精品解析：上海市洋泾中学2025-2026学年高二上学期开学考试数学试卷

洋泾中学高二开学考数学试卷 一、填空题 1. 设，则______． 2. 弧长为的扇形的圆心角为，则此扇形的面积为__________. 3. 如图，的斜二测画法直观图为等腰直角三角形，且斜边，则在原平面图形中，点到的距离为___________． 4. 等差数列{an}是递增数列，若a2＋a4＝16，a1·a5＝28，则通项an＝_________. 5. 已知向量，向量，则在方向上的投影向量的坐标为______ 6. 已知虚数是关于的实系数一元二次方程的一个根，且，则实数的值为___________ 7. 已知数列中，，，那么该数列通项公式___________ 8. 数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，正八面体就是其中之一.正八面体由八个等边三角形构成，也可以看作由上、下两个正方锥体黏合而成，每个正方锥体由四个三角形与一个正方形组成.如图，在正八面体ABCDEF中，H是棱BC的中点，则异面直线HF与AB所成角的余弦值是______. 9. 在中，内角所对的边分别为，则当取得最大值时，___________ 10. 在中，，，，是的外心，若，其中，，则动点的轨迹所覆盖图形的面积为______． 二、选择题 11. 已知点A，B在直线l上，直线平面α，则“直线平面α”是“点A，B到平面α的距离相等”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 12. 已知向量，，，则满足的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 13. 已知函数的图象经过点，若在上没有零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 14. 数列满足，则数列的前9项和为（ ） A. B. C. D. 三、解答题 15. 如图，在正方体中，点，分别为棱，的中点. （1）证明：平面； （2）求直线与直线所成的角的大小. 16. 已知平面向量，且．求： （1）的值； （2）向量与夹角的余弦值． 17. 设，函数的表达式为. （1）若，求的单调增区间； （2）若，设的内角的对边分别为，，且，求的面积. 18. 某旅游度假村拟建造一个四边形的露营基地，如图所示．为考虑露营客人娱乐休闲的需求，在四边形区域中，将三角形区域设立成花卉观赏区，三角形区域设立成烧烤区，在边修建观赏步道，在对角线修建隔离防护栏，其中米，米，． （1）如果烧烤区是一个占地面积为9600平方米的钝角三角形（是钝角），那么需要修建多长的隔离防护栏？ （2）考虑到烧烤区的安全性，在规划四边形区域时，首先保证烧烤区的占地面积最大，再使得花卉观赏区的面积尽可能大，求满足上述条件时花卉观赏区的面积及的长度． 19. 对于数列，，其中，对任意正整数都有，则称数列为数列的“接近数列”.已知为数列的“接近数列”，且，. （1）若（是正整数），求，，，的值； （2）若（是正整数），是否存在（是正整数），使得，如果存在，请求出的最小值，如果不存在，请说明理由； （3）若为无穷等差数列，公差为，求证：数列为等差数列的充要条件是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 洋泾中学高二开学考数学试卷 一、填空题 1. 设，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的概念可直接求出. 【详解】，， 故答案为：. 2. 弧长为的扇形的圆心角为，则此扇形的面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据扇形弧长求半径，由扇形面积公式求面积. 【详解】由题设，扇形半径，故扇形面积为. 故答案为：. 3. 如图，的斜二测画法直观图为等腰直角三角形，且斜边，则在原平面图形中，点到的距离为___________． 【答案】2 【解析】 【分析】由斜二测画法进行求解即可． 【详解】在直观图中，等腰直角三角形，且斜边， 得，， 在原平面图形中，如图所示： 则， 则在原平面图形中，点到的距离为2. 故答案为：2 4. 等差数列{an}是递增数列，若a2＋a4＝16，a1·a5＝28，则通项an＝_________. 【答案】3n－1 【解析】 【分析】由已知结合等差数列的性质可得，解方程组求出，从而可求出公差，进而可求得数列的通项公式 【详解】设公差为d，∵a2＋a4＝a1＋a5＝16， ∴由，解得或. ∵等差数列{an}是递增数列，∴a1＝2，a5＝14. ∴d＝＝＝3， ∴an＝a1＋(n－1)d＝2＋3(n－1)＝3n－1. 故答案为：3n－1 5. 已知向量，向量，则在方向上的投影向量的坐标为______ 【答案】 【解析】 【分析】由投影向量的定义，数量积的坐标运算和模的坐标表示求解即可. 【详解】已知向量，，所以，， 则向量在方向上的投影向量的坐标为. 故答案为：. 6. 已知虚数是关于的实系数一元二次方程的一个根，且，则实数的值为___________ 【答案】4 【解析】 【分析】依题意，虚数和都是此实系数一元二次方程的根，结合韦达定理求出的值. 【详解】虚数是关于的实系数一元二次方程的一个根， 则有，得， 方程的另一个虚数根为，所以. 故答案为：4 7. 已知数列中，，，那么该数列通项公式___________ 【答案】 【解析】 【分析】由数列递推式变形构造等比数列，利用等比数列的基本量运算即可求出其通项公式. 【详解】由可得，， 因，故数列是首项为3，公比为3的等比数列， 则，即得. 故答案为：. 8. 数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，正八面体就是其中之一.正八面体由八个等边三角形构成，也可以看作由上、下两个正方锥体黏合而成，每个正方锥体由四个三角形与一个正方形组成.如图，在正八面体ABCDEF中，H是棱BC的中点，则异面直线HF与AB所成角的余弦值是______. 【答案】## 【解析】 【分析】取棱AC的中点G，连接HG，利用三角形中位线的性质得取棱AC的中点G，连接HG，从而利用异面直线所成角的定义可知或其补角即可所求，在中，由余弦定理求解即可. 【详解】如图， 取棱AC的中点G，连接HG，FG. 因为H，G分别是棱BC，AC的中点，所以， 则或其补角是异面直线HF与AB所成的角. 设，则， 在正方形ACFE中，， 在正三角形CFB中，. 在中，由余弦定理可得， 则异面直线HF与AB所成角的余弦值是. 故答案为： 9. 在中，内角所对的边分别为，则当取得最大值时，___________ 【答案】 【解析】 【分析】由余弦定理求出的最大值及等号成立的条件，再结合诱导公式和半角公式求出. 【详解】中，， 由余弦定理， 得， 所以，当且仅当时，等号成立， 此时为等腰三角形，. 由，有， 所以. 故答案为：. 10. 在中，，，，是的外心，若，其中，，则动点的轨迹所覆盖图形的面积为______． 【答案】## 【解析】 【分析】先利用余弦定理求出的长，因为是的外心， 设外接圆的半径为，所以，再利用正弦定理 求出，由，， 知道动点的轨迹所覆盖图形为以为边的菱形 画图，由图可知菱形为，求出即可得. 【详解】在中，因为，，， 所以由余弦定理：， 所以， 又因为是的外心，设外接圆的半径为， 所以， 由， 所以， 由正弦定理：， 所以， 由，，， 所以动点的轨迹所覆盖图形为以为边的菱形， 如图所示： 由图知为 所对的圆心角与圆周角， 所以有， 所以 ， 所以 ， 所以动点的轨迹所覆盖图形面积为： ， 故答案为：. 二、选择题 11. 已知点A，B在直线l上，直线平面α，则“直线平面α”是“点A，B到平面α的距离相等”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分、必要条件的定义，结合空间中线、面的位置关系，即可得答案. 【详解】如图，取线段AB的中点D，若平面α，则点A，B到平面α的距离相等， 此时直线l与平面α相交，即“点A，B到平面α的距离相等”“直线平面α”，不满足必要性； 若直线平面α，则直线l上的点到平面α的距离都相等，即点A，B到平面α的距离相等， 满足充分性， 故选：A． 12. 已知向量，，，则满足的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先结合给定条件表示出，再结合题意建立不等式，求解取值范围即可. 【详解】因为，，所以， 因为，所以， 则，因为，所以， 即，解得，故B正确. 故选：B. 13. 已知函数的图象经过点，若在上没有零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用二倍角余弦公式得，由点在图象上求得，即得，根据区间零点个数及正弦函数的性质可求参数范围. 【详解】由题设，且， 所以，可得， 所以， 当，则， 依题在上无零点，则在上恒成立， 因为当时，使得的最小值为， 所以要使在上恒成立，需满足，解得 又，故得. 故选：A 14. 数列满足，则数列的前9项和为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用数列的递推关系式，求得，再由时，得到，结合裂项法求和，即可求解. 【详解】由数列满足， 当时，， 两式相减，可得，所以， 当时，可得， 所以数列的通项公式为， 当时，， 所以数列的前9项和为. 故选：A. 三、解答题 15. 如图，在正方体中，点，分别为棱，的中点. （1）证明：平面； （2）求直线与直线所成的角的大小. 【答案】（1）证明：因为点，分别为棱，的中点， 所以， 又因为平面，平面， 所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）只需证明，再结合线面平行的判定定理即可得证； （2）将所求转换为直线与直线所成的角的大小，结合等边三角形的内角即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设正方体棱长为，由勾股定理可得， 所以三角形是边长为的等边三角形， 所以直线与直线所成的角的大小为， 因为， 所以直线与直线所成的角的大小为. 16. 已知平面向量，且．求： （1）的值； （2）向量与夹角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量数量积的运算律化简条件等式计算即得； （2）利用两向量的夹角公式计算即得. 【小问1详解】 因， 则， 可得； 【小问2详解】 因， ， 设向量与的夹角为， 则. 17. 设，函数的表达式为. （1）若，求的单调增区间； （2）若，设的内角的对边分别为，，且，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据余弦型函数的单调增区间即可求解； （2）根据可求得角，利用余弦定理可构造方程求得，代入三角形面积公式即可求得结果. 【小问1详解】 若时，则， 由， 得， 故的单调增区间为： 【小问2详解】 若时，则，则， 因为，所以， 则或，得或， 结合题意，可知，所以，即， 由余弦定理得， 所以， 可得的面积为：． 18. 某旅游度假村拟建造一个四边形的露营基地，如图所示．为考虑露营客人娱乐休闲的需求，在四边形区域中，将三角形区域设立成花卉观赏区，三角形区域设立成烧烤区，在边修建观赏步道，在对角线修建隔离防护栏，其中米，米，． （1）如果烧烤区是一个占地面积为9600平方米的钝角三角形（是钝角），那么需要修建多长的隔离防护栏？ （2）考虑到烧烤区的安全性，在规划四边形区域时，首先保证烧烤区的占地面积最大，再使得花卉观赏区的面积尽可能大，求满足上述条件时花卉观赏区的面积及的长度． 【答案】（1）米 （2）平方米，米 【解析】 【分析】（1）由三角形的面积公式解得，进而求得，再利用余弦定理即可求解； （2）由烧烤区的占地面积最大得到，利用正弦定理解得和，代入三角形面积公式利用三角函数性质即可求解． 【小问1详解】 由，解得， 由是钝角，得， 由余弦定理得， 所以需要修建米的隔离防护栏． 【小问2详解】 由题意，， 当且仅当时取到等号，此时， 设， 在中，， 则 ， 由，则，当， 即时，取得最大值平方米， 此时米． 19. 对于数列，，其中，对任意正整数都有，则称数列为数列的“接近数列”.已知为数列的“接近数列”，且，. （1）若（是正整数），求，，，的值； （2）若（是正整数），是否存在（是正整数），使得，如果存在，请求出的最小值，如果不存在，请说明理由； （3）若为无穷等差数列，公差为，求证：数列为等差数列的充要条件是. 【答案】（1），，， （2）存在， （3）证明如下： 充要条件为：. ①若时，由题意对于任意正整数均有恒成立，且， 则，， 从而，即. 因为，， 所以，即. 因此为等差数列，且公差也为； ②若为等差数列，设公差为， ， 又， 即，亦即对任意正整数都成立， 所以，，又，得. 因此，所求充要条件为. 【解析】 【分析】（1）由“接近数列”得定义可直接求出，，，的值； （2）分为奇数和偶数讨论，求出，在此基础上，分奇偶令，结合指数函数性质即可求解； （3）先证若时，则为等差数列，且公差也为，由去绝对值得，即，两式作差即可求证；再证若为等差数列，则，结合绝对值三角不等式得，，两式处理得，化简即可求证. 【小问1详解】 因为，所以，又因为为数列的“接近数列”， ，所以，只能是，，，； 【小问2详解】 当为奇数时，，由函数的单调性可知， 即，得，进一步有， 当为偶数时，，由函数的单调性可知， 即，得，进一步有， 综上所述：， 由前项和公式化简得，， 当为偶数时，令无解； 当为奇数时，令， 所以，，即. 因此，存在（是正整数），使得，且； 【小问3详解】 略 【点睛】本题整体难度较大，处理第二小问时设计分类讨论思想，融合了数列，函数、不等式，对计算有较高要求；第三小问对充要条件的证明特别是绝对值三角不等式的应用，思维难度高，拼凑法不易想到. 对于绝对值三角不等式，我们应掌握：； 对于数列中含此类数列，我们要注意分奇偶对数列讨论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $