专题强化02：空间向量在立体几何的应用解答题训练【六大题型 培优】-2025-2026学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版选择性必修第一册）

专题强化02：空间向量在立体几何的应用解答题 【题型归纳】 · 题型一：空间向量研究直线、平面的平行、垂直 · 题型二：空间向量研究点到直线、平面的距离 · 题型三：空间向量研究异面角、线面角 · 题型四：空间向量研究二面角问题 · 题型五：空间向量研究存在性问题 · 题型六：空间向量研究综合性问题 【题型探究】 题型一：空间向量研究直线、平面的平行、垂直 1．（24-25高二·全国）如图，在四棱锥中，底面，，，，，为上一点，且．（请用空间向量法予以证明） (1)求证：平面PBC； (2)求证：平面BDE． 2．（2021高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点.证明： (1)； (2)平面； (3)平面平面. 3．（20-21高二上·山东菏泽·阶段练习）如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，，，，，M为CE的中点． (1)求证：BM∥平面ADEF； (2)求证：平面BDE. 题型二：空间向量研究点到直线、平面的距离 4．（25-26高二上·全国·单元测试）如图，在长方体中，，为棱的中点，为棱的中点．    (1)证明，并求直线到直线的距离； (2)求点到平面的距离． 5．（23-24高二上·江苏无锡·期中）如图在长方体中，．E为线段的中点．    (1)若，求直线与直线所成角的大小； (2)若，求F点到平面的距离． 6．（24-25高二上·内蒙古·期中）如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为线段AB，的中点． (1)求F点到的距离； (2)求点F到平面的距离. 题型三：空间向量研究异面角、线面角 7．（24-25高二下·江苏淮安·期中）如图，在直三棱柱中，AB⊥AC，，点E，F分别为棱AB、的中点． (1)求直线与直线AF的夹角的余弦值； (2)求点F到平面的距离． 8．（24-25高二上·四川遂宁·期中）如图，已知三棱柱中，侧棱与底面垂直，且，，､分别是、的中点，点在线段上，且.    (1)求直线AM与直线PN所成角的大小； (2)当直线AM与平面PMN所成角的正弦值为时，求实数的值. 9．（24-25高二上·浙江杭州·期末）如图，在三棱锥中，，M是线段上的点． (1)求证：平面平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求的长． 题型四：空间向量研究二面角问题 10．（23-24高二上·吉林长春·期中）如图甲，在矩形中，，为线段的中点，沿直线折起，使得，点为的中点，连接、，如图乙． (1)求证：平面； (2)线段上是否存在一点、使得平面与平面所成的角为？若不存在，说明理由：若存在，求出点的位置． 11．（24-25高二上·天津·期中）如图，四棱锥的底面是正方形，侧棱底面，E是的中点，，F为棱上的点且.    (1)证明：平面； (2)求与平面所成角的余弦值； (3)求平面与平面夹角的余弦值. 12．（24-25高三下·湖南株洲·期中）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，为棱的中点. (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 题型五：空间向量研究存在性问题 13．（24-25高二上·山东·阶段练习）如图，在四棱锥中，平面平面为棱的中点. (1)证明：平面； (2)若， （i）求二面角的余弦值； （ii）在棱上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的长；若不存在，说明理由. 14．（24-25高二上·广东·期中）如图1，在边长为4的菱形中，，点，分别是边，的中点，，．沿将翻折到的位置，连接，，，得到如图2所示的五棱锥． (1)证明：在翻折过程中总有平面平面； (2)若平面平面，线段上是否存在一点，使得平面与平面所成角的余弦值为？若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由． 15．（24-25高二上·浙江·期中）如图，在四棱锥中，四边形为矩形，为等边三角形，且S在平面上的射影为中点P，，.    (1)若E为棱的中点，求证：平面； (2)在棱上是否存在点M，使得直线与平面所成角的余弦值为，若存在，求出点M的位置并给以证明，若不存在，请说明理由. 题型六：空间向量研究综合性问题 16．（2025·北京石景山·一模）如图，在四棱锥中，平面，，且，，，，，为的中点. (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值； (3)点在线段上，直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离. 17．（23-24高二上·广东惠州·期中）如图1，在直角梯形ABCD中，是AD的中点，是AC与BE的交点.将沿BE折起到的位置，使得平面平面BCDE，如图2．    (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 18．（24-25高二下·广东广州·期中）如图，在三棱锥中，，．是线段上的点． (1)求证：平面平面ABC； (2)若为线段的中点，求直线与平面所成角的正弦值； (3)若平面，为垂足，当三棱锥体积最大时，求平面与平面的夹角的余弦值． 【专题强化】 一、解答题 1．（22-23高二下·福建宁德·期中）如图所示，四棱锥的底面是正方形，底面，为的中点，. (1)证明：平面； (2)求点到平面的距离. 2．（24-25高二下·四川成都·期中）如图，在四棱锥中，底面，，，，，，为棱的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 3．（24-25高二下·浙江杭州·期中）如图，在三棱锥中，，为的中点，平面平面． (1)证明：； (2)若，，，求平面与平面的夹角的余弦值． 4．（2025·湖南长沙·一模）在多面体中，已知，且平面与平面均垂直于平面为的中点. (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 5．（24-25高二下·北京·期中）如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为的正方形，，，分别为和的中点． (1)求证：平面； (2)若已知点到平面的距离2．从条件①，条件②中选择一个作为已知，求直线与平面所成角的正弦值． 条件①：平面平面； 条件②：． 6．（24-25高二下·江苏南京·阶段练习）如图，四棱锥中，平面，，，，，，是的中点． (1)求证：平面； (2)若， ①求平面与平面所成角的余弦值； ②在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 7．（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）如图．在四棱锥中，，，，点在上，且，． (1)若为线段中点，求证：平面； (2)若平面，求平面与平面夹角的正弦值． 8．（24-25高二下·广东深圳·期中）如图所示，在四面体中，平面，是的中点，是的中点，点在线段上，且．    (1)求证：平面； (2)若为正三角形，且，求平面与平面夹角的正弦值． 9．（24-25高二上·广东广州·期中）如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，侧面底面，，，是中点，点在侧棱上（不包括端点）． (1)求证：； (2)是否存在点，使与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 10．（24-25高二下·江苏连云港·阶段练习）如图，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，，，是线段的中点． (1)求证：平面； (2)求二面角的大小； (3)试在线段上一点，使得与所成的角是． 11．（24-25高三下·云南昭通·阶段练习）如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，，E为CD的中点，M在AB上，且.    (1)求证：； (2)求平面PAC与平面PBC夹角的余弦值； (3)求点D到平面PBC的距离. 12．（24-25高三上·天津·期末）如图，四棱锥中，平面平面ABCD是以为斜边的等腰直角三角形，底面为直角梯形其中是的中点，是的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求点到平面的距离. 13．（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期中）已知平面四边形ABCD中，，，且．以AD为腰作等腰直角三角形PAD，且，平面平面ABCD． (1)证明：平面PAC； (2)若M是线段PD上一点，且平面MAC； ①求三棱锥的体积； ②求直线PD与平面PBC夹角余弦值． 14．（24-25高二上·安徽淮南·期中）在四棱锥中，平面，，，，，是的中点，在线段上，且满足. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)在线段上是否存在点，使得与平面所成角的余弦值是，若存在，求出的长；若不存在，请说明理由. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题强化02：空间向量在立体几何的应用解答题 【题型归纳】 · 题型一：空间向量研究直线、平面的平行、垂直 · 题型二：空间向量研究点到直线、平面的距离 · 题型三：空间向量研究异面角、线面角 · 题型四：空间向量研究二面角问题 · 题型五：空间向量研究存在性问题 · 题型六：空间向量研究综合性问题 【题型探究】 题型一：空间向量研究直线、平面的平行、垂直 1．（24-25高二·全国）如图，在四棱锥中，底面，，，，，为上一点，且．（请用空间向量法予以证明） (1)求证：平面PBC； (2)求证：平面BDE． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）以A为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，证明，，原题即得证； （2）设平面BDE的法向量为，证明即得证. 【详解】（1）证明：如图，以A为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，， 因为，所以，所以， 所以，， 所以， ，即，， 又因为，平面PBC． 所以平面PBC． （2）证明：由（1）可得，，． 设平面BDE的法向量为， 则，即令，得，， 则是平面BDE的一个法向量， 因为，所以， 因为平面BDE，所以平面BDE． 2．（2021高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点.证明： (1)； (2)平面； (3)平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）以点为原点建立空间直角坐标系，论证即可； （2）易得向量为平面的一个法向量，再论证即可； （3）易得平面的法向量为，再求得平面的一个法向量为，论证即可. 【详解】（1）证明：依题意，以点为原点建立空间直角坐标系： 可得. 由为棱的中点，得. （1）向量， 故， 所以. （2）因为， 又平面，平面， 所以，，平面， 所以平面， 所以向量为平面的一个法向量， 而， 所以， 又平面，所以平面. （3）由（2）知平面的法向量为， 向量，， 设平面的一个法向量为， 则，即 不妨令，可得， 所以为平面的一个法向量. 且， 所以 所以平面平面. 3．（20-21高二上·山东菏泽·阶段练习）如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，，，，，M为CE的中点． (1)求证：BM∥平面ADEF； (2)求证：平面BDE. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）依题意可以D为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量共面定理可证明，即可证明平面； （2）由空间向量数量积为零可证明，，再由线面垂直的判定定理即可证明平面. 【详解】（1）根据题意可知平面平面，平面平面， 又是正方形，所以，平面， 所以平面，从而可得，，两两垂直； 以D为原点，分别以，，分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系． 则， 又为的中点，所以， 则，且平面的一个法向量为， 因为，可知， 又平面，所以∥平面. （2）因为 易知，所以； 又，可得； 又，平面， 所以平面. 题型二：空间向量研究点到直线、平面的距离 4．（25-26高二上·全国·单元测试）如图，在长方体中，，为棱的中点，为棱的中点．    (1)证明，并求直线到直线的距离； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，写出相应点的坐标，证明，从而可得，利用空间点到直线的距离公式求出直线到直线的距离； （2）求出平面的法向量，利用点到平面的距离的向量公式求解． 【详解】（1）以为坐标原点，分别以所在直线为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，．    由上可知，，，故，故． ，设直线到直线的距离为，则即为到直线的距离， 又，，， ， 则直线到直线的距离为． （2）设平面的法向量为， 由（1）可知，，， 则即 令，则，所以． 设点到平面的距离为， ， 则点到平面的距离为． 5．（23-24高二上·江苏无锡·期中）如图在长方体中，．E为线段的中点．    (1)若，求直线与直线所成角的大小； (2)若，求F点到平面的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，根据条件求出，，再利用线线角的向量法，即可求解； （2）求出平面的法向量和，再利用空间距离的向量法，即可求解. 【详解】（1）如图，建立空间直角坐标系，因为，， 则，所以，， 设直线与直线所成的角为， 则， 又，则，所以直线与直线所成角的大小为.    （2）由（1）知， 设平面的一个法向量为， 由，得到，取，得到，所以， 又，所以F点到平面的距离为， 所以F点到平面的距离为. 6．（24-25高二上·内蒙古·期中）如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为线段AB，的中点． (1)求F点到的距离； (2)求点F到平面的距离. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，利用点到直线距离公式进行求解； （2）求出平面的法向量，利用点到平面的向量距离公式进行求解. 【详解】（1）以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 已知正方体棱长为，则，，， 可得，， ，，， 设点到的距离为， 则； （2）设平面的法向量为，，，， 则，. 设， ，令，解得，，所以， 又，，， 点到平面的距离为. 题型三：空间向量研究异面角、线面角 7．（24-25高二下·江苏淮安·期中）如图，在直三棱柱中，AB⊥AC，，点E，F分别为棱AB、的中点． (1)求直线与直线AF的夹角的余弦值； (2)求点F到平面的距离． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）以点A为坐标原点，AB、AC、所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线与直线AF的夹角的余弦值； （2）求得平面的法向量，利用空间向量法可求得点F到平面的距离. 【详解】（1）因为丄平面ABC，AB⊥AC，以点A为坐标原点，AB、AC、所在直线分别为x，y，z轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 因为，则A(0,0,0)、、E(1,0,0)、F(1,0,2)， 所以，，， ， 所以，直线与直线AF的夹角的余弦值为． （2）易知，，， 设平面的法向量为， 则，取x=2，可得， 所以平面的一个法向量为， 且，所以，点F到平面的距离为． 8．（24-25高二上·四川遂宁·期中）如图，已知三棱柱中，侧棱与底面垂直，且，，､分别是、的中点，点在线段上，且.    (1)求直线AM与直线PN所成角的大小； (2)当直线AM与平面PMN所成角的正弦值为时，求实数的值. 【答案】(1)90°； (2). 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用异面直线夹角的向量公式直接计算即可； （2）先计算出平面的法向量，再利用线面角的向量公式列式求解. 【详解】（1）在直三棱柱中，平面，， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系， 则、、、， 易得点，，，    ∴，， ∴直线AM与直线PN所成角的大小为90°； （2）点，∴，，， 设平面的法向量为， 则，可得，取，则， 设直线与平面所成的角为， 则， 整理可得，即， 因为，解得. 9．（24-25高二上·浙江杭州·期末）如图，在三棱锥中，，M是线段上的点． (1)求证：平面平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）取的中点，连接、，推导出平面，再利用面面垂直的判定定理可证得结论成立. （2）以点为坐标原点建立空间直角坐标系，设，借助空间向量求线面角建立关于的方程，求出即可求得的长. 【详解】（1） 取的中点，连接，，， 则，，，， 于是，则， 由，平面，得平面， 又平面，所以平面平面. （2） 由（1）知，直线两两垂直，以点为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，， 设，， 则， 设平面的法向量为，则， 令，得，由直线与平面所成角的正弦值为， 得 整理得，解得， 由于点在线段上，所以， 即. 题型四：空间向量研究二面角问题 10．（23-24高二上·吉林长春·期中）如图甲，在矩形中，，为线段的中点，沿直线折起，使得，点为的中点，连接、，如图乙． (1)求证：平面； (2)线段上是否存在一点、使得平面与平面所成的角为？若不存在，说明理由：若存在，求出点的位置． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，点是线段的中点 【分析】（1）取线段的中点可得，由余弦定理求出，根据勾股定理逆定理可得，结合以及线面垂直的判定定理即可得证； （2）以为原点，分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，设的坐标为，，可求出平面的法向量，利用二面角的向量求法可得． 【详解】（1）取线段的中点，连接，    在中，， ， 在中，， 由余弦定理可得：， ， 在中，， ， 因为，，，平面， 所以平面； （2）过作的平行线，以为原点，分别为轴，轴，轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，   ， 平面的法向量， 在平面直角坐标系中，直线的方程为， 设的坐标为，， 则， 设平面的法向量为， ， 所以， 令，则， 由已知， 解之得：或9（舍去）， 所以点是线段的中点． 11．（24-25高二上·天津·期中）如图，四棱锥的底面是正方形，侧棱底面，E是的中点，，F为棱上的点且.    (1)证明：平面； (2)求与平面所成角的余弦值； (3)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】(1)利用中位线平行，证明线面平行即可； (2)利用已知中的垂直关系，再结合勾股定理证明，从而可证明平面，即可得线面角，从而可求其余弦值; (3)利用空间向量法来求法向量，再求两法向量夹角的余弦值即可. 【详解】（1）    连接交于点，由底面是正方形，可得， 又因为E是的中点，所以， 又因为平面，平面， 所以平面； （2）由侧棱底面， 底面，所以， 由已知得：，，所以由勾股定理得：， 因为，所以， 再由余弦定理得：， 由于，则可得， 又因为E是的中点，，所以， 又因为侧棱底面， 底面，所以， 又因为正方形，所以， 又因为平面，所以平面， 又因为底面，所以， 又因为，平面，所以平面， 又因为底面，所以， 又因为，平面，所以平面， 即与平面所成的角就是， 所以， 故与平面所成角的余弦值为； （3）    根据题意可如图建立空间直角坐标系： 则， 即， 设平面的法向量为， 则，令，则， 即， 因为平面，所以平面的法向量为 即， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 12．（24-25高三下·湖南株洲·期中）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，为棱的中点. (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）要证平面，通过取中点，利用中位线性质得到且，结合已知，，推出，，得平行四边形，进而有，再根据线面平行判定得出结论. （2）先由，，推出，结合面面垂直性质得平面，建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，进而得到向量、.设平面法向量，根据向量垂直关系列方程求解法向量，再结合平面法向量求两平面夹角余弦值. 【详解】（1）取的中点，连接， 因为点为的中点，所以， 又因为，所以， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面. （2）因为，所以，所以， 因为平面平面，且平面平面，平面， 所以平面， 又因为平面，平面， 所以，又， 以为坐标原点，以所在的直线分别为轴，    建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 因为点为的中点，可得，所以， 设平面的法向量为，则， 令，可得，所以，                          又平面的一个法向量，则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 题型五：空间向量研究存在性问题 13．（24-25高二上·山东·阶段练习）如图，在四棱锥中，平面平面为棱的中点. (1)证明：平面； (2)若， （i）求二面角的余弦值； （ii）在棱上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的长；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）,（ii）存在， 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，可得，即可根据线面平行的判定定理证明结论； （2）（i）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量的夹角公式即可求解； （ii）设，，根据点面距离的向量法即可求出，进而求出的值． 【详解】（1）取的中点，连接，，如图所示： 为棱的中点， ，，，，，， 四边形是平行四边形，， 又平面，平面， 平面； （2），，， ，， 平面平面，平面平面， 平面， 平面， 又，平面，，，由， 以点为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图： 则，，，，，， （i）故， 设平面的一个法向量为， 则，令，则，，， 平面的一个法向量为, 则，令，则，，故， ,， 由于二面角的平面角为锐角，故二面角的余弦值为； （ii）假设在线段上是存在点，使得点到平面的距离是， 设，，则,0,，0,， 由（2）知平面的一个法向量为,,， ， 点到平面的距离是， ，． 14．（24-25高二上·广东·期中）如图1，在边长为4的菱形中，，点，分别是边，的中点，，．沿将翻折到的位置，连接，，，得到如图2所示的五棱锥． (1)证明：在翻折过程中总有平面平面； (2)若平面平面，线段上是否存在一点，使得平面与平面所成角的余弦值为？若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)存在，为上靠近的三等分点. 【分析】（1）先证平面，结合面面垂直的判定定理证得平面平面. （2）建立空间直角坐标系，利用平面与平面所成角的余弦值来列方程，从而求得点的位置. 【详解】（1）折叠前，四边形是菱形，所以， 由分别是边的中点，所以，故， 折叠过程中且都在面， 所以面，故面，面， 所以面面. （2）当面面时，由面面，面，， 所以面，又面，故， 综上，可建立如下空间直角坐标系，则， 所以，设， 则， 所以，则，， 设面的法向量为，则， 取，则，而面的一个法向量为， 若面与面的夹角为，则，解得， 所以为上靠近的三等分点，满足题设要求. 15．（24-25高二上·浙江·期中）如图，在四棱锥中，四边形为矩形，为等边三角形，且S在平面上的射影为中点P，，.    (1)若E为棱的中点，求证：平面； (2)在棱上是否存在点M，使得直线与平面所成角的余弦值为，若存在，求出点M的位置并给以证明，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)存在点，或，证明见解析. 【分析】（1）取中点，连接，证明四边形是平行四边形得，从而得到线面平行； （2）由题意易知是四棱锥的高，设，根据体积求出，建立空间直角坐标系，设，由线面角得到方程，即可得结论. 【详解】（1）取中点，连接，又分别为的中点，   ，，底面四边形是矩形，为棱的中点， ，，则，， 故四边形是平行四边形，所以. 又平面，平面，可得平面. （2）在棱上存在点，且或，证明如下， 在等边中S在平面上的射影为中点P， 所以面，则是四棱锥的高. 设，则，结合，知矩形的面积 ，所以. 以点为原点，的方向分别为轴的正方向，在面ABCD内过点P作垂线为y轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，    故， 设，则， 设平面的一个法向量为，则， 令，. 由题意， 整理得，解得或， 所以存在点，或时，使直线与平面所成角的余弦值为. 题型六：空间向量研究综合性问题 16．（2025·北京石景山·一模）如图，在四棱锥中，平面，，且，，，，，为的中点. (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值； (3)点在线段上，直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）设的中点为，连接、，证明出四边形为平行四边形，可得出，再结合线面平行的判定定理可证得结论成立； （2）记的中点为，连接，推导出，然后以为原点，以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得二面角的余弦值； （3）设，利用空间向量法可求出的值，在利用空间向量法可求出点到平面的距离. 【详解】（1）设的中点为，连接、， 因为为的中点，所以，且， 又，且，所以，且， 所以四边形为平行四边形，则， 又平面，平面，所以平面. （2）记的中点为，连接， 因为，，， 所以四边形是矩形，则，， 以为原点，以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，如图， 则、、、， 则，，， 设平面的一个法向量为， 所以，令，则， 设平面的一个法向量为， 所以，令，则， 所以， 由图可知，二面角为锐角，所以二面角的余弦值为. （3）依题意，设，则， 又由（2）得平面的一个法向量为， 记直线与平面所成角为， 所以，解得（负值舍去）， 所以，则， 而由（2）得平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离为. 17．（23-24高二上·广东惠州·期中）如图1，在直角梯形ABCD中，是AD的中点，是AC与BE的交点.将沿BE折起到的位置，使得平面平面BCDE，如图2．    (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由为正方形可知，根据线面垂直判定定理证明平面，然后由可证； （2）建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，然后由向量夹角公式可得. 【详解】（1）因为， 所以为正方形，所以，所以， 又，平面，所以平面， 又，且，故四边形为平行四边形， 所以，所以平面. （2）易知，，因为平面平面BCDE，平面平面，平面，所以平面BCDE，又平面BCDE， 所以，以为原点， 的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，    由题意知，， 则， 设平面的法向量为，平面的法向量为， 则，令，则，故， 则，令，则，故， 设平面与平面的夹角为， 所以. 18．（24-25高二下·广东广州·期中）如图，在三棱锥中，，．是线段上的点． (1)求证：平面平面ABC； (2)若为线段的中点，求直线与平面所成角的正弦值； (3)若平面，为垂足，当三棱锥体积最大时，求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见详解 (2) (3) 【分析】（1）取的中点，连接，推导出平面，再利用面面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）点为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值； （3）设，设，根据空间向量的坐标运算求出点的坐标，将三棱锥的体积表示为关于的函数关系式，利用基本不等式求出三棱锥体积的最大值，利用等号成立的条件求出的值，结合（2），利用空间向量法求解面面角即可. 【详解】（1）取的中点，连接， 因为，则， 由，得，所以， 又因为，所以，则， 又因为，所以， 又因为，，平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面. （2）因为平面，， 以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则， 当点为的中点时，， 则，，， 设平面的一个法向量为， 则，取，则， 所以， 故当为的中点时，直线与平面所成角的正弦值为. （3）设，因为，其中， 所以，，可得，即点， 因为平面，则点，， ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故当点为线段的中点时，三棱锥的体积取最大值. 由（2）知平面的一个法向量为， 易知平面的一个法向量为， 所以， 所以三棱锥的体积取得最大值时，平面与平面夹角的余弦值为. 【专题强化】 一、解答题 1．（22-23高二下·福建宁德·期中）如图所示，四棱锥的底面是正方形，底面，为的中点，. (1)证明：平面； (2)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用空间向量与平面的法向量垂直可证结论正确； （2）根据点面距的向量公式可求出结果. 【详解】（1）证明：以为坐标原点，分别以，，的方向为轴，轴，轴的正方向，并均以1为单位长度，建立如图空间直角坐标系. 则，，，，， 所以，，.     设是平面的一个法向量， 则令，得，， 所以.     因为，     所以，又因为平面， 所以平面. （2）因为，，     设是平面的一个法向量， 则令，得，，所以.     所以点到平面的距离. 2．（24-25高二下·四川成都·期中）如图，在四棱锥中，底面，，，，，，为棱的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）法一：取中点，连接，利用线面平行的判定定理证明；法二：以点为原点，，，分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，利用向量法进行证明； （2）求出两个平面的法向量，利用向量法求解. 【详解】（1）法一：取中点，连接. 在△中，分别为的中点，所以， 又，所以，四边形是平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面. 法二：因为底面，底面，所以， 又因为平面， 所以平面，即为平面的一个法向量， 如图， 以点为原点，，，分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，则 ，，，，， 由为棱的中点，得， 向量，，故， 又平面，所以平面； （2）因为，设平面的法向量为， 则，取， 又平面的法向量， 设平面与平面的夹角为，则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 3．（24-25高二下·浙江杭州·期中）如图，在三棱锥中，，为的中点，平面平面． (1)证明：； (2)若，，，求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由面面垂直的性质，可证平面，再由线面垂直的性质，可证，根据三线合一可知为等腰三角形，即可证明； （2）以为坐标原点，，所在直线分别为，轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，利用向量法即可求出平面与平面的夹角的余弦值. 【详解】（1）因为为的中点，，所以． 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面． 又因为平面，所以． 因为为的中点，所以. （2）如图，以为坐标原点，，所在直线分别为，轴，过点垂直平面为轴，建立空间直角坐标系， 则，，， 取的中点，连接．因为，所以． 由（1）平面，平面，所以平面平面． 因为平面平面，平面，， 所以平面，所以， 所以，，． 设平面的一个法向量为， 所以，即，可取． 同理，可得平面的一个法向量为． 设平面与平面的夹角为，则 ， 所以平面与平面的夹角为. 4．（2025·湖南长沙·一模）在多面体中，已知，且平面与平面均垂直于平面为的中点. (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【分析】（1）取的中点，证明四边形为平行四边形即可得证； （2）建立空间直角坐标系，运用法向量求解即可. 【详解】（1）如图，分别取的中点，连接， 因为，故，又平面平面，且平面平面， 因此平面， 同理可知，平面， 因此且，故四边形为平行四边形，所以， 又因为，所以. （2）因为，所以，所以， 以为原点，为轴，为轴，过且与平面垂直的直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系， 由题意知，， ， 所以. 设平面的法向量为， 则有即 令，则，即平面的一个法向量为. 设直线与平面所成角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为. 5．（24-25高二下·北京·期中）如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为的正方形，，，分别为和的中点． (1)求证：平面； (2)若已知点到平面的距离2．从条件①，条件②中选择一个作为已知，求直线与平面所成角的正弦值． 条件①：平面平面； 条件②：． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线面平行的判断定理，转化为证明线线平行，构造平行四边形，即可证明； （2）若选择条件①，根据面面垂直，转化为线线垂直，从而建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角；若选择条件②，根据等腰三角形的性质，同样可以建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角. 【详解】（1）取中点，连接，， 因为，分别为，中点， 所以，， 因为底面是正方形，为中点， 所以，， 所以，， 所以四边形是平行四边形， 所以，又在外，在平面内， 所以平面； （2）连接与交于点O，连接，因为是正方形，所以是，的中点， 选条件①：因为，O是AC的中点，所以， 又因为平面平面ABCD，交线是AC，所以平面ABCD， 所以，且， 又，所以，分别以OC，OD，OP为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 由已知可得，，，，，， 所以，，， 设平面MCD的一个法向量为， 则，取，，所以， 设直线与平面MCD所成的角为， 所以． 选条件②：因为，，O是，的中点，所以，， 又，所以平面ABCD，所以，又，所以，分别以OC，OD，OP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，以下同条件①． 6．（24-25高二下·江苏南京·阶段练习）如图，四棱锥中，平面，，，，，，是的中点． (1)求证：平面； (2)若， ①求平面与平面所成角的余弦值； ②在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)①；②存在， 【分析】（1）取中点，根据线线平行证明线面平行； （2）建立空间直角坐标系，①利用坐标法可求得两平面法向量，即可得两平面夹角余弦值；②设，利用坐标法表示点到平面距离，列方程，即可得解. 【详解】（1） 取中点，连接，， 又点是中点， ，且， ，， ，且， 四边形为平行四边形， ， 平面，平面， 平面； （2） 平面，且，则以点为坐标原点建立空间直角坐标系， ①，，，，，， 易知平面的一个法向量为， 在平面中，，， 设平面的一个法向量为， 则，令，的， ， 即平面与平面所成角的余弦值为； ②设，， 又，， 则， 又， 设平面的一个法向量为， 则， 令，得， 则， 解得， 即存在点使得点到平面的距离为， 此时. 7．（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）如图．在四棱锥中，，，，点在上，且，． (1)若为线段中点，求证：平面； (2)若平面，求平面与平面夹角的正弦值． 【答案】(1)证明过程见解析； (2) 【分析】（1）取的中点为，接，可证四边形为平行四边形，由线面平行的判定定理可得平面. （2）建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量后可求夹角的余弦值，再利用余弦值求正弦值即可. 【详解】（1）取的中点为，连接，则， 而，故， 故四边形为平行四边形，故， 又平面，平面，所以平面. （2）因为，故，故， 故四边形为平行四边形，故， 因平面，所以平面， 而平面，故，而， 故以为原点，分别以所在直线为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则， 设平面的法向量为， 则，即，令，则， 设平面的法向量为， 则，即，令，则， 故， 故平面与平面夹角的正弦值为. 8．（24-25高二下·广东深圳·期中）如图所示，在四面体中，平面，是的中点，是的中点，点在线段上，且．    (1)求证：平面； (2)若为正三角形，且，求平面与平面夹角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）构造线线平行，可证线面平行. （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角的三角函数值. 【详解】（1）如图：    过作于，过作于，连接. 因为平面，平面，所以平面平面. 又平面平面，平面，且，所以平面. 同理平面. 所以. 又为中点，所以， 因为，所以，即. 所以四边形为平行四边形.所以， 又平面，平面，所以平面. （2）当为正三角形时，为中点，则，，两两垂直. 以为原点，建立如图空间直角坐标系. 不妨设. 则，，，所以，. 设平面的法向量为，则 . 取. 易得平面的一个法向量为：. 设平面与平面所成的二面角为， 则. 所以. 即平面与平面夹角的正弦值为. 9．（24-25高二上·广东广州·期中）如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，侧面底面，，，是中点，点在侧棱上（不包括端点）． (1)求证：； (2)是否存在点，使与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)存在， 【分析】（1）连接，分别证得和，利用线面垂直的判定定理，证得平面，进而证得； （2）利用面面垂直的性质定理，证得平面，得到，，以为坐标原点，设， 求得，再求得平面的一个法向量，利用向量的夹角公式，列出方程，求得，进而得出答案. 【详解】（1）证明：如图所示，连接， 因为，且为中点，所以， 在菱形中，，可得为等边三角形 ，所以， 又因为平面，且，所以平面， 因为平面，所以. （2）解：因为，平面平面，平面平面， 且平面，所以平面， 又因为平面，所以，， 因为，以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，， 假设存在点满足题意，设， 则， 所以， 设平面的法向量为，则， 令，则，，所以， 设与平面所成角为，则 解得或（舍），所以存在点，使得与平面所成角的正弦值为， 此时. 10．（24-25高二下·江苏连云港·阶段练习）如图，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，，，是线段的中点． (1)求证：平面； (2)求二面角的大小； (3)试在线段上一点，使得与所成的角是． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)为线段的中点 【分析】（1）根据线面平行的判定方法，由线线平行判定线面平行. （2）法一：建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法求二面角. 法二：构造二面角的平面角，利用三角形的边角关系求角即可. （3）根据空间向量的夹角公式求参数. 【详解】（1）设的交点为，连接，因为四边形ABCD为正方形，所以为的中点， 又在矩形ACEF中，因为M是线段EF的中点，所以，， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为面BDE，面BDE，所以平面BDE. （2）正方形和矩形所在的平面互相垂直， 平面平面，平面，， 则平面， 以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示： 则，，，，，，， 所以，，， 因为，平面，所以平面， 所以为平面的一个法向量， 因为， ， 所以，所以为平面的一个法向量， 所以，所以与的夹角为． 即所求的二面角的大小为． 法2：在平面中过作于，连接， ，，， 平面， 是在平面上的射影， 由三垂线定理得 是二面角的平面角 在中，，， ，， 二面角的大小为； （3）设，（），则， 因为PF与BC所成的角是60°， 所以， 解得或(舍)． 故为线段的中点． 11．（24-25高三下·云南昭通·阶段练习）如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，，E为CD的中点，M在AB上，且.    (1)求证：； (2)求平面PAC与平面PBC夹角的余弦值； (3)求点D到平面PBC的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）建系，由直线方向向量的共线即可求证； （2）求得平面法向量，代入夹角公式即可； （3）由点到面的向量公式即可求解； 【详解】（1）证明：建立如图所示的空间直角坐标系，    则，，，， 由，得， 解得，即， 所以，， 所以，又，所以. （2）解：由（1）得，则，， 设平面的一个法向量为， 则，令，得，， 所以， 又平面的一个法向量为， 所以， 即平面与平面夹角的余弦值为. （3）解：由题意知，由（2）得平面的一个法向量为 所以点到平面的距离为 12．（24-25高三上·天津·期末）如图，四棱锥中，平面平面ABCD是以为斜边的等腰直角三角形，底面为直角梯形其中是的中点，是的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据平面平面ABCD，利用面面垂直的性质定理即可得证； （2）建立空间直坐标系Oxyz，分别求出平面PAB和平面PBC的法向量，利用向量法求解即可； （3）求出利用向量法求解即可． 【详解】（1）证明：由于是以AD为斜边的等腰直角三角形， O是AD的中点，故 由于平面平面ABCD，平面平面平面PAD， 故平面ABCD； （2）连结OB，由于O是AD的中点，且故 由于故四边形OBCD为矩形， 所以故有OB、OD、OP两两垂直， 以O为坐标原点，OB、OD、OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直坐标系Oxyz， 则, 设平面PAB的法向量为 则 令则 故平面PAB的一个法向量为 设平面PBC的法向量为 则 令则 故平面PBC的一个法向量为 设平面PAB与平面PBC的夹角为 故平面PAB与平面PBC的夹角余弦值为； （3）由（2）知，平面PAB的一个法向量为 所以点E到平面PAB的距离为 13．（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期中）已知平面四边形ABCD中，，，且．以AD为腰作等腰直角三角形PAD，且，平面平面ABCD． (1)证明：平面PAC； (2)若M是线段PD上一点，且平面MAC； ①求三棱锥的体积； ②求直线PD与平面PBC夹角余弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2)①；②. 【分析】（1）根据已知有，再由面面垂直的判定得平面，进而有，再由已知得，且，即为等腰直角三角形，故，最后根据线面垂直的判定定理证明结论； （2）构建合适的空间直角坐标系，①若求得，再求出平面的一个法向量，结合平面MAC求得，最后应用棱锥的体积公式及求结果；②应用向量法求线面角的正弦值，进而可得余弦值. 【详解】（1）以AD为腰作等腰直角三角形PAD，且，则， 由平面平面ABCD，平面平面，平面， 所以平面，而平面，则， 由，，则为直角梯形，故， 由，即为等腰直角三角形，故，且， 所以为等腰直角三角形，故， 由都在平面内，则平面. （2）由（1）平面，，构建如图示空间直角坐标系， 所以， ①若，则， 所以，， 令是平面的一个法向量，则， 取，则，而， 由平面MAC，则，可得， 所以是靠近的三等分点，则， 而， ，， 所以； ②由上，，是平面的一个法向量， 所以，取，则，而， 所以，则直线PD与平面PBC夹角余弦值为. 14．（24-25高二上·安徽淮南·期中）在四棱锥中，平面，，，，，是的中点，在线段上，且满足. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)在线段上是否存在点，使得与平面所成角的余弦值是，若存在，求出的长；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【分析】（1）构造平行四边形，转化为证明线线平行； （2）以点为原点建立空间直角坐标系，利用坐标法二面角的余弦值； （3）首先设，，根据线面角的坐标系，即可求解. 【详解】（1）证明：取的中点，连接，， ，且，，分别是、的中点， ，且， ，且，故四边形为平行四边形， ， 平面，平面， 平面；    （2），平面，，平面， ，， 设，， 又因为，，所以， 所以、、两两垂直， 如图，以为原点，、、所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系， 则，，，， ，， 设点，则，， ，可得， 解得，，，      设平面的法向量为， 由，得， 取，得， 故平面的一个法向量， 设平面的法向量为， 则，即， 令，得，， 平面的一个法向量为， 设平面与平面夹角为， 则， 平面与平面夹角的余弦值为； （3）设，， ， ， ， 设与平面所成角为， 则，， ， 整理得：，解得或（舍）， 存在满足条件的点，，且长为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $