2.3.3点到直线的距离公式2.3.4两条平行直线间的距离 (第一课时) 课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第二章　直线和圆的方程 2.3　直线的交点坐标与距离公式 2.3.3　点到直线的距离公式 2.3.4　两条平行直线间的距离 1.了解点到直线的距离公式的推导方法.（逻辑推理） 2.掌握点到直线的距离公式，并能灵活应用于求平行线间的距离等问题.（数学运算） 3.初步掌握用解析法研究几何问题．（逻辑推理） 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 2 复习引入： 问题 试一试: 点P(-1,2)到直线x=2的距离是______. 点P(-1,2)到直线y=1的距离是______. y=1 y 0 x=2 x P(-1,2) Q(2,2) M(-1,1)   点P到直线l的距离，就是P到直线l的垂线段PQ的长度，其中Q为垂足. (3)点P(-1,2)到直线2x+y -10=0的距离是______ 已知点 ，直线 ，如何求点 到直线 的距离？ 点 到直线 的距离，是指从点 到直线 的垂线段 的长度，其中 是垂足． 思考：如何求出 ？ x y O 一、点到直线的距离： 5 思路一：直接法 直线 的方程 直线 的斜率 直线 的方程 直线 的方程 交点 点 之间的距离 （ 到 的距离） 点 的坐标 直线 的斜率 点 的坐标 点 的坐标 两点间距离公式 x y O 思路简单运算繁琐 6 x y O P Q l P到直线 l 的距离，即垂线段|PQ|的长度 思路二：间接法 x y O 等面积法求出 |P0Q| 求出 |P0R| 求出|P0S| 利用勾股定理求出|RS| S R 求出点R的坐标 求出点S的坐标 8 思路三：向量投影法 求出直线l与y轴的交点M的坐标 x y O M 求出P0M 求出直线l的垂直向量n 求出P0M在 n 上的投影|P0Q| 9 O y x l:Ax+By+C=0 点P(x0，y0) (3)此公式是在A≠0且B≠0的前提下推导的； (4)如果A=0或B=0，此公式也成立； (5)用此公式时直线方程要先化成一般式。 * 说明： （1）分子是P点坐标代入直线方程左式； （2）分母是直线未知数x、y系数平方和的算术平方根． 总结： 到直线l:Ax+By+C=0的距离： 例1 求点P0（-1，2）到下列直线的距离： （1）2x+y-10＝0；（2）x＝2；（3）y-1＝0. 【解题提示】当直线与坐标轴不平行时，直接代入公式求得距离；当直线与坐标轴平行时，可以数形结合求解. 总结 对于直线的一般式方程：Ax+By+C=0， 当A=0或B=0时，直线方程为y=y1或x=x1的形式. Q Q x y o x=x1 P(x0,y0) y o y=y1 (x0,y0) x P (x0,y1) (x1,y0) 解：设边AB上的高为h, 则 x y O -1 1 2 2 3 3 1 B (3,1) A (1,3) 例2 已知点A(1,3), B(3,1), C(-1,0)，求△ABC的面积. C (-1,0) 边AB所在直线l的方程为 即 点C(-1,0)到直线l的距离为 因此 练习： 1.已知点 在第二象限内，则它到直线 的距离是( @21@ ). A. B. C. D. C 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 18 2.求垂直于直线 <m></m> ，且与点 <m></m> 的距离是 <m></m> 的直线 <m></m> 的方程. 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 19 例3(求到两点间距离相等的直线方程) 已知点P(1,1)，Q(5,4)到直线l的距离都等于2，求直线l的方程. 【分析】根据直线l与直线PQ平行，过线段PQ的中点或斜率不存在分类讨论 解:当l//PQ时，因为直线PQ的方程为3x-4y+1=0， 所以可设直线l的方程为3x-4y+m=0， 由，得m=11或-9， 即直线l的方程为3x-4y+11=0或3x-4y-9=0 当l与PQ不平行时，由题意，直线l经过PQ的中点M(3, 当直线l斜率存在时，设直线l为y-=k(x-3)，即kx-y+-3k=0， 则，得k=，所以直线l的方程为7x+24y-81=0. 当直线l斜率不存在时，直线l的方程为x=3，符合题意. 综上，直线l的方程为3x-4y+11=0或3x-4y-9=0或7x+24y-81=0或x=3 练习 例4. 已知直线l经过直线2x+y-5＝0与x-2y＝0的交点P. （1）点A（5，0）到直线l的距离为3，求直线l的方程； （2）求点A（5，0）到直线l的距离的最大值，并求距离最大时的直线l的方程. 2.3.4两条平行线间的距离 24 复习引入 1.两点P1(x1,y1), P2(x2,y2)两点间的距离公式： 2.点P0(x0, y0)到直线 的距离： 3.两条平行线l1:Ax+By+C1=0与l2:Ax+By+C2=0的距离是多少？ y x o l2 l1 两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间的公垂线段的长. 二、两条平行直线间的距离 Q P 思路一：求两条平行直线间的距离可转化为点到直线的距离． 例5. O y x l2 l1 P Q 证明： y O x l1 l2 P Q 两条平行线l1:Ax+By+C1=0与l2:Ax+By+C2=0的距离： 注意： 2) 两直线方程中要求x,y的系数要相同． 1) 把直线方程要化成一般式； 结论： 例6：求平行线l1：2x－7y－8=0与l2：6x－21y－1=0的距离. 在l1上任取一点，例如A(4，0) 点A到直线l2的距离等于l1与l2的距离 y O x l2: 6x-21y-1=0 l1:2x-7y-8=0 A(4,0) 两平行线间的距离处处相等 直线到直线的距离转化为点到直线的距离 法一 法二 直接代两平行线间的距离公式（注意系数） 1.平行线2x+3y-8=0和2x+3y+18=0的距离是______; 2.两平行线3x+4y=10和6x+8y=0的距离是____. 3.两平行线3x-2y-1=0和6x-4y+2=0的距离是_______. 2 巩固练习 5.两直线 和 平行，则它们之间的距离为_ _____. <m></m> 4.若直线 与直线 3 的距离为 ，则 的值为__________. <m></m> 或21 6.与直线 平行且与直线 的距离为3的直线方程为_______________________________________. <m></m> 或 <m></m> 7.过点P(1,2),且与点A(2,3)和B(4,-5)距离相等的直线 l 的方程。 4x+y-6=0或3x+2y-7=0． 2.两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0的距离是： 1.平面内一点P(x0，y0) 到直线Ax+By+C=0的距离公式是 当A=0或B=0时，公式仍然成立. 课堂小结 注意：直线的方程应化为一般式，而且x与y的系数必须化为相同！ 请看课本P79：练习 【解】（1）d＝ ＝ ＝ . （2）（方法1）把直线方程化为一般式为x-2＝0，则 d＝ ＝3. （方法2）∵ 直线x＝2与y轴平行，∴ 如图，可知 d＝|-1-2|＝3. （3）（方法1）d＝ ＝1. （方法2）∵ 直线y-1＝0与x轴平行， ∴ 如图，可知d＝|2-1|＝1. 分析：（1）求出两已知直线交点坐标P（2，1），再求直线l的方程 所以直线l的方程为x＝2或4x-3y-5＝0. （2）由 解得交点为P（2，1），如图，过P作任一直线l， 设d为点A到直线l的距离，则d≤|PA|（当l⊥PA时等号成立）， 所以dmax＝|PA|＝ ，此时直线l的方程为3x-y-5＝0. $