13.2.2 三角形的中线、角平分线、高-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年新教材八年级上册数学（人教版2024 广西专版）

13.2.2 冒名师导学○预习先知 新知梳理 ①三角形的中线：如图①，连接△ABC 的顶点和它所对的边BC的中点D, 所得线段AD叫作△ABC的中线. 一个三角形有三条中线，这三条中 线相交于一点，三角形三条中线的 交点叫作 ②三角形的角平分线：如图②，画 △ABC的∠A的平分线AD,交∠A所 对的边BC于点D,所得线段AD叫作 △ABC的 ,三角形的三 条角平分线相交于一点. ③三角形的高：如图③，从△ABC的顶 点A向它所对的边BC所在直线画 垂线，垂足为D,所得线段AD叫作 △ABC的边BC上的高.三角形的 高线简称 .锐角三角 形的三条高都在三角形的 ； 直角三角形有两条高恰好是它的 边；钝角三角形有两 条高在三角形的 ,两个垂 足落在边的 图② (2) 图③ 例题引路 【例】如图，在△ABC中，AE是中线， AD是角平分线，AF是高，∠BAC 70°，∠CAF=10°，BE=2,AF=3,填空： (1)∠BAD= (2)∠DAF= (3)S△AEC= B ED FC 【名师点拔】注意三角形的中线平分三 角形的面积。 【学生解答】 3名师测控·数学Ⅱ八年级上册 三角形的中线、角平分线、高 ②基础过关⊙逐点击破 知识点1三角形的中线 1.三角形一边上的中线一定把原三角形分成两个( A.形状相同的三角形 B.面积相等的三角形 C.直角三角形 D.周长相等的三角形 2.(教材P,练习T2变式)如图，AD是△ABC的中线，则点 D是线段 的中点，BD=CD=2 ,S△ABD= 2 若S△ABD=3,则S△ABC= B (第2题图) (第3题图) (第4题图) 知识点2三角形的角平分线 3.如图，在△ABC中，∠1=∠2=∠3=∠4，则下列说法中， 正确的是 ( A.AD是△ABE的中线 B.AE是△ABC的角平分线 C.AF是△ACE的高线 D.AE是△DAF的中线 4.如图，BD是△ABC的角平分线.已知∠ABC=62°，则 ∠DBC的度数为 知识点3三角形的高 5.(2024·梧州苍梧县期未)如图，在△ABC中，BC边上的 高是 ( A.BD B.CE C.BE D.AF B D B DE C (第5题图) (第6题图) (第7题图) 6.如图，AD是△ABC的边BC上的高，则AD与BC的位置 关系是： ,∠ADB=∠ ,S△ABC= !易错点对三角形的高的定义不理解而致错 7.如图，AD⊥BC于点D,那么图中以AD为高的三角形有 个 能力提升。整合运用 8.(2025·南宁青秀区校级开学)如图，将三角 形纸片ABC按下面四种方式折叠，则AD 是△ABC的高的是 D 9.如图，在△ABC中，点D,E,F分别为BC, AD,CE的中点，且S△ABc=4cm,则阴影部 分的面积为 cm2. D 10.如图，在△ABC中，AE是边BC上的中线， AD⊥BC于点D,点F为AB的中点，连接 EF.已知AD=6,△ABC的面积为24. (1)求CE的长； (2)若AE=7,求△AEF与△BEF的周长差. ⊙ 思维拓展⊙学科素养 11.通性通法面积法已知在△ABC中，AB= AC,D是BC边上任意一点，过点D分别 向AB,AC引垂线，垂足分别为E,F. (1)如图①，当点D在BC的什么位置时， DE=DF?并证明； (2)如图②，过点C作AB边上的高CG,试 猜想DE,DF,CG的长之间存在怎样的 数量关系，并说明理由. B D 图① 图② 【延伸设问】如图，已知等边三 角形ABC的高为7cm,P为 △ABC内一点，PD⊥AB于 点D,PE⊥AC于点E,PF⊥BC于点F,则 PD+PE+PF= cm. 【规律总结】①等腰三角形底边上任意一点 到两腰的距离之和 一腰上的高； ②等边三角形内一点到各边上的距离之和 任意一边上的高 第十三章三角形4参考答案 正文答案 第十三章三角形 13.1三角形的概念 基础过关 1.B2.(1)5△ABE,△BEC,△ABC,△DCE,△BCD(2)∠DCD(3)BC (4)ABBE3.B4.B5.36.41 能力提升 7.C8.B9.解：(1)图中共有5个三角形；(2)△ACE,△DCE,△BCE;(3)△DBE与 △CBE,△BAC与△CBE,△DBE与△BAC 13.2与三角形有关的线段 13.2.1三角形的边 弥 基础过关 1.A2.B【变式3（答案不唯一）3.小EF+EG>FG4.A5.C6.稳定 能力提升 7.D8.5<c<139.解：由于B,C两处可以转动，当A,B,C,D形成一条线段时，AD 最长，它等于AB十BC+CD=1十2+5=8(cm):当A,B,C拉直，B,A落在CD上时， AD最短，它等于CD-AB-BC=5-1-2=2(cm).答：这根橡皮筋的最大长度为 8cm,最短长度为2cm. 畅 13.2.2三角形的中线、角平分线、高 新知梳理 ①三角形的重心②角平分线 ③三角形的高内部两条直角外部延长线上 封 例题引路 【例】(1)35°(2)25°(3)3 基础过关 1.B2.BCBC S△AcDS△Ax63.B4.31°5.D6.AD⊥BC ADC90 号BC·AD7.6 能力提升 8.D9.110.解：(ID:AD1BC,AD=6,△ABC的面积为24，∴SA=号BC·AD 号BCX6=24,BC=8.:AE是边BC上的中线，CE=BE=BC=4:(2②)：点 0F为AB的中点，AF=BF,∴CAEF-C△F=(AE+AF+EF)-(BE+BF+EF)= AE-BE=7-4=3,即△AEF与△BEF的周长差为3. 思维拓展 11.解：(1)当点D是BC的中点时，DE=DF,证明如下：连接AD.由点D为BC的中 点，易得SaD=SAD,即号AB,DE=AC·DR,:AB=AC.DE=DF,(2)CG =DE+DR理由如下：连接AD.:SaAx=SADB十Sx,号AB·CG=号AB·DE 十号AC·DR.:AB=AC,“CG=DE+DP,【延伸设问】7【规律总结】等于等于 13.3三角形的内角与外角 13.3.1三角形的内角 第1课时三角形的内角 新知梳理 180° 第1页（共60页） 例题引路 【例1】解：设∠A=x°，则∠B=3x°，∠C=5x°.依题意，得x十3x十5x=180,解得x= 20,则3x=60,5x=100,∠A=20°，∠B=60°，∠C=100°.【例2】解：AD平分 ∠BAC,∴∠BAC=2∠BAD.∠BAC+∠B+∠C=180°，∠B=3∠BAD,∠C=90°， .2∠BAD+3∠BAD+90°=180°，∴.∠BAD=18°，.∠B=3∠BAD=54. 基础过关 1.B2.C3.D4.40°5.C6.160 能力提升 7.B8.130°9.解：(1)DE∥BC.理由如下：HF∥CD,.∠DCB+∠FHC=180°. ∠FHC+∠CDE=l80°，∴.∠DCB=∠CDE,.DE∥BC;(2)DE∥BC,.∠DEC +∠ECB=180°..∠ACD=35°，∠DEC=∠DCB+45°，.∠DCB+45°+35°+ ∠DCB=180°，∴.∠DCB=50°，∴.∠EDC=∠DCB=50°.DE平分∠ADC,∴∠ADE =∠EDC=50°.，DE∥BC,∴∠B=∠ADE=50°. 思维拓展 10.解：(1)AB∥CD.理由如下：，EM平分∠AEF交CD于点M,∴∠AEM=∠MEF, ∠MEF=∠FME,∴.∠AEM=∠FME,AB∥CD:(2)①：AB∥CD,∴.∠BEG= ∠EGH=B=60°，∴.∠AEG=120°.：EM平分∠AEF,EH平分∠FEG,∴.∠AEM= ∠MEF,∠HEF=∠HEG,∠HEN=∠MEF+∠HEF=合∠AEG=6O,:HNL EM.∠HNE=90a=∠EHN=90-∠HEN=90-60=30:②猜想：a=月 或a=90°-令A理由如下：I.当点G在点F的右侧时，：AB∥CD,∠BEG= ∠EGH=B,∴.∠AEG=180°-R.:∠AEM=∠MEF,∠HEF=∠HEG,.∠HEN= ∠MEF+∠HEF=号∠AEG=90°-R:HN⊥EM,∠HNE=90,a= ∠EHN=90°-∠HEN=90°-（90°-B)=AⅡ，当点G在F的左侧时，同法可 得a=90-子A综上所述，。=8或a=90-名A 第2课时直角三角形中两个锐角的关系 基础过关 1.B2.C3.22.5°4.C5.证明：AB⊥BD,ED⊥BD,∴.∠ABC=∠CDE=90°， .∠ACB+∠BAC=90°，∠CED+∠DCE=90°.：∠ACB=∠CED,.∠BAC= ∠DCE,∠ACB+∠DCE=90°，.∠ACE=180°-（∠ACB+∠DCE)=180°-90°= 90°.△ACE是直角三角形. 能力提升 6.A7.解：：AB∥CD,∠BEF+∠DFE=180°.：EP为∠BEF的平分线，FP为 ∠EFD的平分线∠PEF=是∠BEF,∠PFE=是∠DFE,·∠PEF+∠PFE= 合（∠BEF+∠DFE)=90∠P=90,△EDF为直角三角形.8.解：1）∠1= ∠2.理由如下：：CE⊥AB,AD⊥BC,∠CEB=∠ADB=90°，∴∠2+∠B=90°，∠1 十∠B=90°，∴∠1=∠2；(2)(1)中的结论仍然成立.理由如下：，AD⊥BC,CE⊥AB, ∴.∠D=∠E=90°，∴.∠2+∠ABD=90°，∠1+∠CBE=90°.又：∠ABD=∠CBE, ∠1=∠2. 13.3.2三角形的外角 新知梳理 ①三角形的外角②(2)与它不相邻(3)360° 第2页（共60页） 例题引路 【例1】D【例2】解：：∠B=40°，∠ACB=60°，∴.∠BAC=180°-∠B-∠ACB=180 -40-60=80.:CE是∠ACD的平分线，∠DCE=∠ACD.:∠ACD=180 ∠ACB=180°-60°=120°，.∠DCE=60°，.∠E=∠DCE-∠B=60°-40°=20°. 基础过关 1.∠ACD2.C【变式】A3.C4.605.85°6.解：AD是BC边上的高线， .∠ADB=90°，∴.∠CBE=∠EPD-∠ADB=120°-90°=30°.：BE平分∠ABC, ..∠ABC=2∠CBE=2X30°=60°. 能力提升 7.C8.C9.解：∠B=42°，∠DFE=73°，∴∠FEB=∠DFE-∠B=73-42= 31°.：EF平分∠DEB,∴.∠DEB=2∠FEB=2X31°=62°，：DE∥AC,.∠C= ∠DEB=62°.：∠A+∠B+∠C=180°，∴.∠A=180°-∠B-∠C=180°-42°-62°= 76° 思维拓展 10.解：(1)C(2)∠1+∠2=∠A+180°.理由如下：：∠1=∠A+∠AEF,∠2=∠A +∠AFE,.∠1+∠2=∠A十∠AEF+∠A十∠AFE.又：∠A+∠AEF+∠AFE= 180°，∠1十∠2=∠A十180°：(3)∠1十∠2=2∠A理由如下：：△EFP是由△EFA 折叠得到的，∠AFE=∠PFE,∠AEF=∠PEF,.∠1=180°-2∠AFE,∠2=180 -2∠AEF,.∠1+∠2=360°-2（∠AFE+∠AEF).又：∠AFE+∠AEF=180° ∠A,∴.∠1+∠2=360°-2(180°-∠A)=2∠A. 模型构建专题探究与三角形角平分线相关的结论 1.解：(1)120°(2)115°(3)：BF平分∠ABC,CE平分∠ACB,.∠CBG= ∠ABC,∠BCG=∠ACB,·∠BGC=180-(∠CBG+∠BCG)=180 号（∠ABC+∠ACB.:∠ABC+∠ACB=180°-∠A,∠BGC=180°-(180°- ∠A)=90+号∠A.2.30°3.解：BP平分∠ABC,∠PBC=号∠ABC.:CP 平分∠ACD,∠PCD=∠ACD.:∠ACD=∠ABC+∠A,∠PCD=∠PBC+ ∠P,∴∠P=∠PCD-∠PBC=∠ACD-∠ABC=(∠ACD-∠ABC)= 合∠A:即∠P=子∠A.4.解：∠EBC=∠ACB十∠A,∠FCB=∠ABC+∠A, .∠EBC+∠FCB=∠ACB+∠A+∠ABC+∠A=180°+∠A.:BP,CP分别是 ∠EBC,∠FCB的平分线，∴.∠PBC=号∠EBC,∠PCB=Z∠FCB,·∠PBC+ 1 ∠PCB=合（∠EBC+∠FCB)=合(180+∠A)=90+号∠A,∠P=180° (∠PBC+∠PCB)=180-(90+2∠A)=90°-∠A,即∠P=90°-∠A 重点突破专题三角形的重要线段之间的夹角问题 1,解：(1)：CD⊥AB,BE⊥AC,.∠BDC=∠BEC=90°.：∠ABC=50°，∠ACB= 60°，.∠BCD=90°-∠ABC=90°-50°=40°，∠CBE=90°-∠ACB=90°-60°=30°， .∠BOC=180°-∠BCD-∠CBE=180°-40°-30°=110°；(2)，∠BDC=∠BEC= 90°，.∠ABE=90°-∠A,.∠BOC=∠ABE+∠BDC=90°-∠A+90°=180°- ∠A,.∠BOC+∠A=180°，2.解：(1)5°(2)：AE是△ABC的高，.∠AEC=90°， ∠EAC=90°-∠C.:AD是△ABC的角平分线，∠DAC=号∠BAC.:∠BAC= 第3页（共60页）