13.3.2 三角形的外角-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年新教材八年级上册数学（人教版2024 广西专版）

冒名师导学○预习先知 新知梳理 ①三角形的一边与另一边的延长线组 成的角，叫作 ②(1)三角形的外角大于与它不相邻 的任何一个内角； (2)三角形的外角等于 的两个内角的和； (3)三角形的外角和等于 例题引路 【例1】下列各图中，∠1是△ABC的外 角的是 八A 【学生解答】 【例2】如图，在△ABC 中，∠B=40°，∠ACB =60°，CE是△ABC B 的外角∠ACD的平 分线，且CE交BA的延长线于点E. 求∠BAC和∠E的度数. 【名师点拨】本题考查三角形中求角度 问题，涉及三角形角平分线的定义、三 角形内角和定理、三角形外角性质，熟 练掌握相关知识点，数形结合，找准各 个角之间和差倍分关系是解决问题的 关键。 【学生解答】 13.3.2三角形的外角 ②基础过关⊙逐点击破 知识点1 三角形外角的定义 1.如图， 是△ABC的一个外角， B B (第1题图) (第2题图) (变式题图) 知识点2 三角形外角的性质 2.(2024·柳州二模)如图，∠A=100°，∠B=20°，则∠ACD 的度数是 ( A.100 B.110° C.120° D.140° 【变式】如图，点D是△ABC的边BC延长线上的一点， ∠A=75°，∠ACD=105°，则∠B的度数为 ( ) A.30° B.35° C.40 D.45° 3.如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=50°，CD平分∠ACB, 则∠ADC的度数为 ) A.80° B.90° C.100° D.110° 合0 x△ 60 135 A /(x+70)° B D (第3题图) (第4题图) (第5题图) 4.(教材P6习题T,变式)在如图所示的三角形中，x的值是 5.如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线.若∠B=35°， ∠ACE=60°，则∠A的度数为 6.(2024·防城港防城区期中)如图，在△ABC中，AD是BC 边上的高线，BE平分∠ABC,它们相交于点P.已知 ∠EPD=120°，求∠ABC的度数. 第十三章三角形8 网能力提升○整合运用 7.情境题起重机如图，这是一台起重机的工作 简图，前后两次吊杆位置OP1,OP2与吊绳 的夹角分别是30°和70°，则吊杆前后两次的 夹角∠P1OP2的度数为 () A.60° B.50° C.40° D.309 P E 30 P 70 起重机) B (第7题图) (第8题图) 8.(2024·南宁青秀区校级期末)如图，∠ABC= ∠ACB,BD,CD,AD分别平分△ABC的内 角∠ABC,外角∠ACF,外角∠EAC.以下结 论：①AD∥BC;②∠ACB=2∠ADB; ③∠BDC-号∠BAC:④2∠ADB+∠BDC= 90°；⑤∠ADC+∠ABD=135°.其中，正确 的结论有 () A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 9.如图，在△ABC中，DE∥AC,DE分别交 AB,BC于点D,E,EF平分∠DEB交AB 于点F,且∠B=42°，∠DFE=73°，求∠A的 度数. 9名师测控·数学Ⅱ八年级上册 ②思维拓展⊙学科素养 10.【探索归纳】 图① 图② 图③ (1)如图①，已知△ABC为直角三角形， ∠A=90°.若沿图中虚线剪去∠A,则 ∠1+∠2的度数为 ) A.90° B.135° C.270° D.315° (2)如图②，已知在△ABC中，剪去∠A后 得到四边形BCEF,试探究∠1十∠2与 ∠A的关系，并说明理由； (3)如图③，若没有剪掉，而是把它折成如 图③的形状，试探究∠1+∠2与∠A的 关系，并说明理由参考答案 正文答案 第十三章三角形 13.1三角形的概念 基础过关 1.B2.(1)5△ABE,△BEC,△ABC,△DCE,△BCD(2)∠DCD(3)BC (4)ABBE3.B4.B5.36.41 能力提升 7.C8.B9.解：(1)图中共有5个三角形；(2)△ACE,△DCE,△BCE;(3)△DBE与 △CBE,△BAC与△CBE,△DBE与△BAC 13.2与三角形有关的线段 13.2.1三角形的边 弥 基础过关 1.A2.B【变式3（答案不唯一）3.小EF+EG>FG4.A5.C6.稳定 能力提升 7.D8.5<c<139.解：由于B,C两处可以转动，当A,B,C,D形成一条线段时，AD 最长，它等于AB十BC+CD=1十2+5=8(cm):当A,B,C拉直，B,A落在CD上时， AD最短，它等于CD-AB-BC=5-1-2=2(cm).答：这根橡皮筋的最大长度为 8cm,最短长度为2cm. 畅 13.2.2三角形的中线、角平分线、高 新知梳理 ①三角形的重心②角平分线 ③三角形的高内部两条直角外部延长线上 封 例题引路 【例】(1)35°(2)25°(3)3 基础过关 1.B2.BCBC S△AcDS△Ax63.B4.31°5.D6.AD⊥BC ADC90 号BC·AD7.6 能力提升 8.D9.110.解：(ID:AD1BC,AD=6,△ABC的面积为24，∴SA=号BC·AD 号BCX6=24,BC=8.:AE是边BC上的中线，CE=BE=BC=4:(2②)：点 0F为AB的中点，AF=BF,∴CAEF-C△F=(AE+AF+EF)-(BE+BF+EF)= AE-BE=7-4=3,即△AEF与△BEF的周长差为3. 思维拓展 11.解：(1)当点D是BC的中点时，DE=DF,证明如下：连接AD.由点D为BC的中 点，易得SaD=SAD,即号AB,DE=AC·DR,:AB=AC.DE=DF,(2)CG =DE+DR理由如下：连接AD.:SaAx=SADB十Sx,号AB·CG=号AB·DE 十号AC·DR.:AB=AC,“CG=DE+DP,【延伸设问】7【规律总结】等于等于 13.3三角形的内角与外角 13.3.1三角形的内角 第1课时三角形的内角 新知梳理 180° 第1页（共60页） 例题引路 【例1】解：设∠A=x°，则∠B=3x°，∠C=5x°.依题意，得x十3x十5x=180,解得x= 20,则3x=60,5x=100,∠A=20°，∠B=60°，∠C=100°.【例2】解：AD平分 ∠BAC,∴∠BAC=2∠BAD.∠BAC+∠B+∠C=180°，∠B=3∠BAD,∠C=90°， .2∠BAD+3∠BAD+90°=180°，∴.∠BAD=18°，.∠B=3∠BAD=54. 基础过关 1.B2.C3.D4.40°5.C6.160 能力提升 7.B8.130°9.解：(1)DE∥BC.理由如下：HF∥CD,.∠DCB+∠FHC=180°. ∠FHC+∠CDE=l80°，∴.∠DCB=∠CDE,.DE∥BC;(2)DE∥BC,.∠DEC +∠ECB=180°..∠ACD=35°，∠DEC=∠DCB+45°，.∠DCB+45°+35°+ ∠DCB=180°，∴.∠DCB=50°，∴.∠EDC=∠DCB=50°.DE平分∠ADC,∴∠ADE =∠EDC=50°.，DE∥BC,∴∠B=∠ADE=50°. 思维拓展 10.解：(1)AB∥CD.理由如下：，EM平分∠AEF交CD于点M,∴∠AEM=∠MEF, ∠MEF=∠FME,∴.∠AEM=∠FME,AB∥CD:(2)①：AB∥CD,∴.∠BEG= ∠EGH=B=60°，∴.∠AEG=120°.：EM平分∠AEF,EH平分∠FEG,∴.∠AEM= ∠MEF,∠HEF=∠HEG,∠HEN=∠MEF+∠HEF=合∠AEG=6O,:HNL EM.∠HNE=90a=∠EHN=90-∠HEN=90-60=30:②猜想：a=月 或a=90°-令A理由如下：I.当点G在点F的右侧时，：AB∥CD,∠BEG= ∠EGH=B,∴.∠AEG=180°-R.:∠AEM=∠MEF,∠HEF=∠HEG,.∠HEN= ∠MEF+∠HEF=号∠AEG=90°-R:HN⊥EM,∠HNE=90,a= ∠EHN=90°-∠HEN=90°-（90°-B)=AⅡ，当点G在F的左侧时，同法可 得a=90-子A综上所述，。=8或a=90-名A 第2课时直角三角形中两个锐角的关系 基础过关 1.B2.C3.22.5°4.C5.证明：AB⊥BD,ED⊥BD,∴.∠ABC=∠CDE=90°， .∠ACB+∠BAC=90°，∠CED+∠DCE=90°.：∠ACB=∠CED,.∠BAC= ∠DCE,∠ACB+∠DCE=90°，.∠ACE=180°-（∠ACB+∠DCE)=180°-90°= 90°.△ACE是直角三角形. 能力提升 6.A7.解：：AB∥CD,∠BEF+∠DFE=180°.：EP为∠BEF的平分线，FP为 ∠EFD的平分线∠PEF=是∠BEF,∠PFE=是∠DFE,·∠PEF+∠PFE= 合（∠BEF+∠DFE)=90∠P=90,△EDF为直角三角形.8.解：1）∠1= ∠2.理由如下：：CE⊥AB,AD⊥BC,∠CEB=∠ADB=90°，∴∠2+∠B=90°，∠1 十∠B=90°，∴∠1=∠2；(2)(1)中的结论仍然成立.理由如下：，AD⊥BC,CE⊥AB, ∴.∠D=∠E=90°，∴.∠2+∠ABD=90°，∠1+∠CBE=90°.又：∠ABD=∠CBE, ∠1=∠2. 13.3.2三角形的外角 新知梳理 ①三角形的外角②(2)与它不相邻(3)360° 第2页（共60页） 例题引路 【例1】D【例2】解：：∠B=40°，∠ACB=60°，∴.∠BAC=180°-∠B-∠ACB=180 -40-60=80.:CE是∠ACD的平分线，∠DCE=∠ACD.:∠ACD=180 ∠ACB=180°-60°=120°，.∠DCE=60°，.∠E=∠DCE-∠B=60°-40°=20°. 基础过关 1.∠ACD2.C【变式】A3.C4.605.85°6.解：AD是BC边上的高线， .∠ADB=90°，∴.∠CBE=∠EPD-∠ADB=120°-90°=30°.：BE平分∠ABC, ..∠ABC=2∠CBE=2X30°=60°. 能力提升 7.C8.C9.解：∠B=42°，∠DFE=73°，∴∠FEB=∠DFE-∠B=73-42= 31°.：EF平分∠DEB,∴.∠DEB=2∠FEB=2X31°=62°，：DE∥AC,.∠C= ∠DEB=62°.：∠A+∠B+∠C=180°，∴.∠A=180°-∠B-∠C=180°-42°-62°= 76° 思维拓展 10.解：(1)C(2)∠1+∠2=∠A+180°.理由如下：：∠1=∠A+∠AEF,∠2=∠A +∠AFE,.∠1+∠2=∠A十∠AEF+∠A十∠AFE.又：∠A+∠AEF+∠AFE= 180°，∠1十∠2=∠A十180°：(3)∠1十∠2=2∠A理由如下：：△EFP是由△EFA 折叠得到的，∠AFE=∠PFE,∠AEF=∠PEF,.∠1=180°-2∠AFE,∠2=180 -2∠AEF,.∠1+∠2=360°-2（∠AFE+∠AEF).又：∠AFE+∠AEF=180° ∠A,∴.∠1+∠2=360°-2(180°-∠A)=2∠A. 模型构建专题探究与三角形角平分线相关的结论 1.解：(1)120°(2)115°(3)：BF平分∠ABC,CE平分∠ACB,.∠CBG= ∠ABC,∠BCG=∠ACB,·∠BGC=180-(∠CBG+∠BCG)=180 号（∠ABC+∠ACB.:∠ABC+∠ACB=180°-∠A,∠BGC=180°-(180°- ∠A)=90+号∠A.2.30°3.解：BP平分∠ABC,∠PBC=号∠ABC.:CP 平分∠ACD,∠PCD=∠ACD.:∠ACD=∠ABC+∠A,∠PCD=∠PBC+ ∠P,∴∠P=∠PCD-∠PBC=∠ACD-∠ABC=(∠ACD-∠ABC)= 合∠A:即∠P=子∠A.4.解：∠EBC=∠ACB十∠A,∠FCB=∠ABC+∠A, .∠EBC+∠FCB=∠ACB+∠A+∠ABC+∠A=180°+∠A.:BP,CP分别是 ∠EBC,∠FCB的平分线，∴.∠PBC=号∠EBC,∠PCB=Z∠FCB,·∠PBC+ 1 ∠PCB=合（∠EBC+∠FCB)=合(180+∠A)=90+号∠A,∠P=180° (∠PBC+∠PCB)=180-(90+2∠A)=90°-∠A,即∠P=90°-∠A 重点突破专题三角形的重要线段之间的夹角问题 1,解：(1)：CD⊥AB,BE⊥AC,.∠BDC=∠BEC=90°.：∠ABC=50°，∠ACB= 60°，.∠BCD=90°-∠ABC=90°-50°=40°，∠CBE=90°-∠ACB=90°-60°=30°， .∠BOC=180°-∠BCD-∠CBE=180°-40°-30°=110°；(2)，∠BDC=∠BEC= 90°，.∠ABE=90°-∠A,.∠BOC=∠ABE+∠BDC=90°-∠A+90°=180°- ∠A,.∠BOC+∠A=180°，2.解：(1)5°(2)：AE是△ABC的高，.∠AEC=90°， ∠EAC=90°-∠C.:AD是△ABC的角平分线，∠DAC=号∠BAC.:∠BAC= 第3页（共60页）