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧。 1. 证明：验证猜想 已知：如图，CD 是⊙O 上的直径，CD⊥AA′； 求证：CD 是 AA′ 的垂直平分线. 证明：在△OAA′ 中， ∵ OA = OA′， ∴△OAA′ 是等腰三角形. 又 AA′⊥CD， ∴ AM = MA′， 即 CD 是 AA′ 的垂直平分线 结论：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴. 再探究：如图，AA′ 是⊙O 的一条弦，直径 CD⊥AA′， 垂足为 M. 你能发现图中有哪些相等的线段和劣弧?为什么? 线段：AM = A′M，弧：弧 AC = 弧 A′C，弧 AD = 弧 A′D 证明：∵OA=OA′（半径相等），△OAA′ 是等腰三角形， 又∵CD⊥AA′（已知）， ∴AM=A′M（等腰三角形三线合一）。 ∵圆是轴对称图形，CD 是对称轴， ∴点 A 与点 A′ 关于 CD 对称， ∴弧 AC 与弧 A′C 重合，弧 AD 与弧 A′D 重合，即弧 AC = 弧 A′C，弧 AD = 弧 A′D。 （四）新知讲解 1.垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。 几何语言：∵CD 是⊙O 的直径，CD⊥AB（AB 不是直径），垂足为 M， ∴AM=A′M，弧 AC = 弧 A′C，弧 AD = 弧 A′D。 练习：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？ 2.垂径定理的推论（“知二推三”） 思考：若满足以下五个条件中的两个，能否推出另外三个？ ①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。 举例证明：若①过圆心、③平分弦（弦不是直径），则②垂直于弦、④⑤平分弧（通过全等三角形证明）。 特别说明：“平分弦的直径垂直于弦” 必须加条件 “弦不是直径”（反例：圆的两条直径互相平分，但不一定垂直）。 知二推三：满足其中任两条，必定同时满足另三条 1. 基本关系与辅助线 例 1已知⊙O 的半径为 10cm，OE⊥AB 于 E，OE=6cm，求 AB 的长。 解：连接 OA（辅助线：连半径）， ∵OE⊥AB，∴AE=BE（垂径定理）。 在 Rt△AOE 中，OA=10cm，OE=6cm， 由勾股定理得：AE=√(OA² - OE²)=√(10² - 6²)=8cm， ∴AB=2AE=16cm。 基本量：半径 r、弦长 a、弦心距 d（圆心到弦的距离）、弓形高 h（弦中点到弧中点的距离），关系：d + h = r，（a/2）² + d² = r²。 辅助线：连半径（构造等腰三角形）、作弦心距（构造直角三角形）。 （五）应用巩固 例 2：赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约有 1400 年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为 37 m，拱高（弧的中点到弦的距离）为 7.23 m，求赵州桥主桥拱的半径（结果保留小数点后一位）. 分析：赵州桥主桥拱为圆弧，跨度（弦长）37m，拱高（弓形高）7.23m，求主桥拱半径。 解：过圆心 O 作 AB 的垂线，交弧 AB 于 C，交 AB 于 D，则 CD=7.23m，AD=18.5m（垂径定理）。 设半径为 R，则 OD=R - 7.23， 在 Rt△AOD 中，由勾股定理得：R²=(R - 7.23)² + 18.5²，解得 R≈27.3m。 总结：垂径定理往往转化成应用勾股定理解直角三角形 变式： 地震造成小区的圆柱形供水管道损坏，现在工人师傅要为我们换管道，如图，他测量出管道有积水部分的最大深度是 2 cm，水面的宽度为 8 cm，这个工人师傅想了又想，也不知道该用多大的水管来替换，你能帮他解决这个问题吗? 解：过 O 作 OD⊥AB 于 D 交圆上于点 E.由题意，得 DE = 2 cm，AB = 8 cm. ∵ OD⊥AB，∴ AD = DB = 4 cm. 设圆形水管半径为 r cm. 在 Rt△ODA 中，42 + (r - 2)2 = r2，即 r = 5 cm. 故应该用半径为 5 cm 的圆柱形水管替换. （六）课堂小结 （七）布置作业 基础作业：圆管涵是公路路基排水中常用的涵洞结构类型，它不仅力学性能好，且构造简单、施工方便.某水平放置的圆管涵圆柱形排水管道的截面是直径为 1 m 的圆，如图所示，若水面宽 AB = 0.8 m，求水的最大深度. 提升作业：已知⊙O 中，弦 AB=8cm，圆心到 AB 的距离为 3cm，则圆的半径为______cm。（答案：5） 若圆的半径为 10cm，弦 MN=12cm，EF=16cm，且 MN∥EF，则两弦之间的距离为______cm。（答案：14 或 2） 五、教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $