1.4：空间向量的应用讲义【八大考点+八大题型】-2025-2026学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版2019选择性必修第一册）

1.4：空间向量的应用 【考点归纳】 【知识梳理】 知识点一　空间中直线、平面的向量表示 1．直线的方向向量：在直线l上取非零向量a，我们把与向量a平行的非零向量称为直线 l 的方向向量． 2．平面的法向量：如图，若直线 l⊥α ，取直线 l 的方向向量a ，我们称a为平面α的法向量；过点A且以 a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合 {P|a·＝0}． 知识点二　线线、线面、面面平行的向量表示 1．设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2⇔u1∥u2⇔∃λ∈R，使得u1＝λu2. 2．设u是直线 l 的方向向量，n是平面α的法向量，l⊄α，则l∥α⇔u⊥n⇔u·n＝0. 3．设n1 ，n2 分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇔n1∥n2⇔∃λ∈R，使得n1＝λn2 . 知识点三　线线、线面、面面垂直的向量表示 1．设 u1，u2 分别是直线 l1 , l2 的方向向量，则l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0. 2．设u是直线 l 的方向向量，n是平面α的法向量， l⊄α，则l⊥α⇔u∥n⇔∃λ∈R，使得u＝λn. 3．设n1，n2 分别是平面α，β的法向量，则α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0. 知识点三　点P到直线 l 的距离 已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设向量=a，则向量在直线l上的投影向量为＝，则点P到直线l的距离为 (如图)． 知识点四　点P到平面α的距离 设平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，则点P到平面α的距离为(如图)． 知识点五　两个平面的夹角 平面α与平面β的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90° 的二面角称为平面α与平面β的夹角． 知识点六　 空间角的向量法解法 角的分类 向量求法 范围 两条异面直线所成的角 设两异面直线 l1，l2 所成的角为θ，其方向向量分别为u，v，则cos θ＝|cos〈u，v〉|＝ 直线与平面所成的角 设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos 〈u，n〉|＝ 两个平面的夹角 设平面α与平面β的夹角为θ，平面α，β的法向量分别为n1，n2，则cos θ＝|cos 〈n1，n2〉|＝ 【例题详解】 题型一、求平面的法向量 【例1】．（24-25高二上·全国）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点，，，，试求直线的一个方向向量和平面的一个法向量. 【答案】直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为(答案不唯一) 【分析】以为原点建立空间直角坐标系，表示各点坐标，即为直线的一个方向向量，表示即可求出平面的一个法向量. 【详解】 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 所以，即直线的一个方向向量为. 设平面的法向量为. 因为，所以. 由得，所以. 令，则. 所以平面的一个法向量为. 【跟踪训练1】．（25-26高二上·全国）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．在鳖臑中，平面，，．若建立如图所示的空间直角坐标系，求平面的一个法向量． 【答案】答案见解析 【分析】设，法一：根据已知标注出相关点坐标，进而得，，求出平面的法向量；法二：过点作于点，则为的中点，再由线面垂直的判定及性质定理得平面，写出的坐标，即可得. 【详解】根据题意，设， 法一：，，，则，， 设平面的法向量为，则有， 令，得，则为平面的一个法向量．（答案不唯一） 法二：过点作于点，则为的中点， 平面，平面， ， ， ，又，平面， 平面，平面， ，又，且，平面， 平面，易得，，， ，故， 平面的一个法向量为（答案不唯一）. 【跟踪训练2．（2024高二上·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，平面⊥平面，是边长为1的正三角形，是菱形，，E是的中点，F是的中点，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面的一个法向量.    【答案】（答案不唯一）. 【分析】首先根据面面垂直的性质可得平面，进而结合等边三角形的性质可得，再建立空间直角坐标系，设平面的一个法向量为，从而利用，即可得到答案. 【详解】连接，因为是边长为1的正三角形，，F为的中点， 所以，又因为平面⊥平面，平面平面，平面， 所以平面. 连接AC，因为，，所以是等边三角形，又F为的中点，所以. 综上可知，直线两两垂直， 所以建立以为原点，分别为轴，轴，轴的空间直角坐标系，如图所示：    由题意，在正和正中，， 则， 所以， 设平面的一个法向量为，则 ，即，化简得， 令，则，即 所以平面的一个法向量为（答案不唯一）. 题型二、证明线面、面面平行 【例2】．（2025高三·全国·专题练习）如图，在三棱柱中，分别是的中点，平面，且，，.求证：平面. 【答案】证明见解析 【分析】以点H为原点，建立空间直角坐标系，得到向量和平面的法向量为，求得，得到，进而证得平面； 【详解】证明：如图， 因为H，P分别是BC，AB的中点，所以， 因为，可得，又因为平面ABC， 以点为原点，以所在直线分别为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，可得，，，，，，，， 所以向量，且平面的法向量为， 则，所以， 又因为平面，所以平面. 【跟踪训练1】．（2024高二上·全国·专题练习）如图所示，在直角梯形中，，，，是的中点，分别为的中点，将沿折起，使得平面，试用向量方法证明平面. 【答案】证明见解析 【分析】建立空间直角坐标系，求出的方向向量和平面的法向量即可求解. 【详解】由题意可知底面为正方形， 因为平面，平面，所以两两垂直， 如图以为原点，以为方向向量建立空间直角坐标系， 则有关点及向量的坐标为： ，，，，，， ，，， 设平面的法向量为， 则，取可得平面的一个法向量为， 因为，又在平面外， 所以平面. 【跟踪训练2】．（22-23高二上·天津蓟州·阶段练习）如图，在长方体中，，，. (1)求证：平面平面. (2)线段上是否存在点P，使得平面？若存在，求出点P的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，P为线段的中点 【分析】（1）根据题意，以D为原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面与平面的法向量，由法向量平行，即可证明面面平行； （2）由空间向量的坐标运算，由与平面的法向量垂直，代入计算，即可求解. 【详解】（1）证明：以D为原点，DA，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，， 则，，，. 设平面的法向量为， 则. 取，则，，所以平面的一个法向量为. 设平面的法向量为， 则. 取，则，，所以平面的一个法向量为. 因为，即，所以平面平面. （2）设线段上存在点P使得平面，. 由（1）得，，平面的一个法向量为， 所以. 所以，解得. 所以当P为线段的中点时，平面. 题型三、证明线面、面面垂垂直问题 【例3】．（25-26高二上·全国·课前预习）如图，在直三棱柱中，侧面是正方形，，，分别为棱，的中点，.用向量法证明：平面平面. 【答案】证明见解析 【分析】根据题干条件及线面垂直的判定定理可证明平面，利用线面垂直的性质可得，，两两垂直，故以点为坐标原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，利用证明面面垂直的向量法即可证明. 【详解】证明：在直三棱柱中，. 又，，平面，∴平面. ∵平面，平面，∴，，∴，，两两垂直. 以点为坐标原点，以，，分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系. 则由题可得，，，，，， ∴，，，. 设平面的法向量为， 则，即，即， 令，则，∴平面的一个法向量为. 设平面的法向量为， 则，即，即， 令，则，∴平面的一个法向量为. ∴，∴平面平面. 【跟踪训练1】．（24-25高二上·全国·课后作业）如图，在直三棱柱中，侧面是正方形，分别为棱的中点，且． (1)求的值； (2)用向量法证明：平面平面． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由题意可得，，所以以为坐标原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系，即可求解； （2）通过证明平面与平面的法向量的数量积为，即可证明. 【详解】（1）在直三棱柱中，， 又平面， 所以平面，因此两两垂直． 建立如图所示的空间直角坐标系， 则． 所以， 所以． （2）由（1）知， ， 设平面BEA的法向量为，平面的法向量为， 则，即，令，则； ，即 令，则，所以， 所以平面平面． 【跟踪训练2】．（23-24高二下·湖北·期中）在中，，点分别为边的中点，将沿折起，使得平面平面.    (1)求证：； (2)在平面内是否存在点，使得平面平面？若存在，指出点的位置；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在点，点在直线（点在直线上且）上 【分析】（1）利用已知可得，结合面面垂直可得平面，可证结论. （2）以点为原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量，若，求得平面的一个法向量，可判断此情况不成立，若与不共线，设，连接，利用，可求得结论. 【详解】（1）在中，点D、E分别为边AC、AB的中点， 且. 又平面平面，平面平面平面， 平面. 又平面. （2）由（1）知，. 以点为原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系. 则. ， 设为平面的一个法向量， 则，取，则. 假设在平面内存在点，使得平面平面.连接. 若，则设.设平面的一个法向量为. 由，取，则. 平面的法向量.由知，此情况不成立. 若与不共线，设，连接.    设，则. 当，即时，. 又平面，即平面平面，也即平面平面. 所以在平面内存在点，当点在直线（点在直线上且）上时， 平面平面. 题型四、两条异面直线所成的角 【例4】．（24-25高二上·山西·期末）如图，在三棱柱中，侧面为菱形，侧面为矩形，平面平面，，为的中点，，，若点到直线的距离为2，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取的中点，证得平面，进而建系，利用异面直线夹角向量法求解即可； 【详解】取的中点，连接，则，因为平面平面， 且平面与平面交于，所以平面. 如图，以为坐标原点，分别以，的方向为轴、轴的正方向建立空间直角坐标系.设， 则，，，，所以，， 所以点到直线的距离， 解得.因为，， 所以， 即异面直线与所成角的余弦值为. 故选：D 【跟踪训练1】．（24-25高二上·山东德州·期末）如图，在三棱锥中，为等边三角形，为等腰直角三角形，，平面平面为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由面面垂直的性质定理结合题意可证得，，两两垂直，以为坐标原点，，，的方向分别为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系，分别表示出，，再由异面直线所成角的向量公式代入即可得出答案. 【详解】取的中点，连接，，因为，所以． 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面．又，所以， 可得，，两两垂直，所以以为坐标原点， ，，的方向分别为，，轴的正方向， 建立空间直角坐标系，不妨设，则，，，，所以， ， 所以， 又异面直线所成角的取值范围为， 所以异面直线与所成角的余弦值为． 故选：C. 【跟踪训练2】．（24-25高二上·吉林·期末）在直三棱柱中，，，分别是，的中点，，则与所成角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得所成角的余弦值，从而求得所求. 【详解】以点为坐标原点，分别以，，为轴，轴，轴的正方向， 建立空间直角坐标系，如图所示，设， 则，，，， ∴，， ∴直线和直线所成角的余弦值为. 故选：A． 题型五：线面角 【例五】．（25-26高三上·河北衡水·开学考试）如图，在四棱锥中，底面是正方形，，是的中点.    (1)证明：平面； (2)若平面平面，，，求直线与平面所成的角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接辅助线，利用中位线定理可得，根据线面平行判定定理即可证明； （2）建立空间直角坐标系，求出向量的坐标，平面的法向量坐标，根据直线与平面所成角的向量公式求解线面角的正弦值即可. 【详解】（1）如图，连接与相交于点，连接， 正方形的对角线和交于点， 又，， 又平面，平面，平面.    （2）如图，因为平面平面，平面平面，过点在平面内作的垂线，可得垂线垂直于平面， 又因为，则以为坐标原点，向量，方向分别为，轴的正方向，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 则，，，， 又由，，，可得点的坐标为，点的坐标为， 设平面的法向量为，由，， 有，取，，，可得平面的一个法向量为， 又由，有， 故直线与平面所成的角的正弦值为. 【跟踪训练1】．（25-26高二上·新疆·期中）在四棱锥中，底面，，，，．    (1)证明：； (2)求与平面所成的角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）利用线面垂直得到，利用直角三角形得到，从而可得线面垂直，进而可证线线垂直； （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用线面角的向量公式可得答案. 【详解】（1）证明：底面，平面， ， 取中点，连接， ，， ，又， ，， 为直角三角形，且为斜边， ， 又，平面，平面， 平面，又平面， ； （2）由（1）知，，，两两互相垂直，故建立如图所示的空间直角坐标系， ， 则， ， 设平面的一个法向量为，则，则可取， 设与平面所成的角为，则， 与平面所成的角的正弦值为． 【跟踪训练2】．（24-25高二下·江苏南京·期末）如图，在直三棱柱中，，，，分别为，的中点．    (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）由直棱柱的性质可得平面，则，而则由线面垂直的判定可得平面，则，而，则平面，再由线面垂直的性质可得结论； （2）以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量求解. 【详解】（1）证明：连接，    因为三棱柱为直三棱柱，所以平面， 又平面，所以， 又，，平面，所以平面， 又平面，则， 因为在直三棱柱中，，所以四边形为正方形， 所以， 因为，、平面，所以平面， 又平面，则． （2）因为直三棱柱中，， 所以，，两两垂直， 所以以为原点，分别以，，所在的直线为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，    则，，，，， 所以，，． 设平面的一个法向量为，则， 令可得． 设与平面所成角为， 所以， 即与平面成角的正弦值为， 所以与平面成角的余弦值为． 题型六、两个平面的夹角 【例6】．（25-26高三上·湖北武汉）如图1，在中，，、两点分别在、上，使.现将沿折起得到四棱锥，在图2中. (1)求证：平面； (2)求平面与平面所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）证明出，，再利用线面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）以点为原点，、、的方向分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得平面与平面所成角的余弦值； 【详解】（1）在图1的中，， 所以，，且，， 因为，所以，，则，， 在中，，，，则， 在图2的中，，，， 满足，所以， 因为，，，、平面， 所以平面. （2）因为平面，， 以点为原点，、、的方向分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、，，， 设平面一个的法向量，则， 取，可得， 设平面的一个法向量为，，， 则，取，则， 设平面与平面所成角为， 则， 因此，平面与平面所成角的余弦值为. 【跟踪训练1】．（25-26高三上·黑龙江）如图，在四棱锥上，底面为直角梯形，，，平面平面，为的中点，是棱上的点（不含端点），，，.    (1)求证：平面平面； (2)若二面角大小为，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据题设条件，首先证明四边形为平行四边形，从而得到.再利用，证明.最后利用平面平面的条件，证明平面，进而证明平面平面； （2）建立空间直角坐标系，利用向量表示点的位置，通过向量的点积和夹角公式，求解二面角大小为时，的值. 【详解】（1）证明：，，为的中点， 四边形为平行四边形，， 又，，即， 又平面平面，平面平面，平面，平面， 平面，平面平面； （2）解：，为的中点，， 平面平面，平面平面，平面，平面， 以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，    易知平面的法向量为， 又，，，，， 设，， ，又， 设平面的法向量为，则，即. 令，得， 二面角为，，解， 即，. 【跟踪训练2】．（25-26高二上·河北·开学考试）如图，在四棱锥中，平面，，记平面平面，平面． (1)证明：． (2)证明：平面平面． (3)已知，，求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据题意，利用线面平行的性质定理，分别证得和，可证； （2）由线面垂直的性质证得，再利用线面垂直的判定定理，证得平面，进而证得面面垂直； （3）建立空间直角坐标系，求得二面角的正弦值. 【详解】（1）证明：因为平面平面，平面，平面，所以． 因为平面平面，平面，平面，所以， 所以； （2）证明：因为平面，平面，所以， 因为，平面，平面，， 所以平面，平面，所以平面平面． （3）以A为原点，，，所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，． ，， 设平面的法向量为 则，即，可取 设平面的法向量为 则，即，可取 所以二面角的正弦值为． 题型七、距离问题 【例7】．（24-25高二上·辽宁·期中）如图，在直三棱柱中，，D是棱AC的中点，    (1)求C点到平面的距离. (2)求直线与平面所成的角的正弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立空间坐标系，利用点到平面的距离公式求解即可； （2）利用线面角的向量求法即可求解. 【详解】（1）由题意可知，两两垂直， 于是建立如图所示的空间直角坐标系,    则，，，， ∴，，. 设平面的一个法向量为， 即，令，则. 所以点C到平面的距离. （2）设直线与平面所成的角为， ， ， 所以直线与平面所成的角的正弦值为. 【跟踪训练1】．（23-24高二上·山东淄博·阶段练习）在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段AB的中点． (1)求直线与所成角的余弦值； (2)求直线到平面的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，进而根据向量夹角公式计算即可； （2）利用向量法求线面距离作答即可. 【详解】（1）在正方体中，以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，， 所以直线与所成角的余弦值为. （2）由（1）知，，，，， 显然，所以， 而平面，平面，于是平面， 因此直线到平面的距离等于点到平面的距离， 设平面的法向量为， 则，令，得， 所以点到平面的距离为， 所以直线FC到平面的距离是. 【跟踪训练2】．（22-23高二下·江苏常州·阶段练习）如图，正方体的棱长为2，点为的中点． (1)求点到平面的距离为； (2)求到平面的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法求点到平面的距离为即可； （2）利用法向量的来证明线面平行，将到平面的距离进行转化为点到面的距离即可. 【详解】（1）以为原点，所在的直线分别为轴如图建立空间直角坐标系， 则， 所以，                     设平面的一个法向量为， 则， 令， 所以平面所的法向量为，又 所以点到平面的距离. （2）由（1）可得平面的法向量为， ∵，∴， ， ， ∴平面，                  所以到平面的距离可以转化为点到平面的距离， 由， 所以到平面的距离为. 题型八：空间线段的存在性问题 【例8】．（24-25高二下·广东深圳·期中）图1是边长为的等边三角形，点、分别在、上，且．将沿折起到的位置，连接、，如图2，若． (1)证明：平面平面； (2)在线段上是否存在点，使直线与平面所成的角为？若存在，求的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，且 【分析】（1）利用勾股定理可证得，，利用线面垂直、面面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）假设在线段上存在点，使平面与平面所成的角为，以为原点，、、所在的直线分别为、、轴建立空间直角坐标系， 设，利用空间向量法可得出关于的等式，解出的值，即可得出结论. 【详解】（1）翻折前，是边长为的等边三角形， 因为，，． 由余弦定理得． 因为，所以，折叠后有． 在四棱锥中，连接，如下图所示： 在中，，，， 由余弦定理可得， 因为，，所以，所以， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，故平面平面. （2）翻折前，翻折后，则有，又平面， 以为原点，以点、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 过作交于点， 设，则，，， 易知，，，所以. 因为平面，所以平面的一个法向量为， 因为直线与平面所成的角为， 所以，解得. 所以，满足，符合题意. 所以在线段上存在点P，使直线与平面所成的角为，此时. 【跟踪训练1】．（24-25高二上·山东临沂·阶段练习）如图1，在边长为2的菱形中，于点，将沿折起到的位置，使，如图2． (1)求证：平面； (2)求点B到平面的距离； (3)在线段上是否存在点，使平面平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在 ， 【分析】（1）根据线面垂直先证得，再结合可证得结论； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法来求得点B到平面的距离. （3）设，根据平面与平面的法向量垂直建立等量关系求得即可． 【详解】（1）证明：，， 又平面平面， 所以平面， 平面，， 又平面平面， 平面； （2）平面， ∴ 以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 则，， ，设平面的法向量为， 则，故可设.， 所以点B到平面的距离为. （3）存在，理由如下： 假设在线段上存在一点，使得平面平面， 设， 则，， ， 设平面的法向量， 由， 得， 令，得． 设平面的法向量为， ， 故， 取，得． 因为平面平面， 所以， 解得， 所以在线段上存在点，使得平面平面，且． 【跟踪训练2】．（24-25高二上·云南曲靖·期中）如图，在四棱锥中，侧棱底面，底面是直角梯形，，，，，是棱的中点. (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值； (3)在线段上是否存在一点使得与平面所成角的正弦值为？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在，且 【分析】（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可证得平面； （2）利用空间向量法可求得二面角的余弦值； （3）假设存在满足题意的点，且，求出向量的坐标，利用空间向量法可得出关于的方程，结合的取值范围可求出的值，由此可得出结论. 【详解】（1）因为底面，， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、、， 则，，. 设平面的法向量是，则， 令，则，，于是. 因为，所以，， 又因为平面，所以，平面. （2）设平面的法向量为，则，， 则，取，可得，，则， 设二面角的平面角大小为，则为锐角， 所以，， 所以，二面角的平面角的余弦值为. （3）假设存在满足题意的点，且， 则 由于平面的一个法向量， 由题意可得：， 整理可得，解得， 据此可得存在满足题意的点，且. 【高分演练】 一、单选题 1．（2025高二上·江苏·专题练习）若平面的法向量为，平面的法向量为，直线的方向向量为，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】利用平面的法向量、直线的方向向量逐项计算判断即得. 【详解】对于A，由，得，则，解得，A错误； 对于B，由，得，则，解得，B错误； 对于C，由，得，， 则，则或，C错误； 对于D，由，得，， 则，则，D正确. 故选：D 2．（25-26高二上·黑龙江·开学考试）如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，为的重心，，且，，则点到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，确定相关点以及向量的坐标，利用点到直线的距离的向量求法，即可得答案. 【详解】如图，以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，由，可得， 为的重心，所以，，， 则，，， 故点到直线的距离为. 故选：A 3．（25-26高二上·全国·课前预习）如图，正方体的棱长为1，若点M为AB的中点，，则与MN所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以D为原点建立空间直角坐标系，用异面直线所成角的向量法求解公式计算. 【详解】以D为原点，分别以DA，DC，所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，． 则，故与MN所成角的余弦值为． 故选：A. 4．（2025高二·全国·专题练习）如图，在棱长为1的正方体中，为的中点，则点到平面的距离为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用点到平面的距离公式求解即可. 【详解】分别以，，为轴、轴、轴正方向建立空间直角坐标系，    则，，，， ，， 设平面的一个法向量，由，得，取，得， 又， 点到平面的距离为， 故选：D． 5．（24-25高二下·江苏扬州·期中）在长方体中，，点E在棱BC上，且，点G为的重心，则点G到直线AE的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间向量求出点到直线的距离. 【详解】在长方体中，建立如图所示的空间直角坐标系， 由，得， 由点E在棱BC上，且，得，的重心， 则，，，， 所以点G到直线AE的距离. 故选：A 6．（24-25高二下·重庆·阶段练习）在棱长为4的正方体中，分别是棱的中点，过作平面，使得，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，取中点，平面即为平面再根据线面角的向量法求解即可. 【详解】如图，以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， 取中点，因为是棱的中点，故， 又平面，平面，则平面， 故平面即为平面 ， ， 设平面的一个法向量为，即， 令则，即为平面的一个法向量， 线面角的正弦值为. 故选：C 7．（24-25高二下·山东菏泽·开学考试）如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，则直线到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用空间向量法来求平行线与平行平面间的距离即可. 【详解】 以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则， ，即 平面平面平面 直线到平面的距离为点到平面的距离. 设平面的法向量为，则即 令，则 点到平面的距离为. 故选：D. 8．（24-25高二上·河北廊坊·期末）如图，在三棱锥中，，且，，两两垂直，M，N分别为，的中点，则异面直线和夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先通过已知条件建立空间直角坐标系，求出向量和的坐标，再利用向量夹角余弦值公式计算异面直线和夹角的余弦值. 【详解】因为，，两两垂直，所以以为原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系. 已知，则，，，. 因为为的中点，根据中点坐标公式可得点坐标为. 又因为为的中点，所以.   由坐标可得. .   先计算. 再计算，. 所以. 但异面直线夹角范围是，所以异面直线和夹角的余弦值为. 故选：D. 二、多选题 9．（25-26高二上·广西南宁·开学考试）已知向量，，，则下列说法正确的是（    ）． A． B． C．是平面的一个法向量 D． 【答案】BCD 【分析】先求出，再结合模的坐标表示求解判断A；先求出，再根据空间向量数量积的坐标表示判断B；根据空间向量数量积的坐标表示判断D；结合，即可判断C. 【详解】对于A，因为，所以，选项A错误； 对于B，因为，所以， 则，选项B正确； 对于D，因为，所以，选项D正确． 对于C，因为，，，且平面， 所以是平面的一个法向量，选项C正确. 故选：BCD. 10．（25-26高二上·湖南邵阳·阶段练习）在正三棱柱中，，是的中点，是线段上的动点，则（   ） A． B．正三棱柱的体积为 C．若，则 D．直线与是异面直线 【答案】ACD 【分析】由正三棱柱的性质可判断A；由棱柱的体积公式可判断B；建立空间直角坐标系利用可判断C；设，计算出可判断D . 【详解】因为平面，平面，所以，故A正确； 正三棱柱的体积，故B错误； 取的中点，连接，因为，，所以四边形为平行四边形， 所以，因为平面，所以平面， 又因为平面，所以，， 因为，为中点，所以，设， 以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，若， 即，所以，故C正确； ，设， 即， 解得，与矛盾，所以不是共面向量， 即与是异面直线，故D正确. 故选：ACD 11．（25-26高二上·全国·单元测试）如图，在三棱锥中，，平面，，E，F，G，H分别为，，，的中点，M是的中点，N是线段GH上的动点，则（    ）． A．存在，，使得 B．不存在点N，使得 C．的最小值为 D．异面直线AC与EF所成角的余弦值为 【答案】BC 【分析】建立空间直角坐标系用向量判断线线垂直及夹角，长度等问题. 【详解】在三棱锥中，，平面，故，，，两两垂直，以B为坐标原点， 以，，分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 则，，，，，，． 所以，，． 由，得，则，方程组无解， 因此不存在a，b使得，故A错误； 由N是线段上的动点，设，则，， 由，所以不存在点N，使得，故B正确； ，当且仅当时取等号，故C正确； ，，所以，，， 则，所以异面直线AC与EF所成角的余弦值为，故D不正确． 故选：BC. 12．（24-25高二下·甘肃临夏·期末）如图，正方体的棱长为2，点E在线段上运动，则（    ）    A．三棱锥的体积为定值 B． C．若E为线段的中点，则点E到直线的距离为 D．存在某个点E，使直线与平面所成角为 【答案】ABC 【分析】利用正方体的性质，结合三棱锥体积公式、线线垂直判定、点到直线距离公式，线面角的定义来逐一分析选项. 【详解】对于A,,所以A正确. 对于B,连接，如图：    在正方体中，， 所以平面，又因为平面， 所以，所以B正确. 对于C,当E为线段的中点，以D为原点，建立如图所示空间直角坐标系：    则， 即 所以点E到直线的距离， 所以C正确. 对于D,由上面空间直角坐标系可知，，      所以平面的法向量，设， 则，设直线与平面所成角为，则 ， 若直线与平面所成角为， 则， 又，所以方程无解，D错误. 故选：ABC. 13．（25-26高二上·全国·期中）如图，在多面体中，平面，四边形是正方形，且，，分别是线段的中点，是线段上的一个动点（不含端点），则下列说法正确的是（    ） A．存在点，使得 B．不存在点，使得异面直线与所成的角为 C．当点运动到中点时，平面的法向量可以为 D．三棱锥体积的取值范围为 【答案】BCD 【分析】以点为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，假设存在点使得，利用向量数量积为0求出可判断A；假设存在点，使得异面直线与所成的角为，由向量夹角公式计算可判断B；求出平面的法向量可判断C；对于D，方法一   利用向量法求出点到平面距离，再求三棱锥的体积可判断D；方法二  利用等体积可判断D． 【详解】以为坐标原点，以所在直线分别为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则． 对于A，假设存在点，使得， 因为，，所以， 解得，不合题意，故A错误； 对于B，假设存在点，使得异面直线与所成的角为， 因为，， 所以， 解得，不符合， 则不存在点，使得异面直线与所成的角为，故B正确； 对于C，当点运动到中点时，，又，， 所以，， 设是平面的法向量， 则，令，则，故C正确； 对于D，方法一   因为，， 所以， ，则 ， 设是平面的法向量，则， 令，则，设， 则， 则点到平面的距离， 则三棱锥的体积为， 因为，所以，故D正确． 方法二 设，则， 因为， ， 点到平面的距离， 所以，因为， 所以，故D正确． 故选：BCD. 三、填空题 14．（24-25高二上·辽宁·期中）平面α的一个法向量，点在内，则平面外点到平面的距离为 ． 【答案】 【分析】利用点到平面的距离公式即可求解. 【详解】因为，，， 所以点到平面的距离. 故答案为： 15．（25-26高二上·全国·课后作业）在直棱柱中，，是的中点，，．则二面角的余弦值是 ． 【答案】 【分析】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，写出需要点的坐标，求出平面和平面的法向量，利用向量夹角余弦计算二面角的余弦值． 【详解】如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，． 设平面的法向量为， 则 令，则，，即． 易知平面，故平面的一个法向量为， 则． 由图形可知二面角为钝二面角， ∴二面角的余弦值为． 故答案为：． 16．（24-25高二上·广东广州·期中）《九章算术》是我国古代数学名著，书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”．如图，在阳马中，底面，底面是矩形，，，是的中点，．若点在矩形内，且平面，则 ． 【答案】/ 【分析】建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量，设点，求得，通过平面，建立关于的方程，确定的值，结合两点间的距离公式即可求解. 【详解】如图，以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 设平面的法向量为，则， 令，得． 设，则． 因为平面，所以，则，解得，， 所以，，故． 故答案为： 17．（24-25高一下·天津武清·阶段练习）如图，在正四棱柱中，，，则异面直线与所成角的余弦值为 ；二面角的正弦值为 ． 【答案】 /0.8 【分析】建立空间直角坐标系，求得结合向量的夹角公式，即可求出直线与所成角的余弦值；分别求得平面和平面的一个法向量为，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】如图，以点为原点，分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系，则． 所以. 异面直线与所成角的余弦值为. 设面一个法向量为， 由，得，令， 则，设面一个法向量为， ∴， 所以二面角的正弦值为. 故答案为：；. 四、解答题 18．（25-26高三上·海南海口）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，为等边三角形，，，．    (1)求证：； (2)若四棱锥的体积为，求平面与平面的夹角正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）先证平面，根据线面垂直的定义得证线线垂直. （2）先根据四棱锥的体积求四棱锥的高，进而求得，从而建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，再利用空间向量法即可求两个平面夹角的正弦值. 【详解】（1）如图所示，取的中点，连接，    因为，所以且， 所以四边形是平行四边形，则， 因为，所以， 又为等边三角形，所以， 因为平面，所以平面， 因为平面， 所以． （2）设四棱锥的高为， 由题设，得，则， 由题设知，所以底面， 因为底面，所以， 故可以点为坐标原点，直线为轴、为轴、为轴建立如图所示空间直角坐标系，    则， 所以，，，， 设平面的一个法向量为， 则，则， 令，则，所以； 设平面的法向量为， 则，则， 令，则，所以， 所以， 设平面与平面的夹角为，则，所以， 即平面与平面的夹角正弦值为． 19．（2025·全国·模拟预测）在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，为的中点，如图所示． (1)证明：平面； (2)若为等边三角形，平面平面，，求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取的中点，连接，由题设先证明四边形为平行四边形，可得，进而求证即可； （2）取的中点的中点，连接，由面面垂直的性质得到平面，进而建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【详解】（1）如图所示，取的中点，连接． 由分别为的中点，则， 而，得， 即四边形为平行四边形，故， 而平面平面，故平面． （2）取的中点的中点，连接， 由为等边三角形，则． 由平面平面，平面平面平面， 故平面． 由， 以为坐标原点，分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系． 则，， 则． 设平面的一个法向量为， 则，即，取，得， 设平面的一个法向量为， 则，即，取，得． 则．     由图形知，二面角为锐二面角， 故二面角的余弦值为． 20．（2025·四川绵阳·模拟预测）如图，平面平面，是边长为的等边三角形，为直角三角形，，， (1)当M为AB的中点时，求三棱锥的体积； (2)求二面角的正弦值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）连接SM，MC，作AC的中点N，连接SN，根据面面垂直的性质定理得SN是三棱锥的高，再应用棱锥的体积公式求三棱锥的体积； （2）连接MN，根据已知构建合适的空间直角坐标系，标注出相关点坐标，求相关平面的法向量，再应用向量法求夹角余弦值，进而得到其正弦值. 【详解】（1）如图，连接SM，MC，作AC的中点N，连接SN， 是边长为的等边三角形，N是AC的中点，所以，， 平面平面ACB，平面平面，平面， 根据面面垂直的性质定理知平面ABC，所以SN是三棱锥的高， 由题意知：， 故三棱锥的体积为. （2）连接MN，在中，，，所以， 结合（1）易知SN，MN，AC两两垂直，建立空间直角坐标系，如图， ∴，，，， ∴，，， 设，分别是面ASB、面CSB的法向量， 则，令，则， ，令，则， 所以，，， ∴与所成的角的余弦值为，正弦值为， 故二面角的正弦值为. 21．（25-26高二上·陕西西安）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，且，，，，平面. (1)求证：平面； (2)求与平面所成的角的正弦值. (3)求二面角的大小. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【分析】（1）先在底面梯形中证明对角线互相垂直，再由直线与平面垂直的判定定理可得； （2）直接用空间向量的方法求直线与平面所成的角的正弦值； （3）直接用空间向量的方法求二面角. 【详解】（1）因为，所以在中，，，所以. 又底面为直角梯形，，所以且， 所以在中，，，所以. 故在中，，， 所以，且，， 因为在上单调递增，所以，即， 所以，得. 又因为平面，平面，所以. 因为，，平面，平面，， 故平面 （2）以为空间直角坐标系的原点，以所在直线为轴，以所在直线为，以过点垂直平面的直线为轴， 建立空间直角坐标系如图.则，，，，. 所以，，. 设平面的法向量为， 则，，令，得，，得. 所以， 故与平面所成的角的正弦值为. （3）由（2）知平面的法向量为， 再设平面的法向量为，且，， 则，得，令，得，，即. 所以，得， 所以平面平面， 故二面角的大小为. 22．（25-26高二上·黑龙江大庆·开学考试）如图，已知正方形的边长为分别为的中点，沿将四边形折起，使二面角的大小为为线段上一点（含端点）. (1)若为线段中点，设直线与直线的交点为，证明：平面； (2)是否存在点，使得直线与平面所成的角为？若存在，求此时线段的长；若不存在，请说明理由； (3)求点到平面的距离的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在点，当或时，使得直线与平面所成的角为 (3) 【分析】（1）由，结合线面平行判定定理可证得结论； （2）由二面角平面角定义可知，取中点，由线面垂直的判定和勾股定理可知两两互相垂直，则以为坐标原点建立空间直角坐标系；设，利用线面角的向量求法可求得即可. （3）由点到平面的距离结合二次函数在区间的值域求解即可. 【详解】（1）分别为中点，，且， 又为中点，且， 易得， 连接，交于点，连接， 由题设，易知四边形为平行四边形，为中点， 是的中点，为中点， ，又平面，平面， 平面； （2），，， 又平面，平面， 即为二面角的平面角，； 取中点，连接， ，， ，，，， ，，又平面，， 平面，平面，， 则以为坐标原点，方向为轴正方向建立空间直角坐标系如下图所示， 则，，，， 设，则，，， 设平面的法向量，则， 令，则，，， 直线与平面所成的角为， ，解得或， 存在点，当或时，使得直线与平面所成的角为. （3）由（2）可得，平面的法向量，， 所以点到平面的距离， 令， 所以，， 所以，即, 故点到平面的距离的取值范围为 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.4：空间向量的应用 【考点归纳】 【知识梳理】 知识点一　空间中直线、平面的向量表示 1．直线的方向向量：在直线l上取非零向量a，我们把与向量a平行的非零向量称为直线 l 的方向向量． 2．平面的法向量：如图，若直线 l⊥α ，取直线 l 的方向向量a ，我们称a为平面α的法向量；过点A且以 a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合 {P|a·＝0}． 知识点二　线线、线面、面面平行的向量表示 1．设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2⇔u1∥u2⇔∃λ∈R，使得u1＝λu2. 2．设u是直线 l 的方向向量，n是平面α的法向量，l⊄α，则l∥α⇔u⊥n⇔u·n＝0. 3．设n1 ，n2 分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇔n1∥n2⇔∃λ∈R，使得n1＝λn2 . 知识点三　线线、线面、面面垂直的向量表示 1．设 u1，u2 分别是直线 l1 , l2 的方向向量，则l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0. 2．设u是直线 l 的方向向量，n是平面α的法向量， l⊄α，则l⊥α⇔u∥n⇔∃λ∈R，使得u＝λn. 3．设n1，n2 分别是平面α，β的法向量，则α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0. 知识点三　点P到直线 l 的距离 已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设向量=a，则向量在直线l上的投影向量为＝，则点P到直线l的距离为 (如图)． 知识点四　点P到平面α的距离 设平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，则点P到平面α的距离为(如图)． 知识点五　两个平面的夹角 平面α与平面β的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90° 的二面角称为平面α与平面β的夹角． 知识点六　 空间角的向量法解法 角的分类 向量求法 范围 两条异面直线所成的角 设两异面直线 l1，l2 所成的角为θ，其方向向量分别为u，v，则cos θ＝|cos〈u，v〉|＝ 直线与平面所成的角 设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos 〈u，n〉|＝ 两个平面的夹角 设平面α与平面β的夹角为θ，平面α，β的法向量分别为n1，n2，则cos θ＝|cos 〈n1，n2〉|＝ 【例题详解】 题型一、求平面的法向量 【例1】．（24-25高二上·全国）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点，，，，试求直线的一个方向向量和平面的一个法向量. 【跟踪训练1】．（25-26高二上·全国）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．在鳖臑中，平面，，．若建立如图所示的空间直角坐标系，求平面的一个法向量． 【跟踪训练2．（2024高二上·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，平面⊥平面，是边长为1的正三角形，是菱形，，E是的中点，F是的中点，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面的一个法向量.    题型二、证明线面、面面平行 【例2】．（2025高三·全国·专题练习）如图，在三棱柱中，分别是的中点，平面，且，，.求证：平面. 【跟踪训练1】．（2024高二上·全国·专题练习）如图所示，在直角梯形中，，，，是的中点，分别为的中点，将沿折起，使得平面，试用向量方法证明平面. 【跟踪训练2】．（22-23高二上·天津蓟州·阶段练习）如图，在长方体中，，，. (1)求证：平面平面. (2)线段上是否存在点P，使得平面？若存在，求出点P的位置；若不存在，请说明理由. 题型三、证明线面、面面垂垂直问题 【例3】．（25-26高二上·全国·课前预习）如图，在直三棱柱中，侧面是正方形，，，分别为棱，的中点，.用向量法证明：平面平面. 【跟踪训练1】．（24-25高二上·全国·课后作业）如图，在直三棱柱中，侧面是正方形，分别为棱的中点，且． (1)求的值； (2)用向量法证明：平面平面． 【跟踪训练2】．（23-24高二下·湖北·期中）在中，，点分别为边的中点，将沿折起，使得平面平面.    (1)求证：； (2)在平面内是否存在点，使得平面平面？若存在，指出点的位置；若不存在，说明理由. 题型四、两条异面直线所成的角 【例4】．（24-25高二上·山西·期末）如图，在三棱柱中，侧面为菱形，侧面为矩形，平面平面，，为的中点，，，若点到直线的距离为2，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】．（24-25高二上·山东德州·期末）如图，在三棱锥中，为等边三角形，为等腰直角三角形，，平面平面为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】．（24-25高二上·吉林·期末）在直三棱柱中，，，分别是，的中点，，则与所成角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 题型五：线面角 【例五】．（25-26高三上·河北衡水·开学考试）如图，在四棱锥中，底面是正方形，，是的中点.    (1)证明：平面； (2)若平面平面，，，求直线与平面所成的角的正弦值. 【跟踪训练1】．（25-26高二上·新疆·期中）在四棱锥中，底面，，，，．    (1)证明：； (2)求与平面所成的角的正弦值． 【跟踪训练2】．（24-25高二下·江苏南京·期末）如图，在直三棱柱中，，，，分别为，的中点．    (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的余弦值． 题型六、两个平面的夹角 【例6】．（25-26高三上·湖北武汉）如图1，在中，，、两点分别在、上，使.现将沿折起得到四棱锥，在图2中. (1)求证：平面； (2)求平面与平面所成角的余弦值. 【跟踪训练1】．（25-26高三上·黑龙江）如图，在四棱锥上，底面为直角梯形，，，平面平面，为的中点，是棱上的点（不含端点），，，.    (1)求证：平面平面； (2)若二面角大小为，求的值. 【跟踪训练2】．（25-26高二上·河北·开学考试）如图，在四棱锥中，平面，，记平面平面，平面． (1)证明：． (2)证明：平面平面． (3)已知，，求二面角的正弦值． 题型七、距离问题 【例7】．（24-25高二上·辽宁·期中）如图，在直三棱柱中，，D是棱AC的中点，    (1)求C点到平面的距离. (2)求直线与平面所成的角的正弦值. 【跟踪训练1】．（23-24高二上·山东淄博·阶段练习）在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段AB的中点． (1)求直线与所成角的余弦值； (2)求直线到平面的距离． 【跟踪训练2】．（22-23高二下·江苏常州·阶段练习）如图，正方体的棱长为2，点为的中点． (1)求点到平面的距离为； (2)求到平面的距离． 题型八：空间线段的存在性问题 【例8】．（24-25高二下·广东深圳·期中）图1是边长为的等边三角形，点、分别在、上，且．将沿折起到的位置，连接、，如图2，若． (1)证明：平面平面； (2)在线段上是否存在点，使直线与平面所成的角为？若存在，求的长；若不存在，请说明理由． 【跟踪训练1】．（24-25高二上·山东临沂·阶段练习）如图1，在边长为2的菱形中，于点，将沿折起到的位置，使，如图2． (1)求证：平面； (2)求点B到平面的距离； (3)在线段上是否存在点，使平面平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【跟踪训练2】．（24-25高二上·云南曲靖·期中）如图，在四棱锥中，侧棱底面，底面是直角梯形，，，，，是棱的中点. (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值； (3)在线段上是否存在一点使得与平面所成角的正弦值为？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 【高分演练】 一、单选题 1．（2025高二上·江苏·专题练习）若平面的法向量为，平面的法向量为，直线的方向向量为，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（25-26高二上·黑龙江·开学考试）如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，为的重心，，且，，则点到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·全国·课前预习）如图，正方体的棱长为1，若点M为AB的中点，，则与MN所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 4．（2025高二·全国·专题练习）如图，在棱长为1的正方体中，为的中点，则点到平面的距离为（    ）    A． B． C． D． 5．（24-25高二下·江苏扬州·期中）在长方体中，，点E在棱BC上，且，点G为的重心，则点G到直线AE的距离为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·重庆·阶段练习）在棱长为4的正方体中，分别是棱的中点，过作平面，使得，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二下·山东菏泽·开学考试）如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，则直线到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·河北廊坊·期末）如图，在三棱锥中，，且，，两两垂直，M，N分别为，的中点，则异面直线和夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（25-26高二上·广西南宁·开学考试）已知向量，，，则下列说法正确的是（    ）． A． B． C．是平面的一个法向量 D． 10．（25-26高二上·湖南邵阳·阶段练习）在正三棱柱中，，是的中点，是线段上的动点，则（   ） A． B．正三棱柱的体积为 C．若，则 D．直线与是异面直线 11．（25-26高二上·全国·单元测试）如图，在三棱锥中，，平面，，E，F，G，H分别为，，，的中点，M是的中点，N是线段GH上的动点，则（    ）． A．存在，，使得 B．不存在点N，使得 C．的最小值为 D．异面直线AC与EF所成角的余弦值为 12．（24-25高二下·甘肃临夏·期末）如图，正方体的棱长为2，点E在线段上运动，则（    ）    A．三棱锥的体积为定值 B． C．若E为线段的中点，则点E到直线的距离为 D．存在某个点E，使直线与平面所成角为 13．（25-26高二上·全国·期中）如图，在多面体中，平面，四边形是正方形，且，，分别是线段的中点，是线段上的一个动点（不含端点），则下列说法正确的是（    ） A．存在点，使得 B．不存在点，使得异面直线与所成的角为 C．当点运动到中点时，平面的法向量可以为 D．三棱锥体积的取值范围为 三、填空题 14．（24-25高二上·辽宁·期中）平面α的一个法向量，点在内，则平面外点到平面的距离为 ． 15．（25-26高二上·全国·课后作业）在直棱柱中，，是的中点，，．则二面角的余弦值是 ． 16．（24-25高二上·广东广州·期中）《九章算术》是我国古代数学名著，书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”．如图，在阳马中，底面，底面是矩形，，，是的中点，．若点在矩形内，且平面，则 ． 17．（24-25高一下·天津武清·阶段练习）如图，在正四棱柱中，，，则异面直线与所成角的余弦值为 ；二面角的正弦值为 ． 四、解答题 18．（25-26高三上·海南海口）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，为等边三角形，，，．    (1)求证：； (2)若四棱锥的体积为，求平面与平面的夹角正弦值． 19．（2025·全国·模拟预测）在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，为的中点，如图所示． (1)证明：平面； (2)若为等边三角形，平面平面，，求二面角的余弦值． 20．（2025·四川绵阳·模拟预测）如图，平面平面，是边长为的等边三角形，为直角三角形，，， (1)当M为AB的中点时，求三棱锥的体积； (2)求二面角的正弦值. 21．（25-26高二上·陕西西安）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，且，，，，平面. (1)求证：平面； (2)求与平面所成的角的正弦值. (3)求二面角的大小. 22．（25-26高二上·黑龙江大庆·开学考试）如图，已知正方形的边长为分别为的中点，沿将四边形折起，使二面角的大小为为线段上一点（含端点）. (1)若为线段中点，设直线与直线的交点为，证明：平面； (2)是否存在点，使得直线与平面所成的角为？若存在，求此时线段的长；若不存在，请说明理由； (3)求点到平面的距离的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $