21.3 一元二次方程的应用专题练习 2025-2026学年人教版九年级数学 上册

21.3 一元二次方程的应用专题练习 题型一：一元二次方程的应用 1 ．选择： （1）下表是某公司2022 年 1 月份至 5 月份的收入统计表．其中，2 月份和 5 月份被墨水污染．若 2 月份与 3 月份的增长率相同，设它们的增长率为 x ，根据表中的信息，可列方程为 ( ) 月份 1 2 3 4 5 收入/万元 10 12 14 A ．10（1+x）2 ＝12 - 10 B ．10（1+x）2 ＝12 C ．10（1+x）（1+2x）＝12 D ．10（1+x）3 ＝14 （2）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少 ”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文 足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为 6210 文．如果每株椽的运费是 3 文， 那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问 6210 文能买多少株椽？设这批椽的数量为 x 株，则符合题意的方程是 ( ) A ．3（x+1）x ＝6210 B ．3 （x - 1）＝6210 C ． D ．3（x - 1）x ＝6210 （3）小北同学在学习了“一元二次方程 ”后，改编了苏轼的诗词《念奴娇•赤壁怀古》：“大江东去浪淘尽，千 古风流人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿同．哪位学子算得快，多少 年华数周瑜？ ”大意为：“周瑜去世时年龄为两位数，该数的十位数字比个位小 3 ，个位的平方恰好等于该数．” 若设周瑜去世时年龄的个位数字为 x ，则可列方程 ( ) A ．10（x+3）+x ＝x2 B ．10（x - 3）+x ＝（x - 3）2 C ．10（x - 3）+x ＝x2 D ．10（x+3）+x ＝（x - 3）2 2 ．填空： （1）在元旦前夕，某通讯公司的每位员工都向本公司的其他员工发出了 1 条祝贺元旦的短信．已知全公司共发 出 2450 条短信，那么这个公司有员工 人． （2）如图，在一块长为 40 米，宽为 30 米的矩形荒地上，要建造一个花园（阴影部分），使得花园的面积为荒 地面积的 ，小明设计出如图所示的方案，则图中 x 的值为 ． （3）欧几里得在《几何原本》中，记载了用图解法解方程 x2+ax ＝b2 的方法，类似地我们可以用折纸的方法求 方程 x2+x - 1 ＝0 的一个正根．如图，一张边长为 1 的正方形的纸片 ABCD ，先折出 AD ，BC 的中点 E ，F，再 沿过点A 的直线折叠使 AD 落在线段 AF 上，点 D 的对应点为点 H，折痕为 AG ，点 G 在边 CD 上，连接 GH， GF，线段 BF、DG 、CG 和 GF 中，长度恰好是方程 x2+x - 1 ＝0 的一个正根的线段为 ． 题型二：循环问题 3 ．某市要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排 15 场比赛． （1）应该邀请多少支球队参加比赛？ （2）若某支球队参加2 场后，因故不参与以后比赛，问实际共比赛多少场？ 题型三：销售利润问题 4 ．国内猪肉价格不断上涨， 已知今年 10 月的猪肉价格比今年年初上涨了 80% ，李奶奶 10 月在某超市购买 1 千克猪肉花了 72 元钱． （1）今年年初猪肉的价格为每千克多少元？ （2）某超市将进货价为每千克 55 元的猪肉按 10 月价格出售，平均一天能销售出 100 千克，随着国家对猪肉价 格的调控，超市发现猪肉的售价每千克下降 1 元，其日销售量就增加 10 千克，超市为了实现销售猪肉每天有 1800 元的利润，并且尽可能让顾客得到实惠，猪肉的售价应该下降多少元？ 5． 某超市以每千克 40 元的价格购进一种干果，计划以每千克 60 元的价格销售，为了让顾客得到实惠，现决定 降价销售，已知这种干果销售量y（千克）与每千克降价 x（元）( 0＜x＜20)之间满足一次函数关系，其图象如图所示 （1）求y 与 x 之间的函数关系式； （2）当每千克干果降价 3 元时，超市获利多少元？ （3）若超市要想获利2090 元，且让顾客获得更大实惠，这种干果每千克应降价多少元？ 学科网（北京）股份有限公司 题型四：传播问题、销售利润问题 6 ．某公司的显卡厂 2023 年电脑 A 型显卡的成本是 100 元/个，2024 年与 2025 年连续两年在技术扶贫的帮助 下改进技术，降低成本，2025 年 A 型电脑显卡的成本降低到 81 元/个． （1）求这两年 A 型电脑显卡成本平均下降的百分率； （2）公司电商销售平台以高于成本价 10%的价格购进 A 型电脑显卡， 以 117. 1 元/个销售时，平均每天可销售 20 个．为增加销量，销售平台决定降价销售，经调查发现，单价每降低 5 元，每天可多售出 10 个，如果每天 要保持盈利720 元，试求单价应降低多少元？ 题型五：面积问题 7 ．如图，利用足够长的一段围墙，用篱笆围一个长方形的场地，中间用篱笆分割出2 个小长方形，与墙平行的 一边上各开一扇宽为 1 米的门，总共用去篱笆 34 米； （1）为了使这个长方形 ABCD 的面积为 96 平方米，求边 AB 为多少米？ （2）用这些篱笆，能使围成的长方形 ABCD 面积是 110 平方米吗？说明理由． 5 学科网（北京）股份有限公司 题型六：一元二次方程动点问题 8 ．已知：如图，在△ABC 中， ∠B ＝90 ° , AB ＝5cm ，BC ＝7cm ．点 P 从点A 开始沿 AB 边向点 B 以 1cm/s 的 速度移动，点 Q 从点 B 开始沿 BC 边向点 C 以 2cm/s 的速度移动，当 Q 到达点 C 时，点 Q 、P 同时停止移动． （1）如果点 P ，Q 分别从点 A ，B 同时出发，那么几秒后， △PBQ 的面积为 4cm2？ （2）如果点 P ，Q 分别从点 A ，B 同时出发，那么几秒后，PQ 的长度为 5cm？ 21.3 一元二次方程的应用专题练习答案 题型一：一元二次方程的应用 1 ．选择： （1）下表是某公司2022 年 1 月份至 5 月份的收入统计表．其中，2 月份和 5 月份被墨水污染．若 2 月份与 3 月份的增长率相同，设它们的增长率为 x ，根据表中的信息，可列方程为 ( ) 月份 1 2 3 4 5 收入/万元 10 12 14 A ．10（1+x）2 ＝12 - 10 B ．10（1+x）2 ＝12 C ．10（1+x）（1+2x）＝12 D ．10（1+x）3 ＝14 【考点】 由实际问题抽象出一元二次方程；统计表． 【分析】利用 3 月份的收入＝1 月份的收入×（1+月收入的增长率）2 ，即可得出关于 x 的一元二次方程，此题 得解． 【解答】解：依题意得：10（1+x）2 =12 故选：B． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及统计表，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解 题的关键． （2）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少 ”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文 足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为 6210 文．如果每株椽的运费是 3 文， 那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问 6210 文能买多少株椽？设这批椽的数量为 x 株，则符合题意的方程是 ( ) A ．3（x+1）x ＝6210 B ．3 （x - 1）＝6210 C ．（3x - 1）x ＝6210 D. 3（x - 1）x =6210 【考点】 由实际问题抽象出一元二次方程． 【分析】根据 ”少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱“可得出相应的方程． 【解答】解：根据题意得： 3（x - 1）x ＝6210． 故选：D． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，列出分式方程是解题的关键． （3）小北同学在学习了“一元二次方程 ”后，改编了苏轼的诗词《念奴娇•赤壁怀古》：“大江东去浪淘尽，千 古风流人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿同．哪位学子算得快，多少 年华数周瑜？ ”大意为：“周瑜去世时年龄为两位数，该数的十位数字比个位小 3 ，个位的平方恰好等于该数．” 若设周瑜去世时年龄的个位数字为 x ，则可列方程 ( ) A ．10（x+3）+x ＝x2 B ．10（x - 3）+x ＝（x - 3）2 C ．10（x - 3）+x ＝x2 D ．10（x+3）+x ＝（x - 3）2 【考点】 由实际问题抽象出一元二次方程． 【分析】根据“该数的十位数字比个位小 3 ，个位的平方恰好等于该数 ”列方程即可． 【解答】解：根据题意，可得 10（x - 3）+x ＝x2， 故选：C． 【点评】本题考查了一元二次方程的实际应用题，理解题意并根据题意找到等量关系是解题的关键． 2 ．填空： （1）在元旦前夕，某通讯公司的每位员工都向本公司的其他员工发出了 1 条祝贺元旦的短信．已知全公司共发 出 2450 条短信，那么这个公司有员工 人． 【考点】一元二次方程的应用． 【分析】设这个公司有员工 x 人，则每人需发送（x - 1）条祝贺元旦的短信，根据全公司共发出2450 条短信， 即可得出关于 x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【解答】解：设这个公司有员工 x 人，则每人需发送（x - 1）条祝贺元旦的短信， 依题意，得：x（x - 1）＝2450 ，解得： x1 ＝50 ，x2 ＝ - 49（不合题意，舍去）． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （2）如图，在一块长为 40 米，宽为 30 米的矩形荒地上，要建造一个花园（阴影部分），使得花园的面积为荒 地面积的 ，小明设计出如图所示的方案，则图中 x 的值为 ． 【考点】一元二次方程的应用． 【分析】图中四块空白的部分可合成长为（40 - x）米，宽为（30 - 2x）米的矩形，根据花园的面积为荒地面积 的 （即其余部分占荒地面积的 ），即可得出关于 x 的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论 【解答】解：图中四块空白的部分可合成 长为（40 - x）米，宽为（30 - 2x）米的矩形， 依题意得： （40 - x）（30 - 2x）＝40×30× 整理得：x2 - 55x+450 ＝0， 解得：x1 ＝10 ，x2 ＝45（不合题意，舍去）． 故答案为：10． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （3）欧几里得在《几何原本》中，记载了用图解法解方程 x2+ax ＝b2 的方法，类似地我们可以用折纸的方法求 方程 x2+x - 1 ＝0 的一个正根．如图，一张边长为 1 的正方形的纸片 ABCD ，先折出 AD ，BC 的中点 E ，F，再 沿过点A 的直线折叠使 AD 落在线段 AF 上，点 D 的对应点为点 H，折痕为 AG ，点 G 在边 CD 上，连接 GH， GF，线段 BF、DG 、CG 和 GF 中，长度恰好是方程 x2+x - 1 ＝0 的一个正根的线段为 ． 【考点】一元二次方程的应用；轴对称的性质． 【分析】首先根据方程 x2+x - 1 ＝0 解出正根为 ，再判断这个数值和题目中的哪条线段接近．线段 BF= 0.5 排除，其余三条线段可以通过设未知数找到等量关系．利用正方形的面积等于图中各个三角形的面积和，列等量关系．设 DG ＝m ，则 GC ＝1 - m ，从而可以用 m 表示等式． 【解答】解：设 DG ＝m ，则 GC ＝1 - m． 由题意可知： △ADG≌△AHG ，F 是 BC 的中点，∴DG ＝GH＝m ，FC ＝0.5， 根据勾股定理得 ． ∵S 正方形 ＝S△ABF+S△ADG+S△CGF+S△AGF， ∵x2+x - 1 ＝0 的解为 答案为DG 【点评】此题考查的是一元二次方程的解法，运用勾股定理和面积法找到线段的关系是解题的关键． 题型二：循环问题 3 ．某市要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排 15 场比赛． （1）应该邀请多少支球队参加比赛？ （2）若某支球队参加2 场后，因故不参与以后比赛，问实际共比赛多少场？ 【考点】一元二次方程的应用． 【分析】（1）设应该邀请 x 支球队参加比赛，则比赛的总场数为 场，与总场数为 15 场建立方程求 出其解即可； （2）用 2 加上余下的 5 支球队比赛的总场数即可． 【解答】解：（1）设应该邀请 x 支球队参加比赛， 依题意得 解得 x ＝6 或 x ＝ - 5（不合题意，舍去）． 答：应邀请 6 支球队参加比赛； 答：实际共比赛 12 场． 