专题4 构造等比数列及综合应用 专项训练-2026届高三数学一轮复习

专题4构造等比数列及综合应用 1.己知数列an}的满足a=1,a1=2a,+1(n∈N,). (I)求数列an}的通项公式 2n (2)设数列 前n项和为Sn,求Sn a,+1 2.己知数列{an}的首项a1=3,且满足a1=2an-1(neN) (I)求证：{a,-1数列为等比数列；求数列{an}的通项公式： (2)记b,=log2an-1),求数列 1 的前n项的和Sn. 3.已知数列an}满足a1=5,an+1-2an=3"(neN),记bn=an-3 (1)求数列{an}的通项； (②)设c,三2，+，求数列c的前n项和为S. 试卷第1页，共3页 4.己知数列an}的首项a1=1,an+an1=3×2”. (I)求证：{a。-2"是等比数列； (2)求数列{an}的前n项和Sn; 3)令6，=n a,--少’求数列b的最大项。 5.在数列(an}中a=1,a+1=2an+n-1,n∈N (1)证明：数列{an+n是等比数列； (2)求数列{an}的通项公式4； (3)若cn=2”-an,求数列 4 的前n项和工n CnCn+l 6.在数列an}中，a,=2,an+1=3a。-2n+1n∈N* (1)证明：数列{an-n是等比数列. (2)求数列{an}的前n项和Sn. 试卷第1页，共3页 7.数列a,的前n项和为S,且S=0, 2 n-2, 3 3 (I)求证：数列an+1是等比数列； 回若久中数列的前吸和为，求证：工<名 8.已知数列{an}的前n项和为Sn,且a=4,Sn+1=3Sn+4n+4. (1)证明：{an+2}是等比数列. ②若6bg.求数列 1 的前n项和T,. .b 9.在数列an}中，己知an1=3an-2,a=4. (1)证明：{a,-1是等比数列： (2)求{an}的前n项和Sn 试卷第1页，共3页 10.在数列{an}中，a,=5,an1=3an-4n∈N (1)求证：{an-2}是等比数列： (2)求数列{an}的前n项和Sn 11.已知数列an}中a,=2,an=3an1+2(n≥2，n∈N). (1)证明：数列an+l是等比数列： ②若载列么倒游项公式为点一”求数列6的前原和S。 12.已知数列an}满足a=1,点(an,an+1)在直线y=3x+1上. 0设么，=a,+分，证明®为等比数列： (2)求数列{an}的前n项和Sn, 试卷第1页，共3页 13.己知数列an}满足a1=3，a+1=3an-2” (I)令b,=a。-2”,证明：数列{bn}为等比数列； (2)求数列{an}的前n项和Sn 14.在数列{an}中，a=3,an=2an1+n-2(n≥2，且n∈N) (I)证明：数列a,+n是等比数列，并求{an}的通项公式； (2)求数列{an}的前n项和Sn. 试卷第1页，共3页 15.己知数列{an}的前n项和为Sn,且满足a1=1,3an=2Sn+1. (I)证明数列an}为等比数列，并求它的通项公式； (2)设bn=nan,求数列{bn}的前n项和Tn· 16.已知Sn为数列{an}的前项和，若Sn=2a,-4n+2 (1)求证：数列an+4为等比数列： (2)令6=2 ,十4，若么+b,+…+b<，求满足条件的最大整数 试卷第1页，共3页 《专题4构造等比数列及综合应用》参考答案 1.(1)an=2"-1 (2)S,=4-”+2 【分析】(1)构造数列{a,+},判断该数列为等比数列，结合等比数列的通项公式可求数 列{an}的通项公式 2n (2)利用“错位相减求和法”可求数列 的前n项和 (a,+1 【详解】(1)因为a1=2a,+1,所以a,1+1=2a,+1→2+=2， a +1 又a1+1=2, 所以数列a.+1}是以2为首项，2为公比的等比数列 所以an+1=2×2-=2”→a,=2”-1. (2)因为 2n 2nn n+12”-1+12, 1,23 所以S,20+2+2+… 21, n-1.n 2+2+2++ 2+2, .111 两式相减得：5，=1+2+京+2+…+ 1 n 2 =2-n+2 2, 所以S。=4-”+2 2-1 2.(1)证明见解析 ②s-品 【分析】(1)由等比数列的定义即可求证， (2)由(1)求得b。=n,再由裂项相消法求和，即可求解Sn· 【详解】(1)由an1=2an-1neN得an1-1=2(a,-l),neN, 又a1-1=2, 所以{a,-1}是首项为2，公比为2的等比数列. (2)由(1)知，a,-1=2×2"=2", 答案第1页，共2页 所以b。=l0g2am-1)=n, 1 111 所以 ,bn1n(n+1)）nn+1' 所以Sn=b+b2+b3+…+bn =1-+1+411=1-1-n 223nn+11n+1n+1 3.(1)an=3”+2" (2)5。=5-2n+5 2" 【分析】(1)利用等比数列的定义即可求证{b,}是等比数列，求出b,=2“,即可得出{a}的 通项； (2)利用错位相减法求和即可， 【详解】(1)由an+1-2an=3”,即a+1=3”+2an, 得a1-31=3”+2a。-3=2(a。-3”）,即b1=2b, 又a,=5,得b=a1-3=5-3=2, 故数列b,中任意一项不为0，有6 bntl =2, 所以数列bn}是首项为2，公比为2的等比数列， 故bn=2×2-1=2”，则an=3”+2" (2)由(1)可知，6，=2”，则c,=2+, 2, 3,5,7,,2n+11 3.5.7 29+.+ 2n+1 所以5，=2+2京+2++ 22 23 1年 1 1 、两代作差得，亏S”无2受+2季++之 ,22n+1322" 2n+1 2”2 人 2n*1 =-42n+1-52n+5 Γ22时-2W=22+1, 所以Sn=5-2n+5 2” 4.(1)证明见解析 答案第1页，共2页 2②)21-2+-1+-1” 84号 【分析】(1)依题意可得a1-21=-(a。-2“）,结合等比数列的定义即可证明； (2)由（1)可得a,=2”+(-1),利用分组求和法计算可得： (3)由(2)可待6一分，利用作差法判断数列的单调性，即可求出最大吹 【详解】(1)因为a,+a1=3×2”, 所以a1-21=-(an-2"）, 又a,=1,所以a1-2=-1, 所以{。-2是以-1为首项，-1为公比的等比数列； (2)由(1)可得an-2”=(-1)”, 所以an=2”+(-1)”, 所以Sn=2+(-1+22+(-1)2+…+2"+(-1” =(2+2+…+2）+[-1+(-++(- 20-29,--]-2-2+1+- 1-2 1-(-1 2 (3)由(2)可得6=，” n2 4n-(-10”20, 则4-6=a+1-a+-2n2n+1-r-n-2+2 2+1 20*1 2+ 2+ 所以当1≤n≤2时bn+1-bn>0,当n≥3时bn+1-b,<0, 即b<b2<b3>b4>b>…, 所以数列b,的最大项为6=8： 9 5.(1)证明见解析 答案第1页，共2页 (2)an=2”-n =4 4n 【分析】(1)根据已知求出a,+1=2,an1+n+1=2(an+n),即可得出证明； (2)根据等比数列通项公式得出an+n=2”，即可得出答案； (3)根据已知得出cn=n,进而裂项求和，即可得出答案 【详解】(1)由已知可得，a+1=2,an1+n+1=2am+n-1+n+1=2(an+n), 所以，数列{a.+n}是以2为首项，2为公比的等比数列. （2)由(1)可知，数列a。+n是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以有a,+n=2×2-=2”, 所以，an=2”-n. (3)由(2)可知an=2”-n, 所以cn=2”-an=2"-2”-n=n, 所以， 4 所以有数列 的前n项和=4-引+4合引+日)41)智 6.(1)证明见解析； (23-1+n2+n 2 2 【分析】(1)由题设得a1-(n+1)=3(an-n),结合等比数列定义即可得证； (2)由(1)求出数列an}的通项公式，再由等差、等比数列前n项和公式即可计算得解. 【详解】(1)由a1=3a。-2n+1得a1-(n+)=3a。-3n=3(a,-n),a,-1=1≠0， 所以数列a。-n为首项为1，公比为3的等比数列. (2)由(1)得an-n=13-,则an=3-+n, 答案第1页，共2页