2.2 直线与圆的位置关系课件-2025-2026学年高二上学期数学苏教版选择性必修第一册

2.2 直线与圆的位置关系 作者编号：32200 1. 会用代数法和几何法来判断直线与圆的三种位置关系； 2. 能运用直线与圆的位置关系，求解圆的弦长与切线方程. 学习目标 作者编号：32200 清晨，太阳从东方渐渐升起，如果将地平线看作一条直线，太阳看作一个圆，那么在太阳升起的过程中，太阳与地平线有哪几种位置关系? 相交 相切 相离 A O l A B O l O l 新课导入 作者编号：32200 思考：如何判断直线与圆的位置关系？ ∟ ∟ ∟ 直线与圆 公共点的个数 直线与圆的 位置关系 圆心到直线距 离与半径比较 相交 相切 相离 2 1 0 新知学习 作者编号：32200 判断直线与圆的位置关系的方法 相交（两个公共点） 相切（一个公共点） 相离（没有公共点） 法1 两组解 一组解 无解 联立方程 法2 计算点线距离 归纳总结 作者编号：32200 例1 已知圆的方程x2＋y2＝2，直线y＝x＋b，当b为何值时： (1)直线与圆有两个交点； (2)直线与圆有一个交点； (3)直线与圆没有交点． 解：圆x2＋y2＝2的圆心为O(0，0)，半径r＝， 圆心O到直线y＝x＋b的距离d＝. (1)当d<r，即<，|b|<2，∴－2<b<2时，直线与圆有两个交点． (2)当d＝r，即＝，|b|＝2，∴当b＝±2时，直线与圆有一个交点． (3)当d>r，即>，|b|>2，∴当b>2或b<－2时，直线与圆没有交点． 作者编号：32200 思考交流：过平面一点P可作几条圆的切线？ 当点 <m></m> 在圆内时，切线不存在； 当点 <m></m> 在圆上时，只能作一条圆的切线； 当点 <m></m> 在圆外时，可作两条圆的切线． 追问：如何刻画直线与圆相切？ 公共点的个数只有1个; 圆心到直线的距离等于半径. 新知学习 作者编号：32200 例2 已知圆C：x2＋y2＝25，求过点Q(-5，)的圆的切线方程. 思路1 直线与圆相切 思路2 直线方程 新知学习 作者编号：32200 例2 已知圆C：x2＋y2＝25，求过点Q(-5，)的圆的切线方程. 解：∵(-5)2＋()2＞25，∴点Q在圆C外. 若所求直线斜率存在，设切线的斜率为k，则切线的方程为y－＝k(x＋5)， 即kx－y＋5k＋＝0.由圆心(0，0)到切线的距离等于圆的半径5得， 解得k＝，故所求切线的方程为x－y＋＋＝0，即3x－4y＋25＝0， 若所求直线斜率不存在，则直线方程为x＝-5， 又圆心(0，0)到x＝-5的距离为5，符合题意， 综上所述，过点Q的切线方程为x＝-5或3x－4y＋25＝0. 新知学习 作者编号：32200 变式：已知圆C：x2＋y2＝25，求过点P(3，4)的圆的切线方程. 解：∵32＋42＝25，∴点P在圆C上. 由圆C：x2＋y2＝25知圆心C为(0，0)，r＝5， 则CP的斜率为kCP＝， ∵圆的切线垂直于经过切点的半径，∴所求切线的斜率k＝， 故经过点P的切线方程为y-1＝(x－3)，即3x＋4y－25＝0. 新知学习 作者编号：32200 归纳总结 先判断点P与圆的位置关系 若点P在圆上，切线有一条 若点P在圆外，切线有两条 ①点P在圆上时: 先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为 ，由点斜式可得切线方程．如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程 y=y0或 x=x0. 特别注意: 切线的斜率不存在的情况，不要漏解. 新知学习 作者编号：32200 归纳总结 先判断点P与圆的位置关系 若点P在圆上，切线有一条 若点P在圆外，切线有两条 ②点P在圆外时: (1)代数法: 设切线方程为y-y0=k(x-x0)，与圆的方程联立，消去y后得到关于x的一元二次方程，由Δ=0求出k，可得切线方程. (2)几何法: 设切线方程为y-y0=k(x-x0)，由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，也就是切线方程. 新知学习 作者编号：32200 例3 求直线 <m></m> 被圆 <m></m> 截得的弦长． 解：（法一）圆 <m></m> 可化为 <m></m> ， 其圆心坐标为 <m></m> ，半径 <m></m> ． 点 <m></m> 到直线 <m></m> 的距离 <m></m> ， 则 <m></m> ，所以截得的弦长为 <m></m> ． （法二）设直线 <m></m> 与圆 <m></m> 交于 <m></m> ， <m></m> 两点． 由 <m></m> 得交点 <m></m> ， <m></m> ， 所以 <m></m> ． 作者编号：32200 （法三）设直线 <m></m> 与圆 <m></m> 交于 <m></m> ， <m></m> 两点． 由 <m></m> 消去 <m></m> 得 <m></m> ， 所以 <m></m> ， <m></m> ， 所以 <m></m> </m> ． 例3 求直线 <m></m> 被圆 <m></m> 截得的弦长． 作者编号：32200 归纳总结 （1）利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，弦长l之间的关系解题. （2）先求交点坐标，再直接用两点间距离公式计算弦长. （3）利用弦长公式求解． 求弦长常用的三种方法： 作者编号：32200 1.(多选)若直线3x＋4y＝b与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，则b的值是( ) A.－2 B.－12 C.2 D.12 2.已知圆C：x2＋y2－4x＝0，l是过点P(3，0)的直线，则(　　) A．l与C相交 B．l与C相切 C．l与C相离 D．以上三个选项均有可能 CD A 当堂检测 作者编号：32200 3.过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2＋y2－4x＝0所截得的弦长为____. 4.过点A(2，1)，作圆的(x－3)2＋(y－1)2＝1切线，则切线方程为________． 2 y＝1 当堂检测 作者编号：32200 课堂小结 作者编号：32200 $