24.1.2垂直于弦的直径 教学设计2025-2026学年人教版数学九年级上册

教学设计 科目： 数学 教师： 高天玲 班级： 九年级（2）班 教学设计 科 目：数学 学 校：伽师县第四中学 章 节：第二十四章 24.1.2 授 课 人：高天玲 课题名称：24.1.2 垂直于弦的直径 课 时：1课时 授课班级：九年级（2）班 授课日期： 教材分析 从知识体系上看，《垂径定理》是义务教育新课程标准人教版九年级（上册）第四章内容，是在学生学习了《旋转与中心对称》之后，对特殊的中心对称图形圆的深度学习的过程，是学生学习了圆的基本概念之后，对圆的基本性质的新探究。是《圆》这一章的重要内容，也是本章的基础。它揭示了垂直于弦的直径和这条弦及这条弦所对的弧之间的内在关系，是圆的轴对称性的具体化；也是今后证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据；同时也为进行圆的有关计算和作图提供了方法和依据；由垂径定理的得出，使学生的认识从感性到理性，从具体到抽象，有助于培养学生思维的严谨性。同时，通过本节课的教学，对学生渗透类比、转化、数形结合、方程、建模等数学思想和方法，培养学生实验、观察、猜想、抽象、概括、推理等逻辑思维能力和识图能力。所以它在教材中处于非常重要的位置,是中考的必考考点之一。 学情分析 1.学生心理特征：进入初三，学生思维活跃，求知欲强，对探索问题充满好奇，在课堂上有互相竞争的渴望，相比以前，他们有一定的知识储备，但学习积极性有所减退，自我意识增强。 2.学生认知基础：在学习本节之前，学生已经学习了《圆的基本概念》，明确了直径、弦等基本概念，会运用轴对称的性质解决问题，学习了勾股定理，具备了进一步学习《垂径定理》的基本能力. 3.学生活动经验基础：学生在之前的学习中，已明确了展示课的学习程序，并能利用学案，准备展示，变式训练，归纳方法，灵活运用，具备了学习活动的经验基础 . 教学目标 (1)利用轴对称探索垂直于弦的直径的有关性质，掌握垂径定理。运用垂径定理进行简单的证明、计算和作图。 (2)让学生经历“实验一观察一猜想-验证一归纳”的探究过程,激发学生的好奇心和求知欲，促进学生观察分析、归纳问题和解决问题的能力的培养。 (3)通过实验操作探索数学规律，激发学生的好奇心和求知欲同时培养学生勇于探索的精神 教学重难点 掌握：探索并证明垂径定理及其推论.（重点） 运用：用垂径定理解决实际问题。（难点） 教学方法与策略 通过创设情境，动手操作，观察与猜想，合作探究，引导发现，应用练习，数形结合等方法进行教学。 教学过程设计 教学环节 教师活动 学生活动 设计意图 课前五分钟： 1.如图，图中的弦共有（　B　） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 2、下列命题中是真命题的为（　B　） A. 弦是直径 B．半径相等的两个圆是等圆 C．平面内的任意一点不在圆上就在圆内 D．一个圆有且只有一条直径 3.等于 圆周的弧叫做（　C　） A．劣弧 B．半圆 C．优弧 D．圆 4.过圆内一点可以做圆的最长弦（ A ） A. 1条 B.2条 C. 3条 D. 4条 5.下列语句中不正确的有 （ A ） ①直径是弦,而弦不一定是直径；②长度相等的弧是等弧； ③圆上的点到圆心的距离都相等；④同圆或等圆中，优狐一定比劣弧长. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 教师展示PPT上的题目，学生独立举手抢答。教师给予反馈。 学生看到题目后稍作思考，而后抢答，如果抢答正确，其余学生掌声鼓励。 课前五分钟，设计的题目为上一节课主要内容：弦、弧、等圆、同圆等概念性问题，题目简单，易答。不仅可以复习旧知，而且为新知的学习做好铺垫，还可以培养学生课后及时复习，养成独立思考，积极发言的好习惯。 作业剪影 教师展示PPT上作业写的好的同学的作业剪影，并公开夸奖这些学生。强调其他学生向他们学习。 学生认真观看PPT上写的好的同学的作业 通过观看作业写的美观，漂亮的作业，反思自己的作业，从而改正自己的陋习。 一、情境引入 师：你知道赵州桥吗？ 师：赵州桥原名安济桥，俗称大石桥，建于隋炀帝大业年间（595-605年），至今已有1400年的历史，是今天世界上最古老的石拱桥。是隋唐时代石雕艺术的精品。1991年被列为世界文化遗产. 师：赵州桥的主桥是圆弧形，它的跨度为37米，拱高为7.23米，怎样才能求出它的主桥拱的半径呢？ 播放视频 教师提问，并简要介绍赵州桥的历史，播放简短视频。引出课题。 学生回忆小学课本上的赵州桥，并观看视频，思考提出的问题，带着问题进入新课的学习。 学生通过回忆和观看赵州桥的视频，可以领略中国的劳动人的智慧结晶，内心肃然起敬，达到爱国主义教育的效果，通过思考赵州桥的半径的问题，可以激发学生学习新内容的兴趣。 二、复习回顾：等腰三角形的轴对称性 师：将一个等腰三角形对折，你有什么发现？ 生1：等腰三角形是轴对称图形 师：同学们，你们还记得轴对称图形的概念吗？ 生2： 轴对称图形的概念：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁得部分能够互相重合，这个图形就叫轴对称图形。这条直线就是它得对称轴。 生3：轴对称图形的性质： 如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段得垂直平分线。 教师在讲台展示已经制作好的等腰三角形折叠的过程，并把折叠后的等腰三角形粘贴到黑板。 学生通过观看教师的操作，回忆并回答教师提出的问题。 学生通过观看教师的演示可以更加清楚的了解等腰三角形是轴对称图形，顺便通过问答的方式复习了轴对称图形的概念和性质，为后续的证明做了一定的铺垫，后续的内容更易理解。 活动1： 问题1：剪一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？ 发现：直径两旁的部分完全重合 问题2： 师：不借助任何工具，你能找到圆形纸片的圆心吗？由此你得到了什么结论？ 生： 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴. 师：你能证明你的结论吗？ 教师让学生前后形成小组，折叠圆形纸片，并讨论PPT上出示的问题，以小组为单位回答问题。 学生在小组内多次折叠圆形纸片，并进行组内充分讨论，推选出回答问题的学生。 可以激发学习兴趣课堂讨论可以最大限度地激发学生的学习兴趣， 充分调动学生学习的主动性、 积极性。 学生总对各种讨论兴趣盎然，究其原因，一是学生好动，乐于交往，学生的这种心理需求在讨论中可以得到一定程度的满足。二是课堂讨论具有一定的民主性和自由探索性。教育家赞可夫说：“教学法一旦触及学生的情绪和意志领域，触及学生的精神需求，这种教学法就能发挥高度有效的作用。”我认为课堂讨论正是这样的教学法。2、可以提高教学效果课堂讨论的过程中，通过组内讨论，可以激发学生的想像力，促进学生思维的有序发展，提高思维活动的有效性。从而收到较为显著的教学效果。小组作为一个集体，小组活动可以培养学生的集体意识和集体责任感；有利于“互助”、“合群”、“合作”、“民主”、“求实”等道德意识、时代意识和“团队精神”的形成和发展。 三、探究新知 求证：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴 分析：要证明圆是轴对称图形，只需证明圆上任意一点关于直径所在直线(对称轴)的对称点也在圆上. 已知：如图，设CD是⊙O的任意一条直径，A为⊙O上点C,D以外的任意一点 求证：点A关于直线CD的 对称点也在⊙O上 证明：如图，设CD是⊙O的任意一条直径，A为⊙O上点C,D以外 的任意一点.过点A作AB⊥CD，交⊙O于点B，垂足为E， 连接OA，OB.在△OAB中，∵OA=OB ∴△OAB是等腰三角形. 又∵AB⊥CD，(三线合一） ∴AE=BE 即CD是AB的垂直平分线， 那么对于圆上任意一点A，在圆上都有关于直线CD的对称点 教师根据课本所呈现的教学方法，加以引导，进一步证明，△OAB是等腰三角形，AB⊥CD，学生思考如何得到CD是AB的垂直平分线。 学生根据前一天预习的内容，分析如何证明圆是轴对称图形的方法，观察图，跟着教师进行逐步分析证明。 把要证明的命题进行分解成已知，求证的形式，学生更加清晰、明了。先分析图，弄清楚为什么做辅助线，怎么做辅助线，做了辅助线有什么效果，再通过等腰三角形的特殊性质得到直径垂直且平分弦的位置关系和数量关系。这里只是通过证明圆上任意一点关于直径所在直线(对称轴)的对称点也在圆上. 让学生从中顺其自然的发现直径垂直且平分弦的位置关系和数量关系。观察使学生能够更加深入地理解周围的世界和事物的细节，从而形成更为细致入微的思考方式。培养有助于学生在实际生活中运用所学知识解决问题，提高他们解决实际问题的能力。 活动2：探索垂直于弦的直径 师：如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为E．根据圆的对称性，你发现图中有哪些相等的线段和弧？ 线段：AE=BE 弧：, 教师引导学生根据圆的轴对称性观察上图中相等的线段和弧，并要求学生举手回答。 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。 几何语言： ∵CD是直径所在直线，CD⊥AB ∴AE = BE ∴， 教师要求学生找到一个圆中，一条直径与一条弦之间的位置关系，然后思考会出现怎样的结论，从而自己归纳出垂径定理的概念，并熟读概念，根据教师的讲解，将几何语言抄写到知识速记上面。 学生在教师的引导下，举手回答问题。 小组讨论得到垂经定理的概念。并在速记上面抄写垂经定理的几何语言。 垂径定理的学习提高了学生的解题能力 ，垂径定理为证明线段相等、角相等、垂直关系提供了重要依据，同时也为圆的计算和作图提供了方法和依据。 培养逻辑思维和证明能力 ，通过学习垂径定理及其推论，学生可以锻炼自己的观察能力、分析能力和联想能力，进一步培养逻辑思维和证明能力。 增强创新意识 ：在学习过程中，通过探索发现圆的对称性并证明垂径定理及其推论，可以激发学生的创新意识和解决问题的能力。 养成良好的数学学习习惯 ，通过观察、操作、变换和研究垂径定理及其推论，学生可以更好地理解数学概念，形成良好的数学思维和解决问题的习惯。 学习垂径定理不仅能帮助学生掌握圆的重要性质和解决实际问题，还能培养他们的逻辑思维、证明能力和创新意识，对数学学习有着重要的促进作用。 活动3：探索垂经定理的推论 师：如图，AB是⊙O的弦，直径CD平分弦AB于点E，AB⊥CD吗？还有其他结论吗？ 证明：（1）连接AO,BO,则AO=BO, 又AE=BE，∴△AOE≌△BOE（SSS）， ∴∠AEO=∠BEO=90°， ∴CD⊥AB. （2）由垂径定理可得 垂径定理的推论：平分弦的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧. （非特殊情况下） 教师逐句分析题目，强调此题跟上一题中，题设和结论的关键语句，让学生做好区分。并要求学生熟读垂经定理的推论的具体内容。 特殊情况下： 特别说明：圆的两条直径是互相平分的。 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧。 几何语言： ∵ CD是直径， AE=BE ∴ CD⊥AB, 教师引导学生分析平分弦的直径和被平分的弦的位置关系和熟练关系，从而得出被平分的弦是直径的特殊情况，进而让学生仔细观察上图，得到AB和CD不垂直的情况。 学生跟随教师审题，分析，跟教师一起梳理条件，并作答。在速记上面抄写垂经定理的推论的几何语言。 垂经定理的推论的学习加深了学生对圆的性质的理解 ：垂径定理及其推论揭示了圆的一些重要性质，如轴对称性，这些性质是理解和解决与圆相关问题的关键。提高解题能力 ：垂径定理及其推论为证明线段相等、角相等、垂直关系提供了重要依据，同时也为圆的计算和作图提供了方法和依据。培养逻辑思维和证明能力 ：通过学习垂径定理及其推论，学生可以锻炼自己的观察能力、分析能力和联想能力，进一步培养逻辑思维和证明能力。 增强创新意识 ：在学习过程中，通过探索发现圆的对称性并证明垂径定理及其推论，可以激发学生的创新意识和解决问题的能力。 四、典例精析： 例1： 例1： 如图，OE⊥AB 于 E，若⊙O 的半径为 10 cm，点O到直线AB的距离为 6 cm，则 AB = 16 cm. 教师引导学生分析题目，并作细致讲解，得到答案后，进行归纳总结。 学以致用： 如图：⊙O的半径是5cm，弦AB为6cm。求圆心O到弦AB的距离？ 教师要求学生根据例1中的方法，分析这道题，并叫学生上讲台板演。 例1学生先自己独立思考一下题意更深一层的意思，是否存在垂经定理的条件，能否用到垂经定理。 学以致用的题目学生自己独立完成，指定一位学生上黑板板演。 先做题后讲题的教学方法能够提高学生的学习效果，培养他们的自主学习能力和表达能力，同时帮助老师更精准地进行个性化教学。将垂经定理和勾股定理巧妙的结合起来，结合垂径定理和勾股定理，能够提供一种直观的几何解题思路。通过作弦心距，将复杂的几何问题转化为简单的直角三角形问题，从而降低解题难度，提高解题效率。 例2： 例2：赵州桥的主桥是圆弧形，它的跨度为37米，拱高为7.23米，怎样才能求出它的主桥拱的半径呢？ 解：如图，用AB表示主桥拱，设AB所在圆的圆心为O，半径为R.经过圆心O作弦AB的垂线OC垂足为D，与弧AB交于点C，则D是AB的中点，C是弧AB的中点，CD就是拱高. ∴ AB=37m，CD=7.23m. ∴ AD= AB=18.5m， OD=OC-CD=R-7.23. 根据勾股定理得： R≈27.3m. 教师引导学生逐句分析题目，将所给数据标注到几何图形上，然后设未知数，根据勾股定理进行计算。 学生回顾刚开课时候的场景，并在课本上找到跟赵州桥有关的数据，将实物图转化成几何图形。然后根据教师的讲解进行计算。 计算赵州桥的半径，不仅可以深刻得体会到垂经定理的重要性和实用性。也可以见识到古代劳动人民的智慧和勤劳。赵州桥作为世界上最古老的敞肩石拱桥之一，不仅是中国的宝贵历史遗产，也是世界桥梁建筑史上的奇迹，展示了古代中国的高超技术水平。激励我们要好好学习，勇于创新，不仅要传承古代劳动人民的智慧，还要在此基础上进行创新和发展，为现代社会做出更大的贡献。 五、课后练习： 1.已知⊙O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为3cm，则此圆的半径为 5cm . 2. 如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于E，则下列结论不成立的是（ C ） A∠COE=∠DOE B. CE=DE C. OE=BE D. 3.如图,在半径为5的⊙O中，圆心O到弦AB的距离为3，则弦AB的长等于( C ) A. 4 B. 6 C. 8 D.10 4.判断下列说法的正误. ①垂直于弦的直径平分这条弦. ( √ ) ②平分弦的直径必垂直弦. ( × ) ③垂直于弦的直径平分弦所对的弧. ( √ ) 教师要求学生认真审题，独立完成，并举手回答。 学生认真审题，独立解答，然后举手，等待教师提问。 第1题已知弦，还有弦心距，做半径，这样就构建了一个直角三角形，可以顺理成章的用勾股定理去解决。 第2题题目已经摆明了图中存在垂经定理的条件，考查垂径定理的应用。 第3题已知弦心距和半径，求弦长，也是要用到勾股定理和垂经定理。 第4题判断题，主要涉及到的是垂经定理和垂经定理的推论。 垂径定理和勾股定理的结合在解决几何问题中具有重要意义，不仅能够提高解题效率和准确性，还能增强学生的几何直观能力和实际应用能力。建议在学习过程中，多做一些结合这两个定理的实际应用题目，以加深理解和掌握。 六、拓展提升： 圆材埋壁 问径几何？ “圆材埋壁”是我国古代著名的数学著作《九章算术》中的一个问题。今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？ 定理简史：欧几里得(古希腊数学家，公元前330年-公元前275年)《几何原本》第I卷中的第12个命题即为垂径定理，这可能是最早的有关于垂径定理的记载。 欧几里得是谁？《几何原本》是什么？ 教师简要的阅读以上内容，安排学生做好记录，利用课余时间查阅资料！ 学生自读，利用课余时间查资料，下节课前5分钟在班级分享！ 《九章算术》是中国古代第一部数学专著，是《算经十书》中最重要的一部。学生通过读题，分析，画图等方式，进一步理解垂经定理在实际生活中的应用。可以让学生充分的感受到学习垂经定理的重要性和必要性。让喜欢数学的同学可以发挥所长，思维得到进一步发展。 定理简史可以让学生了解到数学家欧几里得的生平事迹还可以接触到几何原本这本书，激发数学学习的兴趣，培养逻辑思维能力，通过了解数学的发展历史，传承数学文化。 七、课堂小结： 本节课你有哪些收获？跟大家分享交流一下！ 教师引导学生回忆本节课的重点内容，并进行提问。 学生回顾本节课学习的内容，举手分享交流！ 课后小结在教学中起到举足轻重的作用。也起到对课堂教学进行整堂回顾的作用。学生刚好可以回忆一下本节课的主要内容，进一步巩固新知，解除疑惑。 八、作业布置： 必做题： 练习册基础练习； 选做题：课堂小练习2，7题 教师要求学生打开练习册和课堂小练习，找到相应的题目，做好标记。 学生打开练习册57页和课堂小练习，做好标记。 作业布置在帮助学生巩固知识、培养能力、激发兴趣、促进家校合作等方面具有重要作用。然而，作业的设计和布置应考虑学生的学习能力和个体差异，避免过多负担和机械重复，确保作业的有效性和趣味性。 板书设计 24.1.2 垂直于弦的直径 一、引入新课： 三、巩固提高 1.情景创设 1.变式教学 2.实验演示 2.应用问题 3.猜想提出 二、探究新知 四、课堂小结 1.实验观察 1.知识梳理 2.归纳总结 2.思考引导 3.证明过程 教学反思 教学目标达成情况分析： 本节课主要有两方面的内容：一是圆的轴对称性，二是垂经定理及其推论。开始以赵州桥的问题引入课题，带着问题进行学习。圆的轴对称性主要是通过动手操作得出结论，进一步研究圆中相等的弦，弧得出垂经定理及其推论。利用此定理再去解决赵州桥问题，每一个环节都是环环相扣，不是孤立存在的。根据学生在课堂上做题的正确率分析得知，本节课教学目标已经达成。 教学重难点突破： 理解垂径定理及其推论 1： 垂径定理的内容是：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧4。推论包括：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 要深刻理解这些定理的内容及其相互关系，可以通过画图辅助理解，例如，通过画一个圆和一条垂直于弦的直径，可以直观地看到直径如何平分弦和弧。 应用垂径定理解决实际问题 1： 垂径定理的应用需要一定的解题技巧和方法。常见的问题包括求线段长度、角度等。解决这类问题的关键在于如何构造辅助线，将问题转化为直角三角形的问题进行求解。例如，通过作垂径、连半径，可以构造出直角三角形，然后利用勾股定理等求解。 掌握垂径定理的解题技巧 1： 通过总结和归纳，可以掌握一些解题技巧。例如，对于已知两边求第三边的问题，可以通过构造直角三角形来解决。对于已知一边和一特殊角的问题，可以利用垂径定理及其推论进行求解。此外，还可以通过实际操作进行巧记，例如通过画圆和对折来加深理解。 理解圆的对称性 4： 圆的对称性是理解垂径定理的关键4。通过圆的对称性，可以更好地理解垂径定理的应用。例如，将圆沿着任意一条直径对折，直径两边的两个半圆会完全重合，这有助于理解直径如何平分弦和弧。 通过练习，可以加深对垂径定理的理解和应用。可以找一些相关的题目进行练习，特别是那些需要构造辅助线和利用直角三角形求解的问题。 在学习过程中，及时总结和归纳垂径定理的解题方法和技巧，以便在遇到类似问题时能够迅速找到解决方法。 垂径定理是圆的基础定理之一，掌握好垂径定理对于后续学习圆的其他内容非常重要。因此，在学习过程中要重视基础知识的理解和掌握。 通过以上方法，基本可以有效地突破垂径定理的重难点，更好地掌握和应用这一重要的几何定理。 教学环节的设计与实施： 本节课是通过复习新知到学习新知再到应用为主线展开，首先复习了有关圆的基本性质和有关概念，为垂径定理中的条件做好准备。再通过创设情境，引入问题，期待解决。进一步通过两个活动得到圆是轴对称图形和垂经定理及其推论的内容，进而应用到实际问题中去。 其他： 教学中，要把尊重学生、关注学生的发展动态始终放在第一位。注重学生间的合作交流，缺少给学生多次展示自己的机会，应该锻炼学生的表达能力，并给与鼓励和表扬，使学生有获得感，增强学生学好数学的信心。在知识发展与应用过程中，注重数学从特殊到一般的思想方法的渗透，教给学生解决问题的办法，使学生学会学习。 学科网（北京）股份有限公司 $$