第十三章 三角形 整合与提升-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年新教材八年级上册数学（人教版2024 广西专版）

第十三章整 高频考点突破。 考点1三角形的三边关系 1.情境题人字梯)如图，人字梯的支架AB,AC 的长度都为2（连接处的长度忽略不计）， 则B,C两点之间的距离可能是 A.3 m B.4.2m C.5m D.6m 2.一个三边都不相等的三角形的两边长分别 为6和10，且第三边长为偶数，符合条件的 三角形有 A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 3.已知实数x,y满足|x一4|+√y-8=0,则 分别以x,y的值为两边长的等腰三角形的 周长是 A.8 B.20 C.16 D.16或20 考点2三角形的稳定性 4.下列生活实物中，没有应用到三角形的稳定 性的是 A.太阳能热水器 B.篮球架 C.三脚架 D.活动衣架 5.本士文化白沙大桥(2025·南宁校级开学)如 图，南宁白沙大桥是一座斜拉索桥，造型美 观，结构稳固.其蕴含的数学道理是() 13名师测控·数学Ⅱ八年级上册 合与提升 A.三角形的稳定性 B.四边形的不稳定性 C.三角形两边之和大于第三边 D.三角形内角和等于180° 考点3三角形的三条重要线段 6.下列说法中，正确的是 A.三角形的角平分线都在三角形的内部 B.直角三角形只有一条高 C.三角形的中线可能在三角形的外部 D.三角形的高线必交于一点 7.如图，AD,BE,CF分别是△ABC的中线、高 和角平分线，∠ABC=90°，CF交AD于点 G,交BE于点H,则下列结论一定正确的 是 A.∠ABE=∠FCB B.∠GAC=∠GCA C.FG=GC D.∠BFC=∠BHF 8.如图，△ABC的边BC上的高为AF,中线为 AD,AC边上的高为BG.已知AF=6,BC= 10,BG=5. (1)求△ABC的面积； (2)求AC的长； (3)△ABD和△ACD的面积有何关系？ 考点4三角形的内角与外角 9.如图是一块三角形木板的残 余部分，量得∠A=100°， ∠B=40°，则这块三角形木板 A 另外一个角∠C的度数为 A.30° B.40° C.50° D.60° 10.如图，直线a∥b,Rt△ABC的直角顶点A落 在直线a上，点B落在直线b上.若∠1= 15°，∠2=25°，则∠ABC的大小为( A.40° B.459 C.50° D.55° (第10题图) (第11题图) 11.(2024·四川凉山州)如图，在△ABC中， ∠BCD=30°，∠ACB=80°，CD是边AB上 的高，AE是∠CAB的平分线，则∠AEB的 度数是 12.(2024·南宁西乡塘区校级期中)如图，在 △ABC中，∠A=70°，∠ABC=50°. (1)求∠C的度数； (2)若∠BDE=30°，DE∥BC交AB于点 E,判断△BDC的形状，并说明理由. 13.新视角新定义【概念认识】如图①，在∠ABC 中，若∠ABD=∠DBE=∠EBC,则BD, BE叫作∠ABC的“三分线”，其中，BD是 “邻AB三分线”，BE是“邻BC三分线” (1)【问题解决】如图②，在△ABC中，∠A= 70°，∠B=50°.若∠C的“三分线”CD交 AB于点D,则∠BDC= (2)如图③，在△ABC中，BP,CP分别是 ∠ABC的“邻AB三分线”和∠ACB的 “邻AC三分线”，且BP⊥CP,求∠A的 度数； (3)【延伸推广】在△ABC中，∠ACD是 △ABC的外角，∠B的“三分线”所在的 直线与∠ACD的“三分线”所在的直线 交于点P.若∠A=m,∠B=n,并且m> n,直接写出∠BPC的度数.（用含m,n 的代数式表示) 图② 图③ 第十三章三角形14 《@易错易混专攻© 易错点在三角形的计算中因无图未分 类讨论导致漏解 1.在△ABC中，∠A=50°，∠B=30°，点D在 AB边上，连接CD.若△ACD为直角三角 形，则∠BCD的度数为 2.在△ABC中，BC=6,BC边上的高AD=4, 且BD=2,则△ACD的面积为 冒常考题型演练。 1.(2024·陕西)如图，在△ABC中，∠BAC= 90°，AD是BC边上的高，E是BC的中点， 连接AE,则图中的直角三角形共有() A.2个 B.3个C.4个 D.5个 (第1题图) (第2题图) 2.如图，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线， 点E在AC上，DE∥BC.若∠A=62°， ∠B=74°，则∠EDC的度数为 3.(2024·柳州柳南区校级期中)如图，在 △ABC中，AE是高，AD是∠BAC的平分 线，∠BAC=70°，∠C=60°. (1)求∠EAC的度数； (2)求∠DAE的度数 15名师测控·数学Ⅱ八年级上册 4.(2024·南宁期中)【问题呈现】 小明在学习了三角形有关内角与外角的相 关知识后遇到这样一个问题：如图①，∠1与 ∠2分别为△ABC的两个外角，则∠1+ ∠2=180°+∠A. 【推理证明】 ∠1与∠2分别为△ABC的两个外角， .∠1=∠A+ ,∠2=∠A十 .∠1+∠2= .∠3+∠4+∠A=180°， .∠1+∠2=180°+∠A. 【初步应用】 (1)如图②，在△ABC纸片中剪去△AED, 得到四边形BCDE,若∠1=130°，则 ∠2-∠A的大小为 (2)如图③，在△ABC中，BP,CP分别为外 角∠DBC,∠ECB的平分线，求∠P与 ∠A的数量关系； 【拓展延升】 (3)如图④，在四边形ABCD中，BP,CP分 别为外角∠EBC,∠FCB的平分线，若 ∠A十∠D=230°，求∠P的度数. 分 图① 图② 图③ 图④180-∠B-∠C,∠DAC=2180-∠B-∠C0=90-∠B-∠C,÷∠DAE =∠DAC-∠EAC=90-名∠B-名∠C-(90-∠C)=号（∠C-∠B.【变式】 解：(1)60°(2)∠DEF=令（∠C-∠B).理由如下：EF⊥BC,·∠DEF=90°- ∠EDF.:AD平分∠BAC,∠BAD=∠BAC,·∠EDF=∠B+∠BAD=∠B+ 号∠BAC.又：∠BAC=180-∠B-∠C,∠EDF=∠B+合180-∠B-∠C) 90+7∠B-∠C.∠DEF=90-(90+号∠B-∠C)=2(∠C-∠B. 【变式2】解：110°(2)∠DEF=(∠C-∠B.理由如下：∠BAC=180-∠B ∠C,∠1=∠2，∴∠2=克∠BAC=3180-∠B-∠C),∠ADB=∠2+∠C= (180°-∠B-∠C+∠C=90°-号∠B+号∠C.EF1BC,∠EFD=90, ∴∠DEF=∠ADB-∠EFD=(90°-号∠B+号∠C)-90=号（∠C-∠B). 数学活动 1.C2.83.94.解：(1)搭1个三角形，需3根火柴棒；搭2个三角形，需5=3+2根 火柴棒：搭3个三角形，需7=5十2=3十2×2根火柴棒；∴.搭5个三角形需3十4×2= 11(根)火柴棒：(2)由(1)得出，搭n个三角形需3+2(n-1)=2n十1（根）火柴棒. 5.(1)转化思想(2)类比思想(3)(n-3)(n-2)180°×（一2）从特殊到一般 第十三章整合与提升 高频考点突破 1.A2.B3.B4D5.A6A7.D8解：(1)S=BC·AF=×10X6 =30:2:Sa度=号AC·BGAC-2-2X30-12:(3:AD为△ABC的中 BG 5 线，.S△ABD=S△D.9.B10.C1L.100°12.