14.1 全等三角形及其性质&14.2 三角形全等的判定 随堂反馈-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年新教材八年级上册数学（人教版2024 广西专版）

第十四章全等三角形 14.1全等三角形及其性质 1.下列图形不是全等形的是 ◇ 火 A B D 2.如图，点E,F在线段BC上，△ABF与△DCE全等，点A与点D,点B与点C是 对应顶点，AF与DE交于点M,则∠C等于 ( ) A.∠B B.∠A C.∠EMF D.∠AFB BE (第2题图) (第3题图) (第4题图) 3.如图，△ABC≌△DEF,BE=4,AE=1,则DE的长是 4.如图，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC.若∠ACD=60°，则∠BCE的度 数为 5.如图，△ACE≌△DBF,AC=6,BC= (1)求证：AE∥DF; (2)求AD的长度. ·7· 14.2三角形全等的判定 第1课时用“SAS”判定三角形全等 1.下列条件能判定两个三角形全等的是 A.两个等腰三角形 B.两个三角形的两边及一边的对角对应相等 C.两个等边三角形 D.两个三角形的两边及夹角对应相等 2.如图，OA=OB,OC=OD.若∠O=45°，∠C=30°，则∠OBD的度数为 B (第2题图) (第3题图) 3.如图，若AB与CD互相平分，且它们相交于点O,则下列结论：①∠C=∠D; ②AD=BC;③AD∥BC;④AB=CD.其中，不一定成立的结论是 .(填 序号) 4.如图，点P在∠AOB的平分线上，若要使△AOP≌△BOP,则需添加的一个条件 是 (1)小明添加的条件是：AP=BP,你认同吗？ (2)你添加的条件是 ,请用你添加的条件完成证明. ·8· 第2课时用“ASA”或“AAS”判定三角形全等 1.如图，下列各组条件中，能判定△ABC≌△DEF的是 ) A.AB=DE,BC=EF,∠A=∠D B.∠A=∠D,∠C=∠F,AC=EF C.∠A=∠D,∠C=∠F,AC=DF D.∠A=∠D,∠B=∠E,∠C=∠F C B D (第1题图) (第2题图) (第3题图) 2.如图，在△ABC中，∠B=∠C,D为BC的中点，过点D分别向AB,AC作垂线 段，则能够说明△BDE≌△CDF的最直接的理由是 ( ) A.SSS B.SAS C.ASA D.AAS 3.如图，点D,E分别在线段AB,AC上，CD与BE相交于点O.已知AB=AC,再 添加以下条件，仍不能判定△ABE≌△ACD的是 ( ) A.∠B=∠C B.AD-AE C.BD=CE D.BE-CD 4.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点E在AC的延长线上，ED⊥AB于点D,BC =ED.求证：CE=DB ·9· 第3课时用“SSS”判定三角形全等 1.如图，AB=A1B1,BC=B,C1,AC=AC1,且∠A=110°，∠B=40°，则∠C1的度 数是 A.110° B.40° C.30° D.20° C B B D B E C (第1题图) (第2题图) (第3题图) (第4题图) 2.如图，AB=AC,AD=AE,BE=CD,/2=110°，∠BAE=60°，下列结论错误的是 ( A.△ABE≌△ACD B.△ABD≌△ACE C.∠C=30° D.∠1=70° 3.如图，以△ABC的顶点A为圆心，以BC长为半径画弧；再以顶点C为圆心，以 AB长为半径画弧，两弧相交于点D,连接AD,CD.若∠B=65°，则∠D的度数为 4.如图，已知点B,E,C,F在同一条直线上，AB=DE,AC=DF,BE=CF,则AB 与DE的位置关系是 5.如图，在△ABC和△DBC中，AB=DB,AC=DC.若∠A=25°，∠BCD=35°，求 ∠ABD的度数. ·10· 第4课时尺规作图 1.如图，一块三角形模具的阴影部分已破损.解答下列问题： (1)只要从模具片中度量出哪些边、角，就可以到店铺加工一块与原来的模具 △ABC的形状和大小完全相同的△A'B'C模具.请简要说明理由： (2)按尺规作图的要求，在空白处正确作出△ABC',保留作图痕迹，不写作法和证明. B 2.综合与实践 数学活动小组甲、乙两同学分别探究出了“过一点画一条直线的平行线”的新的方法. 【动手操作】 甲同学用的是尺规作图的方法(P是直线a外一点，过，点P作c∥a),具体作图步骤 如图①所示.乙同学用的是折纸的方法(P是直线a外一，点，直线a与正方形的相 邻两边分别相交于点A,B,过点P折出EF∥a),具体折纸步骤如图②所示 9 图① 过点P画直线b与a相交 作∠2=∠1 则c∥a 第一步 第二步 第三步 C F (B B a☑ A D 图② 第一步 第二步 第三步 【探究发现】 根据以上信息，解答下列问题. (1)甲同学作图中，c∥a的依据是 (2)写出乙同学每一步的具体做法及EF∥a的依据， 第一步： 第二步： 第三步： EF∥a的依据是 ·11 第5课时用“HL”判定直角三角形全等 1.如图，在△ABC中，AB=AC.若AD⊥BC,则可直接判定△ABD和△ACD全等 的方法是 ) A.SAS B.ASA C.SSS D.HL C B B (第1题图) (第2题图) (第3题图) 2.如图，在Rt△ABC和Rt△A'B'C中，∠C=∠C=90°，那么下列各条件中，不能 判定Rt△ABC≌Rt△A'B'C的是 ( A.AB=A'B'=5,BC=B'C'=3 B.AB=B'C'=5,∠A=∠B'=40 C.AC=A'C=5,BC=B'C'=3 D.AC=A'C'=5,∠A=∠A'=40° 3.如图，在△ABC和△DEC中，∠C=90°，AB=DE,AC=DC,下列结论：①∠A= ∠D;②∠A十∠DEC=90°；③AE=DB;④OE=OD.其中，结论正确的是 .(填序号) 4.如图，已知AB=CD,DE⊥AC于点E,BF⊥AC于点F,且BF=DE. 求证：AB∥CD. ·12·时，x一3x≠0.所以，原分式方程的解为x=一；(3)方程两边乘(x十1)(x-1)。 得(x-1)2=(x十1)2十4.解得x=-1.检验：当x=-1时，(x十1)(x-1)=0.因此x =-1不是原分式方程的解，所以，原分式方程无解；(4)方程两边乘6(x一2)，得3(5x -4)=2(2x十5)-3(x-2).解得x=2.检验：当x=2时，6(x-2)=0.因此，x=2不是 原分式方程的解，所以，原分式方程无解、解：是-一3一1》=2，解得=3。 检验：当x=3时，2x一1D≠0.所以x=3是此方程的解，把x=3代入异公·得 3异-号解得m-÷m-2m-(号)-2×号-一得10解：设平常的速度 是xkm根据题意，得20十2=5.解得=60，经检验=60是原分式方程的解. 且符合题意.4×60=240(km).答：小强家到奶奶家的距离是240km.11.解：(1)设 乙队单独做需要ú天才能完成任务，根据题意，得碧十（品十）×20=1解得a= 100.经检验，a=100是原分式方程的解，且符合题意.答：乙队单独做需要100天才能 完成任务，(2)根据题意，得看十=1，x<15,y<70,且x,y为正整数，y=100- 5 x<70,则x>12,…12<x<15.”x,y都是正整数，x=13或14.当x=13时，y= 100-号=67.5不是整数，应舍去，当x=14时y=100-号x=65,符合条件，答：甲 队做了14天，乙队做了65天. 期末复习综合测试（一） 1.C2.A3.B4.B5.A6.B7.D8.B9.5×10”10.x(y+3)211.1<x <312.(1)45°(2)413.解：(1)原式=8a-7a5十a°=2a°；(2)原式=x2+2xy+ y2-(x2-2xy十y2)=x2十2xy十y2-x2十2xy-y=4xy:(3)方程两边乘(x+3)(x 3),得x(x十3)-(x-3)=(x十3)(x-3).解得x=-6.检验：当x=-6时，(x十3)(x -)≠0，所以，原分式方程的解为=-6：(40原式=（昌-。马）÷ a-1 ,14.解：(1)如图，AM即为所求： (2)如图：(3)如图，：AB=AC,∴∠B=∠3.：AM平分∠DAC, ∴∠1=∠2.：∠DAC=∠B+∠3=∠1+∠2，∴.2∠3=2∠1，∴.易得∠B=∠2=∠3 =∠1.：EF垂直平分AC,∴.EA=EC,.∠3=∠EAC,∴∠EAC=∠1.：∠1十∠2 十∠EAC+∠BAE=180°，∠BAE=36°，.∠1+∠1+∠1+36°=180°，即3∠1+36 =180∴∠1=合×(180-36)=48，∠B=48.15.证明：(1)：FG1AC, ∴∠FGA=90°=∠C,∠FAG+∠F=90°.AF⊥AE,∴.∠FAE=90°，.∠FAG+ ∠F=∠CAE, ∠CAE=90°，∴.∠CAE=∠F.在△AGF和△ECA中，∠AGF=∠ECA,.△AGF≌ AF-EA, △ECA(AAS);(2)由(1)知△AGF≌△ECA,.FG=AC=BC.在△FGD和△BCD中， ∠FGD=∠BCD, ∠FDG=∠BDC,∴.△FGD≌△BCD(AAS),∴.DG=CD.:'AD=3CD,AG=AD FG=BC, -DG=AD-CD=3CD-CD=2CD,AC=AD+CD=3CD+CD=4CD,..BC=AC= 4CD,CE=AG=2CD,∴.BC=2CE,即E为BC的中点. 第52页（共60页） 期末复习综合测试（二） 1.D2.A3.D4.D5.D6.B7.A8.C9.6×10-610.-111.412.20° 13.解：(1)原式=a2-9-a-a=-9-a;(2)方程两边乘2(x十1)，得3=2x+2-2.解 得x=子，检验：当x=号时，2(x十1)≠0，所以，原分式方程的解为x=号.14.解：原 式-[-]品[希少]抖= x+1 x-1x十1 中-号当=2时，原式-岩815期：设B种京每每千克的选价为 x元，则A种草莓每千克的进价是2x元.根据题意，得3,00_1000-100.解得x=5. 2x x 经检验，x=5是原分式方程的解，且符合题意.答：B种草莓每千克的进价为5元； (2)该水果店购进A种草莓3000÷(2×5)=300(kg),该水果店购进B种草莓1000÷ 5=200kg.根据题意，得(16-2X5)X2m+号×16-2X5)×(300-2m)+9-5)m 十之×(9-5)(200-m)≥230.解得m≥125.答：m的最小值为125.16.解： (1):∠ACB=90°，∠B=60°，∴.∠BAC=30°.：AD,CE分别是∠BAC和∠ACB的平 分线，·∠DAC=2∠BAC=15,∠ECA=∠ACB=45,·∠EFA=∠DAC+ ∠ECA=15°十45°=60°：(2)如图，在AC上截取AG=AE,连接FG.AD是∠BAC的 平分线，CE是∠ACB的平分线，.∠EAF=∠GAF,∠DCF=∠GCF.在△EAF和 AE=AG, △GAF中，∠EAF=∠GAF,.△EAF≌△GAF(SAS),.EF=GF,∠EFA= AF=AF, ∠GFA=60°，：∠AFC=180°-∠EFA=180°-60°=120°，.∠GFC=∠AFC- ∠AFG=120°-60°=60°.：∠DFC=∠EFA=60°，∠GFC=∠DFC,又：CF=CF, ∠DCF=∠GCF,∴△FDC≌△FGC(ASA),∴.DF=GF,∴.EF=DF;(3)EF=DF仍 然成立.理由如下：如图，在AC上截取AH=AE,连接HF.:∠AFE=∠FAC十 ∠FCA=号（∠BAC+∠ACB)=合(180-∠B)=合×180-60）=60，同(2)可得 △EAF≌△HAF,△FHC≌△FDC,∴.DF=HF=EF,即EF=DF. 图( 图② 随堂反馈答案 第十三章三角形 13.1三角形的概念 1.B2.D3.3△ABC或△ABD4.(1)△ABC,△ACE,△ABD(2)△ABC, △BOC,△BCD,△BCE(3)BC5.③⑤①④⑥②⑦ 13.2与三角形有关的线段 13.2.1三角形的边 1,A2.D3,D4.55.5<x<96.解：(1)c的取值范围为2<c<10:x的取值范 围为12<x<20:(2)①：x是小于18的偶数，x=16,或x=14,当x=16时，c=6;当 x=14时，c=4;②当c=6时，b=c,△ABC为等腰三角形；当c=4时，a=c,△ABC为 等腰三角形.综上所述，△ABC是等腰三角形。 第53页（共60页） 13.2.2三角形的中线、角平分线、高 1.B2.A3.(1)高(2)角平分线(3)中线4.(1)CEBC(2)∠CAD∠BAC (3)∠AFC 13.3三角形的内角与外角 13.3.1三角形的内角 第1课时三角形的内角 1.A2.D3.B4.50°5.60°6.解：∠ABC=42°，∠A=60°，.∠ACB=180°- ∠ABC-∠A=180°-42°-60°=78°.，∠ABC,∠ACB的平分线相交于点F, ∠FBC=合∠ABC=合×42-2，∠FCB=合∠ACB=寸X78=39,∠BFC =180°-∠FBC-∠FCB=180°-21°-39°=120°. 第2课时直角三角形中两个锐角的关系 1.B2.C3.63°4.①②③5.解：(1)45°(2)在△ABC中，∠ACB=180°-∠A- ∠B=180-30-60=90.:CE平分∠ACB,∠BCE=∠ACE=∠ACB=45 CD⊥AB,.∠CDB=90°.在Rt△CDB中，∠DCB=90°-∠B=90°-60°=30°， .∠FCD=∠BCE-∠DCB=45°-30°=15°.在△CDF中，∠FCD+∠CDF=15°+ 75°=90°，∴∠CFD=90°，∴.△CDF是直角三角形. 13.3.2三角形的外角 1.D2.B3.80°4.150°5.解：(1)：∠ACD是△ABC的一个外角，∠A=35°， ∠ACD=83°，∠B=∠ACD-∠A=83°-35°=48°；(2)：∠AFE是△BDF的-个 外角，∠B=48°，∠D=42°，∴.∠AFE=∠B+∠D=48°十42°=90. 第十四章全等三角形 14.1全等三角形及其性质 1.A2.A3.54.60°5.解：(1)：△ACE≌△DBF,∠A=∠D,∴.AE∥DF; (2).△ACE≌△DBF,.AC=DB=6,.CD=BD-BC=6-4=2,.AD=AC+CD =6+2=8. 14.2三角形全等的判定 第1课时用“SAS”判定三角形全等 1.D2.105°3.④4.解：(1)不认同，按小明添加的条件，就是用“边边角”证明全等， 不满足证明全等三角形的条件；(2)AO=BO.证明如下：：点P在∠AOB的平分线上， AO=BO, .∠AOP=∠BOP.在△AOP和△BOP中，∠AOP=∠BOP,.△AOP≌ PO=PO, △BOP(SAS). 第2课时用“ASA”或“AAS”判定三角形全等 1.C2.D3.D4.证明：ED⊥AB,.∠ADE=90°.又∠ACB=90°，∠ADE= (∠A=∠A, ∠ACB.在△ABC和△AED中，∠ACB=∠ADE,∴.△ABC≌△AED(AAS).∴.AE BC=ED, =AB,AC=AD,..AE-AC=AB-AD,CE=DB. 第3课时用“SSS”判定三角形全等 (AB=DB, 1.C2.C3.65°4.AB∥DE5.解：在△ABC和△DBC中，AC=DC,.△ABC CB=CB, ≌△DBC(SSS).∴.∠A=∠D,∠ACB=∠DCB,∠ABC=∠DBC,.∠ABE= 第54页（共60页） ∠DBE.∠A=25°，∠BCD=35°，∴.∠ACB=∠BCD=35°，∴.∠ABE=∠A+∠ACB =25°+35°=60°，.∠ABD=∠ABE+∠DBE=2∠ABE=2×60°=120°. 第4课时尺规作图 1.解：(1)要从模具片中度量出边BC的长度、∠B及∠C的大小，就可以到店铺加工一 块与原来的模具△ABC的形状和大小完全相同的△A'B'C'模具.因为两角及夹边对应 相等的两个三角形全等：(2)如图. 2.(1)同位角相等，两直线平行 B'L (2)沿点P所在直线折叠，使点B落在直线a上，折痕为CD把纸片展平，继续沿点P 所在直线折叠，使点C落在折痕CD上，此时折痕为EF把纸片展平，沿折痕画直线 EF在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 第5课时用“HL”判定直角三角形全等 1.D2.B3.①@③4.证明：：DE⊥AC,BF⊥AC,∴.∠AFB=∠CED=90°.在 AB=CD, Rt△ABF和Rt△CDE中， .Rt△ABF≌Rt△CDE(HL).,.∠BAF= BF-DE, ∠DCE,.AB∥CD. 14.3角的平分线 第1课时角的平分线的性质 1.C2.C3.5:34.证明：，D为BC的中点，.BD=CD.在△ABD和△ACD中， AB=AC, BD=CD,∴.△ABD≌△ACD(SSS).∴.∠BAD=∠CAD,.AD为∠BAC的平分线. AD=AD, ,DE⊥AB,DF⊥AC,∴.DE=DF. 第2课时角的平分线的判定 1.A2.125°3.40°4.证明：过点D作DE⊥AB,DF⊥BC,DG⊥AC,垂足分别为 E,F,G.BD平分∠ABC,.DE=DF.同理可得DF=DG,.DE=DG,.点D在 ∠BAC的平分线上，.∠BAD=∠CAD. 第十五章轴对称 15.1图形的轴对称 15.1.1轴对称及其性质 1.D2.D3.A4.185.70°6 15.1.2线段的垂直平分线 第1课时线段垂直平分线的性质与判定 1.A2.63.证明：过点D作DE⊥AB于点E,则∠AED=90°.：∠C=90°， ∴∠AED=∠C.,AD平分∠BAC,.∠EAD=∠CAD.在△AED和△ACD中， ∠AED=∠C, ∠EAD=∠CAD,∴.△AED≌△ACD(AAS),∴AE=AC.AB=2AC,∴.AB= AD=AD, 2AE.,AB=AE+BE,.AE+BE=2AE,.BE=AE.又DE⊥AB,∴.DE是线段 AB的垂直平分线，即点D在线段AB的垂直平分线上. 第2课时线段垂直平分线的有关作图 1.A2.解：(2)(3)是轴对称图形，对称轴如图 (2) (3 第55页（共60页） 3.解：如图，直线11，l2即为所求作的对称轴 (1) (2) 4.解：如图，作线段AB的垂直平分线交BC于点P,交AB于点D,点P即为所求作的 点.理由如下：由作图知PD为AB的垂直平分线，连接AP,则AP=BP,∴.PA十PC= BP+PC=BC 15.2画轴对称的图形 第1课时画轴对称的图形 1.解：如图 2.解：(1)如图，△DEF'即为所求作的图形；(2)如 图，DM即为边EF上的高：(3)△DEF的面积为2X3X2=3. 第2课时用坐标表示轴对称 1.A2.A3.-2<a<2 15.3等腰三角形 15.3.1等腰三角形 第1课时等腰三角形的性质 1.C2.A3.B4.90°1.55.36°6.证明：AB=AC,BD=CD,AD的延长线交 BC于点E,AE垂直平分BC,即DE⊥BC.又，BD=CD,.DE平分∠BDC. 第2课时等腰三角形的判定 1.D2.23.1404.证明：.AE∥BC,.∠DAE=∠B,∠CAE=∠C..AE平分 ∠DAC,∠DAE=∠CAE,∴∠B=∠C,.AB=AC,∴△ABC是等腰三角形. 5.解：△OEF是等腰三角形.理由如下：BE=CF,∴BE十EF=CF十EF,即BF= ∠A=∠D, CE.在△ABF和△DCE中，∠B=∠C,.△ABF≌△DCE(AAS),∴.∠AFB= BF=CE, ∠DEC,∴.OE=OF,∴△OEF是等腰三角形 15.3.2等边三角形 第1课时等边三角形的性质与判定 1.D2.C3.C4.60°5.证明：△ABC是等边三角形，AB=BC=CA,∠A= ∠B=∠C=60°.：AD=BE=CF,∴.AB-AD=BC-BE=CA-CF,即AF=BD= CE.I∠A=∠B=∠C,.△ADF≌△BED≌△CFE(SAS),∴.DF=ED=FE, ∴.△DEF是等边三角形. 第2课时含30°角的直角三角形的性质 1.C2.B3.D4.85.证明：连接BE.:在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°， ∴.∠ABC=90°-∠A=90°-30°=60°.：DE是AB的垂直平分线，.AE=BE, ∴∠ABE=∠A=30°，∴.∠CBE=∠ABC-∠ABE=60°-30°=30°，.在Rt△BCE 中，BE=2CE,.AE=2CE 第56页（共60页） 综合与实践最短路径问题 1.B2.10°3.解：如图，作点E关于BC的对称点E',连接FE,交BC于点M,连接 EM,EF,则点M即为所求作的点， 4.解：如图.①作点A关于1的对 称点A1,再作点A关于l2的对称点A2:②连接A1A2,交1于点D,交l2于点E,连接 AD,AE.此时AD+DE十EA最小. 第十六章整式的乘法 16.1幂的运算 16.1.1同底数幂的乘法 解：(1)原式=y2·y-1=y2+a-1=y+":(2)原式=32++5=3；(3)原式= (合)】 =-(宁)'=：(4)原式=d(-a)(-a)=a+1=:6)原 2十吊十4 式=32X3"X33X3”=32+m+3+m=32+5:(6)原式=x8·(-x3)-x2·(-x)=-x· x3十x2·x2=-x+x=0;(7)原式=(x-2y)·(x-2y)3·(x-2y)1=(x- 2y)1+3+4=(x-2y):(8)原式=-x·x2·x2m+1-x2m+2·x2=-x2m+1+2+1-x2m+2+2 =一x2m+4-x2m+4=-2x2n+4. 16.1.2幂的乘方与积的乘方 1.解：(1)原式=-a2×3=-a;(2)原式=y8十y·y2=y8+y=2y;(3)原式=(m n)2·(m-n)15=(m-n)7.2.解：(1)原式=（-5)3a3b3=-125a363;(2)原式= (-1)2x2mym=x2mym;(3)原式=4x2十9x2-4x2=9x2.3.解：(1)原式=[0.125X （一8]“=(-1)“=12原武=()×（得）=（是×号）×号-1× 025 021 号=1x号-是：(3)原式=(3×()广=×()=9×[9x()门 9×(-1)8=9×1=9. 16.2整式的乘法 第1课时单项式与单项式相乘 解：(1)原式=-8xy2;(2)原式=3m2·4n=12m;(3)原式=a26c8·(-a6)= -abc;(4)原式=8a26-4a26=4a26. 第2课时单项式与多项式相乘 解：(1)原式=-6a36十3a6;(2)原式=4mn2·(6mn-1)=24m3n3-4mn2;(3)原 式=-子a6+a6-子b:(0原式=ry(22-4y+7)=号ry-9ry + 第3课时多项式与多项式相乘 解：(1)原式=-12xy2+16x2-9y+12xy2=16x2-9y:(2)原式=20y-4y2-5+y =-4y2+21y-5;(3)原式=6x3-4x2-2x十3x2-2x-1=6x3-x2-4x-1:(4)原式 =a3+a2b+a6-a2b-a6-b3=a3-b3. 第4课时同底数幂的除法 解：(1)原式=a;(2)原式=-（y-x)÷(y-x)3=-(y-x)2;(3)原式=x";(4)原式 =x·x=x, 第57页（共60页）