第一章 直角三角形的边角关系 小结与复习 课件 2025-2026学年北师大版数学九年级下册

该初中数学课件系统梳理了直角三角形边角关系的核心内容，涵盖锐角三角函数定义、特殊角值、解直角三角形依据与方法、计算器应用及实际问题中的仰角俯角等知识。通过表格归纳特殊角值、步骤总结解题过程等方式，构建从概念到应用的逻辑网络，强化知识点间的内在联系。 其亮点在于采用“考点例题-针对训练-分层作业”复习策略，如通过测教学楼高度实例培养数学眼光和应用意识。必做与选做作业满足不同学生需求，助力学生巩固知识，也为教师提供精准复习的教学支持。

第 1 页：封面页 标题：第一章 直角三角形的边角关系 小结与复习 副标题：北师大版九年级数学下册 配图：包含直角三角形、三角函数符号、测高场景的综合知识示意图 落款：授课教师 / 日期 第 2 页：章节知识框架 第 3 页：核心知识点 1・锐角三角函数 定义（在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C 对边分别为 a、b、c）： 三角函数 定义表达式 取值范围（0°<∠A<90°） sinA sinA = a/c 0 < sinA < 1 cosA cosA = b/c 0 < cosA < 1 tanA tanA = a/b tanA > 0 性质： 互余角的三角函数关系：sinA = cos (90°-A)，cosA = sin (90°-A)，tanA = cot (90°-A)（cotA=1/tanA）。 增减性：当 0°<∠A<90° 时，sinA、tanA 随∠A 增大而增大，cosA 随∠A 增大而减小。 第 4 页：核心知识点 2・特殊角的三角函数值 特殊角三角函数值表： 角度 θ sinθ cosθ tanθ 30° 1/2 √3/2 √3/3 45° √2/2 √2/2 1 60° √3/2 1/2 √3 记忆技巧： 30°、45°、60° 的 sin 值依次为√1/2、√2/2、√3/2，cos 值与 sin 值 “倒序对应”。 tan 值 = sin 值 /cos 值，30°tan 值为√3/3，45°tan 值为 1，60°tan 值为√3。 应用：直接代入计算含特殊角的三角函数表达式，如计算 sin60°+2tan30°=√3/2 + 2×(√3/3)=7√3/6。 第 5 页：核心知识点 3・解直角三角形 定义：由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程（已知元素需满足 “两个且至少一个是边”）。 求解依据： 两锐角关系：∠A + ∠B = 90°。 三边关系（勾股定理）：a² + b² = c²。 边角关系（三角函数）：sinA=a/c、cosA=b/c、tanA=a/b。 两类基本题型： 题型 已知条件 求解步骤 1 一边一角 1. 用互余求另一角；2. 选三角函数求未知边 2 两条边 1. 用勾股定理求第三边；2. 用三角函数求锐角 第 6 页：核心知识点 4・三角函数的实际应用 四大典型场景： 仰角俯角问题：视线与水平线的夹角，构建直角三角形时需注意测角仪高度，物体总高度 = 垂直高度 + 仪器高度。 坡角坡度问题：坡度 i = 垂直高度 / 水平宽度 = tanα（α 为坡角），常结合勾股定理求斜坡长度。 方位角问题：以正北 / 正南为基准描述方向，先确定三角形内角，再判断是否为直角三角形求解。 测高问题：分 “底部可到达”（单观测点，用 tanα= 高度 / 水平距离）和 “底部不可到达”（双观测点，列方程组求解）。 通用解题流程：审题意→画图形→标元素→选公式→算结果→验答案。 第 7 页：典例精讲・综合应用题 例题：如图，某景区有一座塔 AB，在塔底 B 的正前方水平地面上有一点 C，测得塔顶 A 的仰角为 60°，沿 CB 方向后退 20m 到达点 D，测得塔顶 A 的仰角为 30°，求塔 AB 的高度（结果保留根号）。 解答步骤： 设未知数：设 AB=x m，在 Rt△ABC 中，∠ACB=60°，则 BC=AB/tan60°=x/√3。 在 Rt△ABD 中：∠ADB=30°，则 BD=AB/tan30°=x√3。 找等量关系：BD - BC = CD=20m，即 x√3 - x/√3=20。 解方程：通分得 (3x - x)/√3=20 → 2x=20√3 → x=10√3。 结论：塔 AB 的高度为 10√3 m。 思路提炼：利用两次仰角构建两个直角三角形，通过公共边（塔高）建立方程求解，适用于 “底部可到达但需两次观测” 的场景。 第 8 页：易错警示与避坑指南 常见易错点： 三角函数定义混淆：误将 “邻边”“对边” 判断错误（如在 Rt△ABC 中，求 sinB 时误用 a/c，正确应为 b/c）。 特殊角值记错：如将 sin30° 记为√3/2，tan60° 记为√3/3，建议通过表格或图像强化记忆。 忽略实际细节：测高时忘记加测角仪高度，坡度问题中混淆 “垂直高度” 与 “斜坡长度”。 方位角理解偏差：将 “北偏东 30°” 与 “东偏北 30°” 混淆，需明确以正北 / 正南为起始方向。 避坑技巧： 解题前先标注直角三角形的 “直角、已知角、对边、邻边、斜边”，避免边角对应错误。 计算含特殊角的题目时，先写出对应函数值再代入，减少计算失误。 实际应用题中，根据题意画出示意图，标注所有已知条件和未知量，理清数量关系。 第 9 页：章节综合测试（基础 + 提升） 基础题（巩固核心知识）： 计算：sin45°・cos45° + tan60°・sin60°。 在 Rt△ABC 中，∠C=90°，a=2，tanA=1/2，求 b、c 的值。 提升题（综合应用）： 某山坡的坡度 i=1:3，沿山坡向上走 100m，求上升的垂直高度（结果保留根号）。 一艘轮船从港口 A 出发，沿北偏西 60° 方向航行 40nmile 到达 B 处，再沿南偏西 30° 方向航行至 C 处，若 A、C 两点相距 40nmile，求 B、C 两点的距离。 第 10 页：总结与学习建议 知识总结： 本章核心是 “直角三角形的边角关系”，通过三角函数建立边与角的关联，实现 “由已知求未知”。 解直角三角形是基础，三角函数的实际应用是重点，需掌握不同场景的模型构建方法。 学习建议： 梳理知识框架：结合思维导图，将零散知识点串联成体系，强化知识间的逻辑联系。 多练典型题目：通过基础题巩固公式，通过应用题提升建模能力，重点突破薄弱题型（如方位角、双观测点测高）。 重视错题反思：整理错题本，分析错误原因（如定义混淆、计算失误、模型错误），避免重复犯错。 联系生活实际：观察生活中的测高、坡度等场景，尝试用数学知识解决，感受数学的实用性。 2025-2026学年北师大版数学九年级下册【示范课精品课件】 授课教师： . 班 级： . 时 间： . 小结与复习 第一章 直角三角形的边角关系 a i T u j m i a N g 一、锐角三角函数 1. 如图所示，在 Rt△ABC 中，∠C ＝ 90°， a，b，c 分别是 ∠A，∠B，∠C 的对边． (1) ∠A的正弦：sinA＝　　　　　　　　＝　　　； (2)∠A的余弦：cosA＝　　　　　　　　＝　　　； (3)∠A的正切：tanA＝　　　　　　　　＝　　　　. 2. 梯子的倾斜程度与 tanA、sinA 和cosA 的关系： tanA 的值越大，梯子越陡; sinA 的值越大，梯子越陡; cosA 的值越小，梯子越陡. 3. 锐角三角函数的增减性： 当角度在 0°～90° 之间变化时，正弦值和正切值随着角度的增大（或减小）而 _______ ； 余弦值随着角度的增大（或减小）而 _______ . 增大（或减小） 减小（或增大） 30°，45°，60°角的三角函数值 二、特殊角的三角函数 30° 45° 60° sin a cos a tan a 三角 函数 锐角 a 1. 解直角三角形的依据 (1) 在 Rt△ABC 中，∠C ＝ 90°，a，b，c 分别是 ∠A，∠B，∠C 的对边． 三边关系：　 　； 三角关系：　 ； 边角关系：sinA＝cosB＝　　　，cosA＝sinB＝ ， tanA＝　　　　　　，tanB＝　　　　　　. a2＋b2＝c2 ∠A＝90°－∠B　 三、解直角三角形 (2) 直角三角形可解的条件和解法 条件：解直角三角形时知道其中的 2 个元素(至少有一个是边)，就可以求出其余的 3 个未知元素． 解法：① 一边一锐角，先由两锐角互余关系求出另一锐角；知斜边，再用正弦(或余弦)求另两边；知直角边用正切求另一直角边，再用正弦或勾股定理求斜边；② 知两边：先用勾股定理求另一边，再用边角关系求锐角；③ 斜三角形问题可通过添加适当的辅助线转化为解直角三角形问题． 1. 利用计算器求三角函数值． 第二步：输入角度值， 屏幕显示结果. （有的计算器是先输入角度再按函数名称键） 四、锐角三角函数的计算 第一步：按计算器 、 、 键， 2. 利用计算器求锐角的度数． 第二步：然后输入函数值 屏幕显示答案（按实际需要进行精确） 第一步：按计算器 、 、 键， 还可以利用 键，进一步得到角的度数. 1.仰角和俯角 铅直线 水平线 视线 视线 仰角 俯角 　　在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角. 五、三角函数的应用 以正南或正北方向为准，正南或正北方向线与目标方向线构成的小于 90° 的角,叫做方向角.如图所示： 30° 45° B O A 东 西 北 南 2.方向角 45° 45° 西南 O 东北 东 西 北 南 西北 东南 α l h h : l （1）坡角 坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作 α . （2）坡度（或坡比） 坡度通常写成 1∶m 的形式，如 1∶6. 如图所示，坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l） 的比叫做坡面的坡度（或坡比），即 —. h l （3）坡度与坡角的关系 坡度等于坡角的正切值 坡面 水平面 3. 坡角 利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是： （1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）； （2）根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形； （3）得到数学问题的答案； （4）得到实际问题的答案． M N A α C E l a 1. 在测点 A 安置测倾器，测得 M 的仰角 ∠MCE = α ； 2. 量出测点 A 到物体底部 N 的水平距离 AN = l ； 3. 量出测倾器的高度 AC = a，可求出 MN 的高度. MN = ME + EN = l·tanα + a 1. 测量底部可以到达的物体的高度步骤： 六、利用三角函数测高 2. 测量东方明珠的高度的步骤是怎么样的呢？ M N 1.在测点 A 处安置测倾器，测得 M 的仰角∠MCE = α. A α C E 2. 在测点 A 与物体之间 B 处安置测倾器，测得此时 M 的仰角∠MDE = β. B D β 3.量出测倾器的高度 AC = BD = a，以及测点 A，B 之间的距离 AB = b. a b 根据测量的数据，你能求出物体MN的高度吗？ M N A α C E B D β a b CD = AB = CE－DE = =b ∴MN = + a ∴ME = 考点一 求三角函数的值 例1 在 △ABC 中，∠C ＝ 90°，sinA＝ ， 则 tanB ＝ (　　) A.　　 B.　 　 C.　 D. 【解析】 根据 sinA ＝ ，可设三角形的两边长分别为 4k，5k，则第三边长为3k，所以 tanB ＝ B 1. 如图，在网格中，小正方形的边长均为 1，点 A，B，C 都在格点上，则 ∠ABC 的正弦值是________. 针对训练 2. 用计算器求下列各式的值： （1）cos63°17′ ≈ ______； （2）tan27.35° ≈ ______； （3）sin39°57′6″ ≈ ______． 0.45 0.52 0.64 3. 已知 sinα = 0.2，cosβ = 0.8，则 α+β =________（精确到1′）． 48°24′ 考点二 特殊角的三角函数值 【解析】本题考查数的0次幂、分母有理化和特殊角的三角函数值． 解：原式＝ 例2 计算 (1) tan30°＋cos45°＋tan60° (2) tan30°· tan60°＋ cos230° 4. 计算： 解：原式 解：原式 针对训练 例3 如图，在 △ABC 中，∠C ＝ 90°，点 D 在 BC 上，BD ＝ 4，AD ＝ BC，cos∠ADC = ， 求：(1) DC 的长；(2) sinB 的值． 【分析】题中给出了两个直角三角形，DC 和 sinB 可分别在 Rt△ACD 和 Rt△ABC 中求得，由 AD ＝ BC，图中 CD＝BC－BD，由此可列方程求出 CD． A B C D 考点三 解直角三角形 解: (1) 设 CD ＝ x，在 Rt△ACD 中，cos∠ADC= , 又 BC－CD ＝ BD， 解得 x = 6， ∴CD = 6. A B C D (2) BC =BD+CD = 4+6 = 10 = AD 在 Rt△ACD 中 在 Rt△ABC 中 A B C D 5. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C ＝ 90°，AC ＝ .点D 为 BC 边上一点，且 BD ＝ 2AD，∠ADC ＝ 60°.求 △ABC 的周长(结果保留根号). 针对训练 解：在 Rt△ADC 中， ∴BD＝2AD＝4. ∴BC ＝ BD＋DC＝5. 在 Rt△ABC 中， ∴△ABC 的周长＝AB＋BC＋AC 考点四 三角函数的应用 例4 如图，在一次数学课外实践活动中，要求测教学楼 AB 的高度．小刚在 D 处用高 1.5 m 的测角仪 CD，测得教学楼顶端 A 的仰角为30°，然后向教学楼前进 40 m 到达 EF，又测得教学楼顶端 A 的仰角为 60°.求这幢教学楼 AB 的高度． 【分析】 设 CF 与 AB 交于点 G，在 Rt△AFG 中，用 AG 表示出 FG，在Rt△ACG 中，用 AG 表示出 CG，然后根据 CG－FG ＝ 40，可求 AG. G 解：设 CF 与 AB 交于点 G，在 Rt△AFG 中， tan∠AFG ＝ ，∴FG ＝ 在 Rt△ACG 中，tan∠ACG ＝ ， 又 CG－FG＝40， ∴AG＝ ，∴AB ＝ 答：这幢教学楼 AB 的高度为 ∴ G 6.如图,某人站在楼顶观测对面的笔直的旗杆 AB ，已知观测点 C 到旗杆的距离（即 CE 的长）为 8 米，测得旗杆顶的仰角 ∠ECA 为 30°，旗杆底部的俯角 ∠ECB 为 45 °，则旗杆 AB 的高度是多少米? C A B D E 解：如图在 Rt△ACE 和 Rt△BCE 中 ∠ACE = 30°，EC = 8米， ∴tan∠ACE = ,tan∠ECB = 即：AE = 8tan30°= （米） ， EB = 8tan45° = 8（米）. ∴AB = AE+EB = (8+ )米. 针对训练 返回 A 1. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，BC＝2，则下列三角函数表示正确的是(　　) 考试考法 返回 2. 15 考试考法 返回 3. C 考试考法 返回 4. 已知β为锐角，且2cos β－1＝0，则β为(　　) A．30° B．60° C．45° D．37.5° B 考试考法 5. 考试考法 (2)sin 30°＋4cos 30° tan 60°－cos 245°. 返回 考试考法 返回 6. C 考试考法 7. 考试考法 考试考法 (2)tan∠CDE的值． 返回 考试考法 返回 8. 如图，小致为了测量楼房AB的高度，他从楼底的B处沿着斜坡行走20 m，到达坡顶D处．已知斜坡的坡角为15°，小致的身高ED是1.6 m，他站在坡顶看楼顶A处的仰角为45°，则楼房AB的高度约为 ________m． 26 考试考法 9. 考试考法 解：过点B作BF⊥CD于点F，过点B作BH⊥AD于点H， ∴∠BFD＝∠CFB＝∠BHD＝∠AHB＝90°， 易知∠ADC＝90°， ∴四边形BHDF是矩形， ∴DF＝BH. 考试考法 返回 考试考法 锐角三角 函数 特殊角的三 角函数 解直角三 角形 简单实际 问题 c a b A B C 必做作业：从教材习题中选取； 选做作业：完成练习册本课时的习题. 作业 谢谢观看！ eq \f(a,c) eq \f(b,c) eq \f(sinA,cosA) eq \f(sinB,cosB) A．sin A＝ B．cos A＝ C．tan A＝ D．tan B＝ [2025汉中期末]如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，sin B＝，AC＝12，则AB的长是________. 若锐角α满足tan α＝，则α的度数为(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° (8分)计算： (1)cos 260°－＋tan 45°＋； 解： cos 260°－＋tan 45°＋ ＝2－＋1＋ ＝－2＋1＋－1 ＝－. sin 30°＋4cos 30° tan 60°－cos 245° ＝＋4××－2 ＝＋6－ ＝6. 题目“在△ABC中，∠B＝30°，AB＝2，AC＝，求∠C的度数．”对于其答案，甲答：∠C＝60°，乙答：∠C＝90°，丙答：∠C＝60°或∠C＝120°，则正确的是(　　) A．只有甲答得对 B．只有乙答得对 C．只有丙答得对 D．乙、丙合在一起才完整 (8分)如图，在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°，sin A＝，点D，E分别在边AB，AC上，DE⊥AC，垂足为E，DE＝2，DB＝9，连接CD．求： (1)BC的长； 解：在Rt△DEA中，DE＝2， sin A＝，∴AD＝＝＝3. 又∵DB＝9，∴AB＝BD＋AD＝12. ∴在Rt△ABC中， BC＝AB×sin A＝12×＝8. 解：在Rt△ABC中，∵AB＝12，BC＝8， ∴AC＝＝4. 在Rt△DEA中，DE＝2，AD＝3， ∴AE＝＝. ∴CE＝AC－AE＝3.∴tan∠CDE＝＝. (结果精确到1 m，参考数据：sin 15°≈，cos 15°≈，≈3.9) (4分)某数学小组爬山时发现沿山体向上有步行道AB和观光索道BC，如图，经过测量知AB＝1 000 m，BC＝1 600 m，步行道AB的坡度i＝1∶，观光索道BC与水平线BE的夹角为58°.求山顶C到地面的距离CD．(图中所有点都在同一平面内，BE∥AD，参考数据：sin 58°≈0.85，cos 58°≈0.53， tan 58°≈1.60，结果精确到1 m) ∵步行道AB的坡度 i＝1∶，观光索道BC与水平线BE的夹角为58°，∴∠CBF＝58°，＝，∴AH＝BH. ∵AH2＋BH2＝AB2，∴2＋BH2＝1 0002， ∴BH＝500 m，∴DF＝BH＝500 m. ∵＝sin∠CBF＝sin 58°，∴CF＝BCsin 58°≈1 600×0.85 ＝1 360(m)，∴CD＝CF＋DF≈1 360＋500＝1 860(m)． 即山顶C到地面的距离CD约为1 860 m. $