解：(1)：∠A=70°，∠ABC=50°， ∴.∠C=180°-∠A-∠ABC=180°-70°-50°=60°；(2)△BDC为直角三角形.理由如 下：：DE∥BC,∠BDE=30°，∠CBD=∠BDE=30°.由(1)得∠C=60°，.∠BDC= 180°-∠CBD-∠C=180°-30°-60°=90°，.△BDC为直角三角形.13.解：(1)90° 或110°(2)BP,CP分别是∠ABC的“邻AB三分线”和∠ACB的“邻AC三分线”， ∴∠PBC=号∠ABC.∠PCB=号∠ACR.:BP1CP,∠P=9O,即∠PBC+ ∠PCB=90,号∠ABC+号∠ACB=90,∠ABC+∠ACB=135,∠A=180 -∠ABC-∠ACB=180°-（∠ABC+∠ACB)=180°-135°=45：(3）∠BPC=号m 2 或∠BPC=方m-子n或∠BPC=号m十n或∠BPC=专m: 易错易混专攻 1.60°或10°2.8或16 常考题型演练 1.C2.22°3.解：(1)：AE是△ABC的高，.∠AEC=90°，.∠EAC+∠C=90. ∠C=60°，∠EAC=90°-60°=30°；(2)∠BAC=70°，AD是∠BAC的平分线， ∠CAD=∠BAD=号∠BAC=35,∠DAE=∠CAD-∠EAC=35°-30=5， 4.解：【推理证明】∠4∠3∠A十∠3十∠4十∠A【初步应用】(1)50°(2)：BP, 第4页（共60页） CP分别为外角∠DBC,∠ECB的平分线，∠PBC=∠DBC,∠PCB=号∠BCE, ∴.∠P=180°-（∠PBC+∠PCB)=180°-号（∠DBC+∠BCE).由【推理证明】可知 ∠DBC+∠BCE=180°+∠A,∠P=180-2(180°+∠A)=90°-合∠A:【拓展延 升】(3)延长BA,CD交于点M.:∠BAD+∠ADC=230°，∠BAD十∠ADC=180°+ ∠M.∠M=∠BAD+∠ADC-180=230-180=50,∠P=90°-号∠M=90 -7×50=65 第十四章全等三角形 14.1全等三角形及其性质 新知梳理 ①全等形全等三角形②对应顶点对应边对应角③相等相等 例题引路 【例1】△CBD CB BD∠CDB【例2】解：AD⊥BC.理由如下：：'△ABD≌ △ACD,·∠ADB=∠ADC.又·∠ADB+∠ADC=180°，∴.∠ADB=∠ADC=90°， .AD⊥BC 基础过关 1.A2.≌∠A'∠A'B'C∠CAB与A'B',BC与B'C',AC与A'C'3.C 4.B5.解：(1)，△ABD≌△EBC,BD=BC=5cm,BE=AB=2cm,∴.DE=BD BE=5-2=3(cm);(2)DB与AC垂直.理由如下：：△ABD≌△EBC,∴∠ABD= ∠EBC.又：A,B,C三点在一条直线上，∴∠ABD十∠EBC=180°，即2∠EBC=180°， ∠EBC=90°，.DB与AC垂直， 能力提升 6,B7.D865°9.解：△ABC≌△ADE.∠BAC=∠DAE=(∠EAB ∠CAD)=号X(120°-10)=55°，：∠DFB是△FAB的外角，∠DFB=∠FAB+ ∠B=∠FAC+∠CAB+∠B=10°+55°+25°=90°.，∠DFB是△GDF的外角， ∴.∠DGB=∠DFB-∠D=90°-25°=65°.10.解：(1)四边形ABCD≌四边形 AEFG,△AFG≌△FAE≌△ACD≌△CAB:(2):△FAE≌△ACD,∴.AF=AC, ∠FAE=∠ACD.:四边形ABCD是长方形，∴∠ADC=90°，.∠ACD十∠CAD= 90°，∴.∠FAE十∠CAD=90°，即∠FAC=90°，∴△AFC是等腰直角三角形. 思维拓展 11.解：(1)BD=DE十CE.理由如下：△BAD≌△ACE,∴.BD=AE,AD=CE.BD =AE=AD+DE=CE十DE,即BD=DE+CE;(2)△ABD满足∠ADB=90°时，BD∥ CE.理由如下：BD∥CE,.∠E=∠BDE.△BAD≌△ACE,∠ADB=∠E, ∴.∠ADB=∠BDE.∠ADB+∠BDE=180°，即2∠ADB=180°，∠ADB=90°. 14.2三角形全等的判定 第1课时用“SAS”判定三角形全等 新知梳理 ①全等边角边SAS②不一定 例题引路 AO=CO, 【例1】证明：在△AOD和△COB中，∠AOD=∠COB,.△AOD≌△COB(SAS), OD=OB. 第5页（共60页） (AD=BC, .∠D=∠B.【例2】证明：在△ADB和△BCA中，∠DAB=∠CBA,.△ADB≌ AB=BA. △BCA(SAS),∴.AC=BD. 基础过关 1.D2.AD=AE(答案不唯一)3.证明：：∠BAE=∠CAD,∴.∠BAE十∠CAE= AB=AE, ∠CAD+∠CAE,即∠BAC=∠EAD.在△ABC和△AED中， ∠BAC=∠EAD, AC-AD. ∴.△ABC≌△AED(SAS).4.100°5.266B 能力提升 7.B8.140°9.证明：(1)AC=2AB,点D是AC的中点，∴.AB=AD=CD.由题意， 得AE=DE,∠EAD=∠EDA=45°，.∠EAB=∠BAC+∠EAD=90°+45°=135°， ∠EDC=180°-∠EDA=180°-45°=135°，.∠EAB=∠EDC.在△EAB和△EDC AE-DE, 中，∠EAB=∠EDC,.△EAB≌△EDC(SAS),∴.BE=CE:(2)由(1)知△EAB≌ AB=DC, △EDC,∴.∠AEB=∠DEC,∴·∠AEB+∠BED=∠DEC+∠BED,即∠BEC= ∠AED=90°，.BE⊥EC. 思维拓展 10.解：(1)①补全图形，如图①所示： ②SAS③1<AD<5(2)猜 想：BE=2AM.理由如下：延长AM到点N,使AM=MN,连接CN,则AN=2AM. DM=CM, :AM为△ACD的中线，∴.DM=CM.在△ADM和△NCM中，∠AMD=∠NMC, AM=NM, .△ADM≌△NCM(SAS),∴.AD=CN,∠DAM=∠N,.AD∥CN,∴∠DAC+ ∠ACN=180°.：∠BAC+∠DAE=180°，.∠BAE+∠DAC=180°，.∠ACN= ∠BAE.AD=AE,AD=CN,.CN=AE.在△ACN和△BAE中， (AC-BA. ∠ACN=∠BAE,∴.△ACN≌△BAE(SAS),∴AN=BE.AN=2AM,∴.BE= ICN=AE. 2AM. 第2课时用“ASA”或“AAS”判定三角形全等 新知梳理 ①夹边角边角ASA②对边角角边AAS 例题引路 【例1】证明：：MQ⊥PV,∴.∠MQP=∠MQN=9o°，∴.∠PMQ+∠P=90°.：NR⊥ MP,.∠NRP=90°，.∠HNQ+∠P=90°，.∠PMQ=∠HNQ.在△PMQ和 ∠MQP=∠NQH, △HNQ中，MQ=VQ, .△PMQ≌△HNQ(ASA),.HN=PM.【例2】 ∠PMQ=∠HNQ, 证明：AD∥BC,∴∠A=∠CAE=CF,∴AE+EF=CF十EF,即AF=CE.在 (∠A=∠C, △ADF和△CBE中，∠D=∠B,.△ADF≌△CBE(AAS),AD=CB. AF=CE, 第6页（共60页）