精品解析：河南省南阳市某校2025-2026学年高二上学期开学考试数学试卷

2025年高二开学考数学试卷 （2025.9.2） 一､单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.） 1. 已知直线经过点和点，则直线AB的斜率为（ ） A. 3 B. C. 2 D. 不存在 【答案】B 【解析】 【详解】根据斜率公式有. 故选：B . 2. 直线的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线的斜截式方程的特征得到直线的斜率，直线在y轴上的截距为（），再逐一判断各个选项即可求解. 【详解】由直线，得：，直线的斜率，直线在y轴上的截距为， 当时，，则直线经过第一象限和第三象限，且与轴相交于轴下方； 当时，，则直线经过第二象限和第四象限，且与轴相交于轴上方； 只有B选项的图象符合题意， 故选：B. 3. 已知的三个顶点为，,，M为的中点，N为的中点，则中位线所在直线方程为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由中点坐标公式可得M(2,4),N(3,2),再由两点式可得直线MN的方程为=,即2x+y-8=0. 4. 下列说法中不正确的是（ ）． A. 平面上任一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程（A，B不同时为0）表示 B. 当时，方程（A，B不同时为0）表示的直线过原点 C. 当，，时，方程表示的直线与x轴平行 D. 任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化 【答案】D 【解析】 【分析】考虑斜率存在和不存在两种情况，将直线方程化为一般式即可判断A； 将代入方程即可验证直线是否过原点，进而判断B； 根据题意解出y即可判断C； 斜率不存在的直线不能化为点斜式，进而判断D. 【详解】对于选项A，在平面直角坐标系中，每一条直线都有倾斜角，当时，直线的斜率k存在，其方程可写成，它可变形为，与比较，可得，，；当时，直线的斜率不存在，其方程可写成，与比较，可得，，，显然A，B不同时为0，所以此说法是正确的； 对于选项B，当时，方程（A，B不同时为0），即，显然有，即直线过原点，故此说法正确； 对于选项C，因为当，，时，方程可化为，它表示的直线与x轴平行，故此说法正确； 对于选项D，若直线方程为，显然它不能表示为点斜式，故错误． 故选：D. 5. 两条直线，之间的距离为（ ） A. B. C. D. 13 【答案】B 【解析】 【分析】化简两条直线的方程，再利用平行线间的距离公式，即可得答案； 【详解】两条直线的方程分别为：，， 两条直线之间的距离， 故选：B. 【点睛】本题考查平行线间的距离公式，考查运算求解能力，求解时注意将直线方程的系数化成相同. 6. 已知椭圆的离心率为，焦点是(－3，0)和(3，0)，则椭圆方程为（ ） A. ＋＝1 B. ＋＝1 C. ＋＝1 D. ＋＝1 【答案】A 【解析】 【分析】由离心率和焦点坐标求得，再求得后可得椭圆方程． 【详解】由题意知c＝3，， 则a＝6，∴b2＝a2－c2＝27， ∴椭圆方程为. 故选：A． 7. 已知向量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用平面向量模与数量积的坐标表示分别求得，从而利用平面向量余弦的运算公式即可得解. 【详解】因为，所以， 则，， 所以. 故选：B. 8. 在直三棱柱中，，，，，该直三棱柱的外接球表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出底面三角形的外接球半径，再根据直三棱柱求出外接球半径，最后计算圆的面积. 【详解】在中，由余弦定理可得， 设外接圆半径为r，再由正弦定理， 因为三棱柱是直三棱柱，设外接球半径为R， 所以， 所以外接球表面积为， 故选：C 二､多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.） 9. 给出下列结论，其中说法正确的是（ ） A. 若是直线的一个方向向量，则是该直线的斜率 B. 若直线的斜率是，则是该直线的一个方向向量 C. 任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率 D. 任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据直线的斜率和倾斜角，方向向量等概念，结合正切函数的性质逐一判断即得. 【详解】对于A，因是直线的一个方向向量，则直线斜率为，即A正确； 对于B，因直线的斜率是，若设直线的方向向量为，则有，不妨取，则得，即是该直线的一个方向向量，故B正确； 对于C，根据直线的倾斜角定义可知，任一条直线都有倾斜角，而当倾斜角为时，直线的斜率不存在，故C正确； 对于D，因直线的倾斜角的正切值为直线的斜率，根据正切函数的性质可知，当倾斜角为时，直线的斜率不存在，故D错误. 故选：ABC. 10. 计算下列几个式子，结果为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由正切的和角公式变形可判断A；将转化为，结合正弦和角公式可判断B；利用二倍角的正切公式即可判断C；将转化为结合正切和角公式可判断D. 【详解】对于选项A，， 变形得，故A正确； 对于选项B，原式可化为，故B正确； 对于选项C，原式，故C错误； 对于选项D，原式＝＝tan 60°＝，故D正确； 故选：ABD. 11. 下列说法正确的有（ ） A. 直线必过定点 B. 直线在y轴上的截距为1 C. 直线的倾斜角为 D. 经过任意两个不同点的直线都可用方程表示 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，将直线方程整理成以为未知数的方程即可求得定点；对于B，根据截距的定义求解；对于C，将方程化成斜截式方程，求得直线斜率，即可求出其倾斜角；对于D，将经过两点的直线分成三种情况，分别考虑即得结论. 【详解】对于A，因，故该直线经过定点，故A正确； 对于B，在直线方程中，令，可得，即该直线在y轴上的截距为，故B错误； 对于C，由化成斜截式为，可知直线的斜率为， 则直线的倾斜角满足，因，故得，故C错误； 对于D，对于经过任意两个不同点的直线， 若，则直线的斜率不存在，直线方程为，满足； 若，则直线的斜率为0，直线方程为，满足； 若且，则该直线方程为， 去分母后即得方程.综上可知，D正确. 故选：AD. 三､填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 若直线的斜率的取值范围是，则该直线的倾斜角的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】由，结合．即可得出的取值范围． 【详解】因为， 所以， 因为 所以 故答案为： 13. 设函数对任意的均满足，则__________ 【答案】1 【解析】 【分析】由两角和的正弦公式先进行化简，再利用条件可得为偶函数，可求得的值，代入求解即可. 【详解】因为， 又因为，所以函数为偶函数， 即，， ， 所以. 故答案为： 14. 过点P(1,2)且在两坐标轴上截距的和为0的直线方程为____________________. 【答案】2x－y＝0或x－y＋1＝0 【解析】 【分析】直线过原点有直线方程为2x－y＝0；直线不过原点时，设轴截距为，则轴截距为，根据截距式并结合所过的点求，写出方程. 【详解】当直线过原点时，得直线方程为2x－y＝0； 当在坐标轴上的截距不为零时，设轴截距为，则轴截距为，可设直线方程为， 将P(1,2)代入方程，可得，得直线方程为x－y＋1＝0. ∴综上，直线方程为2x－y＝0或x－y＋1＝0. 故答案为：2x－y＝0或x－y＋1＝0. 四､解答题：（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15. 已知点和直线. (1)求过点，且和直线平行的直线方程； (2)求过点，且和直线垂直的直线方程. 【答案】(1) (2) 【解析】 【分析】(1)若所求直线与直线平行，则所求直线方程可设为，再结合条件列方程求解即可； (2)若所求直线与直线垂直，则所求直线方程可设为，再结合条件列方程求解即可； 【详解】(1)因为所求直线与平行， 所以设所求直线方程为. 又因为所求直线过点，所以， 所以， 故所求直线方程为. (2)因为所求直线与直线垂直， 所以设所求直线方程为. 又因为所求直线过点，所以， 所以， 故所求直线方程为. 【点睛】本题考查了与已知直线平行或垂直的直线方程的求法，重点考查了方程思想，属基础题. 16. 根据下列条件，求圆的方程. （1）圆心是，且过点； （2）经过点，且以线段AB为直径的圆的方程； （3）已知的三个顶点为，求的外接圆方程. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）确定半径，可得圆的标准方程. （2）可直接写出圆的直径式方程，再化成标准方程即可. （3）用待定系数法可求圆的一般方程. 【小问1详解】 所求圆的标准方程为：， 即. 【小问2详解】 所求圆的直径式方程为：， 即. 【小问3详解】 设所求圆的方程为. 由题意得：，解得. 所以所求圆的一般方程为. 17. 已知函数． （1）求的最小正周期及单调递减区间； （2）将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，再将的图象向右平移个单位后，再将纵坐标变为原来的，最终得到的图象，若，满足不等式，求的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由三角恒等变换公式化简，再由正弦型函数的单调区间，代入计算，即可得到结果； （2）先由三角函数的图像变换得到的解析式，再将问题转化为最值问题，结合换元法以及二次函数的值域，代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 ， 所以， 所以的周期为， 由得， 所以的单调递减区间为. 【小问2详解】 将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，即可得到， 再将的图象向右平移个单位，得到， 再将纵坐标变为原来的，即可得到， 因为，， 所以当，时， ， 令，，则 ，所以当时，取得最小值，最小值为 所以，解得或， 故的取值范围为． 18. 锐角三角形中，角的对边分别为且. （1）求； （2）求三角形周长的取值范围； （3）求三角形面积的最大值. 【答案】（1） （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边换角并利用两角和的正弦公式展开化简即可得到答案； （2）利用正弦定理得，再将周长转化为三角函数值域问题即可； （3）利用余弦定理和基本不等式即可得到的最大值，再利用三角形面积公式即可得到答案. 【小问1详解】 由正弦定理：， 则， 所以，根据得：. 【小问2详解】 由正弦定理：，所以， ， 注意到，所以， 所以， 所以， 所以周长的取值范围是. 【小问3详解】 余弦定理：， 所以三角形面积为， 当且仅当时，即为等边三角形时，三角形面积取最大值. 19. 如图，在四棱锥中，四边形是边长为2的菱形，，，，，点为棱的中点． （1）求证：； （2）求二面角的余弦值； （3）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） 连接交于点，再连接，如图所示. 在中，，是的中点，所以， 又四边形是边长为2的菱形，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）要证明线线垂直，可通过证明线面垂直推导出线线垂直，即证明平面, （2）首先确定是等腰三角形，然后作辅助线，找出二面角的平面角，然后根据线段的长度和余弦定理求出其余弦值. （3）根据体积关系先求出点到平面的距离，然后即可求出直线与该平面所成角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为四边形是边长为2的菱形，， 所以可求得，所以. 因为，，， 所以，所以，且， 所以，又，所以． 取的中点，连接，，如图所示． 在中，，，，点是的中点， 所以，且． 同理可得，，所以二面角的平面角为， 在中，，，， 由余弦定理得，即二面角的余弦值为. 【小问3详解】 由（2）知，取的中点，连接. 在中，，所以根据勾股定理得． 由（2）知的面积． 因为点是的中点，所以， 设点到平面的距离为，所以， 解得， 又，设直线与平面所成角为θ，所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年高二开学考数学试卷 （2025.9.2） 一､单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.） 1. 已知直线经过点和点，则直线AB的斜率为（ ） A. 3 B. C. 2 D. 不存在 2. 直线的图象可能是（ ） A. B. C. D. 3. 已知的三个顶点为，,，M为的中点，N为的中点，则中位线所在直线方程为 A. B. C. D. 4. 下列说法中不正确的是（ ）． A. 平面上任一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程（A，B不同时为0）表示 B. 当时，方程（A，B不同时为0）表示的直线过原点 C. 当，，时，方程表示的直线与x轴平行 D. 任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化 5. 两条直线，之间的距离为（ ） A. B. C. D. 13 6. 已知椭圆的离心率为，焦点是(－3，0)和(3，0)，则椭圆方程为（ ） A. ＋＝1 B. ＋＝1 C. ＋＝1 D. ＋＝1 7. 已知向量，则（ ） A. B. C. D. 8. 在直三棱柱中，，，，，该直三棱柱的外接球表面积为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.） 9. 给出下列结论，其中说法正确的是（ ） A. 若是直线的一个方向向量，则是该直线的斜率 B. 若直线的斜率是，则是该直线的一个方向向量 C. 任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率 D. 任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角 10. 计算下列几个式子，结果为的是（ ） A. B. C. D. 11. 下列说法正确的有（ ） A. 直线必过定点 B. 直线在y轴上的截距为1 C. 直线的倾斜角为 D. 经过任意两个不同点的直线都可用方程表示 三､填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 若直线的斜率的取值范围是，则该直线的倾斜角的取值范围是________. 13. 设函数对任意的均满足，则__________ 14. 过点P(1,2)且在两坐标轴上截距的和为0的直线方程为____________________. 四､解答题：（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15. 已知点和直线. (1)求过点，且和直线平行的直线方程； (2)求过点，且和直线垂直的直线方程. 16. 根据下列条件，求圆的方程. （1）圆心是，且过点； （2）经过点，且以线段AB为直径的圆的方程； （3）已知的三个顶点为，求的外接圆方程. 17. 已知函数． （1）求的最小正周期及单调递减区间； （2）将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，再将的图象向右平移个单位后，再将纵坐标变为原来的，最终得到的图象，若，满足不等式，求的取值范围． 18. 锐角三角形中，角的对边分别为且. （1）求； （2）求三角形周长的取值范围； （3）求三角形面积的最大值. 19. 如图，在四棱锥中，四边形是边长为2的菱形，，，，，点为棱的中点． （1）求证：； （2）求二面角的余弦值； （3）求直线与平面所成角的正弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $