3.5 确定圆的条件 课件-2025-2026学年北师大版（2012）数学九年级下册　

该初中数学课件聚焦确定圆的条件及三角形外接圆与外心，通过破损镜子复原、玻璃碎片配圆等生活实例导入，引导学生探究过一点、两点、三点作圆的规律，构建从具体操作到抽象结论的知识支架，帮助理解不在同一直线上的三点确定一个圆的核心原理。 其亮点在于以真实问题驱动探究，培养数学眼光，如用圆弧碎片复原情境引导发现三点定圆规律。通过转化思想推导圆心位置，发展数学思维，提升推理意识。典例与分层练习结合强化数学语言应用，如外心性质判断和直角三角形外接圆半径计算，助力学生深化理解，也为教师提供逻辑清晰的教学路径。

第 1 页：封面页 标题：3.5 确定圆的条件 副标题：北师大版九年级数学下册 配图：左侧为 “过一点画圆”（无数个圆，圆心在以该点为半径的圆上）、“过两点画圆”（无数个圆，圆心在两点垂直平分线上）示意图，右侧为 “过不在同一直线上三点画圆”（唯一圆）示意图，直观对比不同条件下圆的数量差异 落款：授课教师 / 日期 第 2 页：学习目标 知识目标：理解点与圆的位置关系（点在圆内、圆上、圆外），掌握 “不在同一直线上的三点确定一个圆” 的定理，明确三角形外接圆、外心的定义与性质。 能力目标：通过动手作图（过一点、两点、三点画圆），提升几何作图能力；能根据定理解决 “找圆心、画三角形外接圆” 等问题，培养逻辑推理与空间想象能力。 素养目标：体会 “从特殊到一般” 的探究过程，感受几何定理的严谨性，培养用数学语言规范描述作图步骤与证明过程的习惯。 第 3 页：情境导入・点与圆的位置关系 生活情境（配图）： 钉在黑板上的一颗图钉（点），用不同长度的绳子绕图钉画圆，思考：图钉（点）与圆的位置关系？ 体育课上，学生站在圆形跑道上（点在圆上）、跑道内（点在圆内）、跑道外（点在圆外），观察不同位置的特征。 位置关系定义（设⊙O 半径为 r，点 P 到圆心 O 的距离为 d）： 位置关系 数量关系 示例 点在圆内 d < r 跑道内的学生，d=3m，r=5m 点在圆上 d = r 跑道上的学生，d=5m，r=5m 点在圆外 d > r 跑道外的学生，d=6m，r=5m 思考引入：过一个点能画多少个圆？过两个点呢？过三个点又能画多少个圆？ 第 4 页：探究一・过一点、两点画圆的条件 1. 过一个点画圆 动手操作：在纸上画一点 A，尝试用圆规以不同点为圆心、不同长度为半径画圆，使圆经过点 A。 观察结论：过一个点 A 可以画无数个圆（圆心可以是平面内任意一点，半径为圆心到 A 的距离）。 图示：以 A 为公共点，画出多个圆心不同、半径不同的圆，标注 “圆心 O₁、O₂、O₃…… 半径 r₁、r₂、r₃……”。 2. 过两个点画圆 动手操作：在纸上画两点 A、B，尝试画圆使圆经过 A、B 两点。 分析关键：要使圆经过 A、B，圆心 O 到 A、B 的距离需相等（OA=OB=r），即圆心 O 在 AB 的垂直平分线上。 观察结论：过两个点 A、B 可以画无数个圆（圆心在 AB 的垂直平分线上任意一点，半径为圆心到 A 的距离）。 图示：画出 AB 的垂直平分线 l，在 l 上取不同点 O₁、O₂、O₃为圆心，分别以 O₁A、O₂A、O₃A 为半径画圆，均经过 A、B 两点。 第 5 页：探究二・过三点画圆的条件（核心定理） 1. 分类讨论三点位置 情况 1：三点在同一直线上（如图，A、B、C 共线）： 假设存在⊙O 经过 A、B、C，则 OA=OB=OC，故 O 在 AB 的垂直平分线 l₁和 BC 的垂直平分线 l₂上； 但 A、B、C 共线，l₁与 l₂平行（均垂直于同一直线），无交点，故不存在这样的圆。 情况 2：三点不在同一直线上（如图，A、B、C 不共线）： 动手操作： 连接 AB、BC，分别作 AB 的垂直平分线 l₁和 BC 的垂直平分线 l₂，设 l₁与 l₂交于点 O； 以 O 为圆心、OA（或 OB、OC）为半径画圆，观察圆是否经过 A、B、C 三点。 逻辑证明： ∵ O 在 AB 的垂直平分线上，∴ OA=OB； ∵ O 在 BC 的垂直平分线上，∴ OB=OC； ∴ OA=OB=OC，故⊙O 经过 A、B、C 三点； 又∵ l₁与 l₂交于唯一一点 O，∴ 这样的圆只有一个。 2. 核心定理 不在同一直线上的三个点确定一个圆。 关键条件：“不在同一直线上”（若共线则无法确定圆）；“确定一个圆” 指 “有且只有一个圆”（存在性 + 唯一性）。 第 6 页：延伸概念・三角形的外接圆与外心 1. 定义 三角形的外接圆：经过三角形三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形。 外心的性质： 外心是三角形三条边垂直平分线的交点； 外心到三角形三个顶点的距离相等（均等于外接圆半径）。 2. 不同三角形外心的位置（配图对比） 三角形类型 外心位置 示例（以△ABC 为例） 锐角三角形 三角形内部 外心 O 在△ABC 内部，到 A、B、C 距离相等 直角三角形 斜边的中点 外心 O 是斜边 AB 的中点，外接圆半径 = AB/2（呼应上节课 “直角三角形外接圆以斜边为直径”） 钝角三角形 三角形外部 外心 O 在△ABC 外部，到 A、B、C 距离相等 3. 作图步骤（画三角形的外接圆） 画△ABC（锐角、直角、钝角均可）； 分别作 AB、BC 的垂直平分线，交于外心 O； 以 O 为圆心、OA 为半径画圆，即为△ABC 的外接圆。 第 7 页：典例精讲・定理应用 例题 1：找圆心 如图，一块圆形玻璃被打碎，只剩下一段圆弧，如何确定原圆形玻璃的圆心和半径？ 解答步骤： 在圆弧上任意取三点 A、B、C（不在同一直线上）； 连接 AB、BC，分别作 AB、BC 的垂直平分线 l₁、l₂，交于点 O； 点 O 即为原圆形玻璃的圆心，OA（或 OB、OC）即为半径。 思路提炼：利用 “不在同一直线上三点确定一个圆”，通过找圆弧上三点的垂直平分线交点确定圆心。 例题 2：画三角形外接圆并求半径 已知△ABC 中，AB=AC=5cm，BC=6cm，求画△ABC 的外接圆，并计算外接圆半径。 解答步骤： 画△ABC：作 BC=6cm，分别以 B、C 为圆心、5cm 为半径画弧，交于 A 点； 找外心：作 AB 的垂直平分线 l₁和 BC 的垂直平分线 l₂，交于 O（O 在△ABC 内部，因△ABC 为锐角三角形）； 计算半径：设 BC 的中点为 D，连接 AD、AO，AD⊥BC（等腰三角形三线合一），AD=√(AB² - BD²)=√(25 - 9)=4cm；设 OA=r，OD=4 - r，在 Rt△BOD 中，OB²=OD² + BD²→r²=(4 - r)² + 3²→r²=16 - 8r + r² + 9→8r=25→r=25/8=3.125cm。 思路提炼：结合等腰三角形性质与勾股定理，通过外心到顶点的距离（半径）建立方程求解。 第 8 页：易错警示与避坑指南 常见易错点： 忽略 “不在同一直线上” 的条件：误说 “三点确定一个圆”，未强调 “不共线”（共线三点无法确定圆）； 外心位置判断错误：误认为所有三角形的外心都在内部（钝角三角形外心在外部，直角三角形外心在斜边中点）； 作图步骤错误：找外心时仅作一条边的垂直平分线，或未用尺规规范作垂直平分线，导致圆心位置偏差。 避坑技巧： 表述定理时必须补充 “不在同一直线上”，可结合 “共线三点无圆” 的反例强化记忆； 判断外心位置前，先确定三角形类型（锐角、直角、钝角），再对应位置特征； 作垂直平分线时，严格遵循 “以线段两端为圆心、大于线段一半为半径画弧，找交点连线” 的尺规作图步骤。 第 9 页：课堂练习・分层巩固 基础题： （1）过平面内一点 P 可以画______个圆；过两点 A、B 可以画______个圆，圆心在______上。（答案：无数，无数，AB 的垂直平分线） （2）直角三角形的斜边为 8cm，则其外接圆的半径为______cm，外心在______。（答案：4，斜边中点） 中档题： 如图，△ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=4，求△ABC 外接圆的半径及外心到 AC 的距离。（答案：半径 2.5，距离 2） 提升题： 已知△ABC 的外心在△ABC 的外部，判断△ABC 的形状，并说明理由。（答案：钝角三角形，理由：锐角三角形外心在内部，直角三角形外心在斜边中点，仅钝角三角形外心在外部） 第 10 页：课堂小结与作业布置 小结： 点与圆的位置关系：由 “点到圆心的距离 d” 与 “半径 r” 的大小决定（d<r 内，d=r 上，d>r 外）； 确定圆的条件：过一点 / 两点有无数个圆，过不在同一直线上的三点有且只有一个圆； 三角形外接圆与外心：外心是三边垂直平分线的交点，到三顶点距离相等，位置由三角形类型决定。 作业： 基础作业：教材习题 3.5 第 1、2、3 题（作图与外心位置判断）； 拓展作业：画一个钝角三角形，作出其外接圆，测量外心到三个顶点的距离，验证 “外心到三顶点距离相等”； 实践作业：寻找生活中 “确定圆” 的实例（如修复破损圆形物件），记录确定圆心和半径的方法，下节课分享。 2025-2026学年北师大版数学九年级下册【示范课精品课件】 授课教师： . 班 级： . 时 间： . 3.5 确定圆的条件 第三章 圆 a i T u j m i a N g 1. 过一点可以作几条直线？ ● A 无数条 2. 过几点可确定一条直线？ ● A ● B 两点 情景导入 如何解决“破镜重圆”问题呢？ 合作探究 解题关键是什么？ 破镜重圆问题 几点确定圆心 转化 情景导入 问题 1 如何过一个点 A 作一个圆？过点 A 可以作多少个圆？ · · · · · 以不与 A 点重合的任意一点为圆心，以这个点到 A 点的距离为半径画圆即可； 可作无数个圆. A 探索确定圆的条件 1 合作探究 探究新知 问题 2 如何过两点 A、B 作一个圆？过两点可以作多少个圆？ · · · · A B 追问1：其圆心的位置有什么特点？ O O O O 可作无数个圆. 它们的圆心在线段 AB 的垂直平分线上. 以线段 AB 的垂直平分线上的任意一点为圆心，这点到 A 或 B 的距离为半径作圆. 追问2：与线段 AB 有什么关系？为什么？ 探究新知 问题 3 作圆，使它经过已知点 A，B，C (A，B，C 三点不在同一条直线上). 你是如何做的? 你能作出几个这样的圆? B A C 过三点的圆的圆心 过两点的圆的圆心 转化 如何确定过这三点的圆的圆心呢？ 探究新知 作法： B A C (1) 连接 AB，BC. (2) 分别作线段 AB，BC 的垂直平分线 DE 和 FG，DE 与 FG 相交于点 O. E D F G O (3) 以 O 为圆心，以 OB 的长为半径作圆. ⊙O 就是所要求作的圆. 探究新知 不在同一直线上的三个点确定一个 圆. 有且只有 位置关系 归纳总结 B A C E D F G O 探究新知 1. 将如图所示的破损的镜子复原. A B C O 方法：(1) 在圆弧上任取三点 A、B、C，连接 AB、BC； 回顾导入 则⊙O 即为所求. (3) 以点 O 为圆心，OA 长为半径 作圆. (2) 作线段 AB、BC 的垂直平分线， 其交点 O 即为圆心； 探究新知 例1 小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（　　） A．第①块 B．第②块 C．第③块 D．第④块 B 典例精析 探究新知 A B C 问题 4 过同一直线上三点能不能作圆? 不能. 探究新知 试一试：已知 △ABC，用直尺与圆规作出过 A、B、C 三点的圆. A B C O 三角形的外接圆及外心 2 探究新知 1. 外接圆 三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫作这个三角形的外接圆. 这个三角形叫作这个圆的内接三角形. 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等. 2. 三角形的外心： 定义： 三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心. 作图： 三角形三条边的垂直平分线的交点. 性质： 知识要点 B A C E O 探究新知 判一判： 下列说法是否正确 (1) 任意的一个三角形一定有一个外接圆( ) (2) 任意一个圆有且只有一个内接三角形( ) (3) 经过三点一定可以确定一个圆( ) (4) 三角形的外心到三角形各顶点的距离相等( ) √ × × √ 探究新知 分别画一个锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，再画出它们的外接圆，观察并叙述各三角形与它的外心的位置关系. A B C A B C C A B ┐ 想一想 O O O 探究新知 锐角三角形的外心位于三角形内； 直角三角形的外心位于直角三角形斜边的中点； 钝角三角形的外心位于三角形外. 知识要点 A B C A B C C A B ┐ O O O 探究新知 1. 判断： （1）经过三点一定可以作圆 （ ） （2）三角形的外心就是这个三角形两边垂直平分线的交点 （ ） （3）三角形的外心到三边的距离相等 （ ） （4）等腰三角形的外心一定在这个三角形内 （ ） √ × × × 3. 如图，在 5×5 正方形网格中，一条圆弧经过 A，B，C 三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（　　） A．点 P B．点 Q C．点 R D．点 M B 2. 三角形的外心具有的性质是（ ） A. 到三边的距离相等. B. 到三个顶点的距离相等. C. 外心在三角形的外. D. 外心在三角形内. B 4. 如图，已知 Rt△ABC 中 ，∠C = 90°，若 AC = 12 cm， BC = 5 cm，求△ABC 的外接圆半径. C B A O 解：设 Rt△ABC 的斜边 AB 的中点为 O，连接 OC，则 OA = OB = OC. 故点 O 是△ABC 的外心. ∴ AB = 13 cm. 则 OA = 6.5 cm， 即 △ABC 的外接圆半径为 6.5 cm. ∵∠C = 90°，AC = 12 cm，BC = 5 cm， 返回 C 1. 下列条件中，不能确定一个圆的是(　　) A．圆心和半径 B．直径和圆心 C．平面上的三个点 D．三角形的三个顶点 考试考法 20 返回 2. C [教材P88“习题3.6”第3题变式]如图，点A，B，C均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 考试考法 返回 3. ① 小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中三块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的一块碎片应该是________．(填序号) 考试考法 4. 解：这样的圆能画2个． 作AB的垂直平分线l，再以点A为圆心，2 cm为半径画弧交l于点O1和O2，然后分别以点O1和O2为圆心，以 2 cm为半径作圆，则⊙O1和⊙O2即为所求．图略． (12分)[教材P88“习题3.6”第2题变式]已知线段AB＝3 cm. (1)画半径为2 cm的圆，使它经过A，B两点，这样的圆能画几个？ 考试考法 这样的圆能画1个． 作AB的垂直平分线l，交AB于点O，然后以点O为圆心，以1.5 cm为半径作圆，则⊙O即为所求．图略． (2)画半径为1.5 cm的圆，使它经过A，B两点，这样的圆能画几个？ 返回 这样的圆不存在． (3)画半径为1 cm的圆，使它经过A，B两点，这样的圆能画几个？ 考试考法 返回 5. D 下列说法中，正确的是(　　) A．一个三角形有无数个外接圆 B．钝角三角形的外心在三角形内部 C．三角形的外心是到三角形三边的距离相等的点 D．三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点 考试考法 返回 6. C 如图，AC，BE是⊙O的直径，下列三角形中，外心是点O的是(　　) A．△ABF B．△ACF C．△ABE D．△AEF 考试考法 返回 7. C 在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，则△ABC外接圆的半径为(　　) A．3 B．4 C．5 D．不确定 考试考法 返回 8. A [2025泰州月考]如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A，B，C，D，E，F，G在小正方形的顶点上，则△ABC的外心是(　　) A．点D B．点E C．点F D．点G 考试考法 返回 9. 解：如图，点P即为所求． (4分)[教材P87“习题3.6”第1题变式]如图，一只猫观察到三个老鼠洞口A，B，C，这三个老鼠洞口不在同一条直线上，请问这只猫应该在什么地方才能同时顾及三个老鼠洞口(即猫到三个老鼠洞口的距离相等)？作出这个位置. 考试考法 29 返回 10. C 平面上有四个点，过其中任意三个点一共能确定圆的个数是(　　) A．0或3或4 B．0或1或3 C．0或1或3或4 D．0或1或4 考试考法 30 返回 11. C 点O是△ABC的外心，若∠BOC＝80°，则∠BAC的度数是(　　) A．40° B．100° C．40°或140° D．40°或100° 考试考法 31 返回 12. (－2，－1) 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0，3)，点B(2，1)，点C(2，－3)，则△ABC的外接圆的圆心坐标是____________. 考试考法 32 返回 13. 16 如图，点O为△ABC的外心，过点O作OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为点D，E，连接DE，若DE＝ 8 cm，则BC＝________cm. 考试考法 作圆 过一点可以作无数个圆 过两点可以作无数个圆 不在同一直线上的三个点确定一个圆 注意：同一直线上的三个点不能作圆 三角形外接圆 概念 性质 三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等 经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆 外心 外接圆的圆心叫三角形的外心 课堂小结 必做作业：从教材习题中选取； 选做作业：完成练习册本课时的习题. 作业 谢谢观看！ $