【点评】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时以单循环形式比 赛规则的总场数作为等量关系建立方程是解题的关键． 题型三：销售利润问题 4 ．国内猪肉价格不断上涨， 已知今年 10 月的猪肉价格比今年年初上涨了 80% ，李奶奶 10 月在某超市购买 1 千克猪肉花了 72 元钱． （1）今年年初猪肉的价格为每千克多少元？ （2）某超市将进货价为每千克 55 元的猪肉按 10 月价格出售，平均一天能销售出 100 千克，随着国家对猪肉价 格的调控，超市发现猪肉的售价每千克下降 1 元，其日销售量就增加 10 千克，超市为了实现销售猪肉每天有 1800 元的利润，并且尽可能让顾客得到实惠，猪肉的售价应该下降多少元？ 【考点】一元二次方程的应用． 【分析】（1）设今年年初猪肉的价格为每千克 x 元，根据“年初价格×（1+增长的百分比）＝10 月份的单价 ” 列方程求解可得； （2）设猪肉的售价应该下降y 元，则每日可售出（100+10y）千克，根据“每千克利润×销售量＝总利润 ”列 方程，解之求得y 的值，继而结合题意取舍即可得． 【解答】解：（1）设今年年初猪肉的价格为每千克 x 元， 依题意，得（1+80%）x ＝72 ，解得 x ＝40． 答：今年年初猪肉的价格为每千克 40 元． （2）设猪肉的售价应该下降y 元，则每日可售出（100+10y）千克， 依题意，得（72 - 55 - y）（100+10y）＝1800， 整理，得y2 - 7y+10 ＝0， 解得y1 ＝2，y2 ＝5． ∵让顾客得到实惠， ∴y ＝5． 答：猪肉的售价应该下降 5 元． 【点评】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系，并据此列出 方程． 5．某超市以每千克 40 元的价格购进一种干果，计划以每千克 60 元的价格销售，为了让顾客得到实惠，现决定 降价销售，已知这种干果销售量y（千克）与每千克降价 x（元）（0＜x＜20）之间满足一次函数关系，其图象 如图所示． （1）求y 与 x 之间的函数关系式； （2）当每千克干果降价 3 元时，超市获利多少元？ （3）若超市要想获利2090 元，且让顾客获得更大实惠，这种干果每千克应降价多少元？ 【考点】一元二次方程的应用；一次函数的应用． 【分析】（1）观察函数图象，根据图象中点的坐标，利用待定系数法求出y 与 x 之间的函数关系式； （2）利用超市销售该种干果获得的利润＝每千克的销售利润× 日销售量，即可求出结论； （3）利用超市销售该种干果获得的利润＝每千克的销售利润× 日销售量，即可得出关于 x 的一元二次方程，解 之即可得出 x 的值，再结合要让顾客获得更大实惠，即可得出这种干果每千克应降价 9 元． 【解答】解：（1）设y 与 x 之间的函数关系式为y ＝kx+b（k≠0）， 将（2 ，120），（4 ，140）代入y ＝kx+b 得： 解得 ∴y 与 x 之间的函数关系式为y ＝10x+100（0＜x＜20）． （2）（60 - 3 - 40） ×（10×3+100） =（60 - 3 - 40） ×（30+100） = 17×130 =2210（元）． 答：当每千克干果降价 3 元时，超市获利2210 元． （3）依题意得：（60 - x - 40）（10x+100）＝2090， 整理得：x2 - 10x+9 ＝0， 解得：x1 ＝1 ，x2 ＝9． 又∵要让顾客获得更大实惠， ∴x ＝9． 答：这种干果每千克应降价 9 元． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）根据图中点的坐标，，利用 待定系数法求出一次函数解析式；（2）根据各数量之间的关系，列式计算；（3）找准等量关系，正确列出一元 二次方程． 题型四：传播问题、销售利润问题 6 ．某公司的显卡厂 2023 年电脑 A 型显卡的成本是 100 元/个，2024 年与 2025 年连续两年在技术扶贫的帮助 下改进技术，降低成本，2025 年 A 型电脑显卡的成本降低到 81 元/个． （1）求这两年 A 型电脑显卡成本平均下降的百分率； （2）公司电商销售平台以高于成本价 10%的价格购进 A 型电脑显卡， 以 117. 1 元/个销售时，平均每天可销售 20 个．为增加销量，销售平台决定降价销售，经调查发现，单价每降低 5 元，每天可多售出 10 个，如果每天 要保持盈利720 元，试求单价应降低多少元？ 【考点】一元二次方程的应用． 【分析】（1）设平均下降率为 x ，利用 2025 年该类电脑显卡的出厂价＝2023 年该类电脑显卡的出厂价×（1 - 下降率）2 ，即可得出关于 x 的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论； （2）设单价应降低 m 元，则每个的销售利润为（28 - m ）元，每天可售出（20+2m）个，利用每天销售该电脑 显卡获得的利润＝每个的销售利润× 日销售量，即可得出关于 m 的一元二次方程，解之即可得出 m 的值即可得 出结论． 【解答】解：（1）设这两年 A 型电脑显卡成本平均下降的百分率为 x， 依题意，得 100（ 1 - x）2 ＝81． 解得 x1 ＝0. 1 ＝10% ，x2 ＝1.9（不合题意，舍去）． 答：平均下降率为 10%． （2）设单价应降低 m 元，则每个的销售利润为（117.1 - m - 81× 110%）＝（28 - m）元，每天可售出（20+2m） 个， 依题意得：（28 - m ）（20+2m）＝720． 整理，得 m2 - 18m+80 ＝0． 解得 m1 ＝10 ，m2 ＝8． ∵为了增加销量， ∴m ＝10， 答：单价应降低 10 元． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 题型五：面积问题 7 ．如图，利用足够长的一段围墙，用篱笆围一个长方形的场地，中间用篱笆分割出2 个小长方形，与墙平行的 一边上各开一扇宽为 1 米的门，总共用去篱笆 34 米； （1）为了使这个长方形 ABCD 的面积为 96 平方米，求边 AB 为多少米？ （2）用这些篱笆，能使围成的长方形 ABCD 面积是 110 平方米吗？说明理由． 【考点】一元二次方程的应用． 【分析】（1）根据题意得出长×宽＝96 ，进而得出答案； （2） 根据题意得出长×宽=110 ，得到方程无解即可． 【解答】解：（1）设 AB 的长为 x 米， 依题意的方程：x（34+2 - 3x）＝96， 解得：x1 ＝4 ，x2 ＝8， 答：当 AB 的长度为 4 米或 8 米时，长方形 ABCD 的面积为 96 平方米； （2）不能． 理由：假设长方形 ABCD 的面积是 110 平方米， 依题意得：x（34+2 - 3x）＝110 ．即 3x2 - 36x+110 ＝0， ∵ Δ =（ - 36）2 - 4×3× 110 ＝ - 24＜0， ∴该一元二次方程无实数根， ∴假设不成立， ∴长方形 ABCD 的面积是不能为 110 平方米． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的 等量关系，列出方程，再求解． 题型六：一元二次方程动点问题 8 ．已知：如图，在△ABC 中， ∠B ＝90 ° , AB ＝5cm ，BC ＝7cm ．点 P 从点A 开始沿 AB 边向点 B 以 1cm/s 的 速度移动，点 Q 从点 B 开始沿 BC 边向点 C 以 2cm/s 的速度移动，当 Q 到达点 C 时，点 Q 、P 同时停止移动． （1）如果点 P ，Q 分别从点 A ，B 同时出发，那么几秒后， △PBQ 的面积为 4cm2？ （2）如果点 P ，Q 分别从点 A ，B 同时出发，那么几秒后，PQ 的长度为 5cm？ 【考点】一元二次方程的应用；勾股定理． 【分析】当运动时间为 ts 时，AP ＝tcm ，BP ＝（5 - t ）cm ，BQ ＝2tcm． （1）利用三角形的面积计算公式结合△PBQ 的面积为 4cm2 ，即可得出关于 t 的一元二次方程，解之取其符合 题意的值即可得出结论； （2）利用勾股定理结合 PQ 的长度为 5cm ，即可得出关于 t 的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出 结论． 【解答】解：当运动时间为 ts 时，AP ＝tcm ，BP ＝（5 - t ）cm ，BQ ＝2tcm． （1）依题意得： （5 - t ） ×2t ＝4， 整理得：t2 - 5t+4 ＝0，解得：t1 ＝1 ，t2 ＝4， 当 t ＝1 时，2t ＝2×1 ＝2＜7 ，符合题意； 当 t ＝4 时，2t ＝2×4 ＝8＞7 ，不符合题意，舍去． 答：1s 后， △PBQ 的面积为 4cm2． （2）依题意得：（5 - t ）2+（2t）2 ＝25， 整理得：t2 - 2t ＝0， 解得：t1 ＝0（不符合题意，舍去），t2 ＝2． 答：2s 后，PQ 的长度为 5cm． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $