专题3 构造等差数列及分组求和法 专项训练-2026届高三数学一轮复习

专题3构造等差数列及分组求和法 一、例题讲解： an 1.设数列a,满足4=3， a+1= 3an+1 1 (1)证明：数列an」为等差数列： (②诺数列a4的前n顶和为r,正明：刘<<号 2.已知数列a中，4=月，0=受+ 22可 0)证明数列2·a为等差数列，并求马，： 2)求a,的前n项和S, =4a,1=4-4(neN) 3.已知数列0满足 a. ∫1 (1)求证：a.-2是等差数列 (2)求数列，的通项公式 试卷第1页，共3页 年已却数a满足4-三0千包 a. 「1 (1)证明数列an-1是等差数列，并求{an}的通项公式： 2若数列b满足，6=(a。-川01-刂，求b的前n项和S, 5.已知等比数列a的前”项和为，且2，=0-1 ①求a的通项公式： ②求数列S的前”项和 6。记为等差数列a,的前”项和，数列6，为正项等比数列，已知=5,8=9， b=a bs=S 山求数列，的通项公式 2求数列a+b}的前”项和. 试卷第2页，共3页 二、巩固强化： 1 ,已知数列a满是9=一-aeN求证：是等老数列，并求a 的通项公式： (2)已知数列a,的前”项和为，=n+3m,n∈N求a,的通项公式： 1 8.已知数列a,满足a=0,且12-0. 1 (1)证明： an-1是等差数列. 2)设6，=-4 n+1,求数列{b,}的前n项和工 试卷第3页，共3页 9,已知数列o满足4=L,如=4- an 1 (1)证明：2an-1是等差数列： ②设6-器， 求数列{b}的前n项和工， 10.已知各项均为正数的数列a的前”项和为，且0+0，=2S, (山求数列a的通项公式： (2)若数列{b}满足， =062a22e ,求数列b,的前n项和T. 1.已知等比数列a为递增数列，其前”项和为，4=3，S,=21 ①)求数列a的通项公式： 2若数列么，-a,是首项为1，公差为3的等差数列，求数列b的通项公式及前”项和工 试卷第4页，共3页 12.已知等差数列a的公差是2，等比数列b}的公比是2，若6=2,6=3 ()求a和b,的通项公式 2求数列a,+b,的前”项和5。 试卷第5页，共3页 《专题3构造等差数列及分组求和法》参考答案 an 1=30,+1-1331-13 1.(1)由 由030+1可得：a1a.0,a1a。， 1 所以数列an」为等差数列，且首项为3，公差为3： 1 1n1=3+(n-103=3n (2)由数列a了为等差数列，a=3,可得a, 所以a,以a为a9日》. 1 所x-好号4t日40g动gg 11 因为a,>0,所以7.2I8>20,故20<1.9· +1 2.(1)因为01=2+2， 所以 "a+1=2"-an+2 2”an+1-2"-an-2 ，故 即数列2·a是以2为公差的等差数列， 2n-3 又a,=2,所以2a,=1,故2a,=2a2+2(n-2=2n-3,所以0，=2. (2)依题意可得S.=-1++3+5++2n-5,2n-3 222+2++ 2-22 1,135,,2n-5,2n-3 2 22+2+2++ 21+ 2”, 1-1 两式相减可得=-1+1+之+，是23引2) 222+…+ 2n-3=1-2n+1 2-2-2 1 2 2”，所以 22n+1· n=2- 2-1 1-1=1-1=0,-1=1 3.(1)a1-2a.-24-4-2a,-22a,-4a.-22为常数， a 「1 所以a,-2为公差为的等差数列， 答案第1页，共2页 ∫1 (2)由于a,-2为公差为2的等差数列，且首项为？， 11 22 所以a,-22”,所以4， -n+-211-14 4.(1)由4=2， an可得 anan, 1，=1+1111 即at1-1an-1an-1,即an1-1an-1, 「11 1 故数列口，-司是等差数列，其首项为42，公差为1， 2+n-)x1=n+1,解得a,=”+2 则a.-1 n+1 (2)由6=a-a4-可得6=（公+子-+3-）。 111 n+1 n+2 (+1)n+2)n+1n+2 则=++6=*写中**南3好 n 5.(1)因为 2Sn=an+1-12Sn-1=an-1 ,故 ,两式相减 所以2a,=0-an≥2到即3a,=a,,故等比数列的公比为9=3， 当0=1时，24=4-1=34-1，数4=1，故4，=3 2)由等比数列求和公式得S,=1-3,2X3”八 2,所以数列{Sn}的前n项和 无=s+8g+] 、n- 4 24 6。(1)设数列a的首项为，公差为，设数列b的首项为A,公比为9， a+2d=5 由a3=5,S,=9,可得3a1+3d=9,解得a1=1,d=2,所以an=a,+(n-1)d=1+2(n-l)=2n-1,即数列{an}的通项 答案第2页，共2页 公式为2=2”-1，因为4=4=，由8=5得g=a+61=4+6x2=16,解得9=2， 所以么=g-2,所以数列的通项公式为。=2 (2)由(1)可知0，=2n-1b,=21 Tn=(a1+b)+a2+b2)+…+an+bn)=a1+a2+…+an)+(b+b2+…+bn =1+2m-111-21-+2-1 2 1-2 7.(1)因 为=haae所以3+ ,所以a+1a, n, 女.我日1肉原.内52数 所以。1+3引n-1=3-2,则a,=3n2 (2因为5=+eN,当=1时，$=a=+=4: 当n≥2时，S1=(n-l+3(n-1 所以0，=S,-S=+3n-[m-+3(n-]=2n+2, 当0=引时8-20+2也成立，所以总=2+2 1 8。（)证明：因为2-4，所以 -1=,1-1=-1+a 2-a 2-am, 1,-2-4=-a-+1-1+11,-1 =-1, 所以a1-1a,-1a-1a。-1,即a1-1a,-1 ∫1 所以an-1是以-！为公差的等差数列. 1 1 (2)解：由(1)知a-1,所以an-1,可得，=1- =-1 =-n n, 答案第3页，共2页 1然f-六六 bn= 401-2=2-1-20,-1 9.(1)由题可 anan 1 an 12a=2a,-1+1-1t 111 =11=1 所以4a-22a,-1,所以2a-12a,-12a-11f2a,-1所以20-2a,-1又2a-1, f11 所以2an-1是首项为1，公差为1的等差数列. 2击0a五1-1，所品+小 1 所以么=受岁所以=子+会+++型 2n· 所以2+++…++ 2.34 +2+2m· 2.1.11 两式相减，得27,7+2京+交+2+… 1n+11, n+1 22m2 204 2 22”2m22所以7=3-+3 _31n+1_3n+3 2” 10。（D由心+a,=2S,得+a=2S,故两式相减可得：+a-@+a=25-2,化简得 an2-an=an +an 由于a各项均为正数，所以+a,>0,故aa,=引（常数）， 又当”=1时，4+4=25=24，自于4>0，故41，所以数列0是以1为首项，1为公差的等差数列：故8，=” 1_111 ②由(1)得：n22时，6。au-n+-n 所以当n22时万-0-*六 11 -+兮}。山：当n=17=0电符6上式，微-44 答案第4页，共2页 1.（1)设等比数列a,的公比为9，由=3>0，且等比数列a,为递增数列，所以9>1， S3=3+3q+3g2=2 1,解得9=2（负值舍去）， 所以a,=49=32 ，即032 (2)由数列b-a,是首项为1，公差为3的等差数列，所以，-a=1+3n-=3-2, 所以6=32+3n-2 Tn=b+b2+…+b,=3+3×2+…+3×2"-+1+4+…+3n-2 ,2-3号 1-2 2 12.(D等比数列6的公比是2，么=2，则6=么2=2，A=) 由h=3,得4=6，又等差数列a的公差是2，则0.=4+1-)-(2)=-2m+8, 所以a和b的通项公式分别为，=-2n+8,6=2 (2)记a,和b的前”项和分别为，B,则5=A,+B, 而4=6n+,-Dx(-2)=-r2+7m,B,=2 -2）1+2, 2 1-2=2 所以5。=2-n+7m-2 1 答案第5页，共2页