精品解析：河南省安阳市第二十中学2025-2026学年上学期九年级月考数学试卷

人教版九年级2025－2026学年上第一次月考 数学 满分120分 时间90分钟 一、选择题（共10小题） 1. 若x=2是关于x的一元二次方程x2-mx+8=0的一个解．则m的值是( ) A. 6 B. 5 C. 2 D. -6 2. 用配方法解方程，配方后可得（ ） A. B. C. D. 3. 将一元二次方程化为一般式后，二次项系数和一次项系数分别为（ ） A. 3， B. 3，6 C. 3，1 D. 4. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 某树主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目小分支，主干、支干和小分支总数共31.若设主干长出个支干，则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 某校去年对实验器材的投资为2万元，预计今明两年的投资总额为8万元，若设该校今明两年在实验器材投资上的平均增长率是x，则可列方程为（　　） A. 2（1+x）2=8 B. 2（1﹣x）2=8 C. 2+2（1+x）+2（1+x）2=8 D. 2（1+x）+2（1+x）2=8 7. 已知点，，在函数的图象上，则、、的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，要设计一幅宽20cm，长30cm的图案，其中有两横两竖的彩条，横竖彩条的宽度比为2︰1，如果要使彩条所占面积是图案面积的，则竖彩条宽度为（ ） A. 1cm B. 1.5cm C. 2cm D. 2.5cm 9. 如图，拋物线与轴交于点、，与轴交于点，，则下列各式成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 二次函数，当且时，y的最小值为，最大值为，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 二、填空题（本大题共6个小题） 11. 一元二次方程的解是__． 12. 篮球联赛实行单循环赛制，即每两个球队之间进行一场比赛，计划一共打36场比赛，设一共有x个球队参赛，根据题意，所列方程为_____． 13. 抛物线的部分图象如图所示，则当时，x的取值范围是______； 14. 若二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是___________． 15. 抛物线 y=x2+mx+m+ 经过定点的坐标是_____ 16. 从地面竖直向上抛出一小球，小球离地面的高度h（米）与小球运动时间t（秒）之间关系是h=30t﹣5t2（0≤t≤6），则小球从抛出后运动4秒共运动的路径长是________米． 三、解答题（共8题） 17. 解方程：（1）x2﹣6x+5=0 （2）x（x﹣4）+5（x﹣4）=0 18. 已知抛物线经过点A(－2，－8). （1）求的值, （2）若点P(，－6)在此抛物线上，求点P的坐标. 19. 已知函数 （1）指出函数图象的开口方向是______，对称轴是______，顶点坐标为______； （2）当x______时，y随x的增大而增大； （3）怎样移动抛物线就可以得到抛物线． 20. 已知关于的一元二次方程； （1）求证：不论任何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两根为、且满足，求的值． 21. （1）抛物线y=ax2+c经过点A （4，0）、点B （1，﹣3），求该抛物线的解析式． （2）如图1，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管应多长？ （3）如图2，点P（0，m2）（m＞0），在y轴正半轴上，过点P作平行于x轴的直线，分别交抛物线C1：y=x2于点A、B，交抛物线C2：y=x2于点C、D，求的值． 22. 如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80m2？ 23. 某商品的进价为每件40元，现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如果调查价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件． （1）直接写出每周售出商品的利润y（单位：元）与每件降价x（单位：元）之间的函数关系式，直接写出自变量x的取值范围； （2）涨价多少元时，每周售出商品的利润为2250元； （3）直接写出使每周售出商品利润最大的商品的售价． 24. 已知，点，点和抛物线，将抛物线沿着y轴方向平移经过点，画出平移后的抛物线如图所示． （1）平移后的抛物线是否经过点？说明你的理由； （2）在平移后的抛物线上且位于直线AB下方的图象上是否存在点P，使？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）在平移后的抛物线上有点M，过点M作直线的垂线，垂足为N，连接．当时，求点M坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版九年级2025－2026学年上第一次月考 数学 满分120分 时间90分钟 一、选择题（共10小题） 1. 若x=2是关于x的一元二次方程x2-mx+8=0的一个解．则m的值是( ) A. 6 B. 5 C. 2 D. -6 【答案】A 【解析】 【详解】解：将x=2代入x2-mx+8=0可得： 4-2m+8=0， 解得：m=6， 故选：A． 2. 用配方法解方程，配方后可得（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】方程移项，利用完全平方公式化简得到结果即可． 【详解】方程， 整理得：， 配方得：，即， 故选A． 3. 将一元二次方程化为一般式后，二次项系数和一次项系数分别为（ ） A. 3， B. 3，6 C. 3，1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：，，是常数且特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．据此解答即可． 【详解】解：一元二次方程化为一般形式为， 二次项系数和一次项系数分别为3，， 故选：A． 4. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线顶点式即可求解． 【详解】解：∵抛物线， ∴顶点坐标为， 故选：． 【点睛】本题主要考查抛物线顶点式的理解，掌握抛物线顶点式的形式即表示意义是解题的关键． 5. 某树主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目小分支，主干、支干和小分支总数共31.若设主干长出个支干，则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别表示出主干、支干和小分支的数目，根据总数是31列方程即可得答案. 【详解】设主干长出个支干， ∵每个支干又长出同样数目小分支， ∴小分支的数目为x2， ∵主干、支干和小分支总数共31， ∴所列方程为：1+x+x2=31， 故选B. 【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，分别表示出主干、支干和小分支的数目，正确找出等量关系是解题关键. 6. 某校去年对实验器材的投资为2万元，预计今明两年的投资总额为8万元，若设该校今明两年在实验器材投资上的平均增长率是x，则可列方程为（　　） A. 2（1+x）2=8 B. 2（1﹣x）2=8 C. 2+2（1+x）+2（1+x）2=8 D. 2（1+x）+2（1+x）2=8 【答案】D 【解析】 【分析】分别得出今年和明年的投资额，根据今明两年的投资总额为8万元列方程即可得答案. 【详解】∵去年实验器材的投资为2万元，这两年在实验器材投资上的平均增长率为x， ∴今年的投资总额为2（1+x）；明年的投资总额为2(1+x)2； ∵预计今明两年的投资总额为8万元， ∴2(1+x)+2(1+x)2=8． 故选:D. 【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，正确找到相关量的等量关系是解题关键. 7. 已知点，，在函数的图象上，则、、的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质．根据二次函数图象的性质：图象开口向下，在对称轴左侧随的增大而增大，在对称轴右侧随的增大而减小，据此可以判断、、的大小关系． 【详解】解：，即 所以函数图象对称轴为直线，且开口向下， 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小， 点关于对称轴的对称点为， 、、三点都在对称轴的右侧，且， ． 故选：B． 8. 如图，要设计一幅宽20cm，长30cm的图案，其中有两横两竖的彩条，横竖彩条的宽度比为2︰1，如果要使彩条所占面积是图案面积的，则竖彩条宽度为（ ） A. 1cm B. 1.5cm C. 2cm D. 2.5cm 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：设竖彩条的宽度为xcm，则横彩条的宽度为2xcm，根据题意可得： （30-2x）（ 20-4x）=30×20×（1-）， 整理得：－20x+19=0 （x－1）（x－19）=0 解得：x=1或x=19（舍去） 考点：一元二次方程的应用． 9. 如图，拋物线与轴交于点、，与轴交于点，，则下列各式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数综合问题；根据，有，可设点、的坐标为，代入解析式，即可解得答案． 【详解】解：，则是等腰直角三角形 ， 可设点、， 把代入，得 即， ， ，即． 故选：A． 10. 二次函数，当且时，y的最小值为，最大值为，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的最值，结合二次函数图象的开口方向、对称轴以及增减性进行解答即可． 【详解】二次函数 的大致图象如下： ①当时, 当时，取最小值，即， 解得：（正数舍去）， 当时，取最大值，即， 解得：或(均不合题意，舍去)； ②当时, 当时，取最小值，即， 解得：（正数舍去）， 当时，取最大值，即, 解得： 或时，取最小值， 时取最大值， ， ， ， ∴此种情形不合题意， 所以， 故选：D． 二、填空题（本大题共6个小题） 11. 一元二次方程的解是__． 【答案】x1＝3，x2＝﹣3． 【解析】 【分析】先移项，在两边开方即可得出答案． 【详解】∵ ∴=9， ∴x=±3， 即x1＝3，x2＝﹣3， 故答案为x1＝3，x2＝﹣3． 【点睛】本题考查了解一元二次方程-直接开平方法，熟练掌握该方法是本题解题的关键. 12. 篮球联赛实行单循环赛制，即每两个球队之间进行一场比赛，计划一共打36场比赛，设一共有x个球队参赛，根据题意，所列方程为_____． 【答案】x（x﹣1）=36． 【解析】 【分析】赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），x个球队比赛总场数为，即可列方程． 【详解】解：设一共有x个球队参赛，每个队都要赛（x﹣1）场，但两队之间只有一场比赛，由题意得：x（x﹣1）=36． 故答案为：x（x﹣1）=36． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解决本题的关键是读懂题意，得到总场数的等量关系． 13. 抛物线的部分图象如图所示，则当时，x的取值范围是______； 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的对称性，二次函数与不等式之间的关系，先由对称性求出抛物线与x轴的另一个交点坐标为，再结合函数图象即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线对称轴为直线，且与x轴的一个交点坐标为， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为， ∴由函数图象可知，当时，x的取值范围是， 故答案为：． 14. 若二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是___________． 【答案】且 【解析】 【分析】根据题意可得关于x的一元二次方程有实数根，据此利用判别式和一元二次方程的定义进行求解即可． 【详解】解：∵二次函数的图象与轴有交点， ∴关于x的一元二次方程有实数根， ∴， ∴且， 故答案为：且． 【点睛】本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系，熟知二次函数与x轴有交点即对应的一元二次方程有实数根是解题的关键． 15. 抛物线 y=x2+mx+m+ 经过定点的坐标是_____ 【答案】（﹣1，1） 【解析】 【分析】由y= x2+（x+1）m+ ，抛物线经过定点，可得x+1=0，由此即可解决问题； 【详解】解：∵y=x2+（x+1）m+ ，抛物线经过定点， ∴x+1=0， ∴x=﹣1，y=1， ∴定点坐标为（﹣1，1） 故答案为（﹣1，1） 【点睛】本题考查二次函数图象上的点的坐标特征，定点问题等知识，解题关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型. 16. 从地面竖直向上抛出一小球，小球离地面的高度h（米）与小球运动时间t（秒）之间关系是h=30t﹣5t2（0≤t≤6），则小球从抛出后运动4秒共运动的路径长是________米． 【答案】50 【解析】 【分析】根据题目中的函数解析式可以求得h的最大值，从而可以求得小球从抛出后运动4秒共运动的路径长． 【详解】解：∵h＝30t−5t2＝−5（t−3）2＋45（0≤t≤6）， ∴当t＝3时，h取得最大值，此时h＝45， ∴小球从抛出后运动4秒共运动的路径长是：45＋[45−（30×4−5×42）]＝50（米）， 故答案为50． 【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的路径的长． 三、解答题（共8题） 17. 解方程：（1）x2﹣6x+5=0 （2）x（x﹣4）+5（x﹣4）=0 【答案】(1)x1=5，x2=1；(2)x1=4，x2=﹣5． 【解析】 【分析】（1）用因式分解法解方程即可； （2）用因式分解法解方程即可． 【详解】解：（1）x2﹣6x+5=0， （x﹣5）（x﹣1）=0， x﹣5=0，x﹣1=0， x1=5，x2=1； （2）x（x﹣4）+5（x﹣4）=0， （x﹣4）（x+5）=0， x﹣4=0，x+5=0， x1=4，x2=﹣5． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键，注意：解一元二次方程的方法有：直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等. 18. 已知抛物线经过点A(－2，－8). （1）求的值, （2）若点P(，－6)在此抛物线上，求点P的坐标. 【答案】（1）;(2) 【解析】 【详解】试题分析：（1）先将点A（﹣2，﹣8）代入抛物线y=ax2即可求出a的值； （2）将P（m，﹣6）代入抛物线的解析式，求出m的值，即可得到点P的坐标． 试题解析：解：（1）将点A（﹣2，﹣8）代入抛物线y=ax2，可得4a=﹣8，即a=﹣2； （2）∵a=﹣2，∴y=﹣2x2，将P（m，﹣6）代入y=﹣2x2，得﹣6=﹣2m2，解得m=± ，则点P的坐标为（，﹣6）或（﹣，﹣6）． 点睛：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，抛物线经过点，即点的坐标满足函数解析式． 19. 已知函数 （1）指出函数图象的开口方向是______，对称轴是______，顶点坐标为______； （2）当x______时，y随x的增大而增大； （3）怎样移动抛物线就可以得到抛物线． 【答案】（1）向下，直线， （2） （3）向左平移一个单位长度，再向下平移两个单位长度 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象的平移规律，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． （1）根据二次函数的图象与系数的关系得出开口方向，根据顶点式得出对称轴及顶点坐标； （2）根据二次函数的性质可以解答本题； （3）根据平移的规律：左加右减，上加下减，可以解答本题． 【小问1详解】 解：∵函数，， ∴该函数图象的开口方向是向下，对称轴是直线，顶点坐标是， 故答案为：向下，直线，； 【小问2详解】 解：∵函数， ∴当时，y随x的增大而增大， 故答案为：； 【小问3详解】 解：将抛物线向左平移一个单位长度，再向下平移两个单位长度就可以得到抛物线． 20. 已知关于的一元二次方程； （1）求证：不论任何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两根为、且满足，求的值． 【答案】（1） 证明：在方程中，，，， ， 不论m取何值，， ． 不论m取任何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根与系数关系的应用．一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1）⇔方程有两个不相等的实数根；（2）⇔方程有两个相等的实数根；（3）⇔方程没有实数根．一元二次方程根与系数关系：，． （1）要证明方程总有两个不相等的实数根，那么只要证明即可； （2）首先利用根与系数的关系可以得到，，接着利用得到关于m的方程，解方程即可解决问题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知方程总有两个不相等的实数根、， ，， 而，即， 解并检验得 21. （1）抛物线y=ax2+c经过点A （4，0）、点B （1，﹣3），求该抛物线的解析式． （2）如图1，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管应多长？ （3）如图2，点P（0，m2）（m＞0），在y轴正半轴上，过点P作平行于x轴的直线，分别交抛物线C1：y=x2于点A、B，交抛物线C2：y=x2于点C、D，求的值． 【答案】（1）抛物线的解析式为：y=x2﹣；（2）水管长为2.25m；（3）． 【解析】 【分析】（1）把A、B的坐标代入抛物线解析式，解方程组，即可求抛物线的解析式； （2）以池中心为坐标原点，水管为轴建立直角坐标系．设抛物线解析式为 ，把点（3，0）代入，即可求得抛物线的解析式，当x=0时，对应的y的值就是水管的长； （3）由题意，可得A、B、C、D的坐标，然后求出AB，CD的长，即可得到答案． 【详解】解：（1）代入点A、B的坐标得：，解得： ， ∴抛物线解析式为：； （2）以池中心为坐标原点，水管为轴建立直角坐标系． ∵抛物线的顶点坐标为（1，3）， ∴设抛物线解析式为， 又∵点（3，0）在抛物线上， ∴，解得：， ∴抛物线为． 当x=0时y=，故水管应长米； （3）由题意，可得，，，， ∴，， ∴． 【点睛】此题考查了待定系数法求抛物线的解析式，二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． 22. 如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80m2？ 【答案】所围矩形猪舍的长为10m、宽为8m时，猪舍面积为80m2 【解析】 【分析】可以设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm，可以得出平行于墙的一边的长为m，由题意得出方程 求出边长的值． 【详解】解：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm，可以得出平行于墙的 一边的长为m， 由题意得 ， 化简，得，解得：， 当时，（舍去）， 当时，， 答：所围矩形猪舍的长为10m、宽为8m． 【点睛】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，矩形的面积公式的运用及一元二次方程的解法的运用，解答时寻找题目的等量关系是关键． 23. 某商品的进价为每件40元，现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如果调查价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件． （1）直接写出每周售出商品的利润y（单位：元）与每件降价x（单位：元）之间的函数关系式，直接写出自变量x的取值范围； （2）涨价多少元时，每周售出商品的利润为2250元； （3）直接写出使每周售出商品利润最大的商品的售价． 【答案】（1）y＝﹣20x2+100x+6000；（0≤x≤20）；（2）涨价25元时，每周售出商品的利润为2250元；（3）65元． 【解析】 【分析】（1）根据涨价时，每涨价1元，每星期要少卖出10件，可列出销售量的代数式，根据总利润＝单件利润×销售量列出函数表达式即可； （2）根据总利润＝单件利润×销售量列方程解答即可； （3）根据函数表达式，利用二次函数的性质解答即可． 【详解】解：（1）∵每降价1元，每星期要多卖出20件， ∴每星期实际可卖出（300+20x）件， y＝（60﹣40﹣x）（300+20x） ＝﹣20x2+100x+6000；（0≤x≤20）； （2）设涨价m元时，每周售出商品的利润为2250元， 由题意得，（60+m﹣40）（300﹣10m）＝2250， 解得：m＝25或m＝﹣15（不合题意，舍去）； 答：涨价25元时，每周售出商品的利润为2250元； （3）∵y＝-20x2+100x+6000＝-20（x-）2+6125． ∴在降价的情况下，售价为57.5元每星期售出商品的最大利润是6125元． 设涨价m元时，每周售出商品的利润为W元， ∴W＝（60+m-40）（300-10m）＝-10m2+100m+6000＝-10（m-5）2+6250， ∴在涨价的情况下，售价为65元每星期售出商品的最大利润是6250元． 综上所述：每周售出商品利润最大的商品的售价是65元． 【点睛】本题考查了二次函数的应用：根据实际问题列出二次函数关系式，再配成抛物线的顶点式，然后利用当，时，有最大值；当，时，有最小值等性质解决实际问题． 24. 已知，点，点和抛物线，将抛物线沿着y轴方向平移经过点，画出平移后的抛物线如图所示． （1）平移后的抛物线是否经过点？说明你的理由； （2）在平移后的抛物线上且位于直线AB下方的图象上是否存在点P，使？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）在平移后的抛物线上有点M，过点M作直线的垂线，垂足为N，连接．当时，求点M坐标． 【答案】（1） 解：平移后的抛物线经过点，理由： 根据题意，设平移后的抛物线的解析式为 将代入，得 则 当时，， 故平移后的抛物线经过点； （2）或 （3）或 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数综合，涉及二次函数图象的平移、待定系数法求函数解析式、等边三角形的判定与性质、坐标与图形等知识，正确表示出M点坐标是解题关键． （1）先利用二次函数平移的性质设出解析式，再将A点代入求出m的值，进而可得出答案； （2）首先求出直线的解析式，进而表示出的面积，根据已知列方程求出t的值，即可得出答案； （3）设，先利用两点坐标距离公式表示出，的长，进而得出为等边三角形，再利用M点坐标得出t的值，进而得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设直线的解析式为， 把点，点代入得：， 解得：， 故直线的解析式为：， 设， 如图1，过点P作轴交于Q， ∴， ∴， 整理，得， 解得：， 故，， 则或 【小问3详解】 解：如图2，设与x轴交于点F，设， 则，， ∴， ∵， ∴为等边三角形， 由题意，轴， ∴， 可得， 故， 解得：，， ∴或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $