模型构建专题 探究与三角形角平分线相关的结论&重点突破专题&数学活动-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年新教材八年级上册数学（人教版2024 广西专版）

模型构建专题 探究与三 类型1两内角平分线的夹角 模型归纳 条件：如图，在△ABC中，BO,CO分 别平分∠ABC和∠ACB. 结论：∠B0C=90+∠A. 1.(教材P习题T,变式)如图，在△ABC中， ∠ABC和∠ACB的平分线BF,CE相交于 点G (1)若∠ABC=50°，∠ACB=70°，则∠BGC 的度数为 (2)若∠A=50°，则∠BGC的度数为； (3)求证：∠BGC=90+号∠A 类型2一内角平分线与一外角平分线 的夹角 模型归纳 条件：如图，BD,CD分别是△ABC的 内角∠ABC和外角∠ACE的平分线。 结论：∠D=号∠A, 2.如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线， CE是外角∠ACM的平分 线，BE与CE相交于点E.若 ∠A=60°，则∠E的度数B 为 角形角平分线相关的结论 3.如图，点P是△ABC的内角∠ABC和外角 ∠ACD的平分线的交点，试探究∠P与∠A 之间的数量关系. 类型3两外角平分线的夹角 模型归纳 条件：如图，BD,CD分别是△ABC 的外角∠EBC和∠BCF的平分线. 结论：∠BDC=90°- ∠A 4.如图，点P是△ABC的两个外角∠EBC, ∠FCB的平分线的交点，试探究∠P与∠A 之间的数量关系. 第十三章三角形10 重点突破专题三角形的 类型1三角形中两条高的夹角 1.如图，在△ABC中，CD,BE分别是AB,AC 边上的高，BE,CD相交于点O. (1)若∠ABC=50°，∠ACB=60°，求∠BOC 的度数： (2)求证：∠BOC+∠A=180°， 类型2三角形同一条边上的高与角平 分线的夹角 2.如图，AD,AE分别是△ABC的角平分线和高 (1)若∠B=50°，∠C=60°，则∠DAE的度 数为； (2)若∠C>∠B,求证：∠DAE=(∠C B). 11名师测控·数学Ⅱ八年级上册 重要线段之间的夹角问题 【变式1】如图，已知在△ABC中，∠B<∠C, AD平分∠BAC,E为线段AD(除去端点A, D)上一动点，EF⊥BC于点F. (1)若∠B=40°，∠DEF=10°，则∠C的度数 为 (2)当E在AD上移动时，∠B,∠C,∠DEF之 间存在怎样的数量关系？请写出这个数量 关系，并说明理由 【变式2】如图，在△ABC中，∠1=∠2，∠C> ∠B,E为AD延长线上一点，且EF⊥BC于点F (1)若∠B=40°，∠C=60°，则∠DEF的度数 为 (2)由解答(1)的过程，试探索∠DEF与∠B, ∠C的数量关系，并说明理由. 数学活动 1.“转化”是数学中的一种重要思想方法，同学5.（教材P活动2变式） 们在研究多边形（边数大于3）的内角和度数 时，通常是将多边形的内角和转化为三角形 的内角和来解决，从而化陌生的问题为熟悉 图① 图② 的情境来解决问题.现从某n边形(n>3)一 (1)要用三角形内角和定理证明四边形的内 边上的一点（不包含端，点）出发，依次连接多 角和等于360°，只要将四边形分成几个 边形的各个顶点，分割得到的所有三角形的 三角形即可. 内角和是1080°，则n的值为 如图①，连接对角线AC,则四边形ABCD A.5 B.6 C.7 D.8 被分成△ABC,△ACD两个三角形， 2.用六根长度相等的火柴棒搭等边三角形，最 由此可得∠BAD十∠B+∠BCD+∠D= 多搭成 个 ∠1+∠2+∠B+∠3+∠4+∠D 3.在同一平面内，用若干根同样长的火柴棒搭 (∠2+∠B+∠4)+（∠1+∠3+∠D). 4个同样大小的等边三角形，至少需要火柴 .∠2+∠B+∠4=180°，∠1+∠3+ 棒 根 ∠D=180°， 4.按如图所示方法搭等边三角形： .∠BAD+∠B+∠BCD+∠D=360°. △△ 这个问题运用的数学思想是 1个 2个 (2)继续推导五边形和六边形的内角和各是 (1)搭5个三角形需多少根火柴棒？ 多少？从五边形、六边形其中一个顶点 (2)搭n个三角形需多少根火柴棒？ 出发可以把多边形分成若干个三角形， 从而得到各自的内角和，这里运用的数 学思想是 (3)如图②，从五边形一个顶点出发，可以作 2条对角线，它们将五边形分成3个三角 形，五边形的内角和等于180°×3；从六 边形的一个顶点出发，可以作3条对角 线，它们将六边形分成4个三角形，六边 形的内角和等于180°×4；那么从n边形 一个顶点出发，可以作 条对角 线，它们将n边形分成 个三角 形，n边形的内角和等于 这里运用的数学思想是 第十三章三角形12参考答案 正文答案 第十三章三角形 13.1三角形的概念 基础过关 1.B2.(1)5△ABE,△BEC,△ABC,△DCE,△BCD(2)∠DCD(3)BC (4)ABBE3.B4.B5.36.41 能力提升 7.C8.B9.解：(1)图中共有5个三角形；(2)△ACE,△DCE,△BCE;(3)△DBE与 △CBE,△BAC与△CBE,△DBE与△BAC 13.2与三角形有关的线段 13.2.1三角形的边 弥 基础过关 1.A2.B【变式3（答案不唯一）3.小EF+EG>FG4.A5.C6.稳定 能力提升 7.D8.5<c<139.解：由于B,C两处可以转动，当A,B,C,D形成一条线段时，AD 最长，它等于AB十BC+CD=1十2+5=8(cm):当A,B,C拉直，B,A落在CD上时， AD最短，它等于CD-AB-BC=5-1-2=2(cm).答：这根橡皮筋的最大长度为 8cm,最短长度为2cm. 畅 13.2.2三角形的中线、角平分线、高 新知梳理 ①三角形的重心②角平分线 ③三角形的高内部两条直角外部延长线上 封 例题引路 【例】(1)35°(2)25°(3)3 基础过关 1.B2.BCBC S△AcDS△Ax63.B4.31°5.D6.AD⊥BC ADC90 号BC·AD7.6 能力提升 8.D9.110.解：(ID:AD1BC,AD=6,△ABC的面积为24，∴SA=号BC·AD 号BCX6=24,BC=8.:AE是边BC上的中线，CE=BE=BC=4:(2②)：点 0F为AB的中点，AF=BF,∴CAEF-C△F=(AE+AF+EF)-(BE+BF+EF)= AE-BE=7-4=3,即△AEF与△BEF的周长差为3. 思维拓展 11.解：(1)当点D是BC的中点时，DE=DF,证明如下：连接AD.由点D为BC的中 点，易得SaD=SAD,即号AB,DE=AC·DR,:AB=AC.DE=DF,(2)CG =DE+DR理由如下：连接AD.:SaAx=SADB十Sx,号AB·CG=号AB·DE 十号AC·DR.:AB=AC,“CG=DE+DP,【延伸设问】7【规律总结】等于等于 13.3三角形的内角与外角 13.3.1三角形的内角 第1课时三角形的内角 新知梳理 180° 第1页（共60页） 例题引路 【例1】解：设∠A=x°，则∠B=3x°，∠C=5x°.依题意，得x十3x十5x=180,解得x= 20,则3x=60,5x=100,∠A=20°，∠B=60°，∠C=100°.【例2】解：AD平分 ∠BAC,∴∠BAC=2∠BAD.∠BAC+∠B+∠C=180°，∠B=3∠BAD,∠C=90°， .2∠BAD+3∠BAD+90°=180°，∴.∠BAD=18°，.∠B=3∠BAD=54. 基础过关 1.B2.C3.D4.40°5.C6.160 能力提升 7.B8.130°9.解：(1)DE∥BC.理由如下：HF∥CD,.∠DCB+∠FHC=180°. ∠FHC+∠CDE=l80°，∴.∠DCB=∠CDE,.DE∥BC;(2)DE∥BC,.∠DEC +∠ECB=180°..∠ACD=35°，∠DEC=∠DCB+45°，.∠DCB+45°+35°+ ∠DCB=180°，∴.∠DCB=50°，∴.∠EDC=∠DCB=50°.DE平分∠ADC,∴∠ADE =∠EDC=50°.，DE∥BC,∴∠B=∠ADE=50°. 思维拓展 10.解：(1)AB∥CD.理由如下：，EM平分∠AEF交CD于点M,∴∠AEM=∠MEF, ∠MEF=∠FME,∴.∠AEM=∠FME,AB∥CD:(2)①：AB∥CD,∴.∠BEG= ∠EGH=B=60°，∴.∠AEG=120°.：EM平分∠AEF,EH平分∠FEG,∴.∠AEM= ∠MEF,∠HEF=∠HEG,∠HEN=∠MEF+∠HEF=合∠AEG=6O,:HNL EM.∠HNE=90a=∠EHN=90-∠HEN=90-60=30:②猜想：a=月 或a=90°-令A理由如下：I.当点G在点F的右侧时，：AB∥CD,∠BEG= ∠EGH=B,∴.∠AEG=180°-R.:∠AEM=∠MEF,∠HEF=∠HEG,.∠HEN= ∠MEF+∠HEF=号∠AEG=90°-R:HN⊥EM,∠HNE=90,a= ∠EHN=90°-∠HEN=90°-（90°-B)=AⅡ，当点G在F的左侧时，同法可 得a=90-子A综上所述，。=8或a=90-名A 第2课时直角三角形中两个锐角的关系 基础过关 1.B2.C3.22.5°4.C5.证明：AB⊥BD,ED⊥BD,∴.∠ABC=∠CDE=90°， .∠ACB+∠BAC=90°，∠CED+∠DCE=90°.：∠ACB=∠CED,.∠BAC= ∠DCE,∠ACB+∠DCE=90°，.∠ACE=180°-（∠ACB+∠DCE)=180°-90°= 90°.△ACE是直角三角形. 能力提升 6.A7.解：：AB∥CD,∠BEF+∠DFE=180°.：EP为∠BEF的平分线，FP为 ∠EFD的平分线∠PEF=是∠BEF,∠PFE=是∠DFE,·∠PEF+∠PFE= 合（∠BEF+∠DFE)=90∠P=90,△EDF为直角三角形.8.解：1）∠1= ∠2.理由如下：：CE⊥AB,AD⊥BC,∠CEB=∠ADB=90°，∴∠2+∠B=90°，∠1 十∠B=90°，∴∠1=∠2；(2)(1)中的结论仍然成立.理由如下：，AD⊥BC,CE⊥AB, ∴.∠D=∠E=90°，∴.∠2+∠ABD=90°，∠1+∠CBE=90°.又：∠ABD=∠CBE, ∠1=∠2. 13.3.2三角形的外角 新知梳理 ①三角形的外角②(2)与它不相邻(3)360° 第2页（共60页） 例题引路 【例1】D【例2】解：：∠B=40°，∠ACB=60°，∴.∠BAC=180°-∠B-∠ACB=180 -40-60=80.:CE是∠ACD的平分线，∠DCE=∠ACD.:∠ACD=180 ∠ACB=180°-60°=120°，.∠DCE=60°，.∠E=∠DCE-∠B=60°-40°=20°. 基础过关 1.∠ACD2.C【变式】A3.C4.605.85°6.解：AD是BC边上的高线， .∠ADB=90°，∴.∠CBE=∠EPD-∠ADB=120°-90°=30°.：BE平分∠ABC, ..∠ABC=2∠CBE=2X30°=60°. 能力提升 7.C8.C9.解：∠B=42°，∠DFE=73°，∴∠FEB=∠DFE-∠B=73-42= 31°.：EF平分∠DEB,∴.∠DEB=2∠FEB=2X31°=62°，：DE∥AC,.∠C= ∠DEB=62°.：∠A+∠B+∠C=180°，∴.∠A=180°-∠B-∠C=180°-42°-62°= 76° 思维拓展 10.解：(1)C(2)∠1+∠2=∠A+180°.理由如下：：∠1=∠A+∠AEF,∠2=∠A +∠AFE,.∠1+∠2=∠A十∠AEF+∠A十∠AFE.又：∠A+∠AEF+∠AFE= 180°，∠1十∠2=∠A十180°：(3)∠1十∠2=2∠A理由如下：：△EFP是由△EFA 折叠得到的，∠AFE=∠PFE,∠AEF=∠PEF,.∠1=180°-2∠AFE,∠2=180 -2∠AEF,.∠1+∠2=360°-2（∠AFE+∠AEF).又：∠AFE+∠AEF=180° ∠A,∴.∠1+∠2=360°-2(180°-∠A)=2∠A. 模型构建专题探究与三角形角平分线相关的结论 1.解：(1)120°(2)115°(3)：BF平分∠ABC,CE平分∠ACB,.∠CBG= ∠ABC,∠BCG=∠ACB,·∠BGC=180-(∠CBG+∠BCG)=180 号（∠ABC+∠ACB.:∠ABC+∠ACB=180°-∠A,∠BGC=180°-(180°- ∠A)=90+号∠A.2.30°3.解：BP平分∠ABC,∠PBC=号∠ABC.:CP 平分∠ACD,∠PCD=∠ACD.:∠ACD=∠ABC+∠A,∠PCD=∠PBC+ ∠P,∴∠P=∠PCD-∠PBC=∠ACD-∠ABC=(∠ACD-∠ABC)= 合∠A:即∠P=子∠A.4.解：∠EBC=∠ACB十∠A,∠FCB=∠ABC+∠A, .∠EBC+∠FCB=∠ACB+∠A+∠ABC+∠A=180°+∠A.:BP,CP分别是 ∠EBC,∠FCB的平分线，∴.∠PBC=号∠EBC,∠PCB=Z∠FCB,·∠PBC+ 1 ∠PCB=合（∠EBC+∠FCB)=合(180+∠A)=90+号∠A,∠P=180° (∠PBC+∠PCB)=180-(90+2∠A)=90°-∠A,即∠P=90°-∠A 重点突破专题三角形的重要线段之间的夹角问题 1,解：(1)：CD⊥AB,BE⊥AC,.∠BDC=∠BEC=90°.：∠ABC=50°，∠ACB= 60°，.∠BCD=90°-∠ABC=90°-50°=40°，∠CBE=90°-∠ACB=90°-60°=30°， .∠BOC=180°-∠BCD-∠CBE=180°-40°-30°=110°；(2)，∠BDC=∠BEC= 90°，.∠ABE=90°-∠A,.∠BOC=∠ABE+∠BDC=90°-∠A+90°=180°- ∠A,.∠BOC+∠A=180°，2.解：(1)5°(2)：AE是△ABC的高，.∠AEC=90°， ∠EAC=90°-∠C.:AD是△ABC的角平分线，∠DAC=号∠BAC.:∠BAC= 第3页（共60页） 180-∠B-∠C,∠DAC=2180-∠B-∠C0=90-∠B-∠C,÷∠DAE =∠DAC-∠EAC=90-名∠B-名∠C-(90-∠C)=号（∠C-∠B.【变式】 解：(1)60°(2)∠DEF=令（∠C-∠B).理由如下：EF⊥BC,·∠DEF=90°- ∠EDF.:AD平分∠BAC,∠BAD=∠BAC,·∠EDF=∠B+∠BAD=∠B+ 号∠BAC.又：∠BAC=180-∠B-∠C,∠EDF=∠B+合180-∠B-∠C) 90+7∠B-∠C.∠DEF=90-(90+号∠B-∠C)=2(∠C-∠B. 【变式2】解：110°(2)∠DEF=(∠C-∠B.理由如下：∠BAC=180-∠B ∠C,∠1=∠2，∴∠2=克∠BAC=3180-∠B-∠C),∠ADB=∠2+∠C= (180°-∠B-∠C+∠C=90°-号∠B+号∠C.EF1BC,∠EFD=90, ∴∠DEF=∠ADB-∠EFD=(90°-号∠B+号∠C)-90=号（∠C-∠B). 数学活动 1.C2.83.94.解：(1)搭1个三角形，需3根火柴棒；搭2个三角形，需5=3+2根 火柴棒：搭3个三角形，需7=5十2=3十2×2根火柴棒；∴.搭5个三角形需3十4×2= 11(根)火柴棒：(2)由(1)得出，搭n个三角形需3+2(n-1)=2n十1（根）火柴棒. 5.(1)转化思想(2)类比思想(3)(n-3)(n-2)180°×（一2）从特殊到一般 第十三章整合与提升 高频考点突破 1.A2.B3.B4D5.A6A7.D8解：(1)S=BC·AF=×10X6 =30:2:Sa度=号AC·BGAC-2-2X30-12:(3:AD为△ABC的中 BG 5 线，.S△ABD=S△D.9.B10.C1L.100°12.解：(1)：∠A=70°，∠ABC=50°， ∴.∠C=180°-∠A-∠ABC=180°-70°-50°=60°；(2)△BDC为直角三角形.理由如 下：：DE∥BC,∠BDE=30°，∠CBD=∠BDE=30°.由(1)得∠C=60°，.∠BDC= 180°-∠CBD-∠C=180°-30°-60°=90°，.△BDC为直角三角形.13.解：(1)90° 或110°(2)BP,CP分别是∠ABC的“邻AB三分线”和∠ACB的“邻AC三分线”， ∴∠PBC=号∠ABC.∠PCB=号∠ACR.:BP1CP,∠P=9O,即∠PBC+ ∠PCB=90,号∠ABC+号∠ACB=90,∠ABC+∠ACB=135,∠A=180 -∠ABC-∠ACB=180°-（∠ABC+∠ACB)=180°-135°=45：(3）∠BPC=号m 2 或∠BPC=方m-子n或∠BPC=号m十n或∠BPC=专m: 易错易混专攻 1.60°或10°2.8或16 常考题型演练 1.C2.22°3.解：(1)：AE是△ABC的高，.∠AEC=90°，.∠EAC+∠C=90. ∠C=60°，∠EAC=90°-60°=30°；(2)∠BAC=70°，AD是∠BAC的平分线， ∠CAD=∠BAD=号∠BAC=35,∠DAE=∠CAD-∠EAC=35°-30=5， 4.解：【推理证明】∠4∠3∠A十∠3十∠4十∠A【初步应用】(1)50°(2)：BP, 第4页（共60页） CP分别为外角∠DBC,∠ECB的平分线，∠PBC=∠DBC,∠PCB=号∠BCE, ∴.∠P=180°-（∠PBC+∠PCB)=180°-号（∠DBC+∠BCE).由【推理证明】可知 ∠DBC+∠BCE=180°+∠A,∠P=180-2(180°+∠A)=90°-合∠A:【拓展延 升】(3)延长BA,CD交于点M.:∠BAD+∠ADC=230°，∠BAD十∠ADC=180°+ ∠M.∠M=∠BAD+∠ADC-180=230-180=50,∠P=90°-号∠M=90 -7×50=65 第十四章全等三角形 14.1全等三角形及其性质 新知梳理 ①全等形全等三角形②对应顶点对应边对应角③相等相等 例题引路 【例1】△CBD CB BD∠CDB【例2】解：AD⊥BC.理由如下：：'△ABD≌ △ACD,·∠ADB=∠ADC.又·∠ADB+∠ADC=180°，∴.∠ADB=∠ADC=90°， .AD⊥BC 基础过关 1.A2.≌∠A'∠A'B'C∠CAB与A'B',BC与B'C',AC与A'C'3.C 4.B5.解：(1)，△ABD≌△EBC,BD=BC=5cm,BE=AB=2cm,∴.DE=BD BE=5-2=3(cm);(2)DB与AC垂直.理由如下：：△ABD≌△EBC,∴∠ABD= ∠EBC.又：A,B,C三点在一条直线上，∴∠ABD十∠EBC=180°，即2∠EBC=180°， ∠EBC=90°，.DB与AC垂直， 能力提升 6,B7.D865°9.解：△ABC≌△ADE.∠BAC=∠DAE=(∠EAB ∠CAD)=号X(120°-10)=55°，：∠DFB是△FAB的外角，∠DFB=∠FAB+ ∠B=∠FAC+∠CAB+∠B=10°+55°+25°=90°.，∠DFB是△GDF的外角， ∴.∠DGB=∠DFB-∠D=90°-25°=65°.10.解：(1)四边形ABCD≌四边形 AEFG,△AFG≌△FAE≌△ACD≌△CAB:(2):△FAE≌△ACD,∴.AF=AC, ∠FAE=∠ACD.:四边形ABCD是长方形，∴∠ADC=90°，.∠ACD十∠CAD= 90°，∴.∠FAE十∠CAD=90°，即∠FAC=90°，∴△AFC是等腰直角三角形. 思维拓展 11.解：(1)BD=DE十CE.理由如下：△BAD≌△ACE,∴.BD=AE,AD=CE.BD =AE=AD+DE=CE十DE,即BD=DE+CE;(2)△ABD满足∠ADB=90°时，BD∥ CE.理由如下：BD∥CE,.∠E=∠BDE.△BAD≌△ACE,∠ADB=∠E, ∴.∠ADB=∠BDE.∠ADB+∠BDE=180°，即2∠ADB=180°，∠ADB=90°. 14.2三角形全等的判定 第1课时用“SAS”判定三角形全等 新知梳理 ①全等边角边SAS②不一定 例题引路 AO=CO, 【例1】证明：在△AOD和△COB中，∠AOD=∠COB,.△AOD≌△COB(SAS), OD=OB. 第5页（共60页） (AD=BC, .∠D=∠B.【例2】证明：在△ADB和△BCA中，∠DAB=∠CBA,.△ADB≌ AB=BA. △BCA(SAS),∴.AC=BD. 基础过关 1.D2.AD=AE(答案不唯一)3.证明：：∠BAE=∠CAD,∴.∠BAE十∠CAE= AB=AE, ∠CAD+∠CAE,即∠BAC=∠EAD.在△ABC和△AED中， ∠BAC=∠EAD, AC-AD. ∴.△ABC≌△AED(SAS).4.100°5.266B 能力提升 7.B8.140°9.证明：(1)AC=2AB,点D是AC的中点，∴.AB=AD=CD.由题意， 得AE=DE,∠EAD=∠EDA=45°，.∠EAB=∠BAC+∠EAD=90°+45°=135°， ∠EDC=180°-∠EDA=180°-45°=135°，.∠EAB=∠EDC.在△EAB和△EDC AE-DE, 中，∠EAB=∠EDC,.△EAB≌△EDC(SAS),∴.BE=CE:(2)由(1)知△EAB≌ AB=DC, △EDC,∴.∠AEB=∠DEC,∴·∠AEB+∠BED=∠DEC+∠BED,即∠BEC= ∠AED=90°，.BE⊥EC. 思维拓展 10.解：(1)①补全图形，如图①所示： ②SAS③1<AD<5(2)猜 想：BE=2AM.理由如下：延长AM到点N,使AM=MN,连接CN,则AN=2AM. DM=CM, :AM为△ACD的中线，∴.DM=CM.在△ADM和△NCM中，∠AMD=∠NMC, AM=NM, .△ADM≌△NCM(SAS),∴.AD=CN,∠DAM=∠N,.AD∥CN,∴∠DAC+ ∠ACN=180°.：∠BAC+∠DAE=180°，.∠BAE+∠DAC=180°，.∠ACN= ∠BAE.AD=AE,AD=CN,.CN=AE.在△ACN和△BAE中， (AC-BA. ∠ACN=∠BAE,∴.△ACN≌△BAE(SAS),∴AN=BE.AN=2AM,∴.BE= ICN=AE. 2AM. 第2课时用“ASA”或“AAS”判定三角形全等 新知梳理 ①夹边角边角ASA②对边角角边AAS 例题引路 【例1】证明：：MQ⊥PV,∴.∠MQP=∠MQN=9o°，∴.∠PMQ+∠P=90°.：NR⊥ MP,.∠NRP=90°，.∠HNQ+∠P=90°，.∠PMQ=∠HNQ.在△PMQ和 ∠MQP=∠NQH, △HNQ中，MQ=VQ, .△PMQ≌△HNQ(ASA),.HN=PM.【例2】 ∠PMQ=∠HNQ, 证明：AD∥BC,∴∠A=∠CAE=CF,∴AE+EF=CF十EF,即AF=CE.在 (∠A=∠C, △ADF和△CBE中，∠D=∠B,.△ADF≌△CBE(AAS),AD=CB. AF=CE, 第6页（共60页）