精品解析：四川省广元市川师大万达中学2025-2026学年高三上学期第二次检测（9月）数学试题

广元万达中学高2023级高三2025年第二次教学质量检测 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 方程的实根个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】方程的实根个数等价于两个函数的图象的交点个数，分别画出函数图象即可判断. 【详解】， 令，方程的实根个数等价于两个函数的图象的交点个数. 画出函数图象， 如图可知两个函数的图象的交点个数为1个， 即方程的实根个数为1个. 故选：B. 2. 若命题：，，则命题的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】存在性命题的否定,,对条件进行否定 【详解】由题,则的否定为, 故选：C 【点睛】本题考查存在性命题的否定,属于基础题 3. 已知，则（ ） A. 25 B. 5 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据指数式与对数式的互化，幂的运算性质以及对数的运算性质即可解出． 【详解】因为，，即，所以． 故选：C. 4. 函数的图像大致为 (　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像. 详解：为奇函数，舍去A, 舍去D; ， 所以舍去C；因此选B. 点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复． 5. 已知函数，则满足的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求导分析函数单调性，利用函数单调性解不等式可得结果. 【详解】∵， ∴， ∴在上为增函数， 由得，，解得，故的取值范围是. 故选：B. 6. 已知函数在处取得极大值，则的值是（ ） A. 1 B. 1或3 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】先利用函数的极值点定义求出或，再分别代入解析式，利用求导判断函数的单调性，验证极值点即可. 【详解】由求导，可得， 因函数在处取得极大值，则，解得或. 当时，， 由可得或，由可得， 即函数在上单调递增，在上单调递减， 故当时，函数取得极小值，不合题意； 当时，， 由可得或，由可得， 即函数在上单调递增，在上单调递减， 故当时，函数取得极大值，符合题意. 故选：C. 7. 已知函数，则的最小值为（ ） A. 0 B. 2 C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】利用基本不等式可得答案. 【详解】由已知得， 所以， 当且仅当即等号成立， 则的最小值为. 故选：C. 8. 已知定义在上的连续函数的导函数为，则下列说法错误的是（ ） A. 若关于中心对称，则关于对称 B. 若关于对称，则有对称中心 C. 若为周期函数，则为周期函数 D. 若为奇函数，为偶函数，则周期为 【答案】D 【解析】 【分析】由对称性可得，两边求导，即可判断A，由，令，求导可得，从而得到，即可判断B，根据周期性得到，求导即可判断C，根据奇偶性与周期性判断D. 【详解】对于A，若关于中心对称，则， 两边求导可得0，即， 所以关于对称，故A正确； 对于B，若关于对称，则， 令，则， 所以（为常数），即，所以有对称中心，故B正确； 对于C，若为周期函数，则， 两边求导可得，即，故C正确； 对于D，因为为奇函数，所以，， 即①， 又为偶函数，故，可得， 即②， 由①②得到，，故周期为4，故D错误. 故选：D. 【点睛】结论点睛：若图像关于直线对称． 若图像关于点对称. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知实数、、满足：，则下列关系可能成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】画出函数草图，数形结合，可判断、、的关系. 【详解】画函数，，的草图如下： 设， 当在位置①时，，故A可能成立； 当在位置②时，，故B可能成立； 当在位置③时，，故C可能成立； D没有可能成立. 故选：ABC 10. 已知函数，则下列叙述正确的是（ ） A. 当，时，函数的图象过点 B. 当时，函数的单调递增区间为 C. 当时，函数的值域为 D. 当时，若函数有最大值2，则 【答案】CD 【解析】 【分析】明确函数解析式，代入验证可判断A的真假；利用指数函数的单调性，结合复合函数单调性的有关结论，可判断B的真假；明确函数解析式，求函数值域，可判断C的真假；分情况讨论，根据函数的最大值，求参数的值，可判断D的真假. 【详解】对A：当，时，． 将代入可得，， 所以函数的图象不经过点．故A错误； 对B：当时，． 令，二次函数图象的对称轴为，在区间上单调递增，在上单调递减． 又因为指数函数是减函数，所以根据复合函数“同增异减”的原则，可知的单调递增区间为．故B错误； 对C：当时，，令． 因为函数是减函数，所以. 所以函数的值域为．故C正确； 对D：当时，． 若，则，此时函数无最大值． 若，令， 要使有最大值2，则在t取最小值时取最大值，所以． 对于二次函数，其图象的对称轴为， 当时，， 因为的最大值为2，所以，所以，解得．故D正确. 故选：CD 11. 已知是函数的导函数，，且对于任意的满足，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意，设，利用条件判断其在上单调递增，且为偶函数，结合各选项的具体自变量的值，利用上述函数的性质即可逐一判断. 【详解】设，则， 因对于任意的满足， 即在上恒成立，故函数在上单调递增. 又，则，即函数为偶函数. 对于A，因，且，则， 即，于是，，化简得，故A正确； 对于B，因，且，则 ， 即，于是，，化简得，即，故B正确； 对于C，因，且，则 ，即， 于是，，化简得，故C错误； 对于D，因，且，则 ，即， 于是，，化简得，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，且，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】分B为空集和不是空集两种情况，根据集合间的包含关系得到不等式求解. 【详解】分两种情况考虑： ①若B不为空集，可得：， 解得：， ， 且， 解得：， 所以, ②若B为空集，符合题意，可得：， 解得：. 综上，实数m的取值范围是. 故答案为：. 13. 若函数的图象上存在与轴平行的切线，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意结合导数的几何意义将问题转化为在时有解，进而结合对勾函数的性质求解即可. 【详解】由，，则， 因为函数的图象上存在与轴平行的切线， 所以在时有解， 则在时有解， 即在时有解， 而时，函数在上单调递减，在上单调递增， 且时，， 要使在时有解，则，即， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 14. 函数，若f(x)>0在(0，+∞)恒成立，则a的取值范围是___. 【答案】 【解析】 【分析】转化问题为在上恒成立,设和,分别求得和,则,进而求解. 【详解】要使, 即在上恒成立, 设,则, 当时,；当时,, 则在上递减,在上递增,且, 设,则, 当,；当时,, 所以在上递增,在上递减,则, 所以只需, 则, 故答案为: 【点睛】本题考查利用导函数求函数的最值,考查利用导函数处理不等式恒成立问题,考查转化思想和运算能力. 四、解答题：本题共5小题.共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求A； （2）若的周长为9，面积为，求a. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦化简得解. （2）由（1）的结论，利用三角形面积公式及余弦定理列式求解. 【小问1详解】 在中，由及正弦定理得， 则， 因此，而，则，又， 所以. 【小问2详解】 由（1）及已知得，解得， 由，得， 由余弦定理得，则， 所以. 16. 已知． （1）求的通项公式； （2）令，为的前项之积，求证：． 【答案】（1）； （2） 令函数，求导得， 在上单调递增，，即， 取，则，于是， 由（1）知，, ， 所以. 【解析】 【分析】（1）根据已知可得，且，由等差数列的定义写出通项公式即可； （2）利用导数证明，进而得到， 可得，累加即可证. 【小问1详解】 由，又由题意知，， 左右同时除以得， 所以，则， 故是以3为首项，3为公差的等差数列， 所以，可得； 【小问2详解】 略 17. 如图1，，，且，D是中点，沿将折起到的位置（如图2），使得． （1）求证：面面； （2）若线段上存在一点M，使得平面与平面夹角的余弦值是，求的值． 【答案】（1）因为，，，平面， 所以平面， 又平面， 所以平面平面． （2） 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的判定定理证明； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 面面，面面， 故以D为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，在平面内过D点作的垂线所在直线为z轴，建立空间直角坐标系． ， ，，， 则平面的一个法向量， 设，则， ， 设面的一个法向量为， ，即， 令，得， 平面与平面夹角记为， 则，解得． 所以. 18. 已知双曲线M与双曲线N：有共同的渐近线． （1）若M经过抛物线的顶点，求双曲线M的方程； （2）若双曲线M的两个焦点分别为，，点P为M上的一点，且，求双曲线M的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）首先利用共渐近线方程，设出曲线，再代入顶点坐标，即可求解； （2）根据双曲线的定义求，再分焦点的位置，根据双曲线的性质，即可求解. 【小问1详解】 依题意可设M的方程为． 抛物线，顶点为， 将代入M的方程，得，则M的方程为． 【小问2详解】 由题意易知，． 当焦点在x轴上时，，可设双曲线M的方程为，则，， 则双曲线M的方程为． 当焦点在y轴上时，，可设双曲线M的方程为，则，， 则双曲线M的方程为． 综上所述，双曲线M的方程为或． 19. 如果曲线存在相互垂直的两条切线，称函数是“正交函数”.已知，设曲线在点处的切线为. （1）当，时，是否存在直线满足，且与曲线相切？请说明理由； （2）如果函数是“正交函数”，求满足要求的实数a的集合； （3）若对任意，曲线都不存在与垂直的切线，求的取值范围. 【答案】（1） 当时，，则，即的斜率， 假设存在，则的斜率， 则有解，即在上有解， 该方程化简为，解得或，符合要求， 因此该函数存在另外一条与垂直的切线. （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）先求得的切线斜率，再根据“正交函数”的定义得到方程有解即可. （2）利用导数讨论的单调性，根据“正交函数”的定义即可得到 （3）结合第（2）问的结论，利用补集的思想与基本不等式求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， 令，则， 当时，单调递减；当时，单调递增； 设曲线的另一条切线的斜率为， 当时，，显然不存在，即不存在两条相互垂直的切线； 当时，，且， ∴，，且，， ∴在、上各有一个零点， 故当，或时，都有； 当时，， 故必存在，即曲线存在相互垂直的两条切线， 所以， 所以. 【小问3详解】 因为，由（2）知，曲线存在相互垂直的两条切线， 不妨设，，满足，即， 又，， 所以， 故， 当且仅当时等号成立，所以， 解得， 又，即， 解得， 因为，， 所以. 综上可知，对任意满足的所有函数不存在与垂直的切线的的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：本题考查导数解决函数新定义问题.关键点是根据题中函数的新定义，结合已学知识进行解题，第（3）问用到了补集的思想，即先求出存在相互垂直的两条切线时的范围，再求该范围的补集，即可得出结果. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广元万达中学高2023级高三2025年第二次教学质量检测 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 方程的实根个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2. 若命题：，，则命题的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知，则（ ） A. 25 B. 5 C. D. 4. 函数的图像大致为 (　　) A. B. C. D. 5. 已知函数，则满足的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数在处取得极大值，则的值是（ ） A. 1 B. 1或3 C. 3 D. 4 7. 已知函数，则的最小值为（ ） A. 0 B. 2 C. D. 3 8. 已知定义在上的连续函数的导函数为，则下列说法错误的是（ ） A. 若关于中心对称，则关于对称 B. 若关于对称，则有对称中心 C. 若为周期函数，则为周期函数 D. 若为奇函数，为偶函数，则周期为 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知实数、、满足：，则下列关系可能成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则下列叙述正确的是（ ） A. 当，时，函数的图象过点 B. 当时，函数的单调递增区间为 C. 当时，函数的值域为 D. 当时，若函数有最大值2，则 11. 已知是函数的导函数，，且对于任意的满足，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，且，则实数的取值范围是__________. 13. 若函数的图象上存在与轴平行的切线，则实数的取值范围是__________. 14. 函数，若f(x)>0在(0，+∞)恒成立，则a的取值范围是___. 四、解答题：本题共5小题.共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求A； （2）若的周长为9，面积为，求a. 16. 已知． （1）求的通项公式； （2）令，为的前项之积，求证：． 17. 如图1，，，且，D是中点，沿将折起到的位置（如图2），使得． （1）求证：面面； （2）若线段上存在一点M，使得平面与平面夹角的余弦值是，求的值． 18. 已知双曲线M与双曲线N：有共同的渐近线． （1）若M经过抛物线的顶点，求双曲线M的方程； （2）若双曲线M的两个焦点分别为，，点P为M上的一点，且，求双曲线M的方程． 19. 如果曲线存在相互垂直的两条切线，称函数是“正交函数”.已知，设曲线在点处的切线为. （1）当，时，是否存在直线满足，且与曲线相切？请说明理由； （2）如果函数是“正交函数”，求满足要求的实数a的集合； （3）若对任意，曲线都不存在与垂直的切线，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $