精品解析：北京市育才学校2025-2026学年高三上学期9月月考数学试卷

2025-2026学年度第一学期 北京育才学校高三数学 九月月考试卷 一､选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分. 1. 若集合A＝{x|－3<x<3}，B＝{x|(x＋4)(x－2)>0}，则A∩B＝(　　) A. {x|－3<x<2} B. {x|2<x<3} C. {x|－3<x<－2} D. {x|x<－4或x>－3} 2. 已知等差数列，则等于（ ） A. B. 0 C. 2 D. 5 3. 下列函数中，是偶函数且在区间上为增函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 函数的一个零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 5. 设，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 7. 已知函数，则 A. 是奇函数，且在R上是增函数 B. 是偶函数，且在R上是增函数 C. 是奇函数，且在R上是减函数 D. 是偶函数，且在R上是减函数 8. 把函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象对应函数的解析式为，则的值为（ ） A. B. C. D. 9. 已知定义在R上的函数满足，当时，，若函数至少有6个零点，则a的取值范围是 A. B. C. D. 10. 已知集合，若对于任意，存在，使得成立，则称集合是“好集合”.给出下列4个集合： ① ② ③ ④ 其中所有“好集合”的序号是（ ） A. ②③ B. ①②④ C. ③④ D. ①③④ 二､填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 已知幂函数的图象经过点，则______． 12. 命题：“，”为假命题，则的取值范围是_________． 13. 函数的定义域是_____________． 14. 设函数则f[f（0）]=______；若方程f（x）=b有且仅有3个不同的实数根，则实数b的取值范围是______． 15. 已知直线和曲线，给出下列四个结论： ①存在实数和，使直线和曲线没有交点； ②存在实数，对任意实数，直线和曲线恰有个交点； ③存在实数，对任意实数，直线和曲线不会恰有个交点； ④对任意实数和，直线和曲线不会恰有个交点． 其中所有正确结论的序号是____． 三､解答题：本大题共6小题，共85分. 16. 已知函数. （1）求的单调区间； （2）若在区间上的最小值为15，求在该区间上的最大值. 17. 求下列函数的导数. （1）； （2）； （3）. 18. 科技创新能力是决定综合国力和国际竞争力的关键因素，也是推动经济实现高质量发展的重要支撑，而研发投入是科技创新的基本保障，下图是某公司从2010年到2019年这10年研发投入的数据分布图: 其中折线图是该公司研发投入占当年总营收的百分比，条形图是当年研发投入的数值(单位:十亿元). (I)从2010年至2019年中随机选取一年，求该年研发投入占当年总营收的百分比超过10%的概率； (II)从2010年至2019年中随机选取两个年份，设X表示其中研发投入超过500亿元的年份的个数，求X的分布列和数学期望； (III)根据图中的信息，结合统计学知识，判断该公司在发展的过程中是否比较重视研发，并说明理由. 19. 设函数． （1）若曲线在点处的切线与轴平行，求； （2）求的单调区间． 20. 已知函数. （1）求函数在点处的切线方程； （2）设实数使得恒成立，求的取值范围； （3）设，求函数在区间上的零点个数. 21. 已知集合，对于集合的非空子集．若中存在三个互不相同的元素，，，使得，，均属于，则称集合是集合的“期待子集”． （1）试判断集合，是否为集合的“期待子集”；（直接写出答案，不必说明理由） （2）如果一个集合中含有三个元素，，，同时满足①，②，③为偶数．那么称该集合具有性质．对于集合的非空子集，证明：集合是集合的“期待子集”的充要条件是集合具有性质； （3）若的任意含有个元素的子集都是集合的“期待子集”，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期 北京育才学校高三数学 九月月考试卷 一､选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分. 1. 若集合A＝{x|－3<x<3}，B＝{x|(x＋4)(x－2)>0}，则A∩B＝(　　) A. {x|－3<x<2} B. {x|2<x<3} C. {x|－3<x<－2} D. {x|x<－4或x>－3} 【答案】B 【解析】 【详解】或，故选B． 2. 已知等差数列，则等于（ ） A. B. 0 C. 2 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】设出等差数列的公差为，建立等量关系求解即可. 【详解】设等差数列的公差为， 因为，所以， 解得：，. 故选：B. 3. 下列函数中，是偶函数且在区间上为增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由指对幂函数的性质判断各函数的奇偶性，再根据对数函数、二次函数的单调性确定答案. 【详解】为非奇非偶函数，为奇函数，故A、C不符合； 、为偶函数， 在上递增，而递减，B符合，D不符合. 故选：B 4. 函数的一个零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据零点存在性定理，计算出区间端点的函数值即可判断； 【详解】解：因为，在上是连续函数，且，即在上单调递增， ，，， 所以在上存在一个零点. 故选：. 【点睛】本题考查函数的零点的范围，注意运用零点存在定理，考查运算能力，属于基础题． 5. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数、对数函数的单调性进行求解判断即可. 【详解】因为指数函数是实数集上的减函数， 所以， 因为指数函数是实数集上的增函数， 所以， 因为对数函数是正实数集上减函数， 所以，因此， 故选：A 6. 已知，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分、必要性定义判断条件的推出关系，即可得答案. 【详解】由，则，当时不成立，充分性不成立； 由，则，即，显然成立，必要性成立； 所以是的必要不充分条件. 故选：B 7. 已知函数，则 A. 是奇函数，且在R上是增函数 B. 是偶函数，且在R上是增函数 C. 是奇函数，且在R上是减函数 D. 是偶函数，且在R上是减函数 【答案】A 【解析】 【详解】分析：讨论函数的性质，可得答案. 详解：函数的定义域为，且 即函数 是奇函数， 又在都是单调递增函数，故函数在R上是增函数． 8. 把函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象对应函数的解析式为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求得平移后的解析式，根据题意，列出等式，即可得答案. 【详解】函数的图象向左平移个单位长度，可得， 所以，即，解得. 故选：A 9. 已知定义在R上的函数满足，当时，，若函数至少有6个零点，则a的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】函数的零点个数，即函数与的交点的个数，由函数图像的变换，分别做出与的图象，结合图象可得列出不等关系，进而求得的取值范围． 【详解】由可知周期,设，至少6个零点转化为两函数至少6个交点， 当时，，据此可以做出的图象， 依据函数是偶函数，当时，， 则当时，，分两种情况分别画出的图像， 结合图象分析可得：要使函数与至少有6个交点， 则 或，解得，或， 故选：B 10. 已知集合，若对于任意，存在，使得成立，则称集合是“好集合”.给出下列4个集合： ① ② ③ ④ 其中所有“好集合”的序号是（ ） A. ②③ B. ①②④ C. ③④ D. ①③④ 【答案】A 【解析】 【分析】由题目给出的新定义利用向量的数量积进行转换为两直线垂直，即验证一个函数图像上是否一定存在两个点使得他们与原点的连线垂直，对于①④只需取特殊点即可排除，②③需要数形结合来判断. 【详解】设，则，，∵，∴，即， 即集合是“好集合”等价于在集合中任意一点，一定存在另一个点使得， 也可以理解为过原点的任意两条相互垂直的直线一定与集合中的曲线相交. ①当时，∵，∴，若，则，则无解，∴，故①不是“好集合”. ②如图所示： 是一个单增函数，且是一个凹函数，∴函数任意一个点，都有一个点使得.故②是“好集合”. ③如图： 由三角函数图像可知，过原点的任何直线都与相交.故③是“好集合”. ④当时，∵，∴，若，则无定义，∴，故④不是“好集合”. 综上所述：②③是“好集合”. 故选：A 【点睛】思路点睛：对题意中的“好集合”利用向量数量积进行分析理解，得到垂直时关键.然后可以借助特殊值排除法，取个不满足的特殊值排除①和④即可得到答案. 二､填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 已知幂函数的图象经过点，则______． 【答案】 【解析】 【分析】将点代入幂函数解析式求解即可. 【详解】因为是幂函数，图象经过点，设， 则，解得，故, 故答案为： 12. 命题：“，”为假命题，则的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】由“，”为假命题得到“，”为真命题，然后分类讨论和两种情况，列不等式求解即可. 【详解】“，”为假命题则“，”为真命题， ①当时，，成立； ②当时，，解得； 综上所述，. 故答案为：. 13. 函数的定义域是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数解析式直接列出式子即可求解. 【详解】， ，解得，故函数的定义域为. 故答案为：. 14. 设函数则f[f（0）]=______；若方程f（x）=b有且仅有3个不同的实数根，则实数b的取值范围是______． 【答案】 ①. ②. （，） 【解析】 【分析】利用分段函数求解函数值得到第一问；利用分段函数求解函数的极值得到b的范围. 【详解】解：函数则f[f（0）]＝f（e0）＝f（1）． x≤0时，f（x）≤1，x＞0，f（x）＝﹣x2+x，对称轴为：x，开口向下， 函数的最大值为：f（），x→0时，f（0）→， 方程f（x）＝b有且仅有3个不同的实数根，则实数b的取值范围是：（，）． 故答案为；（，）． 【点睛】本题考查函数与方程的应用，函数的零点的求法，考查计算能力以及数形结合的应用． 15. 已知直线和曲线，给出下列四个结论： ①存在实数和，使直线和曲线没有交点； ②存在实数，对任意实数，直线和曲线恰有个交点； ③存在实数，对任意实数，直线和曲线不会恰有个交点； ④对任意实数和，直线和曲线不会恰有个交点． 其中所有正确结论的序号是____． 【答案】① ② ③ 【解析】 【分析】根据图象的对称性，求导得切线斜率的最大值，由数形结合，结合选项即可判断. 【详解】对于①,由于为偶函数，故图象关于轴对称，且， 当或时，此时直线和曲线没有交点；（如下图）故正确 ①， 对于②，，当时，， 所以当， 故当 单调递减，当 单调递增， 故当时，此时 取极大值也是最大值， 故某一点处的切线的斜率最大值为， 当时，此时直线和曲线恰有个交点；故②正确， 对于③，当时，对任意的 直线过原点，此时直线与只有一个零点，故③正确， 对于④，当直线与曲线上某一点处的切线平行时（斜率小于），且在切点之上的位置时，此时直线与曲线有3个交点，故④错误. 故答案为：① ② ③ 【点睛】方法点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 三､解答题：本大题共6小题，共85分. 16. 已知函数. （1）求的单调区间； （2）若在区间上的最小值为15，求在该区间上的最大值. 【答案】（1）在区间，上单调递减，在区间上单调递增. （2） 【解析】 【分析】（1）对函数求导可得，从而可得当，时，，当时，，从而求出相应的单调区间； （2）由（1）可得当时取到极大值也是最大值，再结合当时，单调递增，当时，单调递减，及与，从而求出，即可求解最大值. 【小问1详解】 由题意，令，解得，， 当，时，，当时，， 所以在区间，上单调递减，在区间上单调递增. 综上所述：在区间，上单调递减，在区间上单调递增. 【小问2详解】 由（1）可得当时，单调递增，当时，单调递减， 所以当时取到极大值，也是最大值， 又，， 所以当时取到最小值，解得， 此时. 所以在区间上的最大值为. 17. 求下列函数的导数. （1）； （2）； （3）. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】由基本初等函数的求导公式以及导数的四则运算代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 由可得； 【小问2详解】 由可得； 【小问3详解】 由可得， 所以； 18. 科技创新能力是决定综合国力和国际竞争力的关键因素，也是推动经济实现高质量发展的重要支撑，而研发投入是科技创新的基本保障，下图是某公司从2010年到2019年这10年研发投入的数据分布图: 其中折线图是该公司研发投入占当年总营收的百分比，条形图是当年研发投入的数值(单位:十亿元). (I)从2010年至2019年中随机选取一年，求该年研发投入占当年总营收的百分比超过10%的概率； (II)从2010年至2019年中随机选取两个年份，设X表示其中研发投入超过500亿元的年份的个数，求X的分布列和数学期望； (III)根据图中的信息，结合统计学知识，判断该公司在发展的过程中是否比较重视研发，并说明理由. 【答案】(I)； (II),分布列如下： 0 1 2 (III)2010年到2019年共10年中，研发投入占当年总营收的百分比超过10%有9年，每年基本上都在增加，因此公司在发展的过程中重视研发. 【解析】 【分析】 (I) 折线图中2010年到2019年共10年中，2010年公司研发投入占当年总营收的百分比在以下 (II) 2010年到2019年共10年中，研发投入超过500亿元的有5年，的取值可能为0，1，2，超几何分布求概率. (III) 图中信息10年中，研发投入占当年总营收的百分比超过10%有9年，每年基本上都在增加, 判断公司在发展的过程中比较重视研发. 【详解】(I)由题知，2010年到2019年共10年中，研发投入占当年总营收的百分比超过10%有9年，设从2010年至2019年中随机选取一年，求该年研发投入占当年总营收的百分比超过10%为事件 ,. (II)由题意得的取值可能为0，1，2 , , . 的分布列为 0 1 2 . （III）2010年到2019年共10年中，研发投入占当年总营收的百分比超过10%有9年，每年基本上都在增加，因此公司在发展的过程中重视研发. 【点睛】超几何分布的特征. (1)考查对象分两类；(2)已知各类对象的个数；(3)从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的概率分布．求离散型随机变量分布列的步骤. 19. 设函数． （1）若曲线在点处的切线与轴平行，求； （2）求的单调区间． 【答案】（1）1 （2） 当时，的单调递增区间是，单调递减区间是和；当时，的单调递增区间是，单调递减区间是；当时，的单调递增区间是和，单调递减区间为；当时，的单调递增区间是，无单调递减区间；当时，的单调递增区间是和，单调递减区间是． 【解析】 【分析】由曲线在点处的切线与轴平行知，，可得，验证与轴不重合. ，根据的范围不同，对的符合影响，及两根的比较，将分类进而求单调区间. 【小问1详解】 因为， 所以 . . 由题设知，即，解得. 此时. 所以的值为1. 【小问2详解】 由（1）得． 1）当时，令，得， 所以的变化情况如下表： 单调递增 极大值 单调递减 2）当，令，得或2 ①当时，，所以的变化情况如下表： 2 0 0 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 ②当时， （ⅰ）当即时， 2 0 0 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 （ⅱ）当即时，恒成立，所以在上单调递增； （ⅲ）当即时， 2 0 0 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 综上， 当时，的单调递增区间是，单调递减区间是和； 当时，的单调递增区间是，单调递减区间是； 当时，的单调递增区间是和，单调递减区间为； 当时，的单调递增区间是，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间是和，单调递减区间是． 【点睛】方法点睛：讨论含参函数的单调性问题，需根据参数的导函数符号的影响，及导函数的零点大小比较进行分类. 20. 已知函数. （1）求函数在点处的切线方程； （2）设实数使得恒成立，求的取值范围； （3）设，求函数在区间上的零点个数. 【答案】（1） （2） （3）当或时，函数在区间上有个零点； 当或时，函数在区间上有个零点； 当时，函数在区间上有个零点. 【解析】 【分析】（1）先求出，在求出及，即可求解； （2）由得恒成立，等价于恒成立，设并求出其最大值，从而可求解； （3）求令，即求，由（2）即等价于函数的图象与函数的图象的交点个数，再结合在区间上的取值情况，再对分情况讨论，即可求解. 【小问1详解】 由题可得函数的定义域为，且， 则，因， 所以在点处的切线方程为，化简为. 故函数在点处的切线方程为. 【小问2详解】 由题意知得恒成立，即恒成立，等价于恒成立， 设，则，令，解得， 当时，；当时，， 所以当时，取到极大值也是最大值，所以， 所以的取值范围为. 【小问3详解】 由题知令，即，则得，从而得， 由（2）得函数在区间上的零点个数即等价于求函数的图象与函数的图象的交点个数， 又因在区间上单调递增，在区间上单调递减， 且当时，取到极大值也是最大值， 又因为，， 当或时，函数的图象与函数的图象的交点个数为， 当或时，函数的图象与函数的图象的交点个数为， 当时，函数的图象与函数的图象的交点个数为. 综上所述：当或时，函数在区间上有个零点； 当或时，函数在区间上有个零点； 当时，函数在区间上有个零点. 21. 已知集合，对于集合的非空子集．若中存在三个互不相同的元素，，，使得，，均属于，则称集合是集合的“期待子集”． （1）试判断集合，是否为集合的“期待子集”；（直接写出答案，不必说明理由） （2）如果一个集合中含有三个元素，，，同时满足①，②，③为偶数．那么称该集合具有性质．对于集合的非空子集，证明：集合是集合的“期待子集”的充要条件是集合具有性质； （3）若的任意含有个元素的子集都是集合的“期待子集”，求的最小值． 【答案】（1）是集合的“期待子集”，不是集合的“期待子集” （2） 先证明必要性： 当集合是集合的“期待子集”时，由题意，存在互不相同的，使得， 不妨设，令，，，则，即条件中的①成立； 又，所以，即条件中的②成立； 因为， 所以为偶数，即条件中的③成立； 所以集合满足条件. 再证明充分性： 当集合满足条件时，有存在，满足①，②，③为偶数， 记，，， 由③得，由①得，由②得， 所以， 因为，，，所以，，均属于， 即集合是集合的“期待子集”. （3） 【解析】 【分析】（1）根据所给定义判断即可. （2）先证明必要性，再证明充分性，结合所给“期待子集”的定义及性质的定义证明即可； （3）首先利用反例说明当、时不成立，再利用数学归纳法证明集合的任意含有个元素的子集，都是的“期待子集”，即可得解. 【小问1详解】 因为， 对于集合，令，解得，显然，， 所以是集合的“期待子集”； 对于集合，令，则， 因为，即，故矛盾，所以不是集合的“期待子集”； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 的最小值为，理由如下： 一方面，当时，对于集合，其中任意三个元素之和均为奇数，由（2）知，不是的“期待子集”； 当时，对于集合， 从中任取三个不同的元素，若不含有，则不满足条件的③， 若含有，则另外两个数必都是奇数，因为任意两个奇数之差（大数减小数）都不小于， 故不满足条件中的②，所以不是的“期待子集”； 所以. 另一方面，我们用数学归纳法证明集合的任意含有个元素的子集，都是的“期待子集”： （I）当时，对于集合的任意含有个元素的子集，记为， 当、、三个数中恰有个属于时，则，因为数组、、、、都满足条件， 当三个数都属于，因为数组满足条件， 所以此时集合必是集合的“期待子集”， 所以当时的任意含有个元素的子集都是集合的“期待子集”. （II）假设当时结论成立，即集合的任意含有个元素的子集都是的“期待子集”，那么时，对于集合的任意含有个元素的子集， 分成两类，①若，至多有个属于，则中至少有个元素都在集合，由归纳假设知，结论成立； ②若，，则集合中恰含的个元素，此时，当中只有一个奇数时，则集合中包含中的所有偶数，此时数组，，符合条件，结论成立； 当集合中至少有两个奇数时，则必有一个奇数不小于，此时数组，，符合条件，结论成立，所以时结论成立， 根据（I）（II）知，集合的任意含有个元素的子集，都是的“期待子集”，所以的最小值为 【点睛】关键点睛：涉及集合新定义问题，关键是正确理解给出的定义，然后合理利用定义，结合相关的其它知识，分类讨论，进行推理判断解决. